人教版 2-6.高考总复习 数学ppt
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人教版 2-3.高考总复习 数学ppt
解析：∵f(x)为奇函数且f(3)－f(2)＝1，
∴f(－2)－f(－3)＝f(3)－f(2)＝1. 答案：1
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
4．下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称； ④ 既 是 奇 函 数 ， 又 是 偶 函 数 的 函 数 一 定 是 f(x) ＝ 0(x∈R)． 其中正确的命题序号为________．
(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数．
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
1 (2)解：当 0≤x≤1 时，f(x)＝ x， 2 设－1≤x≤0，则 0≤－x≤1， 1 1 ∴f(－x)＝2(－x)＝－2x. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 1 1 ∴－f(x)＝－2x，即 f(x)＝2x. 1 故 f(x)＝2x(－1≤x≤1)．
1－x2>0， (2)由 2 |x －2|－2≠0，
得定义域为(－1,0)∪(0,1)．
lg(1－x2) 又∵f(－x)＝ 2 ＝f(x)， |x －2|－2 ∴f(x)为偶函数．
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
【例2】
已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)
数学
高考总复习人教A版 · (理)
思路分析：(1)只需证明 f(x＋T)＝f(x)，则 f(x)即是以 T 为 周期的周期函数；(2)由第(1)问可知只需求一个周期中 f(x)＝ 1 －2的 x 的个数便可知在[0,2009]上的 x 的个数．
高中数学总复习 PPT课件 图文
奇偶性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称 f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数
复合函数的单调性奇偶性： 单调性同性增异性减，奇偶性同性偶异性奇
高
指数函数：
中
y a x （ a 0, a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）
数
⑴①当 a 1 ，指数函数： y a x 在定义域上为增函数
-
高 中 数 学 第 一 章 集 合
集合： 是某些制指定对象的全体，只能做描述性说明 元素： 集合的每一个对象 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 集合的分类： 有限集、无限集 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法
高 中 数 学 第 一 章
集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集 ②空集是任何集合的子集 ③空集是任何非空集合的真子集 ③ 空集的补集是全集
三
平行公理：
章
平行于同一条直线的两条直线互相平行
-
推论：
立
体
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成锐角（或直角）相等
几
何
高
直线与平面平行判定定理：
中
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行
数
直线和平面平行性质定理：
学
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
学
第
二
章
-
函 数
-
高 中 数 学 第 二 章 函 数
y=x-1
y=x-2
y=x-3
y=x-1/2
图像
定义域 x≠0 （0，+∞） x≠0
值域
y≠0 （0，+∞） y≠0
复合函数的单调性奇偶性： 单调性同性增异性减，奇偶性同性偶异性奇
高
指数函数：
中
y a x （ a 0, a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）
数
⑴①当 a 1 ，指数函数： y a x 在定义域上为增函数
-
高 中 数 学 第 一 章 集 合
集合： 是某些制指定对象的全体，只能做描述性说明 元素： 集合的每一个对象 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 集合的分类： 有限集、无限集 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法
高 中 数 学 第 一 章
集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集 ②空集是任何集合的子集 ③空集是任何非空集合的真子集 ③ 空集的补集是全集
三
平行公理：
章
平行于同一条直线的两条直线互相平行
-
推论：
立
体
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成锐角（或直角）相等
几
何
高
直线与平面平行判定定理：
中
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行
数
直线和平面平行性质定理：
学
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
学
第
二
章
-
函 数
-
高 中 数 学 第 二 章 函 数
y=x-1
y=x-2
y=x-3
y=x-1/2
图像
定义域 x≠0 （0，+∞） x≠0
值域
y≠0 （0，+∞） y≠0
高考数学知识点总结PPT
掌握平面与平面平行、垂直判定定理，理解其证 明方法和应用。
空间中角距离计算方法
空间中异面直线所成角
01
理解异面直线所成角概念，掌握其计算方法。
直线与平面所成角
02
理解直线与平面所成角概念，掌握其计算方法。
二面角及其平面角
03
理解二面角及其平面角概念，掌握其计算方法。
平面直角坐标系下直线方程
直线方程一般式
解三角形应用举例
测量问题
能运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题。
最值问题
三角函数的图像和性质
理解正弦函数、余弦函数、正切函数 的图像和性质，并能运用这些性质解 决一些问题。
能运用三角函数性质及均值不等式解 决一些与最值有关的问题。
03
数列与数学归纳法
数列基本概念及分类
指数函数与对数函数
指数函数
理解指数函数的概念，掌握其图像和性质，并能进行简单应用。
对数函数
理解对数函数的定义，掌握其图像和性质，包括与指数函数的互为反函数关系 。
导数概念及运算规则
导数定义
理解导数的概念，掌握导数的几何意义和物理意义。
导数运算规则
掌握基本初等函数的导数公式和求导法则，包括和差、积、商的求导法则及复合 函数的求导法则。
一次函数和反比例函数
一次函数
理解一次函数的概念，掌握其图像和性质，并能解决相关问 题。
反比例函数
理解反比例函数的概念，掌握其图像和性质，并能进行简单 应用。
二次函数及图像变换
二次函数
掌握二次函数的图像和性质，包括顶 点、对称轴、最值等，并能解决相关 问题。
图像变换
理解平移、伸缩、对称等图像变换对 二次函数图像的影响。
空间中角距离计算方法
空间中异面直线所成角
01
理解异面直线所成角概念，掌握其计算方法。
直线与平面所成角
02
理解直线与平面所成角概念，掌握其计算方法。
二面角及其平面角
03
理解二面角及其平面角概念，掌握其计算方法。
