电通量,高斯定理
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2.3.1-4电通量和高斯定理
d e E dS EdS
4 0 R
S
ds q r
E
q dS 2 4 0 R
1
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
(二)证明 出发点：库仑定律和叠加原理 1.通过一个与点电荷q 同 心的球面S的电通量。
e d e
s
S
q
0
q 40 R
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(二)匀强电场的电通量
1.平面S与E垂直时
e＝ES
2.平面S与E有夹角θ时 引入面积矢量
e＝ES cos e＝E S E en S
S Se n
E
S
en
S
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 解：1、对称性分析：
E
+ + +++ +++ +++
+ + +
+ + + + +
+
+++ 结论：电场以中心轴线为对称轴。
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 2、以轴线为中心， 作半径为r(r>R)的圆柱形 高斯面S
2.3 电通量和高斯定理
4.若高斯面内的电荷的电量为零，则通过 高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场 强度并不一定为零； 5.通过任意闭合曲面的电通量只决定于它 所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对 电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合 面上各点处的场强大小和方向； 6.高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为 高斯面。
4 0 R
S
ds q r
E
q dS 2 4 0 R
1
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
(二)证明 出发点：库仑定律和叠加原理 1.通过一个与点电荷q 同 心的球面S的电通量。
e d e
s
S
q
0
q 40 R
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(二)匀强电场的电通量
1.平面S与E垂直时
e＝ES
2.平面S与E有夹角θ时 引入面积矢量
e＝ES cos e＝E S E en S
S Se n
E
S
en
S
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 解：1、对称性分析：
E
+ + +++ +++ +++
+ + +
+ + + + +
+
+++ 结论：电场以中心轴线为对称轴。
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 2、以轴线为中心， 作半径为r(r>R)的圆柱形 高斯面S
2.3 电通量和高斯定理
4.若高斯面内的电荷的电量为零，则通过 高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场 强度并不一定为零； 5.通过任意闭合曲面的电通量只决定于它 所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对 电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合 面上各点处的场强大小和方向； 6.高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为 高斯面。
电通量高斯定理
穿入曲面的电力线，电通量为负值； 与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
2电通量 高斯定理
小结
1、点电荷
E q 4 0 r 2
2、均匀带电球面
0 q E 2 4 r 0
rR rR
3、均匀带电球体
E E
qr 40 R q 40 r
2 3
,r R ,r R
4、无限长均匀带电直线
E 20 r
5、无限长均匀带电圆柱面
6、无限长均匀带电圆柱体
· Q
· q
D
练习 一个带电量为q的点电荷位于立方体的中心处， 则通过侧面a b c d的电场强度通量等于：
q 1） 6 0 q 2） 12 0 q 3） 24 0 q 4） 48 0
· q
A
练习 一个带电量为q的点电荷位于立方体的顶角处， 则通过侧面a b c d的电场强度通量等于：
q 1） 6 0 q 2） 12 0 q 3） 24 0 q 4） 48 0
q1 q2
S
E ds：
q
内
：
S 内的净电荷
通过S的电通量， 只有S内电荷有贡献
2、 揭示了静电场中“场”和“源”的关系
q : 发出 q 0 条电场线，是电场线的“头”
q : 吸收 q 0 条电场线，是电场线的“尾”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
四、高斯定理的应用
Q1 Q2 1） 2 4 0 r
3） 2 4 0 r 4） 2 4 0 r Q2 Q1
Q1 Q2 2） 2 4 0 r
Q1 R1 r
Q2
· P
（3）
R2
练习
一点电荷 , 放在球形高斯面的中心处 . 下列那 一种情况,通过高斯面的电通量发生变化:
A) 将另一点电荷放在高斯面外. B) 将另一点电荷放进高斯面内. C) 将球心处的点电荷移开,但仍在在高斯面内. D) 将高斯面半径缩小.
大学物理——10-3电通量 高斯定理
v v dΦ = E ⋅ dS e
Φe = ∫ dΦe = ∫ s s
S 为封闭曲面时
v v E ⋅ dS
v v dΦ = E ⋅ dS e
S
v v Φe = E ⋅ dS ∫
三、高斯定理 通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 Φe 闭合面 等于包围在该闭合面内 等于包围在该闭合面内的电荷代数和 ∑ qi 的 ε 0 分之 而与闭合面外的电荷无关. 一，而与闭合面外的电荷无关.
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
（3）点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
d Φ1 + d Φ 2 = 0
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
（2）点电荷在任意闭合曲面 ）点电荷在任意闭合曲面 内
+ q 发出的 q / ε 0
四、高斯定理的应用 对称性） （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性 其步骤为 对称性分析； 对称性分析； 根据对称性取合适的闭合面； 根据对称性取合适的闭合面； 应用高斯定理计算. 应用高斯定理计算. 1.场源电荷无限长轴对称性分布： 场源电荷无限长轴对称性分布： 场源电荷无限长轴对称性分布
大学物理-电通量-高斯定理
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
104电通量高斯定理
24
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
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电通量、高斯定理
1、均匀电场的场强E
与半径为R 的半球面的轴线平行，则
通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q
不改变E
分布，则通过半球面的电场强
度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=
⋅0/εq s d E i s ，
其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通
过立方体每个表面的E
的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方
体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E
的通量
是 0 ，通过立方体另外三个面的E
的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )
(A)
(B) (C)
(D) 5、应用高斯定理求场强E
时，要求E
的分布具有对称性，
对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )
(A)正确 (B)错误 (C)无法判断
6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )
(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )
(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；
()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-
(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；
(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；
(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面
根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场
强大小相等，方向沿矢径方向
⎰
⎰
⎰
⎰⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
侧面
下底
上底
s d
E
s d
E
s d
E
s d
E
s
=⎰⋅
侧面
s d
E
=E⎰
侧面
ds=2rhE
π
（1）r < R时, ∑=ρ
πh
r
q
i
2,
2/
2ε
ρ
π
πh
r
rhE=,
2ε
ρr
E=（2）r > R时, ∑=ρ
πh
R
q
i
2,
2/
2ε
ρ
π
πh
R
rhE=,
r
R
E
2
2ε
ρ
=∴=
E
)
(
,
2
)
(
,
2
2
R
r
r
R
R
r
r
>
<
ε
ρ
ε
ρ。