多项式拟合方法及应用 ,-0, 单宝忠
多项式的拟合(共18张PPT)
第十五页，共十八页。
四、模型(móxíng) 求解
设VA VB 1000立方厘米，S=10 平方厘米，求容器的
B 部分溶液浓度的测试结果如下表（其中C j 的单位为
毫克/立方厘米）
t j (秒) 100
200
300
400
500
ccjj(105) 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 t j (秒) 600 700 800 900 1000
哪些地方船要避免进入。
第四页，共十八页。
水道水深测量数据(shùjù)（单位：英尺）
x 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 Y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 Z4868688 X 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 Y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 Z9988949
种分子穿透的能力。测定方法如下：
用面积 S 的薄膜将容器分成体积分别为VA,VB 的两部分，在两
部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分 子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位 面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系 数 K 表证了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时 测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定 K 的值。
c j (105) 6.10
6.26 6.39
第十六页，共十八页。
6.50
6.59
此时极小(jí xiǎo)化的函数为： 10
E(K , a, b) [a be20Kt j C j ]2 j 1 用Matlab软件(ruǎn jiàn)进行计 算
多项式 拟合
多项式拟合多项式拟合是数学中一类重要的函数逼近方法，它通过利用多项式函数在已知数据点附近的近似性质，来构造一个逼近原函数的多项式函数。
这种方法在实际问题中有着广泛的应用，比如数据分析、曲线拟合、信号处理等领域。
本文将详细介绍多项式拟合的原理、方法和应用，帮助读者深入了解和应用这一重要的数学工具。
多项式拟合的基本原理是利用已知数据点的坐标值，找到一条多项式曲线，使得该曲线与给定的数据点尽可能接近。
在实际应用中，我们常常会遇到一组散点数据，通过多项式拟合可以用一条平滑的曲线来逼近这些数据点，从而方便我们进行数据的分析和预测。
在进行多项式拟合时，一个关键的问题是如何确定多项式的阶数。
低阶多项式通常不能很好地拟合复杂的数据，而高阶多项式则可能会导致过拟合，使得曲线过度适应训练数据，而在新数据上表现较差。
因此，选择合适的多项式阶数是一个复杂的问题，需要根据具体情况进行调整。
多项式拟合的方法有很多种，其中最常用的是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化拟合曲线与数据点的残差平方和来确定最优拟合多项式。
也就是说，我们要找到一条多项式曲线，使得各个数据点到拟合曲线的距离之和最小。
这种方法在处理噪声较小的数据时效果很好，但对于噪声较大的数据则可能受到干扰。
除了最小二乘法，还有其他的多项式拟合方法，如最小化最大偏差法和逆矩阵法。
不同的方法适用于不同的问题和数据类型，读者可以根据自己的需求选择合适的方法。
多项式拟合在各个领域都有广泛的应用。
在数据分析和曲线拟合中，多项式拟合可以用来预测未来的数据趋势、分析数据的周期性和趋势性等。
在信号处理中，多项式拟合可以用来提取信号中的特征、去除噪声和恢复缺失的数据等。
此外，多项式拟合还可以应用于图像处理、机器学习和人工智能等领域。
总之，多项式拟合是一种重要的函数逼近方法，具有广泛的应用。
通过多项式拟合，我们可以利用已知数据点来构造一个逼近原函数的多项式函数，从而方便我们进行数据分析和预测。
多项式拟合适用范围
多项式拟合适用范围
多项式拟合（Polynomial Regression，PR）是一种统计分析方法，通过多项式
函数拟合数据，对数据变量建立模型关系，用于明确数据之间的关系或定量预测。
所谓多项式拟合，就是以最小二乘法优化拟合数据的一种表示方法，其应用的根基是统计方法。
多项式函数能有效反映数据间的相互关系，从而估计样本参数或预测未知变量。
一般来说，多项式拟合是指识别高斯噪声背景下多元变量之间的数学模型。
