中考数学几何专题——手拉手模型一
中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型
中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型中考专题复习——几何题用旋转结构“手拉手”模型一、教课目的：1.认识并熟习“手拉手模型” ，概括掌握其基本特点．2.借助“手拉手模型” ，利用旋转结构全等解决有关问题．3.贯通融会，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教课重难点：1.发掘和结构“手拉手模型” ，学会用旋转结构全等．2.用旋转结构全等的解题方法最优化选择．三、教课过程：1.复习旧知师：如图，△ ABD，△ BCE为等边三角形，从中你能得出哪些结论生：（ 1）△ABE≌△DBC（ 2）△ABG≌△DBF（ 3）△CFB≌△EGB（ 4）△BFG为等边三角形（ 5）△AGB∽△DGH（ 6）∠DHA＝ 60°（ 7）H，G，F，B四点共圆（8）BH均分∠ AHC 师：我们再来要点研究△ABE与△ DBC，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特点呢生：它们有同一个字母B，即同一个极点B．师：我们也能够把△DBC看作由△ ABE经过如何的图形运动获得生：绕点B顺时针旋转60°获得．2.引入新课师：其实我们能够给这两个全等的三角形给予一个模型，叫“手拉手模型”，谁能够将这个模型的特点再做进一步的简化概括呢生：对应边相等．师：我们能够称之为“等线段”．生：有同一个极点．师：我们能够称之为“共极点”．师：等线段，共极点的两个全等三角形，我们一般能够考虑哪一种图形运动生：旋转．师：“手拉手模型”能够概括为：等线段，共极点，一般用旋转．3.小题热身中考专题复习几何题用旋转构造手拉手模型图图21 31．如图 1，△ BAD 中，∠ BAD ＝ 45°， AB ＝AD ， AE ⊥ BD 于 E ， BC ⊥ AD 于 C ， 则 AF ＝____ BE ．2．如图 2，△ ABC 和△ BED 均为等边三角形， ADE 三点共线，若 BE ＝ 2，CE ＝ 4，则 AE ＝ ______ ．3．如图 3，正方形 ABCD 中，∠ EAF ＝ 45°， BE ＝ 3， DF ＝5，则 EF ＝ _______．师：我们来看第 1，第 2 题，这里面有“手拉手模型”吗请你找出此中的“等线段，共极点” ．生：题 1 中，等线段是， ，共极点是 ，△ 绕点 C 逆时针旋转 90°得△ ．AC BC C ACF BCD题 2 中，等线段是 AB ，BC ，共极点是 B ，△ ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°得△CBE ．师：我们再来看第 3 题，这里有“手拉手模型”吗生：没有．师：那此中有没有“等线段，共极点”呢生：等线段是 AD ， AB ，共极点是 A ．师：我们能否利用旋转来结构“手拉手模型”呢生：将 AE 旋转，绕点 A 逆时针旋转 90°．师：为何是逆时针旋转90°，你是如何思虑的生：我准备结构一个和△ABE 全等的三角形， AB 绕点 A 逆时针旋转 90°即为 AD ，那么将 AE 逆时针旋转 90°可得 AG ，连结 GD ，证明全等．师：说的不错，谁能再来概括一下，借助“手拉手模型”，用旋转结构全等的方法吗生：先找有没有“等线段，共极点” ，再找此中一条“共极点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确立，方向怎么选择生：选择此中一个三角形，将“共极点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的开端“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：特别棒，能够说，你已经掌握了这节课的精华．可是，好多题目中不过隐含了“手拉手模型”的一些条件，节余的需要我们自己去结构，能够如何结构呢步骤 1：先找有没有“等线段，共极点”． 步骤2：选择此中一个三角形，将此中经过“共极点”的线段旋转．步骤 3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗生：连结GD后，要证明G，D， F 三点共线．4.例题精讲例 1：等边△ABC中，AD＝ 4，DC＝ 3，BD＝5，求∠ADC度数．师：这里有没有隐含的“手拉手模型”要结构全等，该如何旋转生：将△ ADC绕点 A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其余做法吗生：我发现 AB＝ AC， A 为“共极点” ，我选择的旋转线段是 AD，因为 AC绕点 A 顺时针旋转60°到 AB，因此△ ADC也要绕点 A 顺时针旋转60°．也可将△ADB绕点 A逆时针旋转60°．【解答】将 AD绕点 A 顺时针旋转60°到AE，连结BE，DE．则△ADE也为等边三角形．易证△AEB≌△ ADC，∴ BE＝ DC＝4，依据勾股定理逆定理，可证∠BED＝90°，则∠ AEB＝∠ ADC＝150°例 2：如图，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形，AOB＝COD＝90．若△ BOC的面积为1，试求以 AD、BC、 OC＋ OD的长度为三边长的三角形的面积．师：因为线段分别，如何经过图形变换，使这些线段能组成一个三角形生：将 OD绕点 O逆时针旋转90°至 OE，即可使 OC， OD共线，再经过证明确立△ BCE即是以 AD、BC、 OC＋ OD的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将OD绕点 O逆时针旋转90°至OE，连结BE．易证△OAD≌△ OBE，AD＝BE，∴△ BCE即是以 AD、BC、OC＋ OD长度为三边长的三角形．又∵OC＝ OE，∴ S△BCE＝2S△BOC＝2．5.自主练习1．如图，在四边形中， ＝4， ＝3，∠ ＝∠＝∠＝ 45°，则的长为 _________ ．ABCD ADCD ABC ACB ADC BD师：请找出隐含的“手拉手模型” ，并写出解决方法．生：“等线段”是和，“共极点”是 A ．方法是将绕点 A 顺时针旋转 90°．CA BAAD2．如图，在△ ABC 中， BC ＝ 2，AB＝2，以 AC 为边，向外做正方形 ACDE ，连结 BE ，则 BE 最大值为 _________．师：请找出隐含的“手拉手模型” ，并写出解决方法．生：“等线段”是 CA 和 EA ，“共极点”是 A ．方法是将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形生：△ ABC ，因为 AC 是逆时针旋转 90°到 AE ，因此 AB 也绕点 A 逆时针旋转 90°．3．