基本不等式知识梳理资料
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式知识点1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒> ③（可加性）a b a c b c >⇔+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）db c a dc b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)nna b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b=时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式： 222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设1212...,...n na aa b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,nc c c 是12,,...,nb b b的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...na a a ===或12...nb bb ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f xg x a a f x g x >⇔> ⑵当01a <<时,()()()()f xg x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当1a >时,()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f xg x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如2axbx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式2ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max();f x a ⇔< ()f x a≤恒成立max();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min();f x a ⇔>()f x a≥恒成立min().f x a ⇔≥15、线性规划问题 常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x=或;y bz x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
《不等式的基本性质》 知识清单
《不等式的基本性质》知识清单不等式是数学中一个非常重要的概念，它在解决各种实际问题和数学理论中都有着广泛的应用。
而要深入理解和运用不等式，就必须掌握不等式的基本性质。
一、不等式的定义不等式是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）表示两个数或表达式之间关系的式子。
例如：3 ＜ 5，x ＋ 2 ＞ 5 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＜ b，那么 b ＞ a；如果 a ＞ b，那么 b ＜ a。
这就好比两个人比身高，如果甲比乙矮，那么乙就比甲高，反之亦然。
2、传递性如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜ c；如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞c。
比如说，甲比乙矮，乙比丙矮，那自然甲比丙矮；甲比乙高，乙比丙高，那甲肯定比丙高。
3、加法性质如果 a ＜ b，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c；如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋c。
这意味着在不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。
就像甲有一定数量的苹果，乙比甲的苹果多，当两人都再得到相同数量的苹果时，乙还是比甲多。
4、减法性质如果 a ＜ b，那么 a c ＜ b c；如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c。
类似于加法性质，在不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变。
5、乘法性质如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc。
当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变；乘以一个负数时，不等号方向改变。
举个例子，如果甲比乙的钱数多，两人都乘以一个正数（比如收入相同的奖金），甲还是比乙多；但如果乘以一个负数（比如都要交相同数额的罚款），那么甲就可能比乙少了。
6、除法性质如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a÷c ＞ b÷c；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么a÷c ＜ b÷c （c ≠ 0）。
不等式知识点总结
不等式知识点总结1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒> ③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d cd>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或 22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：112a b a b --+≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <-211,(1)k k k >+==<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ 2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a af x f xg x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时,()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
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基本不等式【考纲要求】1.2a b+≤的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：222a b ab +≥和2a b +≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。
（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称2ba +为,ab 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把2ba +看作是正数,ab 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式2a bab +≤的证明 1. 几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >,a b 分别代替a 、b ，可得： 如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 2. 代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2a b+≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）.2a b+≤求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
要点四、几个常见的不等式 1）()R b a ab b a ∈≥+,222，当且仅当a=b 时取“=”号。
2）()+∈≥+R b a ab ba ,2，当且仅当a=b 时取“=”号。
