2电通量高斯定理
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电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
2电通量 高斯定理
小结
1、点电荷
E q 4 0 r 2
2、均匀带电球面
0 q E 2 4 r 0
rR rR
3、均匀带电球体
E E
qr 40 R q 40 r
2 3
,r R ,r R
4、无限长均匀带电直线
E 20 r
5、无限长均匀带电圆柱面
6、无限长均匀带电圆柱体
· Q
· q
D
练习 一个带电量为q的点电荷位于立方体的中心处， 则通过侧面a b c d的电场强度通量等于：
q 1） 6 0 q 2） 12 0 q 3） 24 0 q 4） 48 0
· q
A
练习 一个带电量为q的点电荷位于立方体的顶角处， 则通过侧面a b c d的电场强度通量等于：
q 1） 6 0 q 2） 12 0 q 3） 24 0 q 4） 48 0
q1 q2
S
E ds：
q
内
：
S 内的净电荷
通过S的电通量， 只有S内电荷有贡献
2、 揭示了静电场中“场”和“源”的关系
q : 发出 q 0 条电场线，是电场线的“头”
q : 吸收 q 0 条电场线，是电场线的“尾”
静电场的重要性质 —— 静电场是有源场
四、高斯定理的应用
Q1 Q2 1） 2 4 0 r
3） 2 4 0 r 4） 2 4 0 r Q2 Q1
Q1 Q2 2） 2 4 0 r
Q1 R1 r
Q2
· P
（3）
R2
练习
一点电荷 , 放在球形高斯面的中心处 . 下列那 一种情况,通过高斯面的电通量发生变化:
A) 将另一点电荷放在高斯面外. B) 将另一点电荷放进高斯面内. C) 将球心处的点电荷移开,但仍在在高斯面内. D) 将高斯面半径缩小.
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
大学物理2电通量 高斯定理
【解】 对称性分析
由于电荷分布是平面对称的， 所以场强分布也是平面对称的， 即离平面等远处的场强大小都 相等、方向都垂直于带电平面。 电场线如图所示。
1
Φe
E dS
S
qi
0（闭合曲面内）
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20
选一其轴垂直于带电平面的圆筒式
封闭面作为高斯面 S，带电平面平 S
分布 无限长圆柱面、圆柱体
球面 圆柱面 圆柱面
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27
无限长均匀带电直线：
E
E
2p 0r
o
r
无限长均匀带电圆柱面：
E
E0
oR
E 2p 0r
r
无限大均匀带电平面
(r R)
λ
0
(r R)
（2）求半径为R的均匀带电体密度为ρ 的无限长圆柱体的场强分布。
R2
E
2 0 r
r
2 0
(r R) (r R)
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R
r
E
19
【例4】 设有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 ，
求距平面为r处某点的电场强度.
分此圆筒，场点 p位于它的一个底
p
面上。由于圆筒侧面上各点的场强 方向垂直于侧面的法线方向，所以 电通量为零；又两个底面上场强相 等、电通量相等，均为穿出。
o
§8-2 电通量 高斯定理
S
∑q
i
i内
根据高斯定理列方程，解方程得 第4步：根据高斯定理列方程，解方程得E
∫
S
r r E ⋅ dS = E ∫ dS = E.S =∑ q内 / ε 0
∑q E=
内
Sε 0
......( A)
7
应用举例： 4、应用举例：
均匀带电体的场强分布 的场强分布(点 球面、球体) 例8.6P13:求球对称均匀带电体的场强分布 点、球面、球体 求
2
高斯定理 定理: 三. 高斯定理:
(K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家) 德国物理学家、数学家、天文学家 德国物理学家
1、表述 168)：在真空中的任何静电场中 通过任 、表述(P ：在真空中的任何静电场中, 闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的 的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 数和的1/ε0倍, 即 数和的 ε
R P2
∴ E2 =
q 4πε0r
...(2)# ⇒ 球面外与点电 2
荷电场相同
（2)、 求均匀带电球体 的场强分布：P14 、 的场强分布： r 已知R, 求球内外P 已知 q, 求球内外 1、P2处的 E 作与带电球体同心半径为 半径为r的 作与带电球体同心半径为 的 球面为高斯面 球面为高斯面 r r 高斯面: 2 ∫S1E ⋅ dS = 4πr E =∑ q内 / ε 0 ∑ q内 ......( A) E= S 2 4πε 0 r
ε0 i 式中：闭合面ｓ 式中：闭合面ｓ——高斯面 高斯面 r r 通过ｓ 通过 ∫ E ⋅ dS ——通过ｓ的电通量
S i内
Φe =
∫
S
r r 1 E ⋅ dS =
∑q
i
i内
根据高斯定理列方程，解方程得 第4步：根据高斯定理列方程，解方程得E
∫
S
r r E ⋅ dS = E ∫ dS = E.S =∑ q内 / ε 0
∑q E=
内
Sε 0
......( A)
7
应用举例： 4、应用举例：
均匀带电体的场强分布 的场强分布(点 球面、球体) 例8.6P13:求球对称均匀带电体的场强分布 点、球面、球体 求
