电通量、高斯定理答案
一、高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量
一、 高斯定理文字叙述：在任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．数学表达式为Φe ⎰∑===ni iq dS D 1cos θ （9-18）不严格的证明：第一种情况：点电荷的电场,闭合曲面（称高斯面）是以点电荷为球心、以r 为半径的球面：球面上各点电位移的大小相等，方向均向外（设），与面积元d S 的方向相同，所以Φe⎰⎰==⋅==q r r q dS r q dS D 222440cos 4cos πππθ若点电荷为负电荷，即q=-∣q ∣，则⎰⎰=-=-=⋅==Φqq r r q dS r q dS D e 22244cos 4cos ππππθ与r 无关，即与球面的半径无关.第二种情况：点电荷的电场,任意闭合曲面：S ’为任意闭合曲面，S 为球面，S 和S ’包围同一点电荷Q ，S ’与S 之间并无其他自由电荷．由于电位移线的连续性，可以看出通过闭合曲面S ’的电位移线的数目和通过球面S 的电位移线的数目是一样的．因此通过闭合曲面S ’的电通量Φe 的量值也等于q ．第三种情况：点电荷在任意闭合曲面外：点电荷q 在闭合曲面S ”的外面时，可以看到进入该曲面的电位移线的数目与穿出该曲面的电位移线的数目也是相等的．因为我们规定穿出为正、进入为负，因此通过该闭合曲面的总电通量为零．第四种情况：点电荷系的电场：设空间有（n+m ）个点电荷时，其中n 个在闭合曲面内，m 个在闭合曲面外.根据电场叠加原理：m n n n D D D D D +++++++=11，可得：∑⎰⎰⎰⎰⎰=++=++++=∙++∙+∙++∙=∙=Φni in m n n n e q q q S d D S d D S d D S d D S d D 11110式中m 为空间自由点电荷的总数，而n 为闭合曲面内包围的自由点电荷的数目，（m-n ）为闭合曲面外的自由点电荷的数目，因此可得通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的自由电荷的代数和．可以证明 高斯定理是普遍成立的. 注：1.物理意义：说明静电场是有源场（静电场的特性之一），静电场的源就是正电荷和负电荷（负源）.2.要注意区分通过闭合曲面的电通量（D 的通量）与闭合曲面上每一点的D ：(1) 通过任一闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的自由电荷有关，但闭合曲面上每一点的D 却与空间（闭合曲面内、外）的所有电荷有关.（2）0=∙⎰S d D，不一定曲面上每一点的D 都是零；也不一定曲面内没有自由电荷，只不过曲面内自由电荷的代数和为零（即净电荷为零）罢了.3.高斯定理是普遍成立的，但用来求电场时只能用于具有某些对称性的电场.四、高斯定理的应用 1.均匀带电球体的电场设有一电介质球体，半径为R ，均匀带电，电荷体密度为ρ，总电荷为q ，如图9-16.现在计算球内和球外任意点p 1和p 2处的电位移．设球体的介电系数为ε1，球外电介质的介电系数为ε2.先研究球内p 1处的情况．通过p 1点作半径为的同心球面S 1(r 1<R)，面积等于4πr 12．由于对称关系，球面S 1上各点的电位移应与球面相垂直且有相同的量值，假定为D 1，相应地通过球面S 1的电通量为4πr 12 D 1.已知球面S 1所包围的电荷为（4/3）πr 31ρ.所以由高斯定理，得3311211134344cos R q r D r dS D dS D e πππθ====Φ⎰⎰相应地，因D 1=ε1E 1，得1311114r R qD E πεε==(9-19a) 由此可见，对均匀带电球体来说．球内任何点的场强与该点到球心的距离成正比，在球心处场强为零.再来研究球外p 2点处的情况．通过p 2点作半径为r 2的同心球面S 2(r 2> R)，面积为4πr 22．同理，设球面S 2上电位移的量值为D 2．相应地，通过球面S 2的电通量为4πr 22 D 2．已知球面S 2所包的电荷为q ，所以按高斯定理得4πr 22 D 2 =q所以2224r qD π=相应地，因D 2=ε2E 2，得2222224r qD E πεε==(9-19b) 上式与点电荷的场强公式完全相同，可见均匀带电球体在球外一点产生的场强，相当于全部电荷集中在球心上时点电荷产生的场强 .场强与距离r 的关系，以及电位移与距离r 的关系，分别如图9-17所示（有何区别？为什么？）2．均匀带电球面的电场设有一个球面，半径为R ，表面均匀带电，电荷面密度为σ，总电量为q ，即q=4πR 2σ．显然，可用与带电球体相同的方法，求得球内任一点的电位移和场强均为零；即D=0，E=0 (均匀带电球面内) (9-20a)而球外任一点的电位移和场强则与带电球体的球外电场相同，即在球外任一点(与球心相距为r)处，224rq D π=2224r qE πε=式中ε2.