5-4-7-8电场强度通量 高斯定理

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电场强度通量

电场强度通量
①球对称性:如点电荷,均匀带电球面或球体,均 匀带电同心球面等; (2)轴对称性:如无限长均匀带电直线,无限长均匀 带电圆柱体或圆柱面,无限长均匀带电同轴圆柱面等 (3)面对称性:如无限大均匀带电平面或平板,或若 干个无限大均匀带电平行平面等
S
E
Q
l
O
r
E
p
S
o

均匀带电球壳 均匀带电细棒
r
例3(P27)求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为 该电场分布具有轴对称性。 距离导线 r 处一点 p 点的 场强方向一定垂直于带电直导线 沿径向,并且和 P点在同一圆柱 面(以带电直导线为轴)上的各点 场强大小也都相等,都沿径向。
O
S
h
r

E
p
以带电直导线为轴,作一个通过P点, 高为 h 的圆筒形封闭面为高斯面 S, 通过S面的电通量为圆柱侧面和上下 底面三部分的通量。
E
// E
E
dS
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定义:矢量面元 dS dS n
dN d e EdS E dS dS dS cos( E n ) dS cos
dS

E
n
dS
大小等于面元的面积,方向取其法线方向。
因此电通量: d e E dS

p E
均匀带电无限大平板
例2(P26)均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R,所带总电量为 Q。 解:场源的对称性决定着场强分布的对称性。
具有与场源同心的球对称性。选同心球 面为高斯面,场强的方向沿着径向,且 在球面上的场强处处相等。
当 r R 高斯面内电荷为Q, 所以:

高斯定律

高斯定律

q
i 1
n
i
在真空静电场中,穿过任一闭合曲面的电场 强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数 和除以 ε 0 . 高斯面 连续分布带电体
1 Φe E d S d V S 0 V
第一章 静电学的基本规律
16
电磁学
§1.5
高斯定理 高斯 定理
高斯定理的导出
高斯定理讨论
E
S
E

σ E 2ε0
方向由平面指向两侧
无限大带电平板两侧都是匀强电场。若无限大带 电平板带负电,结论仍成立,不过场强方向是从 两侧指向平板。
第一章 静电学的基本规律
27
电磁学
§1.5
高斯定理
σ
E E E
σ
E
对于有限大带电平面,只要研究的场点P到 平面边缘上任一点的距离远大于P点到平面的垂 直距离,则此平面就可看作“无限大”平面,上 述结论即可应用。
库仑定律 电场强度叠加原理
(1) 高斯面:闭合曲面.
(2) 电通量:穿出为正,穿进为负.
(3) 仅面内电荷对电通量有贡献. (4) 静电场:有源场.
第一章 静电学的基本规律
17
电磁学
§1.5
高斯定理
三、高斯定理的应用
高斯定理从理论上阐述了电场和电荷的关系, 并且提供了一种由源电荷分布计算电场强度的方法。
en

o
en
en E
R
x
6
z
M
Q
第一章 静电学的基本规律
电磁学
§1.5 课堂练习
en
R
高斯定理
1.计算均匀电场中 一圆柱面的电通量。 已知 E 及 R

5-4 电场强度通量 高斯定理

5-4 电场强度通量 高斯定理

5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
5-4 电场强度通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
i 1 n
3 高斯定理的讨论 (1) 高斯面:闭合曲面. (2) 电场强度:所有电荷的总电场强度. (3) 电通量:穿出为正,穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
5-4 电场强度通量
四 高斯定理应用举例 用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析; 根据对称性选择合适的高斯面; 应用高斯定理计算.
高斯定理
1 Φe E dS ε0 S
q in i
i 1
n
5-4 电场强度通量
高斯定理
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任 意点的电场强度. 解 高斯面:闭合球面 对称性分析:球对称 (1) 0 r R E dS 0 E 0
in ei
E
1 n in SE dS ε0 qi i 1
dS
s
qi
5-4 电场强度通量
高斯定理
2 高斯定理 在真空中静电场,穿过任一闭合曲面的电场强度通量,

