高三一轮复习《不等式》
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
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2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
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解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
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解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
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方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
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解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高三一轮复习数学 不等式的性质
不等式的性质一、学习目标:1．会比较两个数(式)的大小．2．掌握不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用二、重难点：重点：理解不等式的性质难点：会解一元二次不等式中的恒成立问题三、知识梳理知识点一两个实数比较大小的方法方法关系作差法作商法a>b a－b>0>1(a，b>0)或<1(a，b<0)a＝b a－b＝0＝1(b≠0)a<b a－b<0<1(a，b>0)或>1(a，b<0)自查自测1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为()A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定2．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为．3．比较两数的大小：7+1014.知识点二不等式的性质自查自测1．已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A．＜1B．ax＞ay C．x＋a＞y＋a D．x2＞y22．下列命题中，是真命题的是()A．如果ac>bc，那么a>b B．如果ac2>bc2，那么a>b C．如果>，那么a>b D．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d 3．已知－1<a+b<2，－3<a－b<5，则3a－b的取值范围是．知识点三一元二次不等式的解法有两个相异的实数自查自测1.设x Rx x+-<成立的x的取值范围为∈，使不等式23202.不等式2340--+>的解集为x x【常用结论】1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1＜1．(2)a＜0＜b⇒1＜1．(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞．(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1＜1＜12.分数性质若a>b>0,m>0,则(1)真分数性质:<r r;>K K(b-m>0).(2)假分数性质:>r r;<K K(b-m>0).3.分式不等式的解法(1)op op>0⇔opop>0(2)op op≥0⇔opop>0op≠0(3)op op>o≠0)⇔op op−>0自查自测1.不等式2301xx ->-的解集为()A ．3(,4-∞B ．2(,3-∞C ．2(,)(1,)3-∞+∞ D ．2(,1)32.下列不等式中，与不等式28223x x x +<++解集相同的是()A ．2(8)(23)2x x x +++<B ．282(23)x x x +<++C ．212238x x x <+++D ．223182x x x ++>+四、典例分析考点一不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1．(多选题)已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，则下列不等式一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．ac (a －c )<0D ．cb 2<ab 22．(多选题)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是()A ．a 12<b12B ．1>1C ．r2r2>D ．ac 3<bc 33．(2024·潍坊调研)()A ．若1＜1，则a 3＞b 3B 2a ＜2bC ．若ln a 2＞ln b 2，则2|a |＞2|b |D ．若tan a ＞tan b ，则a ＞b 4.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是()A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若a>b，则ac 2>bc2C.若a>b>0，则(a −b)c>0D.若a>b，则a +c>b +c考向2利用不等式的性质求取值范围5．若－2<a <b <3，－2<c <0，则c (a －b )的取值范围是．6．设x ，y 为实数，满足2≤xy 2≤3，3≤2≤4，则55的最大值是．考点二分式不等式及高次不等式1.不等式K1r1≤1)A.x x ≤−2或xB.x x >−2x ≤−2或x ≥− D.x −2≤x2.已知关于x 的不等式B−1r1>0的解集是x <−1或x >a =考点三含参及综合类问题1.已知关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≥0(a∈R).（1）若不等式的解集为{x|x≤−1或x≥2}，求a的值；（2）若不等式的解集只包含一个元素，求a的值和该不等式的解集.2.已知关于x的不等式x2−ax+b<0的解集为{x|2<x<3}，则关于x的不等式x2−bx+a<0的解集为()A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<5}C.{x|2<x<5}D.{x|1<x<3}3.设a∈R，解关于x的不等式2x2+ax+2>0.4.若关于x的不等式(m−1)x2+(m−1)x+2>0的解集为R，求实数m的取值范围随堂检测1.若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2D．x2＋y2≥12.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).3.若对于−2≤m≤2，不等式mx>−mx−1<−m+5恒成则实数x是.4.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(）A．{a|－1≤a≤4}B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤-1}D．{a|－4≤a≤1}5.函数f(x)＝x2＋ax＋3.若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是.若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是.。
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
高考数学一轮复习知识点大全-不等式
特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立，注意0n 不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，并且一定要用到假设，尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化；（3）两个步骤中，第一步是基础，第二步是递推.在第二步证明中，关键是利用假设，推出结论.第七部分 不等式1. 不等式的基本性质：（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d ><，则a c b d ->-；注意：异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.（2）左右同正不等式：① 同向的不等式可以相乘，但不能相除.若0,0a b c d >>>>，则ac bd >.② 两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>.（4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号：若0ab >，a b >， 则11a b <. 若0ab <，a b >，则11a b>. 22a b ac bc >⇔> 是否正确？（否）注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.2. 比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.（2）作商：常用于分数指数幂的代数式.（3）分析法.（4）利用函数的单调性.（5）寻找中间量或放缩法.（6）图象法.3. 均值不等式：若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）.基本变形：若,a b R +∈，则222a b ab +≥，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，222a b ab +≤. 运用均值不等式时，不要忘记检查条件（,0a b >），最后一定不要忘记注明等号成立的条件.4. 证明不等式的方法：（1）比较法：作差比较（作商）：B A B A ≤⇔≤-0注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）综合法：由因导果.