离散数学(全套课件1530P)
合集下载
离散数学(集合论)ppt课件
0 1 n n C C ... C 2 n n n
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 6
2.真子集： A B A B A B
真包含
3.集合相等： A B A B 且 B A
14
n元集，m元子集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m 个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集. 例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集. 0元子集,即空集,只有1个. 1 1元子集,即单元集, c 个 {a},{b},{c} 3 2 元子集 个 {a,b},{a,c}{b,c} 2 3元子集1个c 3 {a,b,c} n元集的集合个数为:
2
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量 的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个 圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段 上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上 的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对 这些问题的研究就产生了集合论。
3
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论 是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名 的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数 学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反 响导致了第三次数学危机。
19
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
绝对补
离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
《离散数学课件资料》PPT课件
（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号， 则称B为二元前缀码。
03.02.2021
24
四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 幂等律(idempotent laws)
AA A AA A
• 交换律(commutative laws)
A BB A A BB A
常用逻辑等值式(关于 与 )
• 结合律(associative laws)
(A B) CA (B C) (A B) CA (B C)
• 分配律(distributive laws)
绝抄袭
第1讲 命题逻辑基础
• 1. 命题、命题符号化 • 2. 合式公式、真值表、永真式 • 3. 逻辑等值式、推理定律 • 4. 形式化证明
命题符号化
• 简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… • 联结词：
– 合取联结词： – 析取联结词： – 否定联结词： – 蕴涵联结词： – 等价联结词：
• 第三节 生成函数及其性质P1430 • 第四节 生成函数的应用P1443 • 第六节 高级计数P1466 • 第九章 组合计数定理P1485 • 第三节 Burnside引理P1511
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
大学计算机系
教材
• 《集合论与图论》，离散数学二分册，耿 素云，北大出版社，1998年2月
参考书
• 《离散数学习题集》，耿素云，北大出版 社
– 数理逻辑与集合论分册，1993年2月 – 图论分册，1990年3月
课外读物
内容介绍
• 《离散数学》
– 《集合论与图论》 – 《代数结构与组合数学》 – 《数理逻辑》
内容介绍
• 《集合第1章 • 第2章 • 第3章
• 课程将在4月底或5月初结束 • 第13周(5月18日)前考试
成绩评定
• 书面作业占10%，3道题/每次课 • 平时测验占30%，1小时/每次，2次 • 期末考试占60%
作业
• 时间：每周一交上周作业，下周一发回 • 讲解：每次作业都有课上讲解 • 要求：正确、完全、简洁、清楚
Correct，Complete，Concise，Clear • 提示：独立完成作业，可以讨论，但要杜
离散数学
目录
• 第1讲 命题逻辑基础P15 • 第2讲一阶逻辑基础P50 • 第3讲集合的概念与运算P94 • 第4讲集合恒等式P141 • 第5讲二元关系的基本概念P204 • 第6讲关系表示与关系性质P265 • 第7讲关系幂运算与关系闭包P328
• 第8讲等价关系与序关系P381 • 第9讲函数P444 • 第10讲自然数P488 • 第11讲基数P539 • 第12讲 序数P586 • 第13讲 习题课P612 • 第14讲 图的基本概念P652 • 第16讲 连通度P713 • 第17讲 欧拉图P767 • 第18讲 哈密顿图P795 • 第21讲 根树P843
A A0
常用逻辑等值式(关于)
• 蕴涵等值式(conditional as disjunction)
(A B)A B (A B)A B
常用逻辑等值式(关于0,1)
• 零律(dominance laws)
A 11 A 00
• 同一律(identity laws)
A 0A A 1A
常用逻辑等值式(关于0,1)
• 排中律(excluded middle)
A A1
• 矛盾律(contradiction)
• 第22讲 图的矩阵表示P889 • 第23讲 平面图P941 • 第24讲 图着色P991 • 第25讲 支配,覆盖,独立,匹配P1031 • 代数结构与组合数学P1083 • 第十五章 代数系统P1096 • 第一节 二元运算及其性质（续）P1102 • 第三节 代数系统的同态与同构P1124 • 第四节 同余关系与商代数（续）P1141 • 第十七章 群P1162 • 第三节 子群P1171
• 变换群与置换群P1180