5-4 电场强度通量 高斯定理

5-4 电场强度通量 高斯定理

• 选择合适的高斯面 ,求 e。
Φe SE dS f (E)
• 确定高斯面包围的电量 qiin = ?
• 由高斯定理求 E
f
(
EΦ)e
1
0
i
qiin
E
27
例题5-7(课本P.169 例2)
第五章 静电场
设有一半径为R , 均匀带电 Q 的球面,求球面内、
外任意点的电场强度。
解:• 电场分布的对称性分析
• 选择合适的高斯面,求e。
过所求点 P 作半径为 r 同 心 高
斯球面, 穿过 该球面的 通E量
Φe
E dS
S
E
dS E 4πr 2
S
第五章 静电场
en
Q r r dS
O• •
R
P
无论所求点 P 在球体内还是
在球体外,上述结论均成立。
• 确定高斯面包围的电量qi = ? E
0 < r < R 时:
ΦE SE dS 0
结论: 通过任一闭合曲面的
电场强度通量,与闭合曲面外 的电荷无关,仅仅取决于闭合 曲面内的电荷量。
第五章 静电场
E
S
+
q
17
三、高斯定理
高斯是德国数学家、天文学家和物 理学家,有“数学王子”美称,他与韦 伯制成了第一台有线电报机和建立了地 磁观测台,高斯还创立了电磁量的绝对 单位制。
33
• 选择合适的高斯面,求e。
第五章 静电场
过所求点P 作一高为 h、半径为 r ,以直线为轴的
闭合圆柱面为高斯面。穿过该柱面的电场强度通量为
Φe E dS E dS E dS E dS
S0

高斯定理公式

高斯定理公式

高斯定理公式
高斯定理数学公式是:∮F·dS=∫(▽·F)dV。

高斯定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。

高斯定理(Gauss' law)也称为高斯通量理论(Gauss' flux theorem),或称作散度定理、高斯散度定理、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高-奥公式(通常情况的高斯定理都是指该定理,也有其它同名定理)。

高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律,而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。

因为数学上的相似性,高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量,例如引力或者辐照度。

扩展资料:
高斯定理指出:穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。

换一种说法:电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比。

它表示,电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和,与曲面内电荷的位置分布情况无关,与封闭曲面外的电荷亦无关。

在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。

当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。

电场强度通量和高斯定理

电场强度通量和高斯定理


高斯定理的导出
点电荷电场强度公式 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
S
q 4π 0r
S
2
r
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
Φe
q
4 π 0

dS' q 2
r
0
dΦe
q 4π 0r
2
dS cos

q
q2
S
0 S面内 e E dS S 1 ( q1 q2 q3 )
i
q
0
证明: 1)仅有一个点电荷
e E dS
S
Sn
B)点电荷在S面外:
A)点电荷在S面内:
E
q
+
q E dS
Sn
S
0
E
e E dS
q
q1
i
S面内电荷代数和
3) 当
e 0
时,
q 0
i
面内有净正电荷,并非 一定仅只有正电荷
+
q2
-
S
q1 q2
1 e E dS
S

e 0
时,
q 0
i
0 S面内q2
+
面内有净负电荷,并非 一定仅有有负电荷
S
q1 q2
i

e 0
i(外)


S
Ei dS 0
i(外)

Ei dS

电场强度通量.


S vv de E dS '
Eerr dS ' nr
derrS
EdS q d
d
4 0
蜒 e
S
de

q
4 0
d q
S
0
实际上因为电力线不会中断(连续性),所以
通过闭合曲面 S ' 和 S 的电力线数目是相等的。
③ 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 S 的
qqi 1
S
S



S
E1 dS
S
E2
dS

S
En
dS 2
e

E dS
S

e1
e2

en

1
0
qi
inside ,i
说明:
① 高斯定律中的场强 E 是由全部电荷产生的。
② 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的 电荷,闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
二、电场强度通量
E //
E E

1.定义
通过电场中任一曲面的电场线
条数。称为通过这曲面的电场
dS
强度通量(电通量)e
1、均匀电场中通过平面S的电通量
定Qd义SE:矢ddd量SSN面co元s(EvddSvnv) de SdSnvEcdosS
n
dS
dS
E
q 发出的电力线连续的延伸到无穷远。
r
E
q
②证明包围点电荷q 的任一闭合曲面S 的
电通量 e等于 q / 0
立体角solid angle
dS d r 2
q
立体角

大学物理-电场强度通量,高斯定理



2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布,q , R 解: 通量

q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S

n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS

注: E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 (1) 证明: 略.书P166-168 (2 )内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S:高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
(如图中 q1、q2) ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷(面内、外电荷) 共同产生(如图中 q1、 q2 、 q3)

.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上,则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q

电场的高斯定理及其应用

电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理,也称为高斯电场定理,是电磁学中的基本定律之一。

它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。

这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。

高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下:对于任意闭合曲面S,电场通过S的电通量(记作ΦE)与曲面S内部的总电荷(记作q)之间存在以下关系:ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中,E是电场强度,dA是曲面元素的面积向量,ε₀是真空的电介质常数(也称为电常数),其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。