（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的，常用放缩的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12.n n n >+)1(②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：2)1()1(++<+n n n n 利用常用结论：k kk k k 21111<++=-+. k k k k k111)1(112--=-< . 111)1(112+-=+>k k k k k .)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k . 5. 不等式的解法：（1）一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，要注意讨论0,0a a ><及0a =的情况.（2）一元二次不等式的解集（联系图象）：设0a >，12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则20ax bx c ++>的解集为()()12,,x x -∞+∞. 20ax bx c ++<的解集为()12,x x .当0∆<和0∆=时的解集你会正确表示吗？（3）对于方程20ax bx c ++=有实数解的问题:首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0a ≠，才考虑判别式.（4）一元二次方程根的分布理论：方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、 在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？（考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理）（答案依次为：0()02f k b k a ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪⎪->⎩，0()0()02f m f n b m n a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，()0f k <）.根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论.（5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关.（6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法（7）简单的分式不等式：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.6. 不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合.第八部分 直线和圆1、直线方程（1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其y (a>0) O k x 1 x 2 x。
高考数学第一轮复习教案 专题9不等式
专题九 不等式一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。
高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。
四、知识回顾1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(一)二元一次不等式表示的区域对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.五、典型例题例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3π≤B ＜2π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ⇒tg 2B=tgA ·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg 21tgCtgA -+∴tgA+tgC=tgB(tg 2B －１) ∵tgA+tgC ≥2tgC tgA ⋅=2tgB 即 tg 2B-1≥2∴tgB ≥3 ∵B ≥3π……这里，抓住了tg 2B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-tgCtgA ⋅-+1tgCtgA 隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgC tgA ⋅这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0⇒y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2-12.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2≥2abⅱ)a 、b 、c ∈R ＋，a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)a b +ba≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x ２-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2⇒ x 2+y 2=a 2⇒y ≥0 ｜y ｜≤a例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2+b 2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b-≤2b -1a 22+ b 21a -≤2a -1b 22+两式相加得a 21b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -∴a 2+b 2=1例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2+1)=2的实数x,y解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2+1≥1∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcos θ途径：①设元构造.例：x 2+y 2≤1⇒ (0≤r ≤1) y=rsin θ②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x例5 求证：nn 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n＝1+n+21)-n(n +…∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正∴2n＞21)-n(n即n n 2＜1-n 2例6 为使不等式x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满足的条件.解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2+410=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ⇒b=m 2+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.例7 已知x 2+y 2≤1，求x+y 的最大值.分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2得出，还可以通过换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2≤1∴0≤r ≤1∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+4π)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.x+y=6 例8 求解方程组z 2=xy-9这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知xy ＞9，否则z 2＜0,x+y ＞0∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ⇒xy ≤9故z 2=xy-9≤9-9=0∴z=0且x=y=34.由不等推出矛盾：反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.例9 已知锐角α，β满足βαsin cos +αβsin cos =2，求证α+β＝2π证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2π-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π)∴cos α＜cos(2π-β)＝sin βcos β＜cos(2π-α)=sin α从而2=βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +ααsin sin =2矛盾 故α+β≤2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2π(二)不等式与函数、方程的关系前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.例10 2x ２-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.解：设y=2x 2-3x-k=f(x)①若方程2x 2-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0f(-1)≥0 9+8k ≥0f(1)≥0 ⇔ 2+3-k ≥0 解之得：-89≤k ≤-1 -1＜43＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-89 ⇔ ⇔ -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-89,5］ 2.