如图，点 A 在⊙ B 上， AB ＝ 1， BC ＝ 2，△ ACD 是等边三角形，求△ BCD 面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型” ，并写出解决方法．生：“等线段”是 CA 和 CD ，“共极点”是 C ．方法是将 CA 绕点 C 逆时针旋转 60°．附：自主练习解答1． 如图，将 AD 绕点 A 顺时针旋转 90°至 AE ，易证△ EAC ≌△ DAB ，可得 CE ＝ BD ，又∵∠ EDA ＝ 45°，∴∠ CDE ＝ 90°， CD ＝ 3， DE ＝ 4 2222＋ (4 22，则 Rt △ CDE 中， CE ＝ CD ＋ DE ＝ 3 2) ＝41∴ CE ＝ 41，∴ DB ＝ 412. 如图，将 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°至 AF ，易证△ EAF ≌△ CAB ，可得 EF ＝BC ＝ 2．Rt △ BAF 中，＝ ＝ 2 ，∴ ＝ 2．由三角形三边关系易知，≤ ＋ ，∴ 最小值为 4.AF ABBF BE EF BF BE3. 如图，将 CB 绕点 C 逆时针旋转 60°至 CE ，连结 DE ，过点 E 作 EF ⊥ CB于 F ，过点 D 作 DG ⊥ CB 于 G ．易证△ CBA ≌ CED ， 则 DE ＝1， EF ＝ 3，过E 作 DG 边上的高，可证 DG ＜DE ＋ EF ．当 D ， E ， F 三点共线时， DG ＝ DE ＋ EF ．即高的最大值为1＋ 3， S △ BCDmax1＝ 2×2×（ 1＋ 3）＝ 1＋ 3。
几何辅助线之手拉手模型(初三) (1)
手拉手模型教学目标:1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点2：掌握手拉手模型的应用知识梳理：1、等边三角形条件：△OAB，△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心：2、等腰直角三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心：3、任意等腰三角形条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：；；核心图形：核心条件：；；典型例题：例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥AC例2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHCA例3：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC例4：如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？F例5：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？A例6：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE，连接AE与CD. 问（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？A例7：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中 AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。
初中必会几何模型（口诀突破）：手拉手模型（或旋转型）
初中必会几何模型（口诀突破）：手拉手模型（或旋转型）教材知识：三角形全等知识中，教材对全等三角形的图形变换概括为三种：平移型、翻折型、旋转型。
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.归纳模型：三种变换中以旋转型为考试的热点和难点，这种变换我们往往也称为手拉手模型。
因为这种图形变换都是以等腰三角形的顶点为旋转点，进行适当旋转而成。
然后，连接对应点构造新的三角形，证明三角形全等即可解决。
划重点，上口诀：等腰图形有旋转，辨清共点旋转边。
关注三边旋转角，全等思考边角边。
模型变换：如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=a。
结论：连接BD、CE，则有△BAD≌△CAE。
模型证明：图②图③同理可证。
模型分析：（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。
（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型。
（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。
模型实例：如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H，问：（1)AG与CE是否相等?（2)AG与CE之间的夹角为多少度?问题解答：模型实练：如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形、连接AE、CD，二者交点为H.求证：(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC；(3)∠DHA=60°；(4)△AGB≌△DFB;（5）△EGB≌△CFB（6）连接GF，GF∥AC；（7)连接HB，HB平分∠AHC.。
中考数学相似三角形中的重要模型手拉手模型
相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。
而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型（旋转模型）。