平面直角坐标系下直线方程
直线方程一般式
解三角形应用举例
测量问题
能运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题。
最值问题
三角函数的图像和性质
理解正弦函数、余弦函数、正切函数 的图像和性质，并能运用这些性质解 决一些问题。
能运用三角函数性质及均值不等式解 决一些与最值有关的问题。
03
数列与数学归纳法
数列基本概念及分类
指数函数与对数函数
指数函数
理解指数函数的概念，掌握其图像和性质，并能进行简单应用。
对数函数
理解对数函数的定义，掌握其图像和性质，包括与指数函数的互为反函数关系 。
导数概念及运算规则
导数定义
理解导数的概念，掌握导数的几何意义和物理意义。
导数运算规则
掌握基本初等函数的导数公式和求导法则，包括和差、积、商的求导法则及复合 函数的求导法则。
一次函数和反比例函数
一次函数
理解一次函数的概念，掌握其图像和性质，并能解决相关问 题。
反比例函数
理解反比例函数的概念，掌握其图像和性质，并能进行简单 应用。
二次函数及图像变换
二次函数
掌握二次函数的图像和性质，包括顶 点、对称轴、最值等，并能解决相关 问题。
图像变换
理解平移、伸缩、对称等图像变换对 二次函数图像的影响。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
(1)已知双曲线 C: 2 − =1(a>0)的离心率为 2,左、右焦点分别为 F1,F2,点 A
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
人教版高中数学必修二全册PPT课件
【提升总结】
圆柱、圆锥可以看作是由矩形或三角形绕其一边所在直线旋转而成，圆台是否也可看成是某图形绕轴旋转而成？
探究点3 圆台的结构特征
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．如图：
轴
下底面
上底面
侧面
母线
表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台O′O.
O′
B
【变式练习】
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
轴
底面
底面
侧面
母线
表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O′O.
A
B
探究点2 圆锥的结构特征
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图：
练习
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ）
A . 正视图反映物体的长和宽
B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽
D . 正视图反映物体的高和宽
C
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那么这个几何体是 ___________
球体
5、正棱锥的直观图的画法
研一研·问题探究、课堂更高效
画板演示
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
练一练·当堂检测、目标达成落实处
A
练一练·当堂检测、目标达成落实处
圆柱、圆锥可以看作是由矩形或三角形绕其一边所在直线旋转而成，圆台是否也可看成是某图形绕轴旋转而成？
探究点3 圆台的结构特征
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．如图：
轴
下底面
上底面
侧面
母线
表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台O′O.
O′
B
【变式练习】
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
轴
底面
底面
侧面
母线
表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱O′O.
A
B
探究点2 圆锥的结构特征
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.如图：
练习
练习
1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ）
A . 正视图反映物体的长和宽
B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽
D . 正视图反映物体的高和宽
C
2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那么这个几何体是 ___________
球体
5、正棱锥的直观图的画法
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画板演示
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研一研·问题探究、课堂更高效
练一练·当堂检测、目标达成落实处
A
练一练·当堂检测、目标达成落实处
高考数学知识点总复习pppt课件
• ak＋2＋(a＋1)2k＋1
• ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a
＋1)2
27
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被 a2＋a＋1 整除．
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)(2)可知，对于任意 n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2 ＋a＋1 整除．
＋
1 2k＋1－1
－
1 2k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 1
＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 1
＝
k＋11＋1＋
k＋11＋2＋…
＋k＋11＋k＋
1 k＋1＋k＋1
＝右边，
13
• 所以当n＝k＋1时等式也成立．
• 综合(1)(2)知对一切n∈N* ，等式都成立．
• (2)(n归＝k纳＋1递推)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时 命题成立，推出当__________时命题也成 立．
3
• 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取 第一个值后面的所有正整数都成立．上述证 明方法叫做数学归纳法．
• 质疑探究：数学归纳法两个步骤有什么关系？
• 提示：数学归纳法证明中的两个步骤体现了 递推思想，第一步是递推的基础，第二步是 递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会 导致错误．
第十一章 复数、算法、推理与 证明
第5节 数学归纳法
1
• 1．了解数学归纳法的原理． • 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命
题．
2
• [要点梳理]
• 数学归纳法
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
人教版高中数学必修2第六章《平面向量及其应用》综合复习课件
广泛,即(a+b)2=a2+2a·
b+b2,(a-b)2=a2-2a·
b+b2,上述两公式以及(a+b)·
(a-
b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.