多项式拟合最常用于数据拟合和测量分析。
其通常用于拟合复杂的趋势即在实时数据方面；在测量分析中，多项式拟合也是一种有用的手段，可以了解隐藏关系，确定待测变量的变化规律，从而做出合理的推导。
多项式拟合的数据需求和应用范围也比较广泛，它可以用于预测、设计、诊断以及其他任何可以使用连续函数变量的场合，特别是当多变量环境中某些变量的数据量较小的时候，多项式拟合的效果就更加突出。
多项式拟合的数据需求也比较简单，只需足够多的连续数据，其余无特殊要求，便可以建立起估计模型，从而得出准确的定量结论，比如人口统计、市场消费量等，多项式拟合都能获取比较准确的预测结果，也是回归分析中最常用的方法之一。
另外，它比较适合多变量情况，如果仅有单个变量，建议使用线性回归。
总而言之，多项式拟合可以对数据的内在规律进行定量研究，从而获取有用的定量结论，是数据分析中一种有效的方法。
它的应用范围很广，特别在多元变量环境中，能够准确预测数据趋势，给出较为准确的定量结论，胜任多个不同领域的应用任务，是众多回归分析方法中的一体。
多项式拟合法公式
多项式拟合法公式多项式拟合在数学和科学领域中可是个相当重要的工具呢。
咱们先来说说多项式拟合到底是啥。
简单来讲，就是找一个多项式函数来尽量接近给定的一组数据点。
比如说，你做实验测了一堆温度和时间的数据，想找到它们之间的规律，这时候多项式拟合就能派上用场啦。
多项式拟合的公式，咱们以常见的一元多项式为例，一般形式就是：f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +... + anxⁿ 。
这里的 a₀, a₁, a₂,..., an 就是要通过一些方法确定的系数。
那怎么确定这些系数呢？这就得提到最小二乘法啦。
它的基本思路就是让所有数据点与拟合曲线之间的误差平方和最小。
我给您举个特别具体的例子吧。
有一次我带着学生们去做物理实验，测量小车在不同时间的位移。
我们得到了一组时间和位移的数据。
然后就想着用多项式拟合来找出它们之间的关系。
当时学生们都特别积极，拿着纸和笔在那算啊算。
我在旁边看着，心里那叫一个欣慰。
有的学生一开始思路不太对，把系数弄混了，急得抓耳挠腮。
我就过去稍微点拨一下，他们立马就恍然大悟，继续埋头苦干。
最后我们算出来了拟合的多项式，发现和理论值还挺接近的，大家都高兴得不行。
在实际应用中，多项式拟合的用处可多了去了。
比如在图像处理中，对一些有噪声的数据进行平滑处理；在经济学里，预测未来的经济走势；在工程中，分析各种测量数据等等。
不过呢，使用多项式拟合也不是毫无限制的。
如果数据的规律不是多项式形式的，硬用多项式拟合可能就会出问题。
而且多项式的次数选得不合适，也可能导致过拟合或者欠拟合的情况。
过拟合就是拟合得太好了，把数据中的噪声都当成规律了；欠拟合呢，就是拟合得不够好，没抓住数据的主要特征。
所以啊，在使用多项式拟合公式的时候，咱们得综合考虑各种因素，多试试不同的次数，看看哪个效果最好。
总之，多项式拟合法公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做练习，多结合实际的例子，就能很好地掌握它，让它为我们解决很多实际问题！。
通过点 拟合三次多项式
通过点拟合三次多项式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：通过点拟合三次多项式是一种常见的数学方法，用于求解一组给定点的最佳拟合曲线。
在现实生活中，这种方法被广泛应用于数据分析、图像处理、模式识别等领域。
在本文中，我们将详细介绍通过点拟合三次多项式的原理、方法和应用，并通过实例演示如何进行拟合。
一、原理通过点拟合三次多项式的核心思想是找到一个三次多项式函数，使得该函数与给定的一组点尽可能接近。
在数学上，一个三次多项式函数可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中a、b、c、d是待定系数，x是自变量。
通过给定的一组点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们可以建立一个方程组：f(x1) = a*x1^3 + b*x1^2 + c*x1 + d = y1f(x2) = a*x2^3 + b*x2^2 + c*x2 + d = y2...f(xn) = a*xn^3 + b*xn^2 + c*xn + d = yn通过求解这个方程组，我们可以得到最佳拟合的三次多项式函数。
二、方法在实际应用中，通过点拟合三次多项式通常使用最小二乘法来求解系数。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化残差的平方和来求解未知项。
对于通过点拟合三次多项式来说，最小二乘法的目标是最小化以下损失函数：L = Σ(yi - f(xi))^2其中Σ表示总和，yi是实际观测值，f(xi)是通过拟合曲线计算得到的值。