不等式与函数最值(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2+x 1的最小值，若写成y=x 2+x1≥2xx 12⋅=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而应该是这样的：由于x 2·x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥3322121x x x ⋅⋅=2332，即y min ＝2332(显然(2332)3=427＜8 即2332＜2＝③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜2π时求y=sinx+sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2xsin 4sin ⋅=4.但y min ＝４是错误的，因为当sinx=sinx4时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t4在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5(2)不等式与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a4b -4ac 2②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2+bx+c 的最值如下表当a ＜0时，可依上表写出类似结论.(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.例12 求y=4522++x x 的最值解：y=41422+++x x ＝4x 2++412+x令t=4x 2+≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =25 (三)不等式与几何的关系数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.1.构造几何图形证明不等式1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明例13 x 、y 、z ∈R +，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞xz y x -+22简析：x 2+y 2-xy=x 2+y 2-2xycos60°由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥z 2+x 2-xz=x 2+z 2-2xzcos60°o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 22z + CA=xz -x 22z +及ΔABC 中，AB+BC ＞AC2)对于一些含有“A ·B 或21(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2+(c )2=(b )2(c -a )2+(c )2=(a )2即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)3)对于含有“a 2+b 2=c 2”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.4)对于一些含有“(a-m)2+(b-n)2”或22C bB aA BA +++”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.5)对含有“a 2+b 2=R 2且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：例15 已知S n =1+21+31+…n1(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=2n 1++3n 1++…+12n 1+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.略解：∵f(n)=2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-42n 1+)＞0∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈N)∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=209 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜209 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(xyyx ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)与f(21)的关系.简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(13n n 12++)=f(1-2)1)(n (n 1++)=f(211111)21(11+-⋅+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)=f(1n 1+)-f(2n 1+)∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］=f(21)-f(2n 1+)＞f(21)(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2n 1+)＜0)2.不等式问题中的思维策略1)反客为主当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2-1)恒成立，求x 的取值范围x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1-x 1-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立当1-x 2=0时易得x=1f(-2)＞0 当1-x 2≠0时，当且仅当 解之得217-＜x ＜231+且x ≠1 f(2)＞0 综上217-＜x ＜231+ 2)以退为进有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB证明：∵A+B=π-C ＞2π ∴2π＞A ＞2π-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB同理 sinB ＞cosCsinC ＞cosA三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 （一）二元一次不等式(组)与平面区域 （1）求约束条件及平面区域的面积例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
高三数学第一轮复习讲义不等式的概念和性质
芯衣州星海市涌泉学校高三数学第一轮复习讲义〔38〕不等式的概念与性质一．复习目的：1．掌握并能运用不等式的性质，灵敏运用实数的性质；2．掌握比较两个实数大小的一般步骤．二．知识要点：1．不等式的性质：①对称性：；②传递性：．③加法性质；．④乘法性质：，．⑤乘方性质：；开方性质．2．比较两数大小的一般方法是：．三．课前预习：1．命题〔1〕,n n ab ac bc n N *>⇒>∈，〔2〕22a b a b c c >⇒>，〔3〕11a b a b >⇒<，〔4〕0,0a b c d ac bd <<<<⇒>，〔5()a b n N *>⇒>∈ 〔6〕a b a c b d c d<⎧+<+⇔⎨<⎩，〔7〕220a b a ab b <<⇒>> 其中真命题的是．2．01x y a <<<<，那么〔 〕()A log ()0a xy <()B 0log ()1a xy <<()C 1log ()2a xy <<()D log ()2a xy >．3．假设0m b a <<<，那么 〔 〕()C cos cos cos b m b b m a m a a m -+<<-+()D cos cos cos b m b m b a m a m a+-<<+-． 四．例题分析：例1．比较11n n xy +++和*(,,)n n x y xy n N x y R ++∈∈的大小． 例2．设0,1a a >≠，0t >，比较1log 2a t 和1log 2a t +的大小，并证明你的结论． 例3．在等比数列{}n a 与等差数列{}nb 中，11330,0a b a b =>=>，且31a a ≠，比较2a 与2b ，5a 与5b 的大小．例4．设数列{}n a 的通项公式是21000n n n a =， 〔1〕讨论数列{}n a 的单调性；〔2〕求数列中的最大项．五．课后作业：班级学号姓名1．设,(,0)a b ∈-∞，那么“a b >〞是“11a b a b ->-〞成立的 〔 〕()A 充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既不充分也不必要条件2．以下不等式：〔1〕232()xx x R +≥∈，〔2〕553223(,)a b a b a b a b R +≥+∈， 〔3〕222(1)a b a b +≥--．其中正确的个数为〔〕3．给出以下条件①1a b <<；②01a b <<<；③01a b <<<．其中，能推出 11log log log b a a b b b<<成立的条件的序号是〔填所有可能的条件的序号〕． 4．函数()y f x =是(0,2)上的减函数，且关于x 的函数(2)y f x =+是偶函数， 那么15(),(),(3)22f f f 的大小关系是． 5．,,,a x y b 依次成等差数列，,,,c x y d 依次成等比数列，其中,0,0xy x y ≠>>， 比较a b +与c d +的大小．6．某人乘坐出租车从A 地到B 地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每Km 价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每Km 价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，那么此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较适宜？7．设()f x =，比较11|()()|f x f x -与1212||()x x x x -≠的大小． 8．设,m R x R ∈∈，比较21xx -+与222m mx --的大小． 9．设()1log 3,()2log 2x x f x g x =+=，其中0,1x x >≠，比较()f x 与()g x 的大小．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其