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，∠BAC=∠DAE=α，A DA E kA BA C==； 结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；E CkB D=.2）手拉手相似模型（直角三角形）条件:如图，90A O BC OD ∠=∠=︒，O C O D kO AO B==（即△COD ∽△AOB ）；结论：△AOC ∽△BOD ；B DkA C=，AC ⊥BD ，12A B C DS A B C D=⨯.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点； 结论：△BME ∽△CMF ；B EC F条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形； 结论：△ABD ∽△ACE.例1．（2022·山西·寿阳县九年级期末）问题情境：如图1所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，在图1中将ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM =12BD ，EN =12CE ，得到图3，请解答下列问题：(1)猜想证明：若AB =AC ，请探究下列数量关系：①在图2中，BD 与CE 的数量关系是_________． ②在图3中，猜想∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)拓展应用：其他条件不变，若AB ，按上述操作方法，得到图4，请你继续探究：∠MAN 与∠BAC的数量关系？AM 与AN 的数量关系？直接写出你的猜想．例2．（2022•新乡中考模拟）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．例3．（2022·山东·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．例4．（2022·山东·东营市一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．例5．（2022•长垣市一模）在△AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，连接BE，EC．（1）问题发现：如图①，若α＝60°，则∠EBA＝，AD与EB的数量关系是；（2）类比探究：如图②，当α＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；（3）拓展应用：如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝，请直接写出线段EF的长度．例6.（2022·成都市·九年级课时练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现B ED G=且B ED G⊥．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形A E F G 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到B E D G=吗？若能，请给出证明，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形A E F G 和菱形A B C D ，将菱形A E F G 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当E A G ∠与B A D ∠的大小满足怎样的关系时，B ED G=；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形A E F G 和矩形A B C D ，且23AE AB AGAD==，2A Ea=，2A Bb=（如图3），连接D E ，B G ．试求22D E B G+的值（用a ，b 表示）．课后专项训练1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．√5：2D．2：√32.如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．②③④3、如图，正方形A B C D的边长为8，线段C E绕着点C逆时针方向旋转，且3C E=，连接B E，以B E为边作正方形B E F G，M为A B边的中点，当线段F M的长最小时，ta n E C B∠=______．4．（2022•虹口区期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．5．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，求证：P A＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP D到CP的距离．6．（2022·重庆·九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边A B C中，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等边A M N，连接C N ，则A B C ∠与A C N ∠的数量关系是______． (2)类比探究：如图2，在等边A B C中，点M 是B C 延长线上任意一点（不含端点C ），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸:如图3，在等腰A B C中，B AB C=，点M 是边B C 上任意一点（不含端点B 、C ），连接A M ，以A M 为边作等腰A M N，使顶角A M NA B C∠=∠．连按C N ．试探究A B C ∠与A C N ∠的数量关系，并说明理由．7．（2022·江苏·九年级课时练习）【问题发现】如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为斜边BC 上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连接EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一条直线上时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，过点C 作CA ⊥BD 于A ．将△ACD 绕点A 顺时针旋转，点C 的对应点为点E ．设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当C ，D ，E 在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE 的长度．8．（2022·山东·九年级课时练习）如图，A B C和A D E是有公共顶点直角三角形，90B A C D A E ∠=∠=︒，点P 为射线B D ，C E 的交点．（1）如图1，若A B C和A D E是等腰直角三角形，求证：C PB D⊥；（2）如图2，若30A D EA B C ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，4A B =，3A D =，若把A D E 绕点A 旋转，当90E A C ∠=︒时，请直接写出P B 的长度9．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt △ABC 与Rt △ADE ，∠ADE ＝∠ABC ＝90°，12A BA DB CD E==，连接BD ，CE ．求证：5B DC E=．