是球外电介质的介电系数．均匀带电球面内外的场强与r 的关系如图9-18所示. 3．无限大均匀带电平面的电场设有无限大均匀带电平面，平面的电荷面密度为σ．在靠近平面中部而距离平面不远的区域内，由于对称关系，可以确定电场是均匀的，而且场强垂直于平面(田9-19)．局限在上述区域内的电场，称为无限大均匀带电平面的电场．为了计算这个电场的场强，可通过平面上一小面积ΔS ，作一封闭柱面S ，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于ΔS ，按高斯定理，通过整个S 面的电通量应等于S 面所包围的自由电荷的代数和，即Φe =∮Dcos θdS=∫底面1Dcos θdS+∫底面2Dcos θdS+∫侧面Dcos θdS = D （ΔS ） + D （ΔS ）+0=∑q 这里，通过柱体侧面的电通量等于零（因为侧面上各处θ=π /2）.通过两底面的电位移线都与底面正交，而且都是向外的(设σ为正值)，所以θ=0，cos θ=1．设D 为两底面上的电位移，可知通过两底面的电通量等于D(ΔS) + D （ΔS)．已知s 面所包围的总电荷为σ(ΔS)，所以 D (ΔS) + D (ΔS) =σ(ΔS)从而求得 D=σ/2或02εσ=E （真空中）εσ2=E （无限大均匀电介质中） 可见在无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与离开平面的距离无关．(上述结果与例题9—2中用积分计算所得的结果一致，但这里的计算简单得多．)4．无限长均匀带电圆柱面的电场设有无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为σ(设σ为正)．由于电荷分布的轴对称性，可以确定，在靠近圆柱面中部离开圆柱面轴线的距离比圆柱面的长度小得多的地方（在这些地方才可以将圆柱面看成是无限长的），带电圆柱面产生的电场也具有轴对称性，即离开圆柱面轴线等距离各点的场强大小相等，方向都垂直于圆柱面而向外，如图9—20所示．局限于上述区域的电场称为无限长均匀带电圆柱面的电场．为了求无限长圆柱面外任一点p 处的场强，可过p 点作一封闭圆柱面，柱面高为l ，底面半径为r ，轴线与无限长圆柱面的轴线相重合．由于封闭圆柱面的侧面上各点电位移D 的大小相等，方向处处与侧面正交，所以通过该侧面的电通量是2πrlD ；通过两底面的电通量为零．而圆柱面所包围的电荷为σ2πRl,所以按高斯定理得2πrlD=σ2πR l 由此算出 D=R σ/r 相应地，由D=εE ，得 E=R σ/r ε式中ε是圆柱面外电介质的介电系数．如果令λ=2πR σ表示圆柱面每单位长度的电量，则上两式可化为D=λ/2πr E=λ/2πεr由此可见，无限长均匀带电圆柱面在柱外各点产生的场强，相当于其电荷全部集中在其轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强 (参看例题9—1)．根据同样的讨论，可知带电圆柱面内部的场强等于零．各点的场强随各该点到带电圆柱面轴线的距离r 的变化关系．如图9—20所示．小结：从上面几个例子中可以看出，在有些情况下，利用高斯定理计算带电系统的场强是很方便的．问题的关键在于找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，显然，当带电系统均匀带电并具有如上各例的对称性时，就能做到这一点．用高斯定理求场强的步骤： 1.选高斯面（闭合曲面）：找到合适的闭合面使∮Dcos θdS 易于计算，例如使电场强度都垂直于这个闭合面的全部或一部分，而且大小处处相等（这时D 可以提出积分号外）；或者使一部分场强与该面平行，因而通过这部分面积的电通量为零．1. 求Φe ⎰=dS D θcos2. 求Σq i 内3. 求D 的大小和方向4. 求E =D /ε（记忆：D =εE ）。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量 高斯定理
qn q1 q2 0 0 0
e E ds
s 0
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E ds
s
0
E ds 0
q ds
S
n
S
s
q
2
40 r
q
2
ds
q
0
4 0 r
ds
q
2. q位于任意曲面
S 内
0
s s
3. q位于任意闭合曲面
4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
S
q
( E1 E2 ...... En ) ds
解： e E ds E ds E ds E ds
E cos180 ds E cos 90 ds E cos 0 ds
0 0 0 s1 s2 s3
ER 0 R E
2 2
=0
n
0
1 e E ds
s
0
qi