a＋b
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 2
，几何平均数为 ab ，基
本不等式可叙述为 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 .
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最 小 值
2 p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最 大 值 p2 4 .(简记：和定积最大)
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知 x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(12)y，若1x＋my (m>0)的最小值为 3，则 m＝ ________.
解析答案
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析答案
题型二 基本不等式与学科知识的综合 命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
12345
解析答案
x2＋y2 2.若实数 x，y 满足 x>y>0，且 log2x＋log2y＝1，则 x－y 的最小值为 ___4_____.
解析 由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，
x2＋y2 x－y2＋2xy 所以 x－y>0， x－y ＝ x－y
＝x－y＋x－4 y≥2 x－y·x－4 y＝4， x2＋y2
当且仅当 x－y＝2，即 x＝1＋ 3，y＝ 3－1 时取等号，所以 x－y 的
最小值为 4.
12345
解析答案
3.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝___3_____.
高三理科数学一轮总复习第七章 不等式
第七章不等式高考导航知识网络7.1 不等式的性质典例精析题型一 比较大小【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q .【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差； ②变形；③判断符号；④得出结论.【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )A.m ＜nB.m ＞nC.m ≥nD.m ≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(12)－2＝4.题型二 确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围.【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋83(4a －c )∈[－1,20].题型三 开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞db ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －adab ＞0.(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒bc －adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab ＞0，bc －adab ＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③；(3)由bc －ad ＞0，bc －adab ＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b ＞cd ＞0和ad ＜bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是_______________(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad ＜bc 的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab ＞0，a ＞b ⇒1a ＜1b 这一性质时，不可弱化为a ＞b ⇒1a ＜1b ，也不可强化为a ＞b ＞0⇒1a ＜1b.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2 简单不等式的解法典例精析题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x 2－2x －3＞0；(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(∁R A )∩B . 【解析】(1)方程两根为x 1＝－1，x 2＝3， 所以原不等式解集为{x |x ＜－1或x ＞3}.(2)因为A ＝{x |13＜x ＜2}，∁R A ＝{x |x ≤13或x ≥2}，B ＝{x |x ≤－12或x ≥1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤－12或x ＞13}，(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－12或x ≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0()0(22x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)【解析】选C.由已知对x ≤0时f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－4)＝f (0)，知其对称轴为x ＝－2，故－b2＝－2⇒b ＝4.又f (－2)＝0，代入得c ＝4，故f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0(44)0(22x x x x分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ).【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2m .所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}；(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2m －(－1)＝m ＋2m .①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2m }；②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1， 不等式解集为{x |2m ＜x ＜－1}.综上所述：当m ＜－2时，解集为{x |－1＜x ＜2m }；当m ＝－2时，解集为∅；当－2＜m ＜0时，解集为{x |2m ＜x ＜－1}；当m ＝0时，解集为{x |x ＜－1}； 当m ＞0时，解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0. 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1a 或x ＜－1}；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1a }.题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1、3，则－b a ＝1＋3，c a ＝1×3，即b a ＝－4，ca ＝3.又a ＜0，不等式cx 2＋bx ＋a ＜0可以化为c a x 2＋ba x ＋1＞0，即3x 2－4x ＋1＞0，解得x ＜13或x ＞1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝ . 【解析】 2.作出函数y ＝9－x 2和y ＝k (x ＋2)－2的图象，函数y ＝9－x 2的图象是一个半圆，函数y ＝k (x ＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a ＝1，即 1是方程9－x 2＝k (x ＋2)－2的根，代入得k ＝2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一 平面区域【例1】已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f ′(x )的图象可知，f (x )在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为f (－2)＝f (4)＝1，所以当且仅当x ∈(－2,4)时，有f (x )＜f (－2)＝f (4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是() A.12B.π4C.1D.π2【解析】选C.当a ＝b ＝1时，满足x ＋y ≤1，且可知0≤a ≤1，0≤b ≤1，所以点P (a ，b )所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二 利用线性规划求最值(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍.因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z的取值范围为[34，72].