八年级数学一次函数的图像和性质
初二数学一次函数的图像和性质(基础)
一次函数的图像和性质1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．4. 能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.一次函数的定义域是一切实数.一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数.它的自变量由所讨论的问题确定.要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1. 函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线；当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：（为常数，且）过（0，）和（，0）点的一条直线、的取值函数变化规律随的增大而增大随的增大而减小3. 、对一次函数的图象和性质的影响：一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，直线的截距是.由于值的不同，则直线相对于轴正方向的倾斜程度不同，这个常数称为直线的斜率.决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置、一起决定直线经过的象限4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交；（2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、一次函数与一元一次方程（组）的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点五、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.典型例题类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为____【变式2】（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是()A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟类型三、一次函数的性质3、已知一次函数．（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（）A． B． C．D．【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（）．类型四、一次函数与一元一次方程（组），一元一次不等式5、若直线与轴交于（5，0）点，那么关于的方程的解为______. 【变式1】如图，已知直线，则关于的方程的解＝_________.【变式2】若方程组的解为你能说出一次函数与的图象的交点坐标吗6、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（）A．＞－3B．＜－3C．＞3D．＜3【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（）A．≥0B．≤0C．≥2D．≤2巩固练习一.选择题1. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（）A． B． C． D．2．一次函数的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.4. 若函数与的图象交于轴上一点，则的值为（）A．4 B．－4 C．D．±45．已知直线和直线相交于点(2，)，则、的值分别为（）．A．2，3 B．3，2 C．，2 D．，36. 如图，已知函数和的图象交于点P（－2，－5），则下列结论正确的是（）A．＜－2时，＜B．＜－2时，＞C．＜0 D．＜0二.填空题7. 如果直线经过第一、二、三象限，那么______0．8. 点是一次函数图象上的两个点，且，则_ ．（填＞，＜或＝）9. 已知一次函数的图象与直线平行, 则＝______.10. 一次函数的图象与轴的交点坐标是_____，与轴的交点坐标是______．11. 一次函数与的图象如图，则方程的解是________.12. 已知不等式＞的解集是＜2，则直线与的交点坐标是_______.三.解答题13. 已知一次函数，（1）当______时，它的图象经过原点；（2）当______时，它的图象经过点(0，－2)；（3）当______时，它的图象与轴的交点在轴的上方；（4）当______时，它的图象平行于直线；（5）当______时，随的增大而减小.14. 已知与成正比例，且当＝1时，＝5（1）求与之间的函数关系式；（2）若图象与轴交于A点，与交于B点，求△AOB的面积.15. 如图所示，根据图中信息．（1）你能写出、的值吗？（2）你能写出P点的坐标吗？（3）当为何值时，＞？。
八年级数学一次函数的图像和性质
y y=2x+1
1 (0,1)
y=2x
y=2x-1
y
y= -0.5x+1 2
y=-0.5x
1 （0，1）
（-0.5，0） -1
（0.5，0）
0
1x
（-2，0）
-2
-1
0
1
-1 （0，-1）
（2，0）
2x
(0,-1) -1
已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若 函数y随x的增大而减小，并且函数的图 象经过二、三、四象限,求m的取值范围.
1、学会了用两点法画一次函数的图象
2. 一次函数的图象与性质，常数k，b 的意义和作用
3. 数形结合的思想与方法，从特殊到一般的思 想和方法
4. 进一步体验了研究函数的一般思路与方法
(1)k>0,b>0
y
(0,b)
0x
(2)k>0,b<0
y
0
x
(0,b)
-2 y= -0.5x-1
(3)k<0, b>0 (4)k<0, b<0
y
y
(0,b)
0x
0x(0,b)y随x的增大而增大， y随x的增大而增大, y随x的增大而减小， y随x的增大而减小， 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限
1、下图中哪一个是y=x-1的大致图像 ( B )
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
人教版八年级数学下册教学课件(RJ) 第十九章 一次函数 第2课时 一次函数的图象和性质
在一次函数y=kx+b中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
例4 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象 上的两点，下列判断中，正确的是( D )
A.y1＞y2 B. y1＜y2
C.当x1＜x2时，y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号 变化时，函数的增减性怎样变化吗？
k＞0时，直线左低右高， y 随x 的增大而增大； k＜0时，直线左高右低， y 随x 的增大而减小．
y y =-3x+1 y =-x+1 6
4
2 A
-5
O
-2
y =3x+1 y =x+1 C B
D 5x E
要点归纳
性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
6.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= 3 .
7.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点， 则y1-y2 > 0(填“>”或“<”).
8.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴交
点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整
数，求m的值 .
解: 由题意得
解：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意
实数.列表表示几组对应值(计算并填写表中空格).
x
－2 －1 0 1 2
y＝－6x
0 －6
y＝－6x＋5
5 －1
八年级数学下册 第二十一章 一次函数 21.2 一次函数的图像和性质 第2课时 一次函数的性质课件
21.2 一次函数的图像(tú 和性质 xiànɡ)
第一页，共二十四页。
第21章 一次函数
第2课时(kèshí) 一次函数的性质
知识目标 目标突破 总结反思
第二页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ)
知识(zhī shi)目标
1.经历(jīnglì)观察图像探索一次函数的增减性的过程，会应用一次函 数的增减性解决字母参数问题. 2.经历探索一次函数的图像和k，b的关系的过程，会运用一次函数的 图像和比例系数的关系求解字母参数.
D.k＜0，b＜0
[解析] ∵一次函数y＝kx＋b的图像(tú xiànɡ)经过一、三象限，∴k＞0.又∵ 该图像与y轴交于正半轴，∴b＞0.综上所述，k＞0，b＞0.故选A.
