6-1 资产组合的收益与风险

y)]2}
E{[(x E(x)) ( y E( y))]2}
E[(x E(x))2 ] E[( y E( y))2 ] 2E{[x E(x)][ y E( y)]}
2 x
2 y
2
xy
由于相关系数1 xy 1,则
2 x
y＝
2 x
2 y
2 x y xy
（ x
y )2
组合的风险变小
第6讲
现代投资理论（1）：资产组合的 风险与收益
一、单个证券的收益与风险
（1）证券的持有期回报（Holding-period return）：给定期限内的收益率。
资本利得
r HPR pt p0 dt p0
股息收入
其中，p0表示当前的价格，pt表示未来t时刻的价格。
2
（2）预期回报（Expected return）。由于未来证券 价格和股息收入的不确定性，很难确定最终总持有 期收益率，故将试图量化证券所有的可能情况，从 而得到其概率分布，并求得其期望回报。
E(r) p(s)r(s)或 p(s)r(s)
s
s
其中，p(s)为各种情形概率，r(s)
为各种情形下的总收益率，各种情
形的集合为s
问题：从统计上来看，上面公式的意义？
3
（3）证券的风险（Risk）
金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与 损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是 偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）是 最好的工具。
▪ 对冲（hedging），也称为套期保值。投资 于补偿形式（收益负相关），使之相互抵 消风险的作用。
▪ 分散化（Diversification）：必要条件收益 是不完全正相关，就能降低风险。
▪ 组合使投资者选择余地扩大。
9
▪ 例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率 都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能， 但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益 的情况就至少有六种。
涨，涨
A 跌，涨
涨
B
涨，跌 涨 跌，跌 跌
跌
组合至少还包含非组合（即只选择一种股票）， 这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使 决策更加科学。
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组合的收益
假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券， 每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi， 则组合的投资收益为
n
n
Erp E（ wiri）＝ w（i Eri）
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当i 2时，令rp w1r1＋w2r2
x w1r1, y w2r2 ,
其中w1＋w2 1
则
2 x
w12
2 (r1)
w12
2 1
2 y
w12
2 (r2 )
w22
2 2
,
得
没有2
p2＝w1212
w22
2 2
2w1w21
2 12
＝w12
2 1
w22
2 2
2w1w212
当i 3时
p2＝w1212＋w22
E[w1(r1 E(r1)) w2 (r2 E(r2 )) ... wn (rn E(rn ))]2
将平方项展开得到
12
E[w1(r1 E(r1)) w2(r2 E(r2)) ... wn(rn E(rn))]2
n
nn
wi2E(ri E(ri ))2
wiwj E{(ri E(ri )) (rj E(rj ))}
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二、资产组合的收益与风险
▪ 一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公 司，一家为防晒品公司，一家为雨具公
司。岛国每年天气或为雨季或为旱季， 概率各为0.5，两家公司在不同天气下的 收益分别如下，请问你的投资策略。
防晒品公司 雨具公司
雨季
0% 20%
旱季
20% 0%
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资产组合（Portfolio）的优点
2 n n (rt E(r))2
n 1 t1
n
6
（4）风险溢价（Risk Premium）
➢ 超过无风险证券收益的预期收益，其溢价为投 资的风险提供的补偿。
➢ 无风险（Risk-free）证券：其收益确定，故方差 为0。一般以货币市场基金或者短期国债作为其 替代品。
➢ 例：上例中我们得到股票的预期回报率为14％， 若无风险收益率为8％。初始投资100元于股票， 其风险溢价为6元，作为其承担风险（标准差为 21.2元）的补偿。
i1
i1 j1,i j
n
nn
wi2
2 i
wiwj ij
i1
i1 j1,i j
n
wiwjij i, j1
ii
2 i
E(ri
E(ri ))2
2 i
,
E{(ri
E(ri
))
(rj
E(rj
))
ij
i
j
13
根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等 式成立
2 x y
E{[( x
y)
E(x
同理，当i, j n 时
n
n
n
2＝
p
wi2
2 i
wi wj ij
i 1
i1 j i, j 1
n
nn
Hale Waihona Puke wi22 iwi wj i j ij
i 1
i1 j i, j 1
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总结
▪ 对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方 差分别为
i 1
i 1
n
其中 wi 1 i 1
11
组合的方差
n
nn
n
2＝
p
Wi
2
2 i
WiWj ij wi wj ij
i1
i1 ji, j1
i, j1
证明：D(rp ) E[rp E(rp )]2
n
n
E[ wiri E( wiri )]2
i1
i1
E[w1r1 w2r2 ... wnrn w1E(r1) w2E(r2 ) ... wnE(rn )]2
2 2
w32
2 3
2w1w212
2w2w3
23
2w1w313
3
33
＝
wi2
2＋
i
wi wj ij
i1
i1 ji, j1
15
33
wi wj ij
i1 j i, j 1
3
3
3
＝
w1w
j
1
＋
j
w2wj 2 j
w3wj 3 j
j i, j 1
j i, j 1
j i, j 1
(w1w212 w1w313 ) (w2w1 21 w2w3 23 ) (w3w1 31 w3w2 32 ) 2w1w212 2w1w313 2w2w3 23
2＝ p(s)[r(s) E(r)]2
s
4
▪ 例：假定投资于某股票，初始价格1 0 0美元，持 有期1年，现金红利为4美元，预期股票价格由如 下三种可能，求其期望收益和方差。
r(1) (140 100 4) /100 44%
5
注意：在统计学中，我们常用历史数据的方差作 为未来的方差的估计。对于t时刻到n时刻的样本， 样本数为n的方差为