衡水中学2020届高三上学期四调文数答案
由直线和抛物线相切可得△ (k2 p 2 p)2 k4 p2 0 ，解得 k 1 ，
可取 k 1 ，可得切线的倾斜角为 45 ，
由抛物线的定义可得
| PA | | PF |
1 sin(90 )
1 cos
，而
的最小值为
45 ，
| PA | 的最大值为 2 ； | PF |
（2）由 y2 4x ，可得 F (1, 0) ，设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2 ) ， C(x3 ， y3 ) ， D(x4 ， y4 ) ， G(x, y) ，
=-16 cos A
2 8
2
23 2
,
∵ 2 BD 4,2 BD2 16,
2 12 8 2 cos A 16
解之得: - 2 cos A 5 2
4
8
所以当 cos A
2 8
2 4
,1
时,
( s12
s22 ) max
23 2
19．解析：(1)因为 P 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1，由题意和抛物线定义 p 1， 2
A,
s22
1 2
CB CD sin C
2
4 sin2
C;
@高 博
浪微 所以: s12 s22 8sin2 A4sin2 C
新 =8 1-cos2 A 41 cos2 C
=12-8 cos 2 A 4 cos 2 C
=12-8 cos2
A
4
2
cos
A
1 2
2
= -1 6 co s 2 A 4 2 co s A 1 1
点 G 满足 4FG FA FB FC FD ，
站 载 下
费 可得 4(x ， y) (x1 x2 x3 x4 4 ， y1 y2 y3 y4 ) ，
号@免 即为
4x
x1
x2
x3
x4
4
4k 2
4 k2
，
众 4 y
y1
y2
y3
y4
4k
4 k
，
信公 可得
y2
(k
1 )2 k
k2
1 k2
新 y kx 1
由 x2
9
y2 4
消去
1
y
得 (4 9k2)x2
18kx 27 0 ，
所以 x0
x1 x2 2
9k 4 9k 2
,
y0
kx0
1
4
4 9k 2
.
…………………7
分
当 k 0 时，
设过点
C
且与
l
垂直的直线方程
y
1 k
(x
4
9k 9k
2
)
4
4 9k
2
将
M (m, 0) 代入得： m
1. B 2． C 3. A 4．C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. A 10． B 11. A 12. C
13．
14． (x 4)2 ( y 4)2 5
15． 2
16. 12, 24
3
站
载 17．解析：（1）设等差数列an 的公差为 d,
∵ a3 7 , a5 a7 26 ,
4
5 9k
………… …………………9
分
k
若 k 0 ，则 4 9k 2 4 9k =12 ，
k
k
若 k 0 ，则 4 9k [ 4 (9k)] 2 4 (9k) = 12
k
k
k
所以 5 m 0 或 0 m 5 ………………………………………11 分
12
12
当 k 0 时， m 0
所以
f
(e)
f (1) ea
3 1 sin a 44
e2 3 1 sin
4
4
a 4
，所以
4ea
sin
a2 a e2 4
12
0
，
设 h(x) 4ex sin x e2 12, h '(x) 4e cos x 0 ，
4
44
则 h(x) 单调递增，
因为 h(2) 8e e2 13 0 ，
下 费
@免 ∴ {2a1a121d0d
7
26
,解得
a1
3,
d
2
,
号 ∴ an 3 2n 1 2n 1;
公众 Sn
3n
nn 1 2
2
n2
2n
.
微信 （2） bn
4 an2 1
2n
4
12
1
1 n
1 n 1
,
∴ Tn
1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
1
1 n 1
n n 1
.
18．解析：（1）在 ABD 中: BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=12-8 2 cos A;
4
微 4 4
因为 g(2) 0 ，所以 a 2 ，
浪
新 当 a e 时， f (x) 在 [1, ) 上单调递增，所以 f (x)min f (1) ，所以 a 2 ，
从而 a e 满足题意. 当 2 a e 时， f (x) 在 (a, e) 上单调递减，在 [1, a), (e, ) 上单调递增,
AB
1
1 k2
y1 y2
4 1
1 k2
，
若点 E 存在，设点 E 坐标为 x0 , y0 ，
EM EN
1
1 k2
y0
y1
1
1 k2
y2
y0
1/3
1
1 k2
y1y2
y02
y1
y2
y0
1
1 k2
16
y02
4 y0 k
，
站
载
EM EN
费下 AB
4 时，16
y02
4 y0 k
3 2
,1
，可得
案
27
卷答 a42a2
1 b2
b2
1 c2
，.………………………………………………3
分
试 三
c a
Hale Waihona Puke 5 3@高 解得 a2 9,b2 4 所以椭圆的 E 方程为 x2 y2 1. ……………5 分 博9 4
浪微 （Ⅱ）设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ， AB 的中点 C(x0 , y0 )
16 ，
@免 解得
y0
0
或
y0
4 k
(不是定点，舍去)
号 则点 E 为 4,0 经检验，此点满足 y2 4x ，所以在线段 MN 上，
众
公 ②若斜率不存在，则 AB 4 ， EM EN 4 4 16 ，
信 此时点 E 4,0 满足题意，
微
综合上述，定点 E 为 4,0 .
20．过点
3
设 l1 : y k(x 1) ，联立抛物线 y2 4x ，可得 k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0 ，
2/3
即有
x1
x2
2
4 k2
，
y1
y2
k (x1
x2 )
2k
4 k
，
由两直线垂直的条件，可将 k 换为 1 ，可得 k
x3 x4 2 4k 2 ， y3 y4 4k ，
案 当 a 0 时， x a 0, f (x) 在 (0, e) 上单调递减，在 (e, ) 上单调递增；
答 当 0 a e 时， f (x) 在 (a, e) 上单调递减，在 (0, a), (e, ) 上单调递增；
卷 当 a e 时， f (x) 在 (e, a) 上单调递减， (0, e), (a, ) 上单调递增.