第八页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ)
（2）2017·广安当k＜0时，一次函数y＝kx－k的图像不经过（ ）
第十六页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ)
【归纳总结】一次函数的其他性质：
（1）一次函数 y＝kx＋b（k≠0，k，b 为常数）与 x 轴的交点坐
b 标为（－k，0），与
y
轴的交点坐标为（0，b）；
（2）一次函数与不等式的关系：可以根据函数关系式将一个变
量满足的不等关系，转变为另一个变量满足的不等关系，从而确
第二十一页，共二十四页。
21.2 一次函数的图象(tú 和性质 xiànɡ) 2.已知直线y＝2x＋m不经过第二象限，求m的取值范围.
解：∵k＝2>0，
∴直线经过第一、三象限. ∵直线不经过第二象限，
∴直线经过第一、三、四象限，故m<0.
人教版初中数学八年级下册19.2《一次函数的图像和性质》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k是斜率，b是截距。它描述了两个变量之间的线性关系，非常重要，广泛应用于物理学、经济学等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以物体的匀速直线运动为例，展示一次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版初中数学八年级下册19.2《一次函数的图像和性质》教案
一、教学内容
人教版初中数学八年级下册第19.2节《一次函数的图像和性质》教案：
1.理解一次函数的图像特点；
2.掌握一次函数的性质，包括斜率k和截距b的含义；
3.学会通过给定的一次函数解析式绘制其图像；
4.能够利用一次函数的性质解决实际问题；
4.增强学生的逻辑推理和数学抽象能力，通过对一次函数性质的探究，培养其从特殊到一般的思维方式；
初中数学 八年级下册 19-2-2-2一次函数的图像与性质(课件)
y=-
1
连线.
0.5x+1 - O
我们用同样的方法也可以画出 1 -
函数y=-0.5x+1的图象：
1
点(0，1)
y=2x-1 12 x
点(1，0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
两点确定了一条直线， 那函数上的其它点是不 是都在这条直线上呢？
y=-
y
0.5x+1 1
点(0，1)
对函数图象有什么影响？
知识点 2 一次函数的性质
分别画出下面四个函数的图象.
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+l
观 察 观察图象，填写表格.
y=kx+b
b>0 k＞0 b=0
b<0 b>0 k＜0 b=0 b<0
图象经过的象限
一、二、三
一、三 一、三、四 一、二、四
二、四 二、三、四
y=2x-1
-O 1 2 x
11 点(1，0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
①y=2x-1
y=-
y 点(0.5，
0)
令x=-0.5，此时y= -2 点的坐标为 (-0.5，-2)
0，；.5x+1
1
y=2x-1
令x=0.5，此时y= 0 ， 点的坐标为 (0.5，0) .
-O 1 2 x
y和x的变化
y随x的增大 而增大
y随x的增大 而减小
15一次函数的图像与性质
15一次函数的图像与性质1.图像特点：一次函数的图像是一条直线，它经过原点(0,0)。
直线的斜率k可以表示函数的性质，决定了直线的倾斜程度和方向。
当k大于0时，直线向右上方倾斜；当k小于0时，直线向右下方倾斜；当k等于0时，直线平行于x轴。
2.变化趋势：一次函数的变化趋势与自变量x的变化直接相关。
当x变大时，若k大于0，则y也会增大；若k小于0，则y会减小。
反之，当x变小时，则y的变化情况也相应地相反。
由此可见，一次函数的图像呈现出一个直线，且变化趋势具有确定性。
3.斜率性质：斜率k是一次函数的重要性质，它表示了函数图像的倾斜程度和方向。
一次函数的斜率有以下几个关键性质：-当k大于0时，函数图像是向上倾斜的，即从左下向右上。
斜率越大，直线越陡峭。
-当k小于0时，函数图像是向下倾斜的，即从左上向右下。
斜率越小，直线越平缓。
-当k等于0时，函数图像是平行于x轴的水平直线。
4.截距性质：一次函数还有一个重要的性质是截距。
截距表示了一条直线与y轴的交点，记作（0，b）。
对于一次函数y=kx来说，截距b等于函数在x=0处的取值，即b=k*0=0。
因此，一次函数经过原点（0，0），并且与y轴没有交点。
5.定比关系：一次函数的数值关系具有一种特殊的定比关系。
对于一次函数y=kx来说，当x增大或减小时，y的值与x的比值始终保持不变，即y/x=k。
这称为一次函数的定比关系，可以用来解决一些实际问题，如单位换算、速度、密度等概念的计算。
6.定义域和值域：一次函数的定义域为所有实数集R，即函数在实数范围内都有定义。
值域则取决于斜率k的正负。
当k大于0时，一次函数的值域是(0，+∞)；当k小于0时，值域是(-∞，0)。
由于一次函数的图像是直线，所以图像在纵轴方向上没有上下界限。
7.相关性质：一次函数的图像与直线的性质有密切关联，因为一次函数的图像就是一根直线。
因此，一次函数也具有直线的一些基本性质，如：-一次函数的斜率等于直线的斜率。
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一次函数的图像和性质（第2课时）
教学过程设计
教学反思
本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。
由此我采用“问题一一猜想一一探究一一应用” 的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐。
整堂课以问题思维为主线，充分利用几何画板及计算机辅助教学，特别是几何画板，巧妙地把数学实验引进了数学课堂，让学生充分参与数学学习，获得广泛的数学经验，整堂课融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体。
这样既注重知识的发生、发展、形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，又使学习者积极主动地将知识融入已构建的结构，而不是被动的接受并积累知识，从而“构建自己的知识体系”。
并通过探索过程，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，渗透数学的思想方法，发展数学思维。