3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解:(1)电场线与闭合曲面的关系:高斯定理说明,对于任意闭合曲面S,电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。

这意味着,无论曲面S如何选择,只要它是闭合的,电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关,而与曲面的形状和位置无关。

(2)电场的分布与电荷的关系:高斯定理表明,电场是通过闭合曲面的电通量的度量,而电通量与曲面内部的总电荷成正比。

这意味着,电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关,而与曲面的具体形状和位置无关。

4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用,下面列举几个常见的应用例子:(1)计算静电场中的电荷分布:通过高斯定理,可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。

只需测量通过该曲面的电通量,然后根据电通量与电荷的关系,可以确定曲面内部的电荷量。

(2)设计电容器和绝缘材料:在电容器和绝缘材料的设计中,高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。

通过合理选择闭合曲面的形状和位置,可以优化电场分布,提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。

(3)研究电磁波的传播:在研究电磁波的传播过程中,高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。

高斯定理


非均匀电场强度电通量
dS dS en dΦe E dS
en
E dS
E
dS

E
Φe dΦe E cosdS s Φe E dS s
E ds EdS cos 0 E ds EdS cos 0
球对称分布:包 括均匀带电的球 面,球体和多层 同心球壳等
轴对称分布:包 括无限长均匀带 电的直线,圆柱 面,圆柱壳等;
无限大平面电荷: 包括无限大的均匀 带电平面,平板等。
关键:选取高斯面
电场分布的对称性分析 选取适当的高斯面
一般原则是: ①高斯面要通过所求场强的点 ②高斯面上(部分面上)各点的E(大小)=常量; 且 方向与曲面处处成 一定的角度,即 cos 为定值,从而使积分简化为: e E cosdS E cos dS
取长 L 的同轴圆柱面,加上底、下底构成高斯面 S
S

dq
L
r
P
' dE dE
o dq
'
' dE dE
E dS E dS
S 上

E dS

E dS


E cos

2
dS E cos


2
dS E cos 0 dS
闭合曲面
闭合曲面的电场强度通量
E
S
Φe E dS E cosdS
S S
dΦe E dS
dS
E
解: e E ds E ds E ds E ds
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+
-
第五章 静电场
29
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线++来自第五章 静电场30
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第五章 静电场
31
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
第五章 静电场
32
5-4 电场强度通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线
14 3 1 2 r q' E dS E 4r S 0 3 0 E E r 3 0
O
r
R 电场分布曲线
例 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 求 电场强度分布 解 电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面
E
n
E
e E dS
5-4 电场强度通量
高斯定理

电场线 (一簇假想的曲线)
典型电场 的电场线 分布图形
1 规定 (1) 切线方向为电场强度方向 (2) 疏密表示电场强度的大小
2 特点 (1) 始于正电荷,止于负电荷,非闭合线. (2) 任何两条电场线不相交.
第五章 静电场
1
3、电场线密度
5-4 电场强度通量
高斯定理
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
en

o
en
en E
R
x
8
z
M
Q
第五章 静电场
5-4 电场强度通量
高斯定理
Φe1 E dS ES1 cos π ES1 s1 Φe 2 E dS ES2 cosθ ES1 s1
dN E
dS
定义:经过电场中任一点,作一 面积元dS,并使它与该点的场强 垂直,若通过dS面的电场线条数 为dN,则电场线密度为dN/dS。
dN E= dS
对于匀强电场,电场线密度处处相 等,而且方向处处一致。
4、关于电场线的几点说明
•电场线是人为画出的,在实际电场中并不存在; •电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; •电场线图形可以用实验演示出来。
S
E dS
dS
E
S
第五章 静电场
5
5-4 电场强度通量
高斯定理
非均匀电场,闭合曲面S . Φe E dS E cos θdS
S S
“穿出”θ 90

“穿进”θ 90
θ
en
E
E
en
第五章 静电场
θ
S
6
5-4 电场强度通量
讨论
高斯定理
S
Φe ES cos θ ES
第五章 静电场
S
θ
en
E
4
5-4 电场强度通量
高斯定理
非匀强电场,曲面S .
定义:矢量面元
dS dS en
大小等于面元的面积,方向取其法线方向。
dΦe E cosθdS E dS
en
θ
Φe dΦe
第五章 静电场
10
5-4 电场强度通量
高斯定理

