电场强度电通量高斯定理
5-4 电场强度通量 高斯定理
5-4 电场强度通量
高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5-4 电场强度通量
高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
5-4 电场强度通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + + +
i 1 n
3 高斯定理的讨论 (1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
5-4 电场强度通量
四 高斯定理应用举例 用高斯定理求电场强度的一般步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
高斯定理
1 Φe E dS ε0 S
q in i
i 1
n
5-4 电场强度通量
高斯定理
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任 意点的电场强度. 解 高斯面：闭合球面 对称性分析：球对称 (1) 0 r R E dS 0 E 0
in ei
E
1 n in SE dS ε0 qi i 1
dS
s
qi
5-4 电场强度通量
高斯定理
2 高斯定理 在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，
电场强度通量
（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
l
E Er 关系曲线
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场. 解：电场分布也应有面对称性，
方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
0
合球面的电通量都相等。
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
①当点电荷在球心时
②任一闭合曲面S´包围点电荷
e
S
E
dS
q
0
作以q为中心的球面S，由于
电力线的连续性，通过闭合曲面
S和球面S´的电力线根数相等。
因此通过S和S´的电通量相等，
均为
e
S
E
dS
q
0
S
q+
r
S´
高斯定理
（2）高斯定理的验证:
§8-3 高斯定理
1. 电场强度通量 2. 高斯定理 3. 高斯定理的应用
电场强度通量
1. 电场强度通量
(1)定义：通过电场中任一给定面的电力线总数，称
为通过该面的电场强度通量或电通量，用Ψ表e 示。
高斯定理求电场强度
高斯定理求电场强度
高斯定理是电学中的一项基本定理，用于求解电场强度。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末提出的。
在数学上，高斯定理也叫做散度定理，它可以将一个三维空间中的向量场在某个闭合曲面上的通量与该向量场在该曲面所包围的体积积分相联系。
在电学中，高斯定理用于求解电场强度。
它表明：一个电场从一个闭合曲面内通过的电通量等于该曲面内的电荷量的比值。
具体来说，高斯定理可以表示为：
∮S E·dS = Q/ε0
其中，S代表一个闭合曲面，E代表电场强度，Q代表该曲面内的总电荷量，ε0代表真空介电常数。
左侧的积分表示电场向曲面S的法向量的通量，右侧的比值表示该曲面内的总电荷量。
因此，如果我们已知一个由电荷产生的电场，并且想要求解该电场在一个闭合曲面内的通量，那么只需要使用高斯定理即可。
具体步骤是：选择一个适当的闭合曲面，计算该曲面内的总电荷量，然后代入高斯定理求解即可。
需要注意的是，高斯定理的适用范围是仅限于电场强度在曲面上处处连续的情况。
当电场强度在曲面上不连续时，需要使用其他方法进行求解。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电场强度通量高斯定理
y
x + en
8 – 4 电场强度通量 高斯定理
第八章静电场
例4 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
2 S ＇E S ＇
E
S＇
0
S＇ E
由多个点电荷产生的电场
EE 1E 2
q
1
q2
E
dS
Φ eSEdSS E idS i
sqi
i(内S） E id S i（外 SE i） d S
i（外S） E i dS01
Φ ei（内 SE ） idS
qi
0i(内）
8 – 4 电场强度通量 高斯定理
第八章静电场
高斯定理
第八章静电场
四 高斯定理的应用
〔用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性〕 其步骤为
对称性分析； 根据对称性选择适宜的高斯面； 应用高斯定理计算.