通过对损失函数求导并令导数为0，我们可以得到系数a、b、c、d的最优解。
三、应用通过点拟合三次多项式在实际应用中有着广泛的应用。
在图像处理中，我们可以利用该方法对曲线进行拟合，从而实现曲线的平滑处理和特征提取。
在数据分析领域，通过点拟合三次多项式可以帮助分析师找到数据之间的关联性，进而作出合理的预测和决策。
下面我们通过一个实例来演示如何通过点拟合三次多项式：假设我们有以下一组点：(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)，我们需要通过这些点拟合出一条最佳曲线。
多项式拟合 (4)
多项式拟合在数学和统计学中，多项式拟合是一种常用的数据分析技术，用于拟合一个已知数据集合的多项式函数。
通过多项式拟合，我们可以找到一个最佳拟合曲线，以预测未知数据点的值或者描述数据的趋势。
原理多项式拟合的原理是基于最小二乘法。
最小二乘法通过最小化观测值和拟合值之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线。
给定一组数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，我们希望找到一个多项式函数 f(x) 来最小化以下误差平方和：min Σ(yi - f(xi))^2其中，xi 和 yi 分别表示观测数据的自变量和因变量，f(xi) 是拟合函数的预测值。
多项式拟合中，常用的拟合函数是多项式函数。
一个一阶多项式函数可以表示为：f(x) = a0 + a1 * x其中，a0 和 a1 是多项式的系数。
一般情况下，我们可以拟合高阶多项式函数，例如：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^n实现在实现多项式拟合时，我们可以使用不同的工具和编程语言。
下面以 Python 为例，介绍如何使用 numpy 和 matplotlib 进行多项式拟合。
首先，我们需要准备一组观测数据。
假设我们有以下数据集合：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [2, 3, 4, 5, 6]接下来，我们可以使用 numpy 的 polyfit 函数进行多项式拟合。
polyfit 函数返回的是一个多项式的系数：import numpy as np# 定义观测数据x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [2, 3, 4, 5, 6]# 进行一阶多项式拟合coefficients = np.polyfit(x, y, 1)在上面的例子中，我们使用 1 作为拟合的阶数。
根据观测数据，polyfit 函数返回的 coefficients 是一个数组 [a0, a1]，其中 a0 和 a1 是拟合函数的系数。
多项式拟合方法分析数据曲线趋势
多项式拟合方法分析数据曲线趋势数据拟合是一种常用的数据分析方法，可以用来描述和预测变量之间的关系。
多项式拟合是一种常见的数据拟合方法，它可以通过拟合一个多项式函数来逼近一个给定数据集的曲线趋势。
本文将介绍多项式拟合的原理和方法，并分析其在分析数据曲线趋势方面的应用。
多项式拟合基本原理多项式拟合是利用多项式函数逼近实际数据曲线的方法。
多项式函数可以用来表示复杂的曲线趋势，其形式为：y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ... + a_nx^n其中y是因变量，x是自变量，n为多项式的阶数，a_0, a_1, ..., a_n为多项式的系数。
多项式拟合的方法一般使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是找到一组系数a_0, a_1, ..., a_n，使得拟合曲线与实际数据之间的平方误差最小。
通过求解目标函数的导数为0的方程组，可以得到最小二乘法的解。
多项式拟合的步骤多项式拟合的具体步骤如下：1. 收集数据：收集需要分析的数据集，包括自变量x和因变量y。
2. 确定多项式阶数：根据数据集的特点，确定多项式的阶数n。
阶数n 越高，拟合曲线越复杂。
3. 构建矩阵：构建一个(n+1) ×(n+1)的矩阵X和一个(n+1) ×1的向量Y，其中X的元素为x的幂次方值，Y的元素为对应的y值。
4. 求解系数：通过求解方程 X^T·X·A = X^T·Y，可以得到系数向量A = (a_0, a_1, ..., a_n)。
5. 拟合曲线：根据求得的系数A，构造多项式函数，并绘制拟合曲线。
6. 评估拟合效果：通过比较拟合曲线与实际数据之间的误差，评估拟合的效果。
