经典：离散数学(函数)课件
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离散数学：第9讲 函数
20
双射
21
函数性质
设 f:AB, 单射(injection): f是单根的 满射(surjection): ran f=B 双射(bijection): f既是单射又是满射, 亦
称为一一对应(one-to-one mapping).
非单射
非满射
22
例
判断下述函数是否为单射，满射，双射
a
c
fLeabharlann bde33
函数运算
复合函数: 性质, 左(右)单位元 逆函数及存在条件
34
函数复合(composite)
定义: 设 g:AB, f:BC, 则 g○f ={<x,z>|xAzCy(yBy=g(x)
z=f(y))}
35
定理
定理：两个函数的复合是一个函数 证明：设g:Y→Z，f:X→Y
函数
内容提要 函数(映射)定义 象,原象 单射,满射,双射,计数问题 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数,
自然映射 复合,逆函数
1
函数(function)
函数: F是函数 F是单值的二元关系
F单值: xdomF, y,zranF,
xFy xFz y=z
函数亦称映射(mapping)
AB = { F | F:AB }
7
例1(续)
例1(续): 设 A={a,b}, B={1,2}, 求AB. 解: f0=, f1={<a,1>}, f2={<a,2>}, f3={<b,1>}, f4={<b,2>}, f5={<a,1>,<b,1>}, f6={<a,1>,<b,2>}, f7={<a,2>,<b,1>},f8={<a,2>,<b,2>}.
双射
21
函数性质
设 f:AB, 单射(injection): f是单根的 满射(surjection): ran f=B 双射(bijection): f既是单射又是满射, 亦
称为一一对应(one-to-one mapping).
非单射
非满射
22
例
判断下述函数是否为单射，满射，双射
a
c
fLeabharlann bde33
函数运算
复合函数: 性质, 左(右)单位元 逆函数及存在条件
34
函数复合(composite)
定义: 设 g:AB, f:BC, 则 g○f ={<x,z>|xAzCy(yBy=g(x)
z=f(y))}
35
定理
定理：两个函数的复合是一个函数 证明：设g:Y→Z，f:X→Y
函数
内容提要 函数(映射)定义 象,原象 单射,满射,双射,计数问题 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数,
自然映射 复合,逆函数
1
函数(function)
函数: F是函数 F是单值的二元关系
F单值: xdomF, y,zranF,
xFy xFz y=z
函数亦称映射(mapping)
AB = { F | F:AB }
7
例1(续)
例1(续): 设 A={a,b}, B={1,2}, 求AB. 解: f0=, f1={<a,1>}, f2={<a,2>}, f3={<b,1>}, f4={<b,2>}, f5={<a,1>,<b,1>}, f6={<a,1>,<b,2>}, f7={<a,2>,<b,1>},f8={<a,2>,<b,2>}.
《离散数学函数》课件
幂函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
离散数学课件08函数
例如 函数F(x)＝(x21)/(x+1)，G(x)＝x1不相等, 因为 dom F＝{x|x∈R∧x ≠-1} dom G＝R
显然， dom F≠dom G，所以两个函数不相等。
精选课件ppt
5
从A到B的函数
定义8.3 设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB， 则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。
特别地，当A1＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f 1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f 1(B1)为B1在 f 下的完
全原像(preimage) 。
注意区别函数的值和像两个不同的概念。 说明 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。
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8
讨论
设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f-1(B1)是A的子集。 设 A1A，那么 f(A1)B。
（5）f
有极小值f(1)=2。
该函数既不是单射的，也不是满射的。 精选课件ppt
13
例8.5
例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数 f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的， 并根据要求进行计算。
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}
f(A1)的完全原像就是 f-1(f(A1))。 一般来说， f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))。 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足
f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1
令A1＝{1}，那么 f-1(f(A1))＝ f-1(f({1}))＝ f-1({0})＝{1,2}
显然， dom F≠dom G，所以两个函数不相等。
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5
从A到B的函数
定义8.3 设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB， 则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。
特别地，当A1＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f 1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f 1(B1)为B1在 f 下的完
全原像(preimage) 。
注意区别函数的值和像两个不同的概念。 说明 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。