2
高斯定理 定理: 三. 高斯定理:
(K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家) 德国物理学家、数学家、天文学家 德国物理学家
1、表述 168)：在真空中的任何静电场中 通过任 、表述(P ：在真空中的任何静电场中, 闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的 的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 数和的1/ε0倍, 即 数和的 ε
R P2
∴ E2 =
q 4πε0r
...(2)# ⇒ 球面外与点电 2
荷电场相同
（2)、 求均匀带电球体 的场强分布：P14 、 的场强分布： r 已知R, 求球内外P 已知 q, 求球内外 1、P2处的 E 作与带电球体同心半径为 半径为r的 作与带电球体同心半径为 的 球面为高斯面 球面为高斯面 r r 高斯面: 2 ∫S1E ⋅ dS = 4πr E =∑ q内 / ε 0 ∑ q内 ......( A) E= S 2 4πε 0 r
ε0 i 式中：闭合面ｓ 式中：闭合面ｓ——高斯面 高斯面 r r 通过ｓ 通过 ∫ E ⋅ dS ——通过ｓ的电通量
S i内
Φe =
∫
S
r r 1 E ⋅ dS =
2电通量 高斯定理
S
Φ 0
out ei
E
1 in in Φe i qi ε0 1 n in E dS qi ε0 i 1 S
dS
s
qi
14
物理学
第五版
◆ 高斯定理
高斯面
真空静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该 曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε 。
0
1 n in Φe E cos dS qi ε0 i 1 S
v E
dN EdS E cos dS
◆ 面元的电通量
dΦ E cos dS
实质：通过面的电场线根数。 是一个标量，正负取决于夹角。 7
物理学
第五版
◆ 匀强电场中通过平面的电通量
Φe ES cos
◆ 非匀强电场中通过曲面的电通量
s
s
r en
v E
v E
r en
Φe E cos dS
E E1 E2
3
（补偿法）
d
P
O
d
O
对于 P点：
a
d E1 方向:水平向左 3 0 a3 E2 方向:水平向左 3 0 (2d )2 3 d a EP 方向:水平向左 2 3 0 3 0 (2d )
R
20
物理学
第五版
[例] 求无限长均匀带电直线的电场强度。
第五版
◆ 点电荷在闭合曲面S外
dΦ1 E1 dS1 0 dΦ2 E2 dS2 0
dS1
q
+
dΦ1 dΦ2 0
E2
E1
Φ 0
out ei
E
1 in in Φe i qi ε0 1 n in E dS qi ε0 i 1 S
dS
s
qi
14
物理学
第五版
◆ 高斯定理
高斯面
真空静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该 曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε 。
0
1 n in Φe E cos dS qi ε0 i 1 S
v E
dN EdS E cos dS
◆ 面元的电通量
dΦ E cos dS
实质：通过面的电场线根数。 是一个标量，正负取决于夹角。 7
物理学
第五版
◆ 匀强电场中通过平面的电通量
Φe ES cos
◆ 非匀强电场中通过曲面的电通量
s
s
r en
v E
v E
r en
Φe E cos dS
E E1 E2
3
（补偿法）
d
P
O
d
O
对于 P点：
a
d E1 方向:水平向左 3 0 a3 E2 方向:水平向左 3 0 (2d )2 3 d a EP 方向:水平向左 2 3 0 3 0 (2d )
R
20
物理学
第五版
[例] 求无限长均匀带电直线的电场强度。
第五版
◆ 点电荷在闭合曲面S外
dΦ1 E1 dS1 0 dΦ2 E2 dS2 0
dS1
q
+
dΦ1 dΦ2 0
E2
E1
大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理
E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
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5
Φe Φei 0 i 1
y
P N
S1
S2
nE
n
o
R
x
zM
nQ
第九章 静电场
7
物理学
第五版
高斯定理
电通量 高斯定理
点电荷位于球面中心
E
4
q πε0 R2
Φe S E dS
q
4 πε0R2
dS
S
q
ε0
dS
+ R
第九章 静电场
8
物理学
第五版
电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面内
q
dΦe
4πε0r q
dS1 E1
第九章 静电场
10
物理学
第五版
电通量 高斯定理
点电荷系的电场
E dS S
S E1 dS
S E2 dS
S En dS
Φe1 Φe2 Φen
Φ out ei
0
E
E
S
Φin ei
dS
1
ε0 1
ε0
qiin
n
i 1
qiin
dS
s qi
dS dS n dΦe E cosθdS E dS
Φe dΦe s E dS
n
θ
E
dS
S
第九章 静电场
4
物理学
第五版
电通量 高斯定理
非均匀电场，闭合曲面S .