高斯定理
1 高斯定理的导出 在点电荷q的电场中,通过求电场强度通 量导出. 库仑定律 电场强度叠加原理 高斯 定理
步骤:先证明点电荷的场, 然后推广至一般 电荷分布的场
第五章 静电场
11
5-4 电场强度通量
高斯定理
点电荷位于球面中心
q E 2 4 πε0 R Φe E dS
S
n
n
侧 E dS 左底 E dS 右底 E dS
0 ES ES 2 ES
根据高斯定理有
Ex
2 ES
1
0
S
E 2 0
O
x
5-4 电场强度通量
高斯定理
无限大带电平面的电场叠加问题




σ ε0
0
σ ε0
具体地说是: 所求的场强必须在高斯面上; 使高斯面各部分与电场线成 恒角,且各部分面上的电场 用高斯定理求场强时,电荷 强度的大小相等或E⊥S;高 有对称性,场也有某种对称 斯面本身简单可积. 常见的电量对称分布情况: 性,否则不能用.这并不是 说定理不适用于非对称情 •球对称:均匀带电的球 况,而是解不出E来. 体、球面(点电荷) •柱对称:无限长柱体、 选高斯面的原则是:要使高 柱面、带电线 斯面上的电场强度能从积 分号中提出. •面对称:无限大平板
S
dS
+
R
q dS 2 S 4 πε0 R q ε0
第五章 静电场
12
5-4 电场强度通量
高斯定理
点电荷在闭合曲面内
对于任意一个闭合曲面 S’,只要电荷被包围在S’面 内,由于电场线是连续的, 在没有电荷的地方不中断, 因而穿过闭合曲面S’与S的 电场线数目是一样的。
S q
S
电场线
第五章 静电场
2
5-4 电场强度通量
高斯定理

电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数 2 表述 匀强电场 , E 垂直平面时.
S S
Φe ES
第五章 静电场
en E E
3
5-4 电场强度通量
高斯定理

电场强度通量
1 定义 通过电场中某个面的电场线数 2 表述 匀强电场 , E 与平面夹角 θ .
第五章 静电场
q0
q
rA
A
35
5-6 静电场的环路定理
电势能
任意带电体的电场(点电荷的组合) E Ei i W q0 E dl q0 Ei dl
Q E 2 4πε0 r
Q 4π 0 R 2
r
Q 4πε0 r 2
E
O
s
Q
结果表明:均匀带电球壳外的电 R 场强度分布象球面上的电荷都集 中在球心时所形成的点电荷在该 区的电场强度分布一样。在球面内的场强均为零。
o
r
第五章 静电场
21
例 已知球体半径为R,带电量为q(电荷体密度为) 求 均匀带电球体的电场强度分布 解 球外 (r R) r 3 + + 1 q 0 R 0 E r r R 2 2 4 0 r 3 0 r r' + + 球内( r R )
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E 2r l
1
E 2 0 r
总结
0
l
E
电场分布曲线 O
r
用高斯定理求电场强度的步骤:
(1) 分析电荷对称性; (2) 根据对称性取高斯面; 高斯面必须是闭合曲面
高斯面必须通过所求的点 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
0
σ ε0
0
第五章 静电场
24
例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+ 求 距直线r 处一点P 的电场强度 解 电场分布具有轴对称性 过P点作一个以带电直线为轴, 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面
dS
r
E
l
e E dS
S
E
P
dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
高斯定理
E dS E1 dS E2 dS En dS
S S S S
点电荷系的电场
Φe1 Φe2 Φen 1 in in out Φei 0 Φe i qi ε0 1 n in E dS qi S ε0 i 1
量,在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘 以 1 0
第五章 静电场
16
5-4 电场强度通量
高斯定理
3 高斯定理的讨论
•高斯定理是反映静电场性质(有源性)的一条基本定理; •高斯定理是在库仑定律的基础上得出的,但它的应用范围比 库仑定律更为广泛; •高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的,并非只有曲面内的电荷确定; •若高斯面内的电荷的电量为零,则通过高斯面的电通量为零, 但高斯面上各点的电场强度并不一定为零;
Φe Φei 0
i 1 5
y
N
S1
P
S2
en

o
en
en E
R
x
9
z
M
Q
第五章 静电场
高斯 (C.F.Gauss 17771855)
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究,主要成就:
德国数学家、 天文学家和物 理学家。高斯 在数学上的建 树颇丰,有 “数学王子” 美称。
(3) 根据高斯定理求电场强度。
5-4 电场强度通量
高斯定理
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
第五章 静电场
28
5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
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