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求a ＋b 的最小值.【解析】因为f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，f (x )在区间[－1,3]上是减函数.所以f ′(x )≤0在[－1,3]上恒成立.则作出点(a ，b )表示的平面区域.令z ＝a ＋b ，求出直线－2a －b ＋1＝0与6a －b ＋9＝0的交点A 的坐标为(－1,3). 当直线z ＝a ＋b 过点A (－1,3)时，z ＝a ＋b 取最小值2. 题型三 线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m 3，第二种有56 m 3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m 3，第二种木料0.08m 3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m 3，第二种木料0.28 m 3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x ，衣柜生产的个数为y ，所获利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M (350,100)时，z ＝6x ＋10y 最大. z max ＝6×350＋10×100＝3 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x ≥0，y ≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.【解析】500.设需35千克的x 袋，24千克的y 袋，则目标函数z ＝140x ＋120y ，约束条件为⎩⎨⎧∈≥+N y x y x ,106,2435当x ＝1时，y ≥7124，即y ＝3，这时z min ＝140＋120×3＝500. 总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.7.4 基本不等式及应用典例精析题型一 利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A.x ＋y ≥2(2＋1) B.x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b2，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(x ＋y 2)2，所以(x ＋y 2)2≥1＋(x ＋y ).解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).(2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2aba ＋b .又a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 24≤2(a 2＋b 2)4，所以a 2＋b 22≥a ＋b2， 所以a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c 恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0. 而(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c)≥4，所以λ＜4.题型二 利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为 ；(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数f ′(x )，f ′(0)＞0，对任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A.3B.52C.2D.32【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，y max ＝1.(2)选C.因为f (x )≥0，所以⎩⎨⎧≤-=>.0402ac b Δa 所以c ≥b 24a .又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＞0，f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋4a 2＋b 24ab ≥1＋24a 2b 24ab ＝2， 当且仅当c ＝b 24a且4a 2＝b 2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2cd 的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ， cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋yx ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当yx ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0， 故(a ＋b )2cd 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三 应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1).设平均每天所支付的总费用为y 1，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝900x ＋9x ＋10 809≥2x x9900 ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，取等号. 即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35). 因为y 2′＝9－900x 2，当x ≥35时，y 2′＞0. 所以y 2＝900x＋9x ＋9 729在[35，＋∞)上是增函数. 所以x ＝35时，y 2取最小值70 4887. 由70 4887＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值.【解析】因为a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1，所以4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab ，且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18. 所以S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab ＋4ab －1≤2－12， 当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立. 总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.7.5 不等式的综合应用典例精析题型一 含参数的不等式问题【例1】若不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围. 【解析】由x 2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k )＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k )＜0有－52＜x ＜－k . 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2，故k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1n). 而－(2＋1n)＜－2，则a ≥－2； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32. 综上可得－2≤a ＜32. 【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论.题型二 不等式在函数中的应用【例2】已知函数f (x )＝2x －a x 2＋2在区间[－1,1]上是增函数. (1)求实数a 的值组成的集合A ；(2)设x 1，x 2是关于x 的方程f (x )＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2(x 2＋2)2， 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≥0恒成立，令φ(x )＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立.所以A ＝{a |－1≤a ≤1}.(2)由f (x )＝1x得x 2－ax －2＝0. 设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2.从而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8，因为a ∈[－1,1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3.不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m 2＋tm －2≥0恒成立.设g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则解得m ≥2或m ≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b b 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是 . 【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝2a ＋b ≤22ab＝1，所以λ≥1. 题型三 不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450 ≥2100(x －2)·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy 2， 因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)， 所以S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝⎛⎭⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由⎩⎨⎧=+=,400π2,π2y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 所以当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 时等号成立， 即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大. 总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.。