Φe s E dS s E cos θdS
“穿出”θ 90 “穿进”θ 90
E
θ
n
S
n
θ
E
第九章 静电场
5
物理学
物理学
第五版
电通量 高斯定理
电场线
1 规定 (1) 切线方向为电场强度方向
(2) 疏密表示电场强度的大小 2 特点
典型电场 的电场线 分布图形
(1) 始于正电荷，止于负电荷，非闭合线. (2) 任何两条电场线不相交.
第九章 静电场
1
物理学
第五版
电通量 高斯定理
电通量
1 定义 在电场中穿过任意曲面S的电场线条数
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
第九章 静电场
13
物理学
第五版
电通量 高斯定理
高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为： 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i 1
第九章 静电场
14
物理学
第五版
电通量 高斯定理
σ
σ
ε0
0
ε0
σ
0
ε0
0
第九章 静电场
21
物理学
第五版
电通量 高斯定理
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
第九章 静电场
22
物理学
第五版
电通量 高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
0 3
0
r
++
R ++
E r
3 0
OR
第九章 静电场
17
物理学
第五版
电通量 高斯定理
例 设有一无限长均匀带电直线，单位长
度上的电荷，即电荷线密度为，求距
直线为r 处的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
E
dS
E
2πrh
λh
S
ε0
E λ
2πε0r
+
E
+
h r +o +
y
x+
第九章 静电场
18
物理学
2 dS cos dS＇
θ
4πε0
r2
dS＇ r 2 dΩ
Φe
q 4πε0
dΩ q ε0
dS
en
+
dS
dΩ
第九章 静电场
9
物理学
第五版
电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面外
dΦ1 E1 dS1 0
dΦ2 E2 dS2 0
dΦ1 dΦ2 0
SE dS 0
q
E2
+
dS2
第五版
电通量 高斯定理
例 设有一无限大均匀带电平面，电荷面
密度为 ，求距平面为r处某点的电场强度.
解 对称性分析与
高斯面的选取
2ES σS
E
ε0
E
E σ
S
2ε0
第九章 静电场
19
物理学
第五版
电通量 高斯定理
σ E
2ε0
σ
σ
E
EE
E
第九章 静电场
20
物理学
第五版
电通量 高斯定理
无限大带电平面的电场叠加问题
第五版
电通量 高斯定理
例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电通量.
解
5
Φe Φei i 1
Φe1 Φe2yP来自NS1no
zM
S2
nE
R
x
nQ
第九章 静电场
6
物理学
第五版
电通量 高斯定理
Φe1 s1 E dS ES1 cos π ES1 Φe2 s2 E dS ES2 cos θ ES1
-------------
第九章 静电场
27
+
-
第九章 静电场
23
物理学
第五版
电通量 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第九章 静电场
24
物理学
第五版
电通量 高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第九章 静电场
25
物理学
第五版
电通量 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
第九章 静电场
26
物理学
第五版
电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电场线 +++++++++++++
例 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
解 对称性分析：球对称
高斯面：闭合球面
(1) 0 r R
SE dS 0
E 0
S
O
Rr
Q
第九章 静电场
15
物理学
第五版
电通量 高斯定理
(2) r R
E
dS
E
4r 2
Q
S2
ε0
E
Q 4πε0r 2
QE
4π 0 R 2
第九章 静电场
11
物理学
第五版
电通量 高斯定理
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面
的电通量，等于该曲面所包围的所有电荷
的代数和除以 ε0 .
Φe
E dS
1
S
ε0
n
qin i
i1
第九章 静电场
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物理学
第五版
电通量 高斯定理
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度为所有电荷在高斯面上的总 电场强度. (3) 电通量：穿出为正，穿进为负. (4) 仅高斯面内电荷对电通量有贡献.
Q 4πε0r 2
o Rr
r
OQ
s
第九章 静电场
16
物理学
电通量 高斯定理
第五版
例 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密
度为）求:均匀带电球体的电场强度分布
解:球外 (r R)
E
1
40
q r2
r0
3 0
R3 r2
r 0
球内 ( r
SE dS E
R)
4r2
r'
E
1 4 r3 1 q'
2 表述
E匀 垂强直电平场面，时.
SS
En E
Φe ES
第九章 静电场
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电通量 高斯定理
电通量
1 定义 在电场中穿过任意曲面S的电场线条数
2 表述
匀强电场 ，
E与平面夹角 θ.
Φe ES cos θ ES
S
n
Sθ
E
第九章 静电场
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第五版
电通量 高斯定理
非匀强电场，曲面S .