综上所述，存在点 M 满足条件,m 取值范围是 5 m 5 .……………12 分
12
12
21 解：（1） A 是点 F ( p ， 0) 关于顶点 O 的对称点，可得 A( p ， 0) ，
2
2
设过 A 的直线为 y k(x p ) ， k tan ， 2
联立抛物线方程可得 k 2 x2 (k 2 p 2 p)x k 2 p2 0 ， 4
所以 h(x) 的零点小于 2，从而不等式组的解集为 (2, ) ， 所以 2 a e ， 综上，存在 a (, e) ，使得 f (x) 3 1 sin a 对 x [1, ) 恒成立，且 a 的取值范围为 (2, e] .
44
3/3
试 （2）假设存在 a (, e] ，使得 f (x) 3 1 sin a 对 x [1, ) 恒成立， 三 4 4
高 则 f (1) 2a 3 3 1 sin a ，即 8a sin a 15 0 ，
@ 4
44
4
博 设 g(x) 8x sin x 15, g '(x) 8 cos x 0 ，则 g(x) 单调递增，
案 在 BCD 中: BD 2 =BC 2 CD 2 2 BC CD cos C 8 8 cos C 答 所以1 2 -8 2 co s A 8 8 co s C ,整理得: 2 cos A cos C 1
卷2
三试 （2）由题意
s12
1 2
AB
AD sin
A
2
8 sin 2
2
x2，
微 则 G 的轨迹方程为 y2 x 2 ．
22．解析：（1） f '(x) x ln x a ln x a x (x a)(ln 1), x (0, ) ，
当 a e 时， f '(x) (x e)(ln x 1) 0 ， f (x) 在 (0, ) 上单调递增；
2019-2020学度河北衡水中学高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学度河北衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、15．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、49．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、1211．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c 的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．2019-2016学年河北省衡水中学高三〔上〕四调数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D、【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；应选：D【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m∉P，应选B、【点评】此题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin〔45°﹣30°〕=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30〔+〕，∴建筑物的高度为PBsin45°=30〔+〕×=〔30+30〕m，应选A、【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，应选：B【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a 7+a14≥2=2=2=20．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a1•a20=a7•a14=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．应选：A、【点评】此题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决此题的关键．注意均值定理的合理运用．6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：那么A〔1，1〕，B〔2，4〕，∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，假设a=0，那么y=z，此时满足条件，假设a＞0，那么目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，假设a＜0，那么目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，应选：B、【点评】此题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决此题的关键．注意要进行分类讨论．7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x∈[0，π]，那么和．故答案为：D【点评】此题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f〔y〕max=4，令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，从而可得答案．【解答】解：令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，那么f〔y〕≤|y+4﹣y|=4，即f〔y〕max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f〔y〕max=4，∴a≥﹣〔2x〕2+4×2x=﹣〔2x﹣2〕2+4恒成立；令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，∴常数a的最小值为4，应选：D、【点评】此题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，那么进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．应选C、【点评】此题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB 的平面与SC垂直是此题的解题关键，常考题型．10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、12【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出〔4﹣〕2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，〔4﹣〕2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．应选：C、【点评】此题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．11．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f〔x〕=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈〔0，1〕，再求出g〔x〕的导函数的范围，然后把过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f〔x〕=﹣e x﹣x，得f′〔x〕=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈〔0，1〕，由g〔x〕=ax+2cosx，得g′〔x〕=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．应选：A、【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】令F〔x〕=x2f〔x〕，利用导数的运算法那么，确定f′〔x〕=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f〔x〕满足，∴令F〔x〕=x2f〔x〕，那么F′〔x〕=，F〔2〕=4•f〔2〕=．由，得f′〔x〕=，令φ〔x〕=e x﹣2F〔x〕，那么φ′〔x〕=e x﹣2F′〔x〕=．∴φ〔x〕在〔0，2〕上单调递减，在〔2，+∞〕上单调递增，∴φ〔x〕的最小值为φ〔2〕=e2﹣2F〔2〕=0．∴φ〔x〕≥0．又x＞0，∴f′〔x〕≥0．∴f〔x〕在〔0，+∞〕单调递增．∴f〔x〕既无极大值也无极小值．应选D、【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的必要不充分条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕【考点】充要条件．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；假设m⊂a，m⊥β，那么根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用导函数求解函数值即．【解答】解：函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=log3〔10﹣1〕+2﹣1+1=2+1=3．故答案为：3．【点评】此题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为1．【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，〔n∈N*〕，假设，可得a n==2〔〕．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】此题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥M﹣PSQN，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如下图；所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．故答案为：．【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】〔1〕利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．〔2〕利用正弦定理把角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．【解答】解：〔1〕依题．又，那么，故当即时，f〔x〕max=3．〔2〕由〔1〕知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，那么b2+c2﹣bc=bc即〔b﹣c〕2=0，故b﹣c=0．【点评】此题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：〔1〕取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD、〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由〔1〕可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】此题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔I〕利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．〔II〕，由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】〔Ⅰ〕解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．〔Ⅱ〕，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．〔3〕利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB 1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解答】〔1〕证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；〔2〕解：由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈〔0，π〕，∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】此题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】〔1〕先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h〔x〕=的最小值即可．〔3〕分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：〔1〕∵f′〔x〕=1+lnx，∴f′〔e〕=1+lne=k﹣3∴k=5，〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么ax02＞x0lnx0，∴a＞设h〔x〕=那么h′〔x〕=，当x∈[1，e]时，h′〔x〕≥0〔仅当x=e时取等号〕∴h〔x〕在[1，e]上单调递增，∴h〔x〕min=h〔1〕=0，因此a＞0．