四．高斯定理的应用 当场源分布具有高度对称性时，求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 ３.利用高斯定理求解
qi
例1．球面 求均匀带电球面的场强分布 已知R、 q>0 解: 对称性分析 E 具有球对称 作高斯面 通量 r R
电量 q i
电量
qi q
q E 4r
2
高斯定理
大学物理---高斯定理
大学物理---高斯定理您的班级： [填空题] *_________________________________您的姓名： [填空题] *_________________________________1. 电通量就是通过某一个曲面的电荷的电量 [判断题] *对错(正确答案)2. 电通量是通过某一个曲面的电场线的根数 [判断题] *对(正确答案)错3. 电通量只能取正值 [判断题] *对错(正确答案)4. 面积只有大小，没有方向，只能当做标量来处理 [判断题] *对错(正确答案)5. 电场线的根数只能为整数 [判断题] *对错(正确答案)6. 当人为的定义一个曲面的外法向方向为面积的方向后，面积也可以当成为矢量[判断题] *对(正确答案)错7. 电场强度代表了电场线的数密度 [判断题] *对(正确答案)错8. 计算电通量时，可以用面积与电场强度的乘积来算 [判断题] *对错(正确答案)9. 电场线处处垂直于某一曲面，且在该曲面上场强大小处处相等时，电通量的大小等于曲面上电场强度的大小乘以曲面的面积。
[判断题] *对(正确答案)错10. 如果某一曲面附近的电场线平行于该曲面（场强方向垂直于曲面法向），则通过该曲面的电通量为零 [单选题] *True(正确答案)False11. 电场强度对某一曲面的面积分即为通过该曲面的电通量 [判断题] *对(正确答案)错12. 电通量可正可负，正负取决于电场的方向与曲面的方向（外法向方向） [判断题] *对(正确答案)错13. 电场线穿进某一曲面时，电通量为正 [判断题] *对错(正确答案)14. 电场线穿出某一曲线时，电通量为正 [判断题] *对(正确答案)错15. 一封闭面外部的电荷对通过该封闭面的电通量也有影响 [判断题] *对错(正确答案)16. 封闭面外部的电荷对封闭面上的电场有贡献 [判断题] *对(正确答案)错17. 计算通过一个封闭面的电通量时，可以只考虑其内部的电荷 [判断题] *对(正确答案)错18. 真空中通过某一封闭面的电通量等于该封闭面内所围的净电荷除以真空介电常数 [判断题] *对(正确答案)错19. 有两个形状不同的封闭面，但它们都围住了同一个电荷。
第11章(高斯定理及安培环路定理)习题答案
ò ×
S
ò
S
= 0． ”这个推理正确吗? [ B 不一定要等于零 ] 答：不正确， B d S 各自有不同的方向，B 不一定要等于零 116 如图，在一圆形电流 I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路 L，则由安培 环路定理可知 (A) (B) I L O 思考题 116 图
q 1 1 ( - ) ] 4 pe 0 r R
解；
U 1 =
q 4 peo r
+
Q 4 peo R
U 2 =
q + Q 4 peo R
U1-U2 =
q 1 1 ( - ) 4 pe 0 r R
117 [
已 知 某 静 电 场 的 电 势 分 布 为 U ＝ 8x ＋ 12x2 y － 20y2 (SI) ， 求 场 强 分 布 E .
B r r U C = U C - U B = ò E × d l = C
ò 4 pe r
o
2
115 两块面积均为 S 的金属平板 A 和 B 彼此平行放置，板间距离为 d（d 远小于板的 线度） ， 设 A 板带有电荷 q1， B 板带有电荷 q2， 求 AB 两板间的电势差 UAB. [
（1）dq =
q dl 2 L
U = ò dU = ò
dq q q x + L = ò dl = ln 4pe o ( x - l ) 4pe o 2 L ( x - l ) 8pL e o x - L
（2）E= -
¶u q 1 1 1 q r = ( ) = i 2 ¶x 8p L e o x - L x + L 4 pe 0 x 2 - L
3 电通量 高斯定理
∫∫E ⋅ dS ∫ +
s( 上底） 上底）
∫∫E ⋅ dS
s( 下底） 下底）
h
x
r
+ + +
=
∫∫E⋅ dS
s( 柱面） 柱面）
E ⋅ dS = ∫∫
S
EdS ∫∫
s ( 柱面） 柱面）
λh = ε0
z
+ +
第八章静电场
λh 2 π rhE = ε0
E
o
en
y
λ E= 2 π ε 0r
o
z
x
解
Φe = Φe前 + Φe后
y
N
第八章静电场
+ Φe左 + Φe右 + Φe下
P
Φe前 = Φe后 = Φe下 en
o
M
θ
en
en
=0
z
Q
E R x
Φe左 = ES左 cos π = − ES左
Φe右 = ES右 cosθ = ES左
Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右 + Φe下 = 0