高三数学 第一轮复习 04：基本不等式
高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。
2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。
[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。
4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。
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第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。
就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。
高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。
1、线性规划（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。
所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。
比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型：()()22b y a x -+-；（3）斜率型：ax by --；如果直接考这几个类型倒还好。
比如：已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ，()()2212-+-y x 的最小值是 ，3+x y的取值范围是 。
（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。
比如：① 已知),(b a P 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是② 已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是③ 已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。
比如：已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，则22)1(652-++--x y y x xy 的取值范围是 2、解不等式解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。
另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等 式对应的根式有关系的，比如：已知不等式012≥--bx ax 的解是3121-≤≤-x ，则不等式02<-+a bx x 的解是________．解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。
而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。
关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。
例1、解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析： 首先因式分解)1)((a x a x --，二次函数=y )1)((a x a x --的两根为ax a x 1,21==，解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，1°a a 1=，解不存在；2°a a 1>，即1>a 或01<<-a ，a x a<<1；3°a a 1<，即1-<a 或10<<a ，ax a 1<<例2、解不等式：()0112>+++x a ax分析：因式分解0)1)(1(>++x ax ，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a 的取值是关键，联系到二次函数)1)(1(++=x ax y ，两根为1,121-=-=x ax 1°0=a ，不等式变为01>+x ，解为1->x ，2°0<a ，11->-a ，12x x x <<，解为a x 11-<<-， 3°0>a ，a 1-和1-的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论，当a 1->1-时，即1>a ，a x 1->或1-<x ，当a 1-=1-时，即1=a ，1-≠x ，当a1-<1-时，1->x 或ax 1-<例3、解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴ 当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。
⑵ 当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶ 当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。
⑷ 当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。
3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1) 恒成立问题（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （3）特别的，若上述的()()min maxx f x f 取不到，则最后的参数范围需要加上“=”.（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数()x f 的图像横在()x g 的图像的上方()()x g x f >⇔恒成立”。
2) 能成立问题（也就是有解问题）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 3) 恰成立问题（相对少见）若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。
4、基本不等式 一、知识点总结1、基本不等式原始形式:（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式：若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形：（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用：若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+二、题型分析题型：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘 1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值； 法一：法二：变式：已知12,0,=+>b a b a ，求ba 111++的最小值；变式：已知12,0,=+>b a b a ，求ba b 11++的最小值；变式：已知12,0,=+>a ab b a ，求ab 12+的最小值；变式：已知0>>b a ，求2212a abab a ++-的最小值；变式：已知2,0=+>b a b a ，，求121222+++b aa b 的最小值；变式：已知2,0=+>b a b a ，，求1122+++b b a a 的最小值；变式：已知0>>>z y x 且zx n z y y x -=-+-11恒成立，如果+∈N n ，求n 的最小值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）变式：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值；变式：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求nm 41+的最小值；题型：分离换元法求最值（了解）1、求函数)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域；变式：求函数)1(182>-+=x x x y 的最小值；2、求函数522++=x x y 的最大值；（提示：换元法）变式：求函数941++=x x y 的最大值；题型：基本不等式的综合应用1、已知1log log 22≥+b a ，求ba 93+的最小值2、已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；变式2：已知0,>y x ，312121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；4、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,z y x 212-+的最大值为（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xzy 2的最小值；变式：设z y x ,,是正数，满足2,>>z y x ，求252-+-+z z xy z y xz 的最小值；。