〔3〕由题意xlnx＞〔k﹣3〕x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F〔x〕=，∴F′〔x〕=，令m〔x〕=x﹣lnx﹣2，那么m′〔x〕=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，且m〔3〕=1﹣ln3＜0，m〔4〕=2﹣ln4＞0，所以在〔1，+∞〕上存在唯一实数x0〔x0∈〔3，4〕〕使m〔x〕=0当1＜x＜x0时m〔x〕＜0即F′〔x〕＜0，当x＞＜x0时m〔x〕＞0即F′〔x〕＞0，所以F〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增，F〔x〕min=F〔x0〕===x0+2∈〔5，6〕故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】此题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题．【分析】〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF 的长度；〔2〕根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．〔2〕假设圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT那么PT2=PB•PO=2×4=8，即【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．〔Ⅱ〕由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…〔3分〕解得函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣4〕∪〔3，+∞〕；…〔5分〕〔Ⅱ〕不等式f〔x〕≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|〔x﹣1〕﹣〔x+2〕|=3，…〔8分〕∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是〔﹣∞，﹣5]．…〔10分〕【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（文）试题一、单选题1．设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a 的值为( )A ．1或-1B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】 ∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选：B 【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2B ．32C ．12D ．52【答案】B【解析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==.本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20【答案】A【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 【考点】等比中项.4．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,23)-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程为22916x y λ-=，将点(3,23)-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2916=+，本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：,,．由题意知．．．故D 正确．【考点】1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A ．(sin 2)sin f x x = B ．2(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】 A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.【考点】函数的概念 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，，可得，，①，② 由①②得，的周长为，故选C. 8．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形 【答案】D【解析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()'3'cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则3131'3'cos sin 3''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则()'3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()3sin cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC V 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 【考点】三视图10．已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2019πB ．42019π C ．22019πD ．4038π【答案】C【解析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】 解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++3sin2019cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==，12A x x ∴-的最小值为22019π，故选：C ． 【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11．已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F BC ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．202⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫⎪⎝⎭，C ．30⎛ ⎝⎭，D ．60⎛ ⎝⎭， 【答案】A【解析】分别求出线段F A 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出．【详解】 如图所示，线段FC 的垂直平分线为：211bx --=，线段BC 的中点122b ⎛⎫⎪⎝⎭，．∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=， 把211b x m --==代入上述方程可得：221b b y n --==．∵0m n +>，2221110b b b ----．化为：21b b -01b <<， 解得212b <． ∴22102c e c b a ⎛- ⎝⎭==，． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12．设()()22D 22x x a e aa =-+-+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A ．2B ．3C ．21+D ．31+【答案】C【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x C x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值. 详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x C x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线xy e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)m m e ，由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，设()2mg m m e=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有112FQ =+=，则D 的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案． 【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤， 则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14．已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()22445x y -+-=【解析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程. 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 点D 在直线l 的下方，则22102tt -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为：()()22445x y -+-=. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π 【解析】5和角度关系，分析即可解决． 【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=∴A 'F 2251R OF -=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =--=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16．已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=Q ，3R =2sin sin sin a b cR A B C∴=== 23a A ∴=，3c C =)233 23sin sin 23sin sin 23sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭203A π<<Q 5666A πππ∴<+<36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦1sin 1x Q -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)
数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。
河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(文)试题(扫描版)