(2)借助零向量.
即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进
行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.
-4 = 1,
所以
-1 = -5,
= 5,
解得
所以 D(5,-4).
= -4.
②因为 a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b= =(4,1)-(2,-2)=(2,3),
所以 ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4).
(3)借助平行向量与垂直向量.
即借助向量的分解,将待求的数量积转化为有垂直关系或平行关系的向量
数量积,借助a⊥b,则a·
b=0等解决问题.
(4)建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解数量积.
变式训练 2 在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 是 BC
的中点,则 · 等于(
b|=|a||b|.
(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.
2.证明平面向量垂直问题的常用方法
a⊥b⇔a·
b=0⇔x1x2+y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
变式训练 3 将本例(2)②中的“ ”改为“ ”,“平行”改为“垂直”,求实数 k 的
1
由| |=4 | |,且 E 在 DC 的延长线上,
b+b2,(a-b)2=a2-2a·
b+b2,上述两公式以及(a+b)·
(a-
b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.
(2)借助零向量.
即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进
行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.
-4 = 1,
所以
-1 = -5,
= 5,
解得
所以 D(5,-4).
= -4.
②因为 a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b= =(4,1)-(2,-2)=(2,3),
所以 ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4).
(3)借助平行向量与垂直向量.
即借助向量的分解,将待求的数量积转化为有垂直关系或平行关系的向量
数量积,借助a⊥b,则a·
b=0等解决问题.
(4)建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解数量积.
变式训练 2 在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 是 BC
的中点,则 · 等于(
b|=|a||b|.
(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.
2.证明平面向量垂直问题的常用方法
a⊥b⇔a·
b=0⇔x1x2+y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
变式训练 3 将本例(2)②中的“ ”改为“ ”,“平行”改为“垂直”,求实数 k 的
1
由| |=4 | |,且 E 在 DC 的延长线上,
新高考一轮复习人教A版2.6 函数的图象课件(50张)
图3
图4
(4)y＝xx22－ ＋22xx－ －11， ，xx＜≥00，. 其图象如图 4.
【点拨】 画函数图象的一般方法：①直接法：根据函数的特征描出图象的关键点直接 作出. ②图象变换法：经过平移、翻折、对称、伸缩等得到，此时应注意平移变换与伸 缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
作出下列函数的图象： (1)y＝|x2－4x＋3|； (2)y＝2xx＋＋11； (3)y＝10|lgx|.
对于 C，f(x)＝cosx＋|sinx|，有 fπ2＝1，不符合题意；
对于 D，f(x)＝cos2x－|cosx|，其最小正周期为 π，不符合题意. 故选 A.
(2021 温州三模)函数 f(x)＝axe2x＋＋bex－＋x c的图象如图所示，则
()
A. a＜0，b＝0，c＜0 C. a＞0，b＝0，c＞0
考点一 作图
作出下列函数的图象：
(1)y＝12|x＋1|＋1；
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； (4)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)先作出 y＝12x的图象，保留 y＝12x图象中 x≥0 的部分，再作出 y＝12x的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象，再向左、上平移一个单位长度可得，如图 1
第二章 函数
函数的图象
1. 掌握基本初等函数图象的画法，掌握函数图象平移、对称、伸缩、翻折变换的规则. 2. 会利用函数图象进一步分析研究函数的性质，解决相关问题. 3. 能灵活地以形助数，使抽象问题直观化、生动化，并能以数辅形，使直观图形数量化、 精确化，进一步体会数形结合的思想.
【教材梳理】
1. 利用描点法作图的步骤 (1)确定函数定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点并作出函数图象.
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答案：B
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
幂函数是指形如 y＝xα(α∈R)的函数，它的形式非常严格， 必须完全具备这种形式的函数才是幂函数，有时候，如果函数 以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂 函数的定义进行判断.
第二模块 函数、导数及其应用
数学
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
梳理知识
1．幂函数的定义 一般地，形如
y＝xα(α∈R)
的函数叫做幂函
数，其中x是自变量，α是常数．对于幂函数，一般只讨论
α＝1,2,3，，－1时的情形．
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
y＝x2是幂函数． y＝2x不是幂函数，是指数函数． 二者本质的区别在于自变量的位置不同，幂函数的
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
解：∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称， ∴m2－2m－3 是偶数， 而 22－2×2－3＝－3 为奇数，12－2×1－3＝－4 为偶数， ∴m＝1.