多项式拟合方法在分析数据曲线趋势中的应用多项式拟合方法在分析数据曲线趋势方面具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 趋势预测：通过多项式拟合分析数据曲线趋势，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
Matlab中的多项式拟合方法及应用
Matlab中的多项式拟合方法及应用MATLAB是一种强大的数学软件工具，被广泛用于科学研究和工程应用中。
在MATLAB中，多项式拟合是一种常见的数据拟合方法，可用于处理实验数据、信号处理和图像处理等领域。
本文将介绍MATLAB中的多项式拟合方法，并探讨其在各个应用领域中的具体应用。
一、多项式拟合方法的基本原理多项式拟合是将一组实验数据拟合成一个多项式函数的过程。
多项式函数由若干个幂函数组成，形如：\[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \]其中，\(x \)是自变量，\(a_0, a_1, \ldots, a_n \)是待确定的系数。
多项式拟合的目标是找到最佳的系数，使得多项式函数在给定数据点上尽可能地接近实际观测值。
多项式拟合方法的关键是确定多项式的阶数，即确定多项式中幂函数的最高次数。
如果阶数过高，多项式函数可能会过度拟合实验数据，导致对噪声的过度敏感。
相反，如果阶数过低，可能会导致无法充分拟合实际曲线。
因此，选择适当的多项式阶数至关重要。
二、MATLAB中的多项式拟合函数在MATLAB中，polyfit()函数是常用的多项式拟合函数。
它的基本用法如下：\[ p = polyfit(x, y, n) \]其中，\(x \)是自变量的数据点向量，\(y \)是对应的观测值向量，\(n \)是多项式的阶数。
polyfit()函数返回多项式系数向量\(p \)，其中\(p(1) \)对应于\(a_n \)，\(p(2) \)对应于\(a_{n-1} \)，依此类推。
通过polyfit()函数得到多项式系数后，可使用polyval()函数计算拟合曲线在任意点的值。
polyval()函数的用法如下：\[ y_f = polyval(p, x_f) \]其中，\(p \)是多项式系数向量，\(x_f \)是需要计算拟合曲线值的自变量点，\(y_f \)是拟合曲线在\(x_f \)处的值。
多项式拟合在数据分析中的应用
多项式拟合在数据分析中的应用随着科技的发展和日常生活中大量数据的积累，数据分析作为一个研究和应用广泛的领域，越来越成为现代社会必不可少的工具。
作为其中的一个重要分支，多项式拟合因为其简单易用、适用性广泛等优点，成为了数据分析中经常使用的方法之一。
本文将介绍多项式拟合的原理、适用范围以及在数据分析中的应用。
一、多项式拟合原理多项式拟合是指通过一组数据点，在一定的误差范围内，寻找最匹配于数据点的多项式函数。
其原理基于机器学习中的回归问题，即通过一系列已知的输入与输出，建立一个函数映射关系。
在多项式拟合中，输入为一组自变量$x$的取值，输出为对应取值下的因变量$y$。
对于一个$n$次多项式，其形式为：$$ f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n $$其中$a_0,a_1,...,a_n$为多项式的系数，需要通过数据点的拟合误差最小化来求解。
一般而言，数据点拟合误差可以使用最小二乘法来求解。
最小二乘法的基本思想是寻找使得误差平方和最小的系数值，即：$$ \min_{a_0,a_1,...,a_n}\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2 $$其中，$m$为数据点个数，$(x_i,y_i)$为第$i$个数据点的坐标。
使用最小二乘法求解多项式系数后，就可以得到一条通过数据点的曲线，即多项式拟合曲线。
二、多项式拟合的适用范围多项式拟合的适用范围较广，包括但不限于以下几个方面：1. 数据拟合数据拟合是多项式拟合最基本的应用之一，可以广泛应用于各种数据分析、预测等领域。
例如，通过对某个数据集进行多项式拟合，可以得到一条趋势线，对于未来的预测提供参考。
同时，多项式拟合还可以用于数据平滑处理，将复杂的原始数据转化为更易分析的曲线。
2. 图像处理在数字图像处理中，很多图像处理算法都需要对图像进行拟合操作。
多项式拟合则可以用于图像中曲线、边缘的提取与拟合。
3. 物理实验数据处理多项式拟合在物理领域中也有广泛的应用。
多项式拟合方法在数据拟合与预测中的应用
多项式拟合方法在数据拟合与预测中的应用数据拟合与预测是统计学和机器学习领域中的重要课题，它们在各个领域都有着广泛的应用。
多项式拟合方法是其中一种常用的数学模型，通过拟合多项式函数来描述数据的变化趋势，从而实现对数据的拟合和预测。
多项式拟合方法的基本思想是利用多项式函数来逼近数据的变化规律。