（2）如图2，四边形ABCD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且12A B A D=，连接BC ，BC 、AC 、CD 之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，并放大2倍，点B 对应点D ．点C 落点为点E ，连接DE ，请你根据以上思路直接写出BC ，AC ，CD 之间的关系． （3）拓展：如图4，矩形ABCD ，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG ，且12A B C EB CE F==，AB＝5，连接BE，BF．求BE的最小值．510．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．观察猜想：的值为，直线CD与AP所成的较小角的度数为°；（1）如图1，当α＝60°时，C DA P的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出C DA P拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2BD的长．11．（2023·湖北·九年级专题练习）在A B C和A D E中，B A B C∠=∠=，点=，D A D E=，且A B C A D EαE在A B C的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且90∠+∠=︒．A C E AB Eα=︒时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的【观察猜想】（1）如图①，当60数量关系为__________．α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，【探究证明】（2）如图②，当90请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若B C=B D E的面积．12．（2023··广西一模）如图，A C B△和D C E均为等腰直角三角形，,．现将D C E绕点C旋转．∠=∠=︒==A CB DC E A C B CD CE C90,（1）如图1，若,,A D E三点共线，A D=B到直线C E的距离；（2）如图2，连接,A EB D，点F为线段B D的中点，连接C F，求证：A E C F⊥；（3）如图3，若点G在线段A B上，且8,==，在A C G内部有一点O，请直接写出A C A G22O C A G++的最小值．13．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】如图①，正方形AEFG 的两边分别在正方形ABCD 的边AB 和AD 上，连接CF ．填空：①线段CF 与DG 的数量关系为 ；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为 ．（2）【拓展探究】如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）【解决问题】如图③，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ＝10，O 为AC 的中点．若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 的运动过程中，线段OE 长的最小值为 （直接写出结果）．14、某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边A B C 中，点P 是边B C 上任意一点，连接A P ，以A P 为边作等边A P Q，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________； （2）变式探究：如图2，在等腰A B C中，A BB C=，点P 是边B C 上任意一点，以A P 为腰作等腰A P Q，使A PP Q=，A P QA B C∠=∠，连接C Q ，判断A B C ∠和A C Q ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形A D B C 中，点P 是边B C 上一点，以A P 为边作正方形A P E F ，Q 是正方形A P E F 的中心，连接C Q ．若正方形A P E F 的边长为5，2C Q =A DBC 的边长．15、如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ； （3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．16、已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出B F的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是A E否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时D F的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）D C。
【中考专题】『手拉手模型』，经典结论大总结
手拉手模型大家都非常熟悉了，从七年级下册全等三角形开始，便一直陪伴我们左右，14-19年这五年的河南中考22题也都一直在考察这个模型，所以对于河南的考生，手拉手模型的重要性不言而喻。
该模型基本结论很多，这里不再一一赘述。
这里主要讲一下手拉手模型的构造（即我们之前更新过的 “ 鸡爪模型 ” ），16年中考22题的第三问曾对构造进行过考察，而今年也有不少名校的模拟考试也都涉及到了这个问题。
今天我们为大家整理归类常见的手拉手模型的构造及相关结论；无需记忆，需要会推理哦~关于“手拉手模型”：入门篇：【中考专题】全等之手拉手模型，入门必看！【中考专题】手拉手模型的12个结论，你知道几个？精讲篇：【中考专题】手拉手模型（一）—等腰旋转，全等出现【中考专题】手拉手模型（二）—旋缩变换，相似成双培优篇：【中考专题】“鸡爪”模型—构造手拉手旋转【中考专题】手拉手旋转，从特殊到一般的几点思考典例篇：【中考专题】河南中考 类比探究（五年真题+五年B卷）【中考专题】类比探究，考法浅析【中考专题】类比探究问题 （2015·烟台）【中考专题】手拉手模型的构造——以19·枫杨·三模·22题为例1.左右手的判别：顶点朝上，左边顶点为左手，右边顶点为右手两个顶点相等且共顶点的等腰三角形手拉手（左手拉左手，右手拉右手）3.