2018—2019学年度上学期高三年级文科四调试题答案一、BCBAD CACBA DA 二．13.1+14.15.11122n n ++- 16.1．【解析】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故选B.2. 【解析】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.故选C .3. 【解析】设为坐标原点，∵，∴为直角三角形． 又的中点，∴．∵，∴，∴为正三角形，∴直线的倾斜角为，∴．∴离心率．故选B ．4.【解析】 .故选A5.【解析】当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊄α，∴①错； a ∩β＝P 时，②错；如图，∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∉a ， ∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ，∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确； 两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．．故选D ．6.【解析】因为，故选C.7.【解析】由题意，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=2，AC=2，因为平面ABC ，和平面PBC 都是是直角三角形，则角ABC 为直角，此时满足BC 垂直于PA ，BC 垂直于AB 进而得到BC 垂直于PB ，此时满足面PBC为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC 的中点，球心在过底面圆心并且和PA 平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为r=．∴R 2=r 2+1，即R=．∴球O 的表面积S=4πR 2=12π．故选A ．8【解析】设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则12122212121243,44AB y y y y k y y x x y y --====-+- 1243y y +=得.同理326432==+y y ，22413-=-=+y y ，三式相加得0321=++y y y . 故与前三式联立，得34,2,32321-==-=y y y ，944,14,914233222211======y x y x y x ，则27143321=++x x x .故所求重心的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,2714.故选C. 9. 【解析】由题知，()()11110212212x x f x f x --+=-+-=++，可得()x f 为奇函数.又()x f 是R 上的减函数，故()()()()()⇒-=--≥-⇒≥-+-22222222022nm f m n f n m f m n f n m f()()222222112m n m n m n -≤-⇒-+-≤，所以满足条件的()n m ,表示的区域是圆()()21122=-+-y x 的内部（含边界），则点()n m ,到直线047=++y x 的距离d=5047++n m ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-25012,25012，所以74m n ++的取值范围是[]22,2.故选B.10.【解析】由函数的图象可得，则，可得再由五点作图法可得，可得,故函数的解析式为由故将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象,故选。
2024届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学试题及答案
2023-2024学年度上学期高三年级四调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{11},02A xx B x x =-<<=∣∣ ，则A B ⋂=（）A.[)0,1 B.(]1,2- C.(]1,2 D.()0,12.已知直线1:30l ax y +-=和直线2:3230l x y -+=垂直，则a =（）A.32-B.32C.23-D.233.已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（）A.4πB.12πC.16πD.π34.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，()()1f x x x =+，则()1f -=（）A.-1B.-2C.2D.05.已知α是第一象限角，cos 5α=，则cos cos2sin ααα-=（）A.135-B.75-C.135 D.1106.记n S 为等比数列{}()0n n a a >的前n 项和，且131233116,,,42a a S S S =成等差数列，则6S =（）A.126B.128C.254D.2567.已知直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A.[]2,6 B.[]4,8 C. D.⎡⎣8.设2ln0.99,ln0.98,1a b c ===，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c<< D.c b a<<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A.{}n a 是递增数列B.1014a =-C.当4n >时，0n a < D.当3n =或4时，n S 取得最大值10.已知函数()()2e xf x x =-，则下列说法错误的是（）A.()f x 的图象在2x =处的切线斜率大于0B.()f x 的最大值为eC.()f x 在区间()1,∞+上单调递增D.若()f x a =有两个零点，则e a <11.已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎤⎥⎝⎦D.若π342g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则ω的最小值为212.如图，在ABC 中，π,12B AB BC ∠===，过AC 中点M 的直线l 与线段AB 交于点N .将AMN 沿直线l 翻折至A MN ' ，且点A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，连接AH 交l 于点,O D 是直线l 上异于O 的任意一点，则（）A.A DH A DC ∠∠''B.A DH A OH ∠∠''C.点O 的轨迹的长度为π6D.直线A O '与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为13-第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()52,1,,2a b k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，若a∥b ，则k =__________.14.写出一个圆心在y x =上，且与直线y x =-和圆22(3)(3)2x y -+-=都相切的圆的方程__________.15.已知表面积为100π的球面上有,,,S A B C 四点，ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为__________.16.若数列{}n a 满足()2*114,13n n n a a a a n +==-+∈N ，则122017111a a a +++ 的整数部分是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin 2A Cc b C +=.（1）求B ；（2）若BD 是AC边上的高，且1,BD b ==，求ABC 的周长.18.（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ADC AC ∠= 与BD 交于点O ，EC ⊥底面,ABCD F 为BE 的中点，AB CE =.（1）证明：DE ∥平面ACF ；（2）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.19.（12分）已知数列{}n a 是各项都为正整数的等比数列，13a =，且3a 是2a 与434a 的等差中项，数列{}nb 满足111,21n n b b b +==+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若582242n n b k a n k +⋅-+- 对任意*n ∈N 恒成立，求实数k 的取值范围.20.（12分）已知点P 到()2,0A -的距离是点P 到()1,0B 的距离的2倍.（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于,E F 两点，则BE BF ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()()e sin 1xf x a x a =--∈R .（1）当1a =时，讨论函数()()e xf xg x =在区间π3π,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调性；（2）当3a =-时，证明：对()0,x ∞∀∈+，都有()2e 12e xxf x x -<++-.22.（12分）如图①，在ABC 中，4,,13BC AB B E D ===分别为,BC AC 的中点，以DE 为折痕，将DCE 折起，使点C 到1C 的位置，且12BC =，如图②.（1）设平面1C AD ⋂平面1BEC l =，证明：l ⊥平面1ABC ；（2）若P 是棱1C D 上一点（不含端点），过,,P B E 三点作该四棱锥的截面与平面1BEC 所成的锐二面角的正切值为2，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.参考答案及解析2023-2024学年度上学期高三年级四调考试•数学一､选择题1.A【解析】因为集合{}{11},02A xx B x x =-<<=∣∣ ，所以{01}A B xx ⋂=<∣ .2.D【解析】由于直线1:30l ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，故320a -=，解得23a =.3.B 【解析】已知圆锥的底面半径2r =，高h =则母线长6l ===.圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2πr ，扇形的半径为圆锥的母线长为l ，所以圆锥的侧面积12ππ26π12π2S rl rl =⨯==⨯=.4.B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 0时，()()1f x x x =+，所以()()112f f -=-=-.5.B 【解析】因为α是第一象限角，25cos 5α=，所以sin 5α=，所以2225cos cos 75cos22cos 121sin sin 555αααααα⎛⎫-=--=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭.6.A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,a q >>0，由题意可得213213216,13,22a a a S S S ⎧==⎪⎨+=⎪⎩即()()21123124,1322a a a a a a a =⎧⎪⎨+++=+⎪⎩整理得2324,28,a a a =⎧⎨==⎩则1214,8,a q a q =⎧⎨=⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以()6621212612S ⨯-==-.7.A 【解析】因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，所以令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，所以()()2,0,0,2,A B AB --=.点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ，圆22(2)2x y -+=的圆心为()2,0，半径为，圆心到直线的距离为d ==P 到直线的距离h的最大值为+=最小值为=，则ABP 的面积为12S AB h =⨯⨯，最大值为162⨯=，最小值为122⨯=.所以ABP 面积的取值范围为[]2,6.8.D【解析】令0.01x =，则())()22ln 1ln(12,ln 12a x x xb x =-=-+=-，显然a b >.令0x =.02，则()ln 1,1b x c =-=，令()f x b c =-，则()()()1ln 11,2f x x x f x ⎛⎫'=--+<= ⎪⎝⎭.因为22(1)1212x x x x -=-+>-，所以()0f x '>，所以()()00f x f >=，即b c >，综上，a b c >>.二､多选题9.CD 【解析】当2n 时，128n n n a S S n -=-=-+，又116a S ==适合上式，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故Λ错误；1012a =-，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n=-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.10.ACD 【解析】由题得()()()e 2e 1e x x x f x x x =-+-=-'，则()22e 0f =-<'，故A 错误；当1x <时，()()0,f x f x '>在区间(),1∞-上单调递增；当1x >时，()()0,f x f x '<在区间()1,∞+上单调递减，所以()f x 的极大值即最大值为()1e f =，故B 正确，C 错误；令()()g x f x a =-，则()()1e x g x x =-'，由B知()g x 在区间(),1∞-上单调递增，在区间()1,∞+上单调递减，所以()g x 的极大值为()1e g a =-，且当x 趋向于∞-时，()g x 趋向于a -，当x 趋向于∞+时，()g x 趋向于∞-，所以若()f x a =有两个零点，则e 00a a ->⎧⎨-<⎩，即0e a <<，故D 错误.11.ABC 【解析】若()πsin (03f x x ωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，π)2ϕ<为偶函数，则πππ,32k k ϕ+=+∈Z ，π2ϕ<，所以π6ϕ=，A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，则2π3πT ω==，所以2,B 3ω=选项正确；由()0,πx ∈，得πππ,π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5π2<π7ππ62ω+ ，得71033ω< ，C 选项正确；因为()πsin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若πππsin 4462g ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π463k ω+=+或ππ2π2π463k ω+=+，得283k ω=+或28,k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为23，D 选项错误.12.BCD 【解析】依题意，将AMN 沿直线l 翻折至A MN ' ，连接AA '.