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8
讨论
设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f-1(B1)是A的子集。 设 A1A，那么 f(A1)B。
（5）f
有极小值f(1)=2。
该函数既不是单射的，也不是满射的。 精选课件ppt
13
例8.5
例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数 f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的， 并根据要求进行计算。
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}
f(A1)的完全原像就是 f-1(f(A1))。 一般来说， f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))。 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足
f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1
令A1＝{1}，那么 f-1(f(A1))＝ f-1(f({1}))＝ f-1({0})＝{1,2}
离散数学 第3章 函数 PPT
9
离散数学
例1.截痕函数(cross function)：f :X2XY ， f(x) = {x}Y 。
XY Y
{x}Y
Xx
例2.计算机是一个函数。即 计算机:输入空间输出空间；
编译是一个函数。即 编译:源程序目标程序 。
10
离散数学
11
离散数学
D(f)= D(f1) D(f2)= R , R(f)= R(f1) R(f2)=R+{0} ； 绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即
18
离散数学
例11.单位函数或幺函数(identity function)： 幺函数即是幺关系。用函数的记法，即是 IX :XX 对任何xX ， IX (x)= x 。 显然 D(IX)= R(IX)=X 。
19
离散数学
定义4.单射 满射 双射(injection,surjection,bijection) 设 f 是从X到Y的函数，即 f :XY 。则我们称 (1) f是单射(内射)函数 (x1X)(x2X)(x1 x2 f(x1) f(x2 ) ) (x1X)(x2X)(f(x1) =f(x2 ) x1 =x2 )； (2) f是满射函数(yY)(xX)( f(x)= y ) R(f)= Y f(X)= Y ； (3) f是双射函数 f既是单射函数又是满射函数。
(4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即
R(f)={ y : yY(xX)((x, y)f )}
={y : yY(xX)(y= f(x))} 。
6
离散数学
A D(f)
f
X
集合的象
f(A) R(f) Y
7
离散数学
f
f -1(B) D(f)
离散数学
例1.截痕函数(cross function)：f :X2XY ， f(x) = {x}Y 。
XY Y
{x}Y
Xx
例2.计算机是一个函数。即 计算机:输入空间输出空间；
编译是一个函数。即 编译:源程序目标程序 。
10
离散数学
11
离散数学
D(f)= D(f1) D(f2)= R , R(f)= R(f1) R(f2)=R+{0} ； 绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即
18
离散数学
例11.单位函数或幺函数(identity function)： 幺函数即是幺关系。用函数的记法，即是 IX :XX 对任何xX ， IX (x)= x 。 显然 D(IX)= R(IX)=X 。
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离散数学
定义4.单射 满射 双射(injection,surjection,bijection) 设 f 是从X到Y的函数，即 f :XY 。则我们称 (1) f是单射(内射)函数 (x1X)(x2X)(x1 x2 f(x1) f(x2 ) ) (x1X)(x2X)(f(x1) =f(x2 ) x1 =x2 )； (2) f是满射函数(yY)(xX)( f(x)= y ) R(f)= Y f(X)= Y ； (3) f是双射函数 f既是单射函数又是满射函数。
(4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即
R(f)={ y : yY(xX)((x, y)f )}
={y : yY(xX)(y= f(x))} 。
6
离散数学
A D(f)
f
X
集合的象
f(A) R(f) Y
7
离散数学
f
f -1(B) D(f)
《离散数学》函数
A
B
C
y=f(x)
z =g( y ) =( g◦f )( x )
x
29
函数的复合
例
– f ： → ，f (x) = x+1， – g ： → ，g(x) = 2x+1, – h ： → ，h(x) = x2+1, g ◦ f (x)=g(f(x)) =2f(x)+1 =2(x+1)+1=2x+3 f ◦ g(x)=f(g(x)) =g(x)+1 =2x+1+1=2x+2 h ◦ g ◦ f (x)=h(g(f(x))) = (2x+3)2+1
20
函数的性质
练习 – f： + → + ， – f(1) = 1，f(n) = n–1 (n>1)
– 单射? – 满射? – 双射?
21
函数的性质
对于有限集合上的函数，有如 下主要结果：
定理 假设 A 和 B 是两个有限集合
且满足 |A| = |B|，则函数 f : AB 是单射当且仅当 f 是满射。
第五章 函数
《离散数学及应用》
第五章 函数
§5.1 函数的定义 §5.2 函数的性质 §5.3 函数的复合 §5.4 逆函数 §5.5 计算机科学中的常用函数 *§5.6 双射函数及集合的势
2
函数
A 和 B 为非空集合 设 f 为 A 到 B 的二元关系, 若对于任意 xDom( f ) 都存在唯一的 yRan( f ) 使得 (x, y)f 成立，则称 f 为函数 (function)。 函 数 也 称 作 映 射 （ mapping ） 或 变 换 （transformation）
离散数学(函数)PPT课件
x1的素数y个2 数}
y1x 1
0
x2
0
1
0
2
1
3
2
4
2
5
3
.6
3
函数的定义
设F, G 为函数, 则 F=G FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个 条件： (1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.