手拉手经典结论①△ABD≌△ACE②BD=CE，且夹角等于∠BAC（或其补 角）③AO平分∠BOE（或其外角）证明：①∵AB=AC,AD=AE且∠BAD=∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC=∠CAE∴ △ABD≌△ACE（SAS）②∵△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE，∠BDA =∠CEA∵∠BDA +∠DOE =∠CEA+∠DAE∴∠DOE=∠DAE=∠BAC③∵△ABD≌△ACE（SAS）∴底边BD=CE， △ABD与△ACE 面积相等； ∴高：A到BD距离=A到CE的距离∴AO平分∠BOE怎么样，坚持看到了这里相信你已经完全掌握了吧接下来，一道亮点颇多的题目送给你们希望大家做的开心愉快模型一△ABC为等边三角形，∠BPC=120°证明方法图：证明：延长PC至D，使得CD=BP可得△ABP≌△ACD则△APD为等边三角形则PC+PB=PC+CD=PA模型二△ABC为等腰直角三角形，∠BPC=90°结论：PB+PC=√2PA 证明方法图：（证明过程略）△ABC为顶角为120°的等腰三角形，∠BPC=60°结论：PB+PC=√3PA 证明方法图：（证明过程略）△ABC为等腰直角三角形，∠BPC=90°结论：PB-PC=√2PA 证明方法图：（证明过程略）△ABC为等边三角形，∠BPC=150°结论：PB^2+PC^2=PA^2 证明方法图：（证明过程略）△ABC为等腰直角三角形，∠BPC=135°结论：PB^2+2PC^2=PA^2 证明方法图：（证明过程略）看完了这些是不是蠢蠢欲动了让我们一起创造手拉手拯救“单身狗”吧例题：（1）如图1，点P是等边三角形ABC内的一点，PA=4，PB=3，PC=5，求∠BPA．（2）如图2，点P是正方形ABCD内的一点，PA=3，PB=2√2，PC=5，求∠BPA．今天的分享就到此结束了继续关注我们哦会有更多的干货等着你！。
中考数学常考模型之手拉手模型
变式：（河南省2019年中考数学试卷第22题）
在△ABC中，CA＝CB,∠ACB = α, 点P是平面内不与点A，C重
合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到
线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BD 的值是 1
CP
交所成的较小角的度数是 60°．
，直线BD与直线CP相
模型分析
模型二 相似型“手拉手”模型
模型展示
△AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转， 模型特点
简记为：共顶点，非等腰，顶角相等，旋转得相似
结论
①△AOC∽△BOD；
② AC ＝ OA ＝ OC
BD OB OD
③两条“拉手线”AC，BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补
直击中考
例题（河南省2018年中考数学第22题）
（2）类比探究 如图2，当α=90°时，请写出 BD 的值及直线BD与直线CP相交所
CP 成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
课堂小结 模型一 全等型“手拉手”模型
模型二 相似型“手拉手”模型
共顶点，双等腰，顶角相等，旋转得全等
共顶点，非等腰，顶角相等，旋转得相似
作业布置：
1. 如图，△ADC与△EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE，相交于点H， 交CD于点O. (1)求证：AG＝CE； (2)求∠CHA的度数．
2.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝ ∠DAB.(1)求证：△ABC∽△ADE；
问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，
∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
中考必会几何模型：手拉手模型
手拉手模型模型讲解【结论】如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则(1)△ABD≌△ACE；(2)BD和CE的夹角∠BFE=∠BAC=∠DAE.【证明】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS).（2）△ABD≌△ACE，可看成△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE 的位置，BA和CA的夹角为∠BAC，AD和AE的夹角为∠DAE，BD和CE的夹角为∠BFE，根据旋转的性质容易得到对应边的夹角等于旋转角，故∠BFE=∠BAC=∠DAE.手拉手模型的变形【结论1】如图所示，等边△ABC和等边△CDE.则△BCD≌△ACE，AE=BD，∠BFA=60°.【结论2】如图所示，等腰Rt△ABC 和等腰Rt△CDE.则△BCD≌△ACE，∠BFA=90°.典例秒杀典例1如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数是( ).A.30°B.45°C.60°D.75°典例2如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M.则BD与CE的数量关系为（）.A.BD= 12CE B.BD=23CE C.BD=CE D.BD=32CE典例3如图，△ABC中，AB=AC. ∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE.连接BD、CE交于点F，则BD与(E 的数量关系为( ).A.BD= 12CE B.BD= 23CE C.BD=CED.BD=32CE小试牛刀1.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.若∠CAE=25°.则∠EBC的度数是（）.8A.35°B. 30°C.25°D.20°2.如图所示，B，D，E在同一条直线上，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=( ).A.60°B.55°C.50°D.无法计算3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°.AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F.连接CF，则有下列结论：①BF=AC；②∠FCD=45°；③若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长，其中正确的有( ).A.0个B.1个C.2个D.3个直击中考1.(2020湖北鄂州中考真题)如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<CC, ∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M.连接OM.有下列结论: ∠AMB=36DU3：②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD.其中正确的结论个数为( ).A.4B.3C.2D.12.(2020辽宁锦州中考真题）已知△AOB和△MON都是等腰直角三OA<OM=ON),∠AOB=∠MON=90°.角形（√22(1)如图1.连接AM，BN.求证：△AOM≌△BON.(2）若将△MON绕点O顺时针旋转.①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2 =2ON2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4.ON=3.请直接写出线段BN的长.典例1【答案】C【解析】∵△ACB和△DCE均为等边三角形，且△ACB与△DCE 共点，形成了手拉手模型。