由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，故AA MN '⊥，又A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，所以A H '⊥平面,BCMN MN ⊂平面BCMN ，所以,,A H MN AA A H A AA '⊂'⋂=''⊥'平面A AH '，A H '⊂平面A AH '，所以MN ⊥平面A AH '，所以,,AO MN A O MN A H MN ''⊥⊥⊥，所以90AOM ∠= ，且A OH ∠'即为二面角A MN B '--的平面角.对于A 选项，由题意可知，A DH ∠'为A D '与平面BCMN 所成的线面角，故由线面角最小可知A DH A DC ∠∠'' ，故A 错误；对于B 选项，因为A OH ∠'即为二面角A MN B '--的平面角，故由二面角最大可知A DH A OH ∠∠'' ，故B 正确；对于C 选项，因为MN AO ⊥恒成立，故O 的轨迹以AM 为直径的圆弧夹在ABC 内的部分，易知其长度为1ππ236⨯=，故C 正确；对于D 选项，如图所示，设ππ,32AMN ∠θ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，在AOM 中，因为90AOM ∠= ，所以sin sin AO AM θθ==，在ABH中，π,π2cos cos 3ABB AH BAH∠∠θ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin πcos 3OH AH AO θθ=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线A O '与平面BCMN 所成的角为α，则sin πcos 33cos 111813πsin π33sin cos 3322OH AO θθαθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当ππ232θ-=，即5π12θ=时取等号，故D 正确.三､填空题13.5-【解析】因为a∥b ，所以5122k -⨯=⨯，故k =5-.14.22(1)(1)2x y -+-=或22(2)(2)8x y -+-=（答案不唯一）【解析】设圆心为(),m m，则半径r ==；假设与圆22(3)(3)2x y -+-==+，所以31m m -=+，故226921m m m m -+=++，则34m m +=，若0m >，则44m =，得1m =，则圆心为()1,1，半径为r =22(1)(1)2x y -+-=；若0m <，则24m =，得2m =，不满足前提.假设与圆22(3)(3)2x y -+-=内切，又点()3,3与y x =-的距离为=>，此时圆22(3)(3)2x y -+-=内切于所求圆，则m =31m m -=-，故226921m m m m -+=-+，则34m m -=，若0m >，则24m =，得2m =，则圆心为()2,2，半径为r =22(2)(2)8x y -+-=；若0m <，则44m =，得1m =，不满足前提.综上，所求圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=或22(2)(2)8x y -+-=.15.12+【解析】如图，因为球的表面积为100π，所以球的半径为5.设ABC 的中心为O '，则OO '=3，所以4CO '=，所以ABC的边长为，所以ABC的面积为.欲使三棱锥S ABC -的体积最大，则S 到平面ABC 的距离最大.又平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影为线段AB 的中点D .因为5SO =，所以33SD ==S ABC -的体积最大为(13123V =⨯+=.16.2【解析】因为()2*114,13n n n a a a a n +==-+∈N ，所以()2110n n n a a a +-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 单调递增，所以()1110n n n a a a +-=->，所以()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---，所以1212231111111111111111111111n n n n n S a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .所以20173m S ==-201811a -，因为143a =，所以222234441313131331331331,1,12,33999818181a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+==-+==-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820172016201542a a a a a >>>>>> ，故201811a ->，所以20181011a <<-，所以201812331a <-<-.因此m 的整数部分是2.四､解答题17.解：因为sin sin 2A C c b C +=，所以πsin sin sin sin 22BC B C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,π,sin 0C C ∈≠，所以cos sin 2B B =，即cos 2sin cos 222B B B =.因为π0,,cos 0222B B ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以1sin 22B =，故π26B =，解得π3B =.（2）因为π,3B b ==，所以111222ABC S b BD =⋅=⨯⨯ .又由1πsin 234ABC S ac ==，可得42ac =，所以2ac =.由余弦定理222π2cos 3b ac ac =+-，可得223a c ac =+-，即2()33a c ac +=+，即2()369a c +=+=，所以3a c +=，所以ABC的周长为318.（1）证明：如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE 的中位线，所以OF∥DE .又OF ⊂平面,ACF DE ⊂⊂平面ACF ，所以DE ∥平面ACF.（2）解：以C 为坐标原点，,CB CE 所在直线为,y z 轴，过C 作CB 的垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为ABCD 是菱形，60ADC ∠= ，所以ADC 为等边三角形.不妨设2AB CE ==，则)()1,0,0,2,0D B -，())()0,0,2,,0,1,1E A F，可得()(),0,2,2DB BE ==- ，设平面EBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，可得30,220,DB n y BE n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨取1y =，则1x z ==，可得)n = .又()AF = ，所以AF 与平面EBD所成角的正弦值为5||||n AF n AF ⋅= 19.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则*q ∈N ，因为3a 是2a 与434a 的等差中项，所以324324a a a =+，所以23214q q =+，解得2q =或23q =（舍去），所以132n n a -=⨯因为121n n b b +=+，所以()1121n n b b ++=+，又112b +=，所以数列{}1n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=，所以21n n b =-.（2）由582242n n b k a n k +⋅-+- ，整理得可得()()112232832n n k n k --+-⨯-+ ，即()()13283n k n --⋅- ，所以33162n k n -- 对任意*n ∈N 恒成立.令()32n n f n -=，则()()()()11122323412222n n n n n n n n n f n f n +++------+-=-==，所以当4n 时，()()1f n f n + ，当5n 时，(f n +1）()f n <，所以当4n =或5时，()f n 取得最大值，所以()max 1()416f n f ==.所以311616k - ，解得4k .故实数k 的取值范围是[)4,∞+.20.解：（1）设点(),P x y ，由题意可得2PA PB =，=，化简可得22(2)4x y -+=.（2）设点()00,Q x y ，由（1）知点P 满足方程（222)4x y -+=，则0021,0,x x y y +=⨯⎧⎨+=⎩代入上式整理可得22004x y +=，即点Q 的轨迹方程为224x y +=，如图所示，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y ，得)2222(1240k x k x k +-+-=，显然Δ0>，设()()1122,,,E x y F x y ，则212221k x x k +=+，212241k x x k-=+，又()()11221,,1,BE x y BF x y =-=- ，则()()()()()2212121212121211111BE BF x x x x y y x x x x k x x k ⋅=-+++=-+++--=+ .()()()()()()22222222221212224211111421311k k x x k x x k k k k k k k k k --++++=+⋅-+++=--++=-++.当直线l的斜率不存在时，((,1,E F ，3BE BF ⋅=- .故BE BF ⋅ 是定值，3BE BF ⋅=-.21.（1）解：当1a =时，()e sin 1sin 11e ex x x x x g x --+==-，()π1cos sin 14e e x xx x x g x ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭=-=-'，当π02x -<<时，()()ππππ,cos(0,44442x x g x g x ⎫-<+<+>⎪⎭'<单调递减；当3π02x <<时，()()ππ7ππ,cos 0,44442x x g x g x ⎛⎫<+<+'<> ⎪⎝⎭单调递增.所以()g x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(0，3π2⎫⎪⎭上单调递增.（2）证明：当3a =-时，要证()2e 12ex x f x x -<++-，只要证23sin 22e x x x ---<-，即证()2e 3sin 22x x x --<-.令()()2e 3sin 2x F x x x =--，则()()2e 6sin 23cos 5x F x x x x =-+-'.当0x >时，令()()sin ,1cos 0h x x x h x x =-=-' ，所以()h x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，即sin x x >，所以22sin x x -<-.所以()()()()222e 6sin 23cos 5e 6sin 2sin 3cos 5e 4sin 3cos 5x x x F x x x x x x x x x '=-+-<-+-=+-()2e 5sin 50x x ϕ⎡⎤=+-⎣⎦ ，其中ϕ为辅助角，且满足34sin ,cos 55ϕϕ==.所以()F x 在区间()0,∞+上单调递减，即()()02F x F <=-.故()2e 12e x x f x x -<++-.22.（1）证明：如图，连接1CC ，因为,E D 分别为,BC AC 的中点，所以11,CE C E EB CD C D DA ====，所以11,ACC BCC 分别为以,AC BC 为斜边的直角三角形，即1111,CC AC CC BC ⊥⊥，又111AC BC C ⋂=，1BC ⊂平面11,ABC AC ⊂平面1ABC ，所以1CC ⊥平面1ABC ，因为平面1C AD ⋂平面11BEC l CC ==，所以l ⊥平面1ABC.