共有 nf7m=(|B{<||aA|,1)>个,<不b,1同>,函<c数,1>.} BA
.
函数的定义
所有从A到B的函数的集合记作BA, 表示为 BA = { f | f：A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
.
第八章 函数
.
8.1 函数的定义与性质
4.1 函数的概念
❖ 函数定义 ❖ 函数与关系 ❖ 函数相等 ❖ 特殊函数: 单射
满射 双射
.
函数的定义
设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一 的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
|P(AB)|=26, 但只有 23 个子集定义为 X 到 Y 的函数.
一般地f0，= |{A<|a=,m0>,,|<Bb|,=0n>,,由<c,A0>到} B 的任 意函数f1的= 定{<a义,0域>,<是b,A0>,在<c函,1>数} 中每个
离散数学__函数(课件)
Df =X={a,b,c,d,e} Rf ={α,β,γ,ε} Y
解答
X={a,b,c,d,e} Y={α,β,γ,δ,ε} f={<a,α>,<b,γ>,<c,γ>,<d,ε>,<e,β>}
举例
X={a,b,c} Y={0,1} 问：存在多少个从X到Y的二元关系？ 存在多少个从X到Y的函数？
是满射函数 不是单射函数
第二节函数的合成和合成函数的性质
一、合成函数的定义 二、反函数
一、合成函数的定义
函数f: X→Y 函数g: Y→Z
g◦f={<x,z>|x∈X ∧z∈Z 复合函数
<y,z>∈g <x,y>∈f
∧(y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))} f和g的合成函数 从左到右 从右到左
∵ Rf = {2,4} B
∴ f是内射函数 且f也是单射函数。
4、双射函数
函数f: X→Y f是满射的
f是单射的
f是双射函数
一对一映满的映射
5、恒等函数
函数Ix: X→X 对于所有的x∈X: Ix={<x,x>| x∈X}
双射函数 恒等函数
特种函数举例
(1)f1(x)=x2 (2)f2(x)=2x (3)f3(x)=x3 (4)f4(x)=x3-x2-5x+6 问以上4个函数各是什么函数？
解答
f1={<x1, y1>,<x2, y2>,<x2, y3>,<x3, y1>,<x4, y3>}
不是函数。 ∵ x2对应两个不同的像点y2和y3 ∴不满足唯一性。
解答
解答
X={a,b,c,d,e} Y={α,β,γ,δ,ε} f={<a,α>,<b,γ>,<c,γ>,<d,ε>,<e,β>}
举例
X={a,b,c} Y={0,1} 问：存在多少个从X到Y的二元关系？ 存在多少个从X到Y的函数？
是满射函数 不是单射函数
第二节函数的合成和合成函数的性质
一、合成函数的定义 二、反函数
一、合成函数的定义
函数f: X→Y 函数g: Y→Z
g◦f={<x,z>|x∈X ∧z∈Z 复合函数
<y,z>∈g <x,y>∈f
∧(y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))} f和g的合成函数 从左到右 从右到左
∵ Rf = {2,4} B
∴ f是内射函数 且f也是单射函数。
4、双射函数
函数f: X→Y f是满射的
f是单射的
f是双射函数
一对一映满的映射
5、恒等函数
函数Ix: X→X 对于所有的x∈X: Ix={<x,x>| x∈X}
双射函数 恒等函数
特种函数举例
(1)f1(x)=x2 (2)f2(x)=2x (3)f3(x)=x3 (4)f4(x)=x3-x2-5x+6 问以上4个函数各是什么函数？
解答
f1={<x1, y1>,<x2, y2>,<x2, y3>,<x3, y1>,<x4, y3>}
不是函数。 ∵ x2对应两个不同的像点y2和y3 ∴不满足唯一性。
解答
离散数学第四章课件
离散数学 第四章 函数
1
目录
4-1 函数的基本概念 4-2 逆函数和复合函数 4-4 基数的概念 4-5 可数集与不可数集 4-6 基数的比较 小结 习题
2
函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广，在计算机 科学的理论中，如计算理论 、开关理论、编译理论、数 据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等都 用到函数。函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映 射。
h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 }
r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx }
v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
可见这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
6
4-1 函数的基本概念
自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 <x,y>∈f y=f(x) f:xy
.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)} 前面例中Rh =ran h=h(R)=R+, R+是非负实数。 f的陪域(codomain):即是Y称之为f的陪域。
用有向图复合:
1X。 2。 3。
f
。Y 。1 。2 。3
4
g X。1
。2 。3 。4 。5
g f
X 1。 2。
1
目录
4-1 函数的基本概念 4-2 逆函数和复合函数 4-4 基数的概念 4-5 可数集与不可数集 4-6 基数的比较 小结 习题
2
函数是一个基本的数学概念，应用的范围很广，在计算机 科学的理论中，如计算理论 、开关理论、编译理论、数 据库理论、软件工程、计算机安全保密，操作系统等都 用到函数。函数---输入和输出间的关系。也叫变换、映 射。
h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 }
r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx }
v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }
可见这里所说的函数与以前的数学中函数有区别。
6
4-1 函数的基本概念
自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f, 称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。 <x,y>∈f y=f(x) f:xy