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
3 解得 1≤a< . 2 故 m 的值为 1， 满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范 3 围为[1， )． 2
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
变式迁移 4 已知幂函数 f(x)＝ 单调性；
(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的 (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条 件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
第二模块 函数、导数及其应用
数学
高考总复习人教A版 · (理)
第二模块 函数、导数及其应用
数学
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直面高考
1.了解幂函数的概念．
1 1 考纲要求 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ x，y＝x2的 2 3
图象，了解它们的变化情况. 1.常以 5 种幂函数为载体，考查幂函数的图象及 热点提示 性质； 2．多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他 知识结合在知识交汇点
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变式迁移 3 b，c的大小关系为
设a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则a， ( )
A．a>b>c
C．a<c<b
B．a<b<c
D．b<a<c
解析：∵y＝x0.3 在(0，＋∞)上是增函数且0.2<0.3， ∴0.20.3<0.30.3， 又∵y＝0.3x在R上是减函数且0.3>0.2， ∴0.30.3<0.30.2. 综上，知0.20.3<0.30.3<0.30.2，即a<b<c.
y＝x3
R
y＝x
y＝x－1
定义域 值域
{x|x≥0} {x|x≠0}
R
奇
{y|y≥0}
偶
(－∞，0)减 (0，＋∞)增
R
奇
{y|y≥0}
非奇非偶
y≠0
奇
(－∞，0)和 (0，＋∞)减
奇偶性
单调性
增
增
增
定点
(1,1)
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幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、 性质和图象也不尽相同．但它们的图象均不经过第四象限， 在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定.
有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较．一般地，几种幂值的比较方法如 下： ①幂的底数相同，指数不同型 可以利用指数函数的单调性进行比较． ②幂的底数不同，指数相同型 可以利用幂函数的单调性进行比较． ③幂的底数不同，指数不同型 常运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与 中间值的大小，确定两个幂值的大小.
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探究热点
【例 1】 给出下列函数： 1 ①y＝ 3； x ③y＝x ＋x
4 2;
②y＝3x－2； ④y＝ x2， ( ) 3
其中是幂函数的有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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解析：可以对照幂函数的定义进行判断． 1 3 2 2 －3 在所给出的四个函数中，只有 y＝x3＝x 和 y＝ x ＝x3符 合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．所以选 B.
(3) 由 于 指 数 函 数 y ＝ 0.2x 在 R 上 是 减 函 数 ， 所 以 0.20.5<0.20.3.又由于幂函数y＝x0.3 在(0，＋∞)是递增函数， 所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.
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解析：此类题有一简捷解决办法，在(0,1)内取同一x 值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”，
如右图，∴0<m<1，n<－1.
答案：B
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在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；
解析：代入验证． 答案：－1或2
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4．已知函数f(x)＝x ，且f(2x－1)<f(3x)，则x的取值范 围是________．
2x－1≥0， 解析：由 2x－1< 3x得：3x>0， 2x－1<3x， 1 ∴x≥ . 2
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解析：本题考查幂函数的图象与性质，可以根据 5 个简单 的幂函数的图象与性质来推出一般幂函数的图象与性质．命题 ①显然正确；只有当 α>0 时幂函数的图象才能经过原点(0,0)， 若 α<0， 则幂函数的图象不过原点， 故命题②错误； 函数 y＝x2就 是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在 y＝xα(α∈R)中， 只要 x>0，必有 y>0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故 命题④正确，命题⑤也正确；幂函数 y＝x3 在(－∞，0)上是递增 函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.
1
答案：①④⑤
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【例 3】 比较下列各组值的大小：
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自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.
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2.常用幂函数的图象与性质
函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
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函数
特征
性质
y＝x
R
y＝x2
R
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1 2 1 变式迁移 1 在函数 y＝x2， x ， x，y＝ x， y＝ y＝ y＝x2＋x， y＝ x－1，y＝1 中幂函数的个数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
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1 1 2 1 －1 －2 －1 解析：y＝x2＝x ，y＝x ＝2x ，y＝x ＝x ，y＝ x＝x2，y
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或 0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a. 2 3 解得 a<－1 或3<a<2. 2 3 故 a 的范围为{a|a<－1 或3<a<2}．
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本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综 合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此 类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称 性)求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函 数的图象求出参数 a 的取值范围.
＝ x－1＝(x－1)2，y＝1≠x0(x≠0)． 可见只有 y＝x ，y＝x ，y＝x2是幂函数．
－2 －1
1
1
答案：C
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【例2】
图象，则
右图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的
( )
A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1
答案：B
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