（2）解：如图，过1C 作1C H BE ⊥，连接CP 并延长，交1AC 于点Q ，连接,EP BQ ，因为11C E C B =，所以H 为EB 的中点，所以1BH =，连接AH，因为13BH AB B AB ===，所以AH EB ⊥，又1,AH C H H AH ⋂=⊂平面11,AHC C H ⊂平面1AHC ，所以BE ⊥平面1AHC ，连接HQ ，则1C HQ ∠是截面EPQB 与平面1BEC 所成二面角的平面角，即1tan 2C HQ ∠=.在Rt 1BCC 中，12,4BC BC ==，所以1CC =，又在ABC中，由余弦定理可得2222cos 1316242113AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯，所以在Rt 1ACC 中，2221121129AC AC CC =-=-=，所以13AC =，所以22211AH AC HC =+，所以11;HC AC ⊥因为1113tan 2C Q C HQ HC ∠===，所以132C Q =，即Q 为1AC 中点.又D 是AC 中点，所以P 是1ACC 的重心，所以1122,33C P CD CP CQ ==，所以211323CPE CQB S S =⨯= ，所以11CPE 24C BQPE C CDPE V V V --==四棱锥三棱锥三棱锥，又1C AQB C BQC V V --=三棱锥三棱锥，所以ABEDQP C ABQ C DPE V V V --=-=几何体三棱锥三棱锥15C BQC C DPE C DPE V V V ----=三棱锥三棱锥三棱锥，所以145C BQPEABEDQP V V -=四棱锥几何体.。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a值为( ) A. 1或-1 B. -1 C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52的【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=， 所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】A 【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 考点：等比中项.4.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程22916x y λ-=，将点(3,-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2=， 故选B .【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A. 1b =B. a b ⊥C. 1a b ⋅=D. ()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 【此处有视频，请去附件查看】6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.考点：函数的概念7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A. B. 2+ C. 4 D. 4【答案】C 【解析】双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F =，可得2a c ==，122PF PF a -==，① ()()22121212PF PF PF PF PFPF -=-+())1212122a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=，② 由①②得12PF PF ==12PF F ∴∆的周长为12124PF PF F F ++=+ C.8.函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==， 12A x x ∴-的最小值为22019π， 故选C ．【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11.已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 02⎛ ⎝⎭， B. 102⎛⎫⎪⎝⎭，C. 02⎛ ⎝⎭，D. 05⎛ ⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】分别求出线段FA 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出． 【详解】如图所示，线段FC 的垂直平分线为：12x =，线段BC 的中点122b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，把x m ==代入上述方程可得：y n ==．∵0m n +>，0．化为：b 01b <<，解得12b <．∴02c e c a ⎛ ⎝⎭==，． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12.设D 2a =+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )B.11【答案】C 【解析】表示两点(,)x C x e 与点(,A a 距离，而点A 在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2D a =+，(,)x C x e 与点(,A a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x y e =的垂线，此时D 取得最小值，的即Q 为切点，设(,)m m e ， 由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=， 设()2m g m m e =+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，的则数列{}n a 构成等差数列，设公差d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．【答案】()()22445x y -+-= 【解析】【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A B A B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>， 点D 到直线l的距离为()2212154t t t d -+--==，当4t =时，d， 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=. 故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）π【答案】23【解析】【分析】解决．【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R=∴A'F===2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ===2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=，R =2sin sin sin a b c R A B C∴===a A ∴=，c C =)233sin sin sin sin sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 203A π<< 5666A πππ∴<+< 36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ 可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦ 1sin 1x -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令24()1n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+（2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a ,d 的方程组求解{}n a 再求前n 项和公式即可得出．（2）变形()22441111211n n b a n n n ===--++-，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,∵37a =,5726a a +=,∴1127{21026a d a d +=+=,解得13a =,2d =,∴()32121n a n n =+-=+;()213222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）()22441111211n n b a n n n ===--++-, ∴11111111223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB=BC=CD=2，AD=(1)cos A C -的值;(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是S 1与S 2,求2212S S +的最大值,【答案】（1）12；(2)232. 【解析】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,cos A C - 的值;(2)利用(1)的结果,得到2212s s +是关于cos A 的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD 的范围,由BD 的范围求出cos A 的范围,再求出2212s s +的最大值.试题解析：（1）在∆ABD 中：222BD =AB +AD -2AB AD cosA ⨯⨯⨯ ;A在∆BCD 中：222BD =BC 2cos 88cos CD BC CD C C +-⨯⨯⨯=-所以88cos A C =-1cos 2A C -=； 由题意22211AB AD sin 8sin ,2s A A ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 22221sin 4sin ;2s CB CD C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以：2222128sin 4sin s s A C +=+ ()()22=81-cos 41cos A C +- 22=12-8cos 4cos A C - 221=12-8cos 42A A ⎫--⎪⎭2=-16cos 11A A ++223=-16cos 82A ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭224,216BD BD <<∴<<，21216A ∴<-<，解之得：-cos 4A <<所以当cos -184A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()2212max 232s s +=. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19.已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点,M N （,M N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于,A B 两点，若//AB MN ，线段MN 上是否存在定点E ，使得·4EM EN AB =恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 24y x =(2)存在，且坐标为()4,0 【解析】【分析】（1）由P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，结合抛物线定义可得12p =，从而可得结果；（2）设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合OM ON ⊥，可得直线()124:4MN y x y y =-+，直线()1AB y k x =-：，与C联立，利用弦长公式求得2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，可得200241·116y EM EN y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，·4EM EN AB =时，20041616y y k-+=，从而可得结果. 