8 – 4高斯电定场理的强应度用通量 高斯定理
3. 高斯定理的应用
第八章静电场
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性
1. 均匀带电球面的电场
2. 均匀带电圆柱面的电场
1.1 当点电荷在球心时
1.2 任一闭合曲面S包围该电荷
1.3 闭合曲面S不包围该电荷
e EdS
S
e SE dS
q
q
0
0
e EdS 0
S
1.4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个
电荷qk+1-qn
电场强度通量和高斯定理
？
高斯定理的导出
点电荷电场强度公式 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
S
q 4π 0r
S
2
r
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
Φe
q
4 π 0
dS＇ q 2
r
0
dΦe
q 4π 0r
2
dS cos
q
q2
S
0 S面内 e E dS S 1 ( q1 q2 q3 )
i
q
0
证明： 1）仅有一个点电荷
e E dS
S
Sn
B）点电荷在S面外：
A）点电荷在S面内：
E
q
+
q E dS
Sn
S
0
E
e E dS
q
q1
i
S面内电荷代数和
3） 当
e 0
时，
q 0
i
面内有净正电荷，并非 一定仅只有正电荷
+
q2
-
S
q1 q2
1 e E dS
S
当
e 0
时，
q 0
i
0 S面内q2
+
面内有净负电荷，并非 一定仅有有负电荷
S
q1 q2
i
当
e 0
i（外）
S
Ei dS 0
i（外）
Ei dS
大学物理-电场强度通量,高斯定理
2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解： 通量
q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S
n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS
注： E为dS处的电场强度
n E
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理 （1） 证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中 注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷） 共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一 个顶点上，则通过整个 正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
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1. 包围q的闭合球面S的电通量——点电荷位于球面中心
E
4π
q
0r 2
dS
Φe
E dS
S
q dS
S 4 π 0r 2
1 q 4r 2 q
4 0 r 2
0
+
2. 包围 点电荷 q 的任意
封闭曲面的电通量
Φe
q
0
+
3. 不包围点电荷 q
的任意闭合面
Φe 0
q
4.点电荷系 q1,q2, qi qn , qn1, qn2, qz
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
z en
SE dS
E dS E dS E dS
s(测面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS E2rh
s ( 测面）
+
E
+
r h
x
+
+o
+
eenn
y
qi
内
0
h 0
E dS
内
qi
S
0
2π rhE h 0
E
2π 0r
z
+
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
ezn
o
M
en
E
en Q R x
Φe左 s左E dS ES左 cosπ ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
三 、高斯定理
从数学角度看——闭合面的电通量与电荷之关系的数学表达式
qi
i 1( in )
S
0
高斯定理
在真空的静电场中,通过任意闭合曲面的电通量,
等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以 0 .
（与面外电荷无关，该闭合曲面称为高斯面）
Φe
E dS
1
S
0
n
qiin
i 1
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献 ？
+
r h
+
+o
x+
E
en y
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
0
0
0
0
E
Q
4π 0r2
S2
0
（2） 0 r R
E dS E4r2 S1 qi 0
E dS
内
qi
S2
0
E 0
rS +
+P
+
O
+ 1+ + +
+R +
+++
QE
4π 0R2
o Rr
例 无限长均匀带电直线的电场强度
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
r 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
Φe
E dS
1
S
0
n
qiin
i 1
总结 1）高斯面上的电场强度为所有（内外）电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 4）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正. 5）静电场是有源场——静电场的性质之一.
讨论
将 q2 从 A 移到 B q2 A P*
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
一、电场线——电场的图示法 规定
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数 为该点电场强度的大小.（电场线密度）
E E dN / dS
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远).
2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合.
注意
1）电场线并不真正存在. 2）电场线不是电荷运动的轨迹.
二、电场强度通量（电通量）
1.定义：通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这 个面的电场强度通量.
2. 电通量的计算
均匀电场 ，E垂直平面
的电场中，任意闭合面的电通量 E E1 E2
qn2
q n 1
Φe
E dS S
E1 dS E2 dS En dS
q1 qqn2
s
qz
En1 dS En2 dS Ez dS
q1 q2 qn 0
0n
0
qi
i1(内） 0
0
n
Φe
E dS
E2
2
1 E1
闭合曲面的电场强度通量
dΦe E dS
Φe
E dS
S
E cosdS
S
例1 如图所示 ，有一
个三棱柱体放置在电场强度
E
200i N
C1的匀强电
场中 . 求通过此三棱柱体的
电场强度通量 .
E
S
y
o
z
dS
E
E
x
解 Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下
Φe ES
均匀电场 ，E 与平面夹角
Φe ES cos
Φe E S
S
E
en
S
E
非均匀电场电通量
dS
dS
en
dΦe E dSΦedΦe来自sE cosdS
Φe s E dS
S 为封闭曲面
1
π 2
,
dΦe1 0
2
π 2
,
dΦe2 0
dS 2
E
en
dS
E
E
dS1
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的 Φe有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三
个闭合面 S1 , S2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
q
Φe1
E dS
S1
0
q
q
Φe2 0
Φe3
q
0
S1
S2 S3
求电通量的方法：1. 按定义；2. 用高斯定理
高斯定理应用举例
Φe
E dS
1
S
0
n
qiin
i 1
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为 对称性分析——球对称、面对称、柱对称 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理求解.
例 均匀带电薄球壳内外的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 分析：电场分布具有球对称性
解（1） r R
(a) 取考查点在P
r ++
+ +
O
+ + +
P
﹡
+R +
s +++ 2
(b) 过考查点在P选适当的高斯面S2
（c）求高斯面S2的电通量 E dS E4r 2 S2
(d) 求高斯面内的电荷
(e) 利用高斯定理求场强
qi Q E dS
内
qi
4π r 2E Q
0