二
第八章静电场
E 均匀电场 ， 垂直平面
Φe = ES
S
E
E 均匀电场 ， 与平面夹角 θ Φe = ES cos θ
Φe = E ⋅ S ( S = S n)
θ
S
θ
en
E
非均匀电场电通量
dS = dS ⋅ n
第八章静电场
E
dS
θ
dΦe = E ⋅ dS
Φe =
en
104电通量高斯定理
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
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习题十一 电通量、高斯定理
一、选择题
1、 一电场强度为→
E 的均匀电场，→
E 的方向与x
则通过图中一半径为R 的半球面的电通量为（D ）
A 、πR 2E
B 、
2
1
πR 2E C 、2πR 2E D 、0 2、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化（C ） A 、将另一点电荷放在高斯面外 B 、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处 C 、将另一点电荷放进高斯面内 D 、改变高斯面半径大小
3、真空中两平行带电平板相距为d ，面积为S ，且有d 2<<S ,带电量分别为+q 和-q ，则两极板之间的作用力大小为（D ） A 、2
024d
q F πε=
B 、s q F 02
ε=
C 、s q F 02
2ε=
D 、s
q F 02
2ε=
4、如果一点电荷q 位于立方体一个顶点上，则通过不与该顶点相连的任一立方体侧面的电通量为（ D ） A 、0
B 、
εq
C 、
6εq D 、
24εq 5、下列说法正确的是（A ）
A 、若高斯面上→
E 处处为0，则该面内必无电荷 B 、若高斯面内无电荷，则高斯面上的→
E 必定处处为0 C 、若高斯面上→
E 处处不为0，则高斯面内必有净电荷 D 、若高斯面内有电荷，则高斯面上→
E 处处不为0
二、填空题
1、一均匀带有电量为Q ，长为l 的直线，以直线中心为球心，R （R >l ）为半径作球面，则通过该
球面的电通量为1
0-εQ ，在带电直线的延长线上与球面的交点处的场强大小为
1
0224-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+l R l R Q πε。
2、由一半径为R 、均匀带有电量Q 的球面，产生的电场空间，在距离球心r 处的电场强度为：当
r<R 时，E= 0 ，当r>R 时，E=
2
04R Q πε。
3、由一半径为R 的无限长均匀带电圆筒面产生的电场空间，与圆筒中心轴线相距为r 处的电场强
度大小为：当r<R 时，E= 0 当r>R 时，E=
r
02πελ
4、由一半径为R ，电荷体密度为ρ的无限长均匀带电圆柱体产生的电场空间，当r<R 时，E=
2ερr ，当r>R 时，E=r
R 02
2ερ。
5、一无限大均匀带电面密度为σ的平面上有一半径为R 的圆面型空缺，则在空缺的中垂线上与
圆面相距为d 处的电场强度大小为
2
2
02d
R d
+εσ。
三、计算题
1、一对无限长的同轴直圆筒，半径分别是R 1和R 2（R 1<R 2）,筒面上都均匀带电，沿轴线单位长
度的电量分别为λ1和λ2，试求其空间的电场强度分布。
解：取一半径为r ，长度为L 的同轴圆筒面为高斯面，应用高斯定理，
0022επεπrL q
E q rLE s d E ∑⎰⎰∑==
=⋅， ()0
2
12
120
1
1211220
0επλλλλεπλλr E L q r R r E L q R r R E q R r +=+=<=
=<<==<∑∑∑，，当，，当，，当 2、内外半径分别为R 1、R 2的均匀带电厚球壳，电荷体密度为ρ，求空间各处的电场强度。
解：取一半径为r 的同心球面为高斯面，应用高斯定理，
020
2
44επεπr q
E q E r s d E ∑⎰⎰
∑===⋅， ()
()
()
()
2313
23
13220
2
3133
132113343340
0ε
ρπρερπρr R R E R R q r R r R r E R r q R r R E q R r -=-=<-=-=<<==<∑∑∑，，当，，当，，当 3、厚度为d 的无限大均匀带电平板，①若电荷体密度为ρ，求空间各处的电场强度；②若电荷
体密度与厚度关系为ρ=kx ，k 为常数，x 为厚度位置，再求空间各处的电场强度。
解：由于无限大均匀带电平面周围空间的电场为()1
02-=εσE ，
（1）()()()1
01
0220,20---=<<=><ερερd x E d x d E d x x 时，当时，或当
（2）()1
02
40-=><εkd E d x x 时，或当
(
)()
1
2
2420--=<<εd x k E d x 时，
当
x。