【详解】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义，12p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，（2）由题意，0MN k ≠， 设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭整理可得()1244y x y y =-+，直线:AB ①若斜率存在，设斜率为(),1k y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01·EM EN y y =-()()2120120211y y y y y y k ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭20241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ·4EM EN AB=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上，②若斜率不存在，则4,?4?416AB EM EN ===， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20.椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞的离心率是3P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ) 22194x y +=；(Ⅱ)见解析．【解析】 【分析】2249b a =，于是椭圆方程为2222149x y a a +=．有根据题意得到椭圆过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将坐标代入方程后求得29a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，则点M 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．由题意得设出直线AB 的方程，借助二次方程的知识求得线段AB 的中点C 的坐标，进而得到线段AB 的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式可求出m 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为3，所以3c a ==，整理得2249b a =．故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以22927144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=．（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()00,C x y则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++， 所以12029249x x k x k +-==+， ∴0024149y kx k =+=+，∴点C 的坐标为2294,4949kC k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k⎛⎫=-++⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++．若0k >，则554129kk≤=+， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299kk kk=-≥-+--，∴5012m <≤． ②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值；（2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）32p =；（2；（3）23y x =-.【解析】 【分析】（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x =可得y =，可得6=，解得32p =； （2）A 是点(2p F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2pA -，0)，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF ； （3）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得 23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，即为2123424444x x x x x k k =+++-=+①， 1234444y y y y y k k=+++=-+②， 联立①②式消元可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =-【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性； (2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增. （2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin 1504a a π-->， 设()8sin154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >，因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增，因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e . 【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.。
衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 文科数学(含答案)
衡水中学2020届高三上学期第四次调研试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合M ={-1,2,3}，N ={a +2,a 2+2}，且M ⋂N ={3}，则实数a 的值为()A.1或-1B.-1C.1D.22．AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是()A．2B．12C．32D．523.已知{}n a 是等比数列,且0n a >,243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=,那么35a a +的值等于()A.5B.10C.15D.204．与双曲线有共同渐近线,且经过点(-3,)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A、8B、4C、2D、15.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b ⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+7.已知双曲线()22210x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A.B.2C.4D.4+8.已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为'()f x，且π()'sin cos 6f x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，()'()1f A f B ==，则ABC △的形状为()A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能是()A.B.C.D.@@10．已知ππ()sin(2019cos(2019)63f x x x =++-的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x ,总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12||A x x -的最小值为()A.π2019B.2π2019C.4π2019D.π403811.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A C ,上顶点为B .过,,F B C 作圆P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n .当0m n +>时,椭圆离心率的取值范围为()A. B.1(0,)2C. D.12.设2D a =+．其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为()1+1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献.例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则某一等人比其下一等人多得斤金.(不作近似计算)14．已知直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，与抛物线交于A,B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB（O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-，则A DB '∠=．16.已知三角形ABC 的三边分别为,,a b c ,所对的角分别为,,,A B C 且满足113a b b c a b c+=++++,且三角形ABC 的外接圆的面积为3π,则()()cos 24f x x a c =++sin 1x +的最大值的取值范围为__________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河北省衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试化学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：河北省衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试化学本试卷分第I卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共12页,满分100分，考试时间110分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 D 2 C 12 N 14 O 16 Al 27 S 32 Fe 56 C u6 4 Zn 65 Br 80第I卷(选择题共40分）一、选择题（1～20每小题1分,21～30每小题2分，共40分。
从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．化学与生产、生活、科技、环境等密切相关。
下列说法正确的是 ( ）A．“华为麒麟980”手机中芯片的主要成分是二氧化硅B．豆腐有“植物肉”之美称，“卤水点豆腐”是胶体的聚沉过程C．港珠澳大桥为了防腐蚀可以在钢铁中增加含碳量D．《本草纲目》中“冬月灶中所烧薪柴之灰，令人以灰淋汁，取碱浣衣”中的碱是碳酸钠2．ClO2和NaClO2均具有漂白性，工业上用ClO2气体制NaClO2的工艺流程如图所示。
下列说法不正确的是（）A．步骤a的操作包括过滤、洗涤和干燥B．吸收器中生成NaClO2的离子方程式：2ClO2＋H2O2 ===2ClO＋O2↑＋2H＋2C．工业上可将ClO2制成NaClO2固体，便于贮存和运输D．通入空气的目的是驱赶出ClO2，使其被吸收器充分吸收3．《本草纲目》中收载“烧酒"篇:“自元时始创其法,用浓酒和糟入甑，蒸令气上……其清如水，味极浓烈，盖酒露也。
”《本草经集注》中记载有关于鉴别消石（K N O3）和朴消(Na2SO4）之法:“以火烧之，紫青烟起,云是真消石也".文字中两处涉及“法"。
分别是（ )A．蒸馏焰色反应 B．萃取升华C．蒸馏丁达尔效应 D．升华焰色反应4．已知反应：2NO（g)＋Br2（g）2NOBr(g）△H=－a kJ·mol－1 （a> 0），其反应机理如下：①NO(g）＋Br2（g)NOBr2(g）快②NO（g）＋NOBr2(g）2NOBr（g)慢下列有关该反应的说法正确的是（ )A．该反应的速率主要取决于①的快慢B．NOBr2是该反应的催化剂C．正反应的活化能比逆反应的活化能小a kJ·mol－1D．增大Br2（g)浓度能增大单位体积内活化分子百分数,加快反应速率5．N A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法不正确的是（）A．电解精炼铜时，若阳极质量减少64 g，则转移到阴极的电子数不一定等于2N AB ．18 g 氨基（－ND 2）中含有的电子数为10N AC ．用惰性电极电解100 mL 0.1 mol ·L －1的CuSO 4溶液，当阴、阳两极产生相同条件下等体积的气体时，电路中转移电子数为0。
河北衡水中学2020-2021学年度高三上学期新高考第四次调研考试-数学试题及答案
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，且 .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 为平行四边形，
∴ .