.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY, f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即 Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)} =X f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)} 前面例中Rh =ran h=h(R)=R+, R+是非负实数。 f的陪域(codomain):即是Y称之为f的陪域。
用有向图复合:
1X。 2。 3。
f
。Y 。1 。2 。3
4
g X。1
。2 。3 。4 。5
g f
X 1。 2。
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<王五,英国>}
ranf {美国、俄罗斯、英国 B
函数与关系
函数的定义域是A, 而不是A 的 某个真子集；
一个 x 只能对应于唯一的 y ；
A B 的子集并不都能成为 A 到 B 的函数。
例
A={a,b,c}, B={0,1} AB={<a,0>,<b,0>,<c,0>,<a,1>,<b,1>,<c,1>}
(3) A=Z, B=N
(3) 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓↓↓↓ ↓ ↓↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的函数是：
f： Z N ,f(x) 2 2 x x1
0 x0
函数的定义
(1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有 的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函 数. (2对) 称所有A上的的x∈恒A等都关有系IAI(Ax为)=Ax.上的恒等函数, (3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B， 如f对≺也(xf果任可(1x)≼2对意以),f任的定则(x2意义x称)1,,的单则fx2为调称∈x1严递,Af x,格为减2x∈1单单和≺A调x调严,2,x递递格就1≺增增单有x的2的调f,(就.x；递类1有)如减似果的的
22
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(2) A=[0,1], B=[1/4,1/2]
(1,1/2) f(x)=(x+1)/4
课堂练习
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B A=[-1, 1), B=[2, 7) (1,7)
(-1,2)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
4.1 函数的概念
❖ 函数定义
❖ 函数与关系
❖ 函数相等
❖ 特殊函数: 单射 满射 双射
函数的定义
设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一 的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
共有 nf7m=(|B{<||aA|,1)>个,<不b,1同>,函<c数,1>.} BA
函数的定义
所有从A到B的函数的集合记作BA, 表示为 BA = { f | f：A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm
A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
函数的定义
设函数 f：A→B, A1A, B1B (1) A特1在别的f 下, f的(A像)称f为(A函1) 数= {的f(像x) | x∈A1} (2) Bf 1在1(Bf1)下={的x|x完∈全A原∧像f(x)∈B1} 注意： • 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像 f(A1)B • 一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1))
函数的定义
设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
函数的定义
在<x,y> f 中,
定义域
domf A
例：d设omXf ={张A 三、李四、王五}， Y ={值法域国、(函美数国像、的俄集罗合斯)、英国} f ={<r张an三f ,美B国, ><李四,俄罗斯>
x —自变元 y —在F 作用下 x 的像
判断下列关系哪个构成函数
1 a )f { x 1 ,x 2 x 1 ,x 2 N ,且 x 1 x 2 1}0 1 b )f { y 1 ,y 2 y 1 ,y 2 R y 1 y 2 2 }
1 c) f { x1, x2 x1, x2 N x2为不大于
定理
令 A 和 B 是有限集，若 A 和 B 的元素个数相同，即| A| = | B|， 则 f: A B是单射的，当且仅当 它是一个满射。
此定理对无限集不一定成立。 例如：f: I I , f(x)=2x 整数映射到偶整数(单射、非满射)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(1) A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} (2) A=[0,1], B=[1/4,1/2] (3) A=Z, B=N (4) A [π , 3π] , B=[1,1]
x1的素数y个2 数}
y1x 1
0
x2
0
1
0
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
函数的定义
设F, G 为函数, 则 F=G FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个 条件： (1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.
x1x2 (x1, x2 A x1 x2 f (x1) f (x2 ))
例
x1
y1
x2
y2
x3
y3
映射（函数） y 4
Байду номын сангаас
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
满射
x1
y1
x2
y2
x3
y3
单 射 y4
x1
y1
x2
y2
x3
y3
双(单、满)射
例
判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
例
x/2 若x为偶数
例 设 f：N→N, 且 f(x)x1 若x为奇数 令A={0,1}, B={2},
f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
函数的定义
设 f：A→B, (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的
|P(AB)|=26, 但只有 23 个子集定义为 X 到 Y 的函数.