多项式函数是一种形式简单、易于计算的函数，它可以通过不同次数的多项式来灵活地适应不同类型的数据。
在多项式拟合中，我们通过选择适当的多项式次数，使得拟合函数与原始数据的误差最小化。
多项式拟合方法的应用非常广泛。
在经济学中，多项式拟合方法可以用来描述经济指标的变化趋势，从而预测未来的经济走势。
在物理学中，多项式拟合方法可以用来分析实验数据，找出物理规律，并预测未知的实验结果。
在医学领域中，多项式拟合方法可以用来建立疾病的发展模型，从而预测疾病的进展情况。
多项式拟合方法的实现通常需要借助最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化拟合函数与原始数据的误差平方和来确定多项式的系数。
在实际应用中，我们可以利用计算机程序来实现最小二乘法，从而得到拟合函数的系数值。
然而，多项式拟合方法也存在一些限制和问题。
首先，多项式拟合方法在高次多项式的情况下容易出现过拟合现象。
过拟合指的是拟合函数过度适应了训练数据，导致对新数据的预测效果较差。
为了解决过拟合问题，我们可以通过交叉验证等方法来选择合适的多项式次数。
另外，多项式拟合方法在数据中存在噪声的情况下也容易受到干扰。
噪声是指数据中的随机误差，它们可能来自于测量误差、传感器噪声等。
为了降低噪声的影响，我们可以通过滤波等预处理方法来提高数据的质量。
除了多项式拟合方法，还有其他一些拟合方法也被广泛应用于数据拟合与预测中。
例如，线性拟合方法可以用来描述数据的线性关系；非线性拟合方法可以用来描述数据的非线性关系。
这些方法各有优缺点，选择合适的方法需要根据具体问题来决定。
总之，多项式拟合方法在数据拟合与预测中有着重要的应用价值。
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考虑（(）式，并令（%’）式对 (’ 的偏导数为零，
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推导得到：
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!
将（%)）式代入（%*）式最终得系数向量 !，即
可将镜面的面形表示成 +,-$#.,多项式系的线性
组合。
/01,2 是具有代表性的光学设计分析程序， 对光学系 统 进 行 光 学 性 能 分 析 是 其 基 本 应 用 之
一。/01, 2 中 使 用 的 +,-$#., 多 项 式 有 标 准 +,-$#.,多项式（+34）和 5-#$6,+,-$#., 多 项 式 （+53）两种类型。5-#$6,+,-$#., 多项式（+53） 已在 5-#$6,软件及其他干涉 图软件里 得到应 用， 它最多可有7)项，是标准 5-#$6,+,-$#.,多项式 （+53）的子集，按不同阶数排列。+,-$#.,多项式 可以精确描述畸变光学表面，并且其每一项都对
"! * ! 进行如下坐标转换：
!# * + #+ * , ! * #-, 其中，+、, 为中间变换矩阵，由上式即可求 得进行+,-$#.,多项式拟合的一系列系数 0。将 所求得的 +,-$#.,系 数 0 写入到一个DE4F 文 件，作为光学程序 /01,2 的输入文件，修正光学 镜面的变形。
! 应用实例
本方法曾作为结构和光学系统软件间的数据 接口，对某光机系统进行了光机热集成分析，应用 的 软 件 主 要 包 括：GHF3H4（ 结 构 分 析 模 块 和 热 分析模块）、/01,2（光学分析程序）。
首先要建立结构有限元模型和光学模型，使 结构模型中镜面上的节点与光学系统模型中的镜 面相对应。镜筒的光学模型的光学线路图、结构 有限元模型分别如图%、!所示。
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%&’()*&多项 式 的 正 交 性 问 题。 首 先 求 出 一 组 在 所有数据点集合上离散正交的，且为 %&’()*&多
镜面的波面总是趋于光滑和连续的，所以一 定可以将镜面的面形变化表示成一个完备基底函 数的线性 组 合 或 一 线 性 无 关 的 基 底 函 数 系 的 组 合。镜面的变形实质上等同于加工或检测时镜面 上存 在 的 畸 变。本 文 借 用 干 涉 检 验 的 概 念，用 +,-./0,多项式 对 工 程 分 析 的 镜 面 面 形 数 据 进 行 处理的方法已经广泛应用于工程项目、光学系统 设计 软 件（如 =>?,@）和 干 涉 检 查（如 +A BCD 等）。
（!#） 比较（!#）式最后一个等式的两端得：
./2*! & 8/，
（!.）
（!.）式两边同时乘 ! 矩阵并转置得：
. & !/·8 ，
（!/）
（!/）式中向量 " 可由已知数据点的数据，用
最小二乘法求得。设9（"，#）为变形后镜面的节
7!9
光学 精密工程
第%9卷
点位置。最小二乘法原理要求：
!! ·"! !