又 平面 ，且 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， .设 ，
由（1）得 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，同理∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
【详解】
设 ，则 ， ，
，即 在 上单调递减，
，即 ，
即 ，故选项A不正确； ，
即 ，即 ，故选项D不正确；
，即 ，即 ．
故选项B不正确；故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．A
设椭圆方程为 ，
双曲线方程为 ，
20【答案】（1） ；（2）过定点（2，-1）.
【分析】
（1）设点 ，根据MA，BM的斜率之积为 ，可得 ，又M在椭圆上，所以 ，联立方程，可解得 ，又根据题意 ，即可求得椭圆方程.
（2）设 ， ，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可得 的表达式，根据题意 ，代入求解可得 ，代入直线，即可求得定点坐标.
3．若双曲线 ( )的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C．4D．
因为 ( )可化为 ( )，
所以 ，则 ，即 .故选：D.
4．B由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为 ，
底面积为 ，所以，该正四棱锥的侧面积为 ，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 ，则有 ，所以， ，设内切球的半径为 ，则如图，
衡水中学2020届高三上学期四调文数答案
1. B 2．C 3. A 4．C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. A 10．B 11. A 12. C 13．14．22(4)(4)5x y-+-=15．23π16.(]12,2417．解析：（1）设等差数列{}n a的公差为d,∵37a=,5726a a+=,∴1127{21026a da d+=+=,解得13a=,2d=,∴()32121na n n=+-=+;()213222nn nS n n n-=+⨯=+.（2）()22441111211nnba n nn===--++-,∴11111111223111nnTn n n n=-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++.18．解析：（1）在ABD∆中:222BD=AB+AD-2AB AD;A⨯⨯⨯在BCD∆中:222BD=BC2cos88cosCD BC CD C C+-⨯⨯⨯=-所以88cosA C=-,整理得:1cos2A C-=（2）由题意22211AB AD sin8sin,2s A A⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭22221sin4sin;2s CB CD C C⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭所以:2222128sin4sins s A C+=+()()22=81-cos41cosA C+-22=12-8cos4cosA C-221=12-8cos42A A⎫--⎪⎭2=-16cos11A A++223=-16cos82A⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭,24,216BD BD<<∴<<,21216A∴<-<解之得:-cos4A<<所以当cos84A⎛⎫=∈- ⎪⎪⎝⎭时,2212max23()2s s+=19．解析：(1)因为P到点F的距离比它到y轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=，所以抛物线C的方程为24y x=.(2)由题意0MNk≠，设211,4yM y⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()22221,4yN y y y⎛⎫>⎪⎪⎝⎭，由OM ON⊥，得1216y y=-，直线124:MN ky y=+，2111244yy y xy y⎛⎫-=-⎪⎪+⎝⎭，整理可得()1244y xy y=-+，直线:AB①若斜率存在，设斜率为k，()1y k x=-，与C联立得2440ky y k--=，2141ABk⎛⎫==+⎪⎝⎭，若点E存在，设点E坐标为()00,x y，01EM EN y y⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=(不是定点，舍去) 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上，②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.20．过点⎫⎪⎪⎝⎭，可得22222271143a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，.………………………………………………3分 解得229,4a b ==所以椭圆的E 方程为22194x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)C x y由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22(49)18270k x kx ++-=，所以120002294, 124949x x k x y kx k k +-===+=++. …………………7分 当0k ≠时，设过点C 且与l 垂直的直线方程22194()4949k y x k k k=-++++ 将(,0)M m 代入得：549m k k=-+……………………………9分 若0k >，则49k k +≥， 若0k <，则449[(9)]12k k k k -+=-+-≤- 所以5012m -≤<或5012m <≤………………………………………11分当0k =时，0m =综上所述，存在点M 满足条件,m 取值范围是551212m -≤≤.……………12分 21解：（1）A 是点(2p F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2pA -，0)， 设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=，由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，(,)G x y ， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k +=+，12124()2y y k x x k k+=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++， 即为2123424444x x x x x k k=+++-=+，1234444y y y y y k k=+++=-+， 可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =-．22．解析：（1）'()ln ln ()(ln 1),(0,)f x x x a x a x x a x =-+-=--∈+∞， 当a e =时，'()()(ln 1)0f x x e x =--≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a ≤时，0,()x a f x ->在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增； 当0a e <<时，()f x 在(,)a e 上单调递减，在(0,),(,)a e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(,)e a 上单调递减，(0,),(,)e a +∞上单调递增. （2）假设存在(,]a e ∈-∞，使得1()3sin 44a f x π>+对[1,)x ∈+∞恒成立，则31(1)23sin 444a f a π=->+，即8sin 1504a a π-->，设()8sin15,'()8cos 0444x xg x x g x πππ=--=->，则()g x 单调递增， 因为(2)0g =，所以2a >，当a e =时，()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)f x f =，所以2a >， 从而a e =满足题意.当2a e <<时，()f x 在(,)a e 上单调递减，在[1,),(,)a e +∞上单调递增,所以21(1)3sin 441()3sin 444a f e a f e ea π⎧>+⎪⎪⎨π⎪=->+⎪⎩，所以224sin 1204a a ea e >⎧⎪⎨π--->⎪⎩， 设2()4sin12,'()4cos 0444x xh x ex e h x e πππ=---=->， 则()h x 单调递增，因为2(2)8130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组的解集为(2,)+∞， 所以2a e <<，综上，存在(,)a e ∈-∞，使得1()3sin 44a f x π>+对[1,)x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(2,]e .。