一般地f0，= |{A<|a=,m0>,,|<Bb|,=0n>,,由<c,A0>到} B 的任 意函数f1的= 定{<a义,0域>,<是b,A0>,在<c函,1>数} 中每个
恰n 个有元mf 2素=个中{序<的 a偶,0任>,又,何<任b一,1 何>个,<x作c,0为>A}它,可的以像有,故
ranf {美国、俄罗斯、英国 B
函数与关系
函数的定义域是A, 而不是A 的 某个真子集；
一个 x 只能对应于唯一的 y ；
A B 的子集并不都能成为 A 到 B 的函数。
例
A={a,b,c}, B={0,1} AB={<a,0>,<b,0>,<c,0>,<a,1>,<b,1>,<c,1>}
(3) A=Z, B=N
(3) 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓↓↓↓ ↓ ↓↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的函数是：
f： Z N ,f(x) 2 2 x x1
0 x0
函数的定义
(1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有 的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函 数. (2对) 称所有A上的的x∈恒A等都关有系IAI(Ax为)=Ax.上的恒等函数, (3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B， 如f对≺也(xf果任可(1x)≼2对意以),f任的定则(x2意义x称)1,,的单则fx2为调称∈x1严递,Af x,格为减2x∈1单单和≺A调x调严,2,x递递格就1≺增增单有x的2的调f,(就.x；递类1有)如减似果的的
22
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(2) A=[0,1], B=[1/4,1/2]
(1,1/2) f(x)=(x+1)/4
课堂练习
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B A=[-1, 1), B=[2, 7) (1,7)
(-1,2)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
4.1 函数的概念
❖ 函数定义
❖ 函数与关系
❖ 函数相等
❖ 特殊函数: 单射 满射 双射
函数的定义
设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一 的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
共有 nf7m=(|B{<||aA|,1)>个,<不b,1同>,函<c数,1>.} BA
函数的定义
所有从A到B的函数的集合记作BA, 表示为 BA = { f | f：A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm
A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
函数的定义
设函数 f：A→B, A1A, B1B (1) A特1在别的f 下, f的(A像)称f为(A函1) 数= {的f(像x) | x∈A1} (2) Bf 1在1(Bf1)下={的x|x完∈全A原∧像f(x)∈B1} 注意： • 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像 f(A1)B • 一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1))
函数的定义
设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
函数的定义
在<x,y> f 中,
定义域
domf A
例：d设omXf ={张A 三、李四、王五}， Y ={值法域国、(函美数国像、的俄集罗合斯)、英国} f ={<r张an三f ,美B国, ><李四,俄罗斯>
x —自变元 y —在F 作用下 x 的像
判断下列关系哪个构成函数
1 a )f { x 1 ,x 2 x 1 ,x 2 N ,且 x 1 x 2 1}0 1 b )f { y 1 ,y 2 y 1 ,y 2 R y 1 y 2 2 }
1 c) f { x1, x2 x1, x2 N x2为不大于
定理
令 A 和 B 是有限集，若 A 和 B 的元素个数相同，即| A| = | B|， 则 f: A B是单射的，当且仅当 它是一个满射。
此定理对无限集不一定成立。 例如：f: I I , f(x)=2x 整数映射到偶整数(单射、非满射)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(1) A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} (2) A=[0,1], B=[1/4,1/2] (3) A=Z, B=N (4) A [π , 3π] , B=[1,1]
x1的素数y个2 数}
y1x 1
0
x2
0
1
0
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
函数的定义
设F, G 为函数, 则 F=G FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个 条件： (1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.
x1x2 (x1, x2 A x1 x2 f (x1) f (x2 ))
例
x1
y1
x2
y2
x3
y3
映射（函数） y 4
Байду номын сангаас
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
满射
x1
y1
x2
y2
x3
y3
单 射 y4
x1
y1
x2
y2
x3
y3
双(单、满)射
例
判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
例
x/2 若x为偶数
例 设 f：N→N, 且 f(x)x1 若x为奇数 令A={0,1}, B={2},
f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
函数的定义
设 f：A→B, (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的
|P(AB)|=26, 但只有 23 个子集定义为 X 到 Y 的函数.
一般地f0，= |{A<|a=,m0>,,|<Bb|,=0n>,,由<c,A0>到} B 的任 意函数f1的= 定{<a义,0域>,<是b,A0>,在<c函,1>数} 中每个
恰n 个有元mf 2素=个中{序<的 a偶,0任>,又,何<任b一,1 何>个,<x作c,0为>A}它,可的以像有,故