中考数学专题训练旋转模型几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补
范文范例学习参考几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补「等腰三角形手拉手模型1等腰直角三角形（包含正方形）、等边三角形（包含费马点）i 特殊角《对角互补模型W厂般角产线段变换（与圆相关）在 4ABC 中，AB=AC , /BAC =支（0口<ot<60口）,将线段 BC绕点B 逆时针旋转60。
得到线段BD .（1）如图1,直接写出/ABD 的大小（用含口的式子表示）；（2）如图2, /BCE=150〉,/ABE=60©,判断△ ABE 的形状并加以证明; （3）在（2）的条件下，连结 DE ,若NDEC =45°,求a 的值.角含半角模型件寺殊角:一般角旋转变换 真题演练【练1】（2013北京中考）范文范例学习参考【练2】（2012年北京中考）在4ABC中，BA = BC , /BAC =口，M 是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转力得到线段PQ.（1）若a印且点P与点M重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D , 请补全图形，并写出/CDB的度数；S1（2）在图2中，点P不与点B , M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D ,猜想/CDB的大小（用含豆的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的a ,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B , M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D ,且PQ=QD ,请直接写出a的范围.范文范例学习参考例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】(14年海淀期末)已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE .(1)如图1 ,连接BG、DG .求证：BG =DE ;(2)如图2,如果正方形ABCD的边长为近,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG // BD , BG = BD .①求ZBDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值.【例2】(2014年西城一模) 四边形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形，ZBEF =90°, BE =EF ,连接DF , G 为DF 的中点，连接EG, CG , EC。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
手拉手模型一、手拉手模型1.手的判别：人站在等腰三角形顶角的位置，张开双臂，左手边的腰为左手，右手边的腰为右手。
2.手拉手模型的定义：两个等顶角的等腰三角形组成的图形，且顶角的顶点为公共顶点。
（顶角相等、等腰三角形、共顶点）条件模型结论特殊结论△ABC与△CDE是等腰三角形，且∠ACB=∠DCE (1)D ACD@D BCE (SSS)(2)AD=BE(左手拉左手，右手拉右手)(3)ÐBHA=ÐBCA(4)HC平分ÐAHE△ABC与△CDE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°(5)S D BCD=S D ACE(6)BD2+AE2=AB2+DE2正方形ACBP与正方形CEQD是正方形△ABC 与△CDE是等边三角形(5)D ACM@D BCND DCM@D ECN(6) CM=CN(7)D CMN是等边三角形(8)MN∥AE，CD∥AB, CB∥DE(9) BH+CH=AHDH+CH=EH二、手拉手模型的变形：（两三角形相似，且对应角共顶点）条件模型结论D BAC∽D DAE,且ÐDAE=ÐBAC (1)D BAD∽D CAE(两边对应成比例且夹角相等) (2)BDCE=BACA(3) ÐBHC=ÐBAC【巩固练习】1、如图所示，若△ABC、△ADE都是正三角形，试比较线段BD与线段CE的大小.2、如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（）3、如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？4、问题情境：如图1，已知△ABC和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=2，CD=CE=1，点D在AC 边上，点E 在BC 延长线上。
将△DCE 从此位置开始绕C 点顺时针旋转，旋转角是a(0°﹤a ﹤180°)。
操作发现：（1）如图2，当旋转角a=45°时，连接AD 。
求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）如图3，当0°﹤a ﹤90°，连接BD ，AE ，判断线段BD 和AE 的数量关系，并说明理由； 解决问题：（3）如图4，当0°﹤a ﹤180°，连接AD ，点F ，G ，H 分别是线段AB ，AD ，DE 中点，连接FG ，GH ，FH 。
在△CDE旋转的过程中，AE和BD的数量关系是 ，位置关系是 ，所以△FGH 始终是一个特殊三角形。
当旋转角a=135°时，△ FGH 的面积是 。
