等积变换经典例题
等积变形专项练习
等积变形专项练习
1。
在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中,当从水中取出铝块时,容器的水面下降了0。
2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2。
用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件.如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5。
一个圆柱形容器的底面半径是4分米,高6分米，里面盛满水,把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米?
7。
把一个长2米的圆柱截去4分米后,原来的表面积就减少了25.12平方分米，原来圆柱的体积是多少立方分米?
8。
在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出.(水槽厚度忽略不计）
（1)求这块青铜的体积.
(2)如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱,它的高是多少？(得数保留一位小数）
9.(拓展)在一个圆柱形储水桶里，把一段半径是5cm的圆钢全部放入水中,水面就上升9cm；把圆钢竖着拉出水面8cm长后，水面就下降4cm。
求圆钢的体积。
等积变形练习题
等积变形练习题等积变形是一种在数学中常见的概念，它涉及到图形或物体形态的变化，同时保持其面积或体积不变。
通过等积变形，我们可以研究图形之间的关系以及解决一些复杂的数学问题。
本文将介绍一些常见的等积变形练习题，帮助读者加深对等积变形的理解与应用。
1. 矩形的等积变形假设有一片固定面积的矩形，在等积变形的过程中，我们可以改变矩形的长和宽，但保持面积不变。
那么问题来了：在固定面积条件下，矩形的长和宽的关系是怎样的？解答：设矩形的长为x，宽为y，由题意可知xy=常数。
我们可以通过解方程的方法来找出x和y的关系。
将这个方程改写为y=常数/x的形式，其中常数为C。
这意味着y和x成反比例关系，当x增大时，y会减小；当x减小时，y会增大。
这样我们就找到了矩形的等积变形规律。
2. 圆的等积变形与矩形不同，圆的等积变形是指在保持圆的面积不变的情况下改变圆的半径。
现在考虑一个具体的例子：题目：一个圆的半径为r，它的面积为S。
将该圆按照一定的方式等面积地变形成一个新的圆，新的圆的半径为r'。
请问，r'与r之间的关系是怎样的？解答：圆的面积公式为S=πr²，保持面积不变意味着S=πr²=π(r')²。
将这个方程进行变形，可以得到r' = √(S/π)。
也就是说，在等积变形的过程中，圆的半径与原来的半径r之间的关系是r' = √(r²S/S')，其中S'是新圆的面积。
3. 立方体的等积变形对于一个正立方体，它的体积可以通过边长的立方来计算。
在等积变形中，我们可以改变立方体的边长，但保持体积不变。
接下来让我们看一个例子：题目：一个正立方体的边长为a，它的体积为V。
将该立方体等面积地变形成一个新的立方体，新的立方体的边长为b。
请问，b与a之间的关系是怎样的？解答：立方体的体积公式为V=a³，保持体积不变意味着a³=b³。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。
如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以 ， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。
等积变形例题
解 在直角三角形CDH和直角三角形EKD 中，CD=DE 又∵∠EDK=180°-∠CDH-90° ∠DCH=180°-∠CDH-90° ∴ DCH与 EDK完全相等。 而ABCD是等腰梯形
K A
E
故CH=(BC-AD) ÷2 =(35-23) ÷2
23
D F
=6(厘米) ∴DK=CH=6厘米
B
35
求绿色四边形的面积。 解 连BF，则四边形BCDF为梯形。 4 6 6 ∵S黄÷S红=6÷4=1.5 ∴S白÷S红=1.5×1.5=2.25 ∴S白=S红×2.25=4 ×2.25=9（平方厘米） ∴S绿=S白+S黄－S红 =9+6－4=11（平方厘米） 答：绿色四边形ABEF的面积为11平方厘米。
Ｓ ＫＧＥ=Ｓ Ｃ Ｄ Ｓ ＤＧＥ=Ｓ Ｆ Ｇ Ｐ 所以 阴影部分面积＝ Ｈ Ａ Ｂ 解：１４÷４＝３.５（厘米） 正方形ＢＥＦＧ的周长＝１４厘米， Ｅ Ｋ
ＦＧＥ ＢＧＥ
正方形ＢＥＦＧ的面积
３.５×３.５＝１２.２５（平方厘米） 求阴影部分面积。 答：图中阴影部分面积是 １２.２５平方厘米。
分析与解： 分析与解：
答：丙、丁两个三角形面 积之和是甲、乙两个三角 形面积之和的1.25倍。
分析与解：
等积变形
例5
G
F
∵∠DAB=∠GAE=90° ∴ ∠GAD+ ∠EAB =360°-90 °×2 =180°
D
A C
E
∴三角形BAE绕A点顺时针旋转， 使AB与AD重合，这时，点E落 在点H，且G,A,H在一条直线上。 ∵AG=AE=AH，三角形DAH与 三角形DAG等底同高， ∴S DAH=S DAG 答：内圈三角形石板的总面积 与外圈石板的总面积一样大。
等积变形的应用——两道赛题的解法
等积变形的应用——两道赛题的解法赛题一：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个等腰直角三角形，且其新的三边为x，x，y。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{x}{\sin B'} = \frac{y}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin B = x\cdot\sin C = y\cdot\sinA'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{a \cdot \sinA}{\sin C}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$赛题二：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个三角形，且其新的三边为x，y，z。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{y}{\sin B'} = \frac{z}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y，z的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin A' = y\cdot\sin B' = z\cdot\sin C'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B'}$$$$z = \frac{a \cdot \sin A}{\sin C'}$$。
三角形中的等积变换
【例1】用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相 等的三角形。
A
A
A
B
C
B
C
B
C
【例2】用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形， 使它们的面积比为1:3:4
A
A
A
C
B
C
B
C
【例3】如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O， 求证：△AOB与△COD面积相等。
A
O
D
B
C
【例4】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。
D
A
C B
【例5】如图，已知在△ABC中，BE＝3AE，CD＝2AD.若△ADE 的面积为1平方厘米，求三角形ABC的面积。