3）()02>⋅≥+b a ab b a ；特别地：()021>≥+a aa ；4）ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),a b R +∈ 5）()()+∈≥⎪⎭⎫⎝⎛++R b a b a b a ,411； 【典型例题】2a b+≤的理解 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.（1）a b++； （2）11()()a b a b++的最小值为4； （3）14a a ++的最小值为2-. 【解析】（1）；（2）（1）∵0a >，0b >，∴a b++≥≥2a b ==时取等号）.（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a ba b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.（3）∵0a >，∴11444244a a a a +=++-≥=-++， （当且仅当144a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +>-+【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可. 举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程：① ∵,a b R +∈，∴2a b b a +≥=；② ∵,x y R +∈，∴lg lg x y +≥③ ∵a R ∈，0a ≠，∴44a a +≥=；④ ∵,x y R ∈，0xy <，∴[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-. 其中正确的推导为（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④ 【解析】①∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，符合基本不等式的条件，故①推导正确. ②虽然,x y R +∈，但当(0,1)x ∈或(0,1)y ∈时，lg ,lg x y 是负数，∴②的推导是错误的.③由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的. ④由0,xy <得,y x x y 均为负数，但在推导过程中，将整体x y y x+提出负号后，()()x yy x -+-均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（ ）A.函数1y xx =+的最小值为2. B.函数2y =的最小值为2C.函数423(0)y x x x =-->最大值为2- D.函数 423(0)y x x x=-->的最小值为2 【答案】C【解析】A 选项中，∵0x ≠，∴当0,x >时由基本不等式12x x+≥；当0x <时12x x+≤-.∴选项A 错误. B选项中，∵22y === 21=时，成立）2，∴这是不可能的. ∴选项B 错误. C 选项中，∵0x >，∴44232(3)2y x x x x=--=-+≤-C 正确。
2a b+≤求最值 例2．设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【解析】221111()()11()()()4a a ab ab ab a a b ab a a b a a b ab a a b ab++=-+++--=-+++-≥ 当且仅当1()()1a ab a a b ab ab ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩即a b ==.【答案】D 举一反三：【变式1】若0x <,求9()4f x x x=+的最大值. 【解析】因为0x <,所以0x ->, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==,（当且仅当94x x -=-即32x =-时, 取等号） 故当32x =-时,9()4f x x x=+取得最大值12-.【变式2】已知0x <，求16()204f x x x=++的最大值.【解析】∵0x <，∴0x ->，∴4()224x x -+≥=⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立） ∴4()204[()]20444f x x x =--+≤-⨯=-（当且仅当4x x-=-，即2x =-时，等号成立） 故当2x =-时，()f x 的最大值为4.例3.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝14a b+的最小值是 A ．72B ．4C ．92D ．5【解析】∵0a >,0b >，∴141141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 答案选C 举一反三：【变式1】若0x >,0y >,且281x y+=,求xy 的最小值 . 【解析】∵0x >,0y >，∴281x y =+≥=（当且仅当2812x y ==即4x =，16y =时，等号成立） ∴64xy ≥（当且仅当4x =，16y =时，等号成立） 故当4x =，16y =时，xy 的最小值为64.【变式2】已知x ＞0，y ＞0，且191x y+=，求x+y 的最小值。
【解析】∵191x y +=，∴199()10y xx y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++ ⎪⎝⎭∵x ＞0，y ＞0，∴96y x x y +≥= （当且仅当9y x x y=，即y=3x 时，取等号）又191x y+=，∴x=4，y=12 ∴当x=4，y=12时，x+y 取最小值16。
类型三：基本不等式应用例4. 设,x y R +∈,1x y +=,求证：1125()()4x y x y ++≥ 【证明】11254x y x y ⎛⎫⎛⎫⇐++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()222222222251042512104332041804124x y x y xy x y xy xy x y xy xy xy x y xy ⇐++-+≥⇐+--+≥⇐-+≥⎛⎫⇐--≥ ⎪⎝⎭+⎛⎫⇐≤=⎪⎝⎭Q ()1804xy xy ⎛⎫⇐∴--≥ ⎪⎝⎭成立 举一反三：【变式1】已知3a >，求证:473a a +≥-【解析】44(3)333733a a a a +=+-+≥==-- （当且仅当433a a =--即5a =,等号成立）. 【例5】(2015春 东城区期末)已知0,0,0abc >>>，且1a b c ++=.(1)若a b c ==则111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 . (2)求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】(1)由题意可得13a b c ===带入计算可得1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)由题意和基本不等式可得0a b +≥>，0a c +≥>，0b c +≥>1a b c ++=Q111111118a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c a b c++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=≥=1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭举一反三：【变式】(2015 石家庄一模)已知函数()f x =R.(1)求实数m 的取值范围.(2)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求7a +4b 的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,130x x m ∴++--≥恒成立设函数()13g x x x =+--则m 不大于()g x 的最小值()13134x x x x ++-≥+--=Q 即()g x 的最小值为4，4m ∴≤(2)由(1)知n=421432a b a b ∴+=++()()()1217462243222322211955242344a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++ ⎪++⎝⎭⎛++⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当23a b a b +=+时，即2b a =时取等号.74a b ∴+的最小值为94类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为2112m ，预计（1）修复1m 旧墙的费用是建造1m 新墙费用的25% ，（2）拆去1m 旧墙用以改造建成1m 新墙的费用是建1m 新墙的50%，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m 的空缺。