图1BBBBD5、如图1，将两个等腰直角三角形纸片ABC 和DEC 的顶点C 重合放置，点D 和E 分别在边AC 和BC上，其中∠C=90°，AC=BC，DC=EC．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转45°，点D恰好落在AB边上，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C继续旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，AC边上的高DM，EN，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC=60°，点D是∠ABC平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S △DCF=S△BDE，请直接写出相应的线段BF的长．6、如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接BD，连接CF并延长，交BD于点G，则线段CG的长等于。
7、如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE 相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：．8、看图完成下列各题。
【探索发现】如图1，已知D ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF之间的数量关系为。
【类比探究】在（1）条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE 与AF之间的数量关系有无变化？请仅就图（2）的情形说明理由。
【联想拓展】①如图3，已知D ABC是等腰直角三角形，，点D是BC的中点，延长BC至点P，且以DP为一边作正方形DPMN，使点A在DN上，连接AP，BN，猜想AP与BN之间的数量关系；②如图4，将正方形DPMN绕点D逆时针旋转a(0°<a<360°)，判断①中的结论是否依然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。
【解决问题】在（3）②条件下，若BC=DP=4，当旋转角a为多少度时，AP取得最大值？直接写出AP取得最大值时a的度数及AM的长。
9、10、问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．问题探究：（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图4所示），且AB:BC＝CE:CG=k（其中k ＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断．（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值．11、如图①，分别以AE、BE为边在AB的同侧作等边△ADE和等边△BCE，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由；（2）若AE=4，BE=2，求四边形PQMN的周长及面积；（3）如图②，将△BCE绕着点E顺时针旋转，其它条件不变，判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由．12、(2018河南,22,10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①ACDB的值为;②∠AMB的度数为;(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACDB的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.13、（2018山西省适应性考试）（本题12分）综合与实践---四边形旋转中的数学“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答。
任务一：如图1，在矩形ABCD中,AB=6，AD=8.E、F分别为AB,AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG。
（1）请直接写出CG的长是。
（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转(比如顺时针旋转)至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系.（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立?请说明理由.任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在□ABCD中,∠B=60°，AB=6，AD=8，E、F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系.（4）如图5，当□AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系，请你直接写出这个特定的数量关系。
【旋转得到手拉手模型】14、问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∵CE是由CD旋转得到，∴CE=CD，则在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（依据1），∴AD=BE（依据2），∵AB=AD+BD，∴AB=BE+BD反思与交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系_____．②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是______．拓展应用：（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．15、综合与探究问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：从A，B两题中任选一题作答我选择题A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．16、（本小题满分10分）(1)问题发现在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE.如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；(2)拓展探究如图2，当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由；(3)解决问题如图3，在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长．。