阵 2 中各元素345 的表达式如下
#"
（4 ’5）
% % % ［
345 &(
&
4*!
7 ·!4#* （
6&!
&
7 ·!4·16）#］*!#
（4 &5）
（!!）
4*!
% % ［（
$ 6&!
7 ·!4·16）·244·265］
（4 )5），
将（!!）式代入（<）式即可求得 1。由（5）和 （=）式可得： -（"，#）& ./·! & ./·2*!·1 & 8/·1 ，
第!"卷 第(期 &""& 年 * 月
光学 精密工程
8HI/FGC.?J-,F/G/>.<.K/.,,-/.K
文章编号 !""#$%&#’（&""&）"($"(!)$"*
+,-./0,多项式拟合方法及应用
@>E1!" L>1( MN.1 &""&
单宝忠!，&，王淑岩!，牛憨笨!，刘颂豪&
（!1深圳大学 光电子学研究所，广东 深圳2!)"*"； &1华南师范大学 量子电子学研究所，广东 广州2!"*(!）
+,-./0,多项式是 ;1+,-./0,在!%(# 年构 造 的。+,-./0,多项 式 是 互 为 正 交、线 性 无 关 的，而 且可以唯一的、归一化描述系统圆形孔径的波前 边界。另外，+,-./0,多项式很容易与 9,/?,E像差 项对应，为有选择地单独处理各像差系数、优化系
统性能提供了有效的方法。 +,-./0,多项 式 是 理 想 的 结 构 分 析 与 光 学 分
式 中 !"#（"，#）和 !$%（"，#）为%&’()*&多项式。当 " &"时$ &!，当"""时，$ &"(+。对于具有圆 形光瞳镜面的系统，可将其规一化为单位圆。函数
系的正交使不同多项式的系数相互独立，有利于
消除偶然因素的干扰。
#）和光学设计者惯用的,&)$&-像差系数很容 易建立起联系，如表#所示。
图% 光学系统模型 5#6D% "01,I0J@?,0K@#>;ILML@,<D
第7期
单宝忠，等：G+;<#H+多项式拟合方法及应用
7!8
图! 光学镜筒的有限元模型 "#$%! "&’ ()*+,)-./+)0.#12,.34+%
表! 外载荷作用下光学镜面节点位移
924,+8 :2;.#2,<)*+=’*+-);(2.#)<)-2=3;-21+ 3<#.：!(
%）所取采样点归一化，转换到单位圆内 采样点的归一化就是要求得将圆形光瞳转换
为单位圆后，采样点对应的坐标。归一化后，采样
点的坐标为：
#’ "（#’$#9）／#’ 1’ "（1’$19）／#’ （#9，19）、#’ 为采样点的中心坐标和极坐标
半径。 !）计算+,-$#.,多项式 "，作为基底函数 将%）中归一化的采样点坐标，带入 +,-$#.,
+,-./0,多项式具有如下两个主要特点： !）在单位圆上正交，即有如下关系
收稿日期：&""!$!!$!)；修订日期：&""&$"#$!&
第.期
单宝忠，等：%&’()*&多项式拟合方法及应用
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中得到应用。
关 键 词：+,-./0,多项式；拟合；集成分析；有限元法；光机系统 中图分类号：345# 文献标识码：6
!引 言
光机系统的光学元件在外载荷作用下，由于 镜筒的变形将作整体相对位移，同时，光学表面也 发生面形变化。所有这些变化都引起光学系统的 同心度（789）变化及波前畸变（:;<），从而影响 光学系统的特性。分析恶劣环境下光机系统的光 学性能是很有必要的。
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（6）
基 底 函 数 选 定 后，剩 下 的 问 题 是 如 何 求 出
（5）式中的常数 .$ ，即求 %&’()*&多项式的线性 组合系数。
上式中2 是系数元素345的方阵。1 中的每一 个元素均满足方程：