A
E
D
B
C
【例6】如图，在△ABC中，BD＝2AD，AG＝2CG，BE＝EF＝ FC＝⅓BC，求四边形EFGD部分面积占三角形ABC面积的几分之 几？。
D
C F
A
E
B
A
D G B E F C
【例7】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的 面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。
D
C F
A
E
B
【例8】如图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF， DC=CG，AD=DH，求四边形EFGH的面积。
H
C D E s1
G
s2 A
B
F
【练习】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是。
等积变换问题
等积变换问题1、（山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .2、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 ( )A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关3、（广西南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．164．(2011重庆綦江)如图，已知A （4，a ）,B （－2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数xm y 的图象的交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB 的面积.5、如图，矩形OABC 的两边OA ，OC 在坐标轴上，且OC =2OA ，M ，N 分别为OA ，OC 的中点，BM 与AN 交于点E ，且四边形EMON 的面积为2，6. （2011陕西，8,3分） 如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy x y 24=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．67. （2011河北，12，3分）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ.则以下结论 ①x ＜0时，x2y =，②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ=2PM⑤∠POQ 可以等于90°图5—2图5—1PQM其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤图1ABCPDEDC图3图4 CD图2BC E 8、如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =∠A =90°，AD =a ，BC =b ，AB =c ，操作示例我们可以取直角梯形ABCD 的非直角腰CD 的中点P ，过点P 作PE ∥AB ，裁掉△PEC ，并将△PEC 拼接到△PFD 的位置，构成新的图形（如图2）．思考发现 小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC 绕点P 逆时针旋转180°到△PFD 的位置，易知PE 与PF 在同一条直线上．又因为在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C +∠ADP =180°，则∠FDP +∠ADP =180°，所以AD 和DF 在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF 是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形．实践探究（1）矩形ABEF 的面积是 ；（用含a ，b ，c 的式子表示） （2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．联想拓展 小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．如图5的多边形中，AE =CD ，AE ∥CD ，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．9、(本题10分)九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为的主题的课题研究. 第一学习小组发现：如图（1），点A 、点B 在直线1l 上，点C 、点D 在直线2l 上，若1l ∥2l ，则ABD ABC S S ∆∆=；反之亦成立。
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等积变换
1、等面积图形拼接类
1、小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG .
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成
一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个．．符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、 BC 、
CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ . 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图．．
并直接写出结果）.
2、根据所给的图形解答下列问题：
（1）如图1，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，把△ABD 绕点A 旋转，并拼接成一个与△ABC 面积相等的正方形,请你在图１中完成这个作图；
（2）如图2，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，请你设计一种与(1)不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形；
（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD 的面积的结论
.
图1
图2
图3
图
4 A
B
C
D
图3
图2
图1
C
B
A
A
B C
D
2、等分面积类问题
1、请作一条直线通过割补把下面的四边形变成面积相等的三角形
2、如图，一块矩形的铁皮ABCD 被割去一个小矩形部分DEFG ，剩下一个五边形ABCGFE ，请作一条直线把剩下的五边形分成面积相等的两部分
3、（1）请过△ABC 边BC 中点D 作一条直线平分△ABC 的面积
（2）请过△ABC 边BC 中点D 外任一点P 作一条直线平分△ABC 的面积
4、如图，梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC 且AB DC.设AD=a,BC=b.
B
C
A
D
G E D B
C
F
A D
B C
A D
B C
A
P
A
B
C
D
A
D
C
B 过AD 中点和B
C 的中点的直线可将梯形纸片ABC
D 面积分成面积相等的两部分. 请你再设计一种方法:
只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD 分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法.
5、如图是王大爷的一块四边形菜地，在A 处有一口井，王大爷要想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.。