• 第六节 正规子群与商群P1201
• 习题课：群的证明P1209 • 第十八章 环与域P1224 • 第十九章 格与布尔代数P1247 • 第三节 特殊的格P1270 • 组合数学简介P1292 • Ramsey定理P1309 • 第七章 基本的计数公式P1329 • 第三节 二项式定理与组合恒等式续P1357 • 第八章 组合计数方法P1380 • 第二节 递推方程的其他解法P1408
• 逻辑真值： 0，1
真值表(truth-table)
• 赋值(assignment)：给变元指定0、1值 • n个变元，共有2n种不同的赋值
p q p p q p q pq pq 0 01 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 1 00 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1
真值表(续)
集合 二元关系 函数
• 第4章 自然数 • 第5章 基数
内容介绍
• 《集合论与图论》
– 第二部分 图论
• 第7章 图 • 第8章 欧拉图与哈密顿图
• 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章
树 图的矩阵表示 平面图 图的着色
• 第13章 支配、覆盖、独立、匹配 • 第14章 带权图
进度安排
p q r (p q)r 00 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 1 10 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 1
p q r 1 1 1 1 1 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
p q (p q)p (p q)(p q)
q
00 1
1
1
01 1
1
1
10 1
1
1
11 0
0
1
逻辑等值式(identities)
• 等值： AB
– 读作：A等值于B – 含义：A与B在各种赋值下取值均相等
• AB 当且仅当 AB是永真式 • 例如： (p q)r p q r
常用逻辑等值式(关于 与 )
A (B C)(A B ) (A C ) A (B C)(A B ) (A C )
常用逻辑等值式(关于 与 )
• 吸收律(absorption laws)
A (A B)A A (A B)A
常用逻辑等值式(关于)
• 双重否定律(double negation law)
AA
• 德●摩根律(DeMorgan’s laws)
AA A AA A
• 交换律(commutative laws)
A BB A A BB A
常用逻辑等值式(关于 与 )
• 结合律(associative laws)
(A B) CA (B C) (A B) CA (B C)
• 分配律(distributive laws)
绝抄袭
第1讲 命题逻辑基础
• 1. 命题、命题符号化 • 2. 合式公式、真值表、永真式 • 3. 逻辑等值式、推理定律 • 4. 形式化证明
命题符号化
• 简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… • 联结词：
– 合取联结词： – 析取联结词： – 否定联结词： – 蕴涵联结词： – 等价联结词：
• 第三节 生成函数及其性质P1430 • 第四节 生成函数的应用P1443 • 第六节 高级计数P1466 • 第九章 组合计数定理P1485 • 第三节 Burnside引理P1511
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
大学计算机系
教材
• 《集合论与图论》，离散数学二分册，耿 素云，北大出版社，1998年2月
参考书
• 《离散数学习题集》，耿素云，北大出版 社
– 数理逻辑与集合论分册，1993年2月 – 图论分册，1990年3月
课外读物
内容介绍
• 《离散数学》
– 《集合论与图论》 – 《代数结构与组合数学》 – 《数理逻辑》
内容介绍
• 《集合第1章 • 第2章 • 第3章
• 课程将在4月底或5月初结束 • 第13周(5月18日)前考试
成绩评定
• 书面作业占10%，3道题/每次课 • 平时测验占30%，1小时/每次，2次 • 期末考试占60%
作业
• 时间：每周一交上周作业，下周一发回 • 讲解：每次作业都有课上讲解 • 要求：正确、完全、简洁、清楚
Correct，Complete，Concise，Clear • 提示：独立完成作业，可以讨论，但要杜
离散数学
目录
• 第1讲 命题逻辑基础P15 • 第2讲一阶逻辑基础P50 • 第3讲集合的概念与运算P94 • 第4讲集合恒等式P141 • 第5讲二元关系的基本概念P204 • 第6讲关系表示与关系性质P265 • 第7讲关系幂运算与关系闭包P328
• 第8讲等价关系与序关系P381 • 第9讲函数P444 • 第10讲自然数P488 • 第11讲基数P539 • 第12讲 序数P586 • 第13讲 习题课P612 • 第14讲 图的基本概念P652 • 第16讲 连通度P713 • 第17讲 欧拉图P767 • 第18讲 哈密顿图P795 • 第21讲 根树P843
A A0
常用逻辑等值式(关于)
• 蕴涵等值式(conditional as disjunction)
(A B)A B (A B)A B
常用逻辑等值式(关于0,1)
• 零律(dominance laws)
A 11 A 00
• 同一律(identity laws)
A 0A A 1A
常用逻辑等值式(关于0,1)
• 排中律(excluded middle)
A A1
• 矛盾律(contradiction)
• 第22讲 图的矩阵表示P889 • 第23讲 平面图P941 • 第24讲 图着色P991 • 第25讲 支配,覆盖,独立,匹配P1031 • 代数结构与组合数学P1083 • 第十五章 代数系统P1096 • 第一节 二元运算及其性质（续）P1102 • 第三节 代数系统的同态与同构P1124 • 第四节 同余关系与商代数（续）P1141 • 第十七章 群P1162 • 第三节 子群P1171
• 变换群与置换群P1180
• 第六节 正规子群与商群P1201
• 习题课：群的证明P1209 • 第十八章 环与域P1224 • 第十九章 格与布尔代数P1247 • 第三节 特殊的格P1270 • 组合数学简介P1292 • Ramsey定理P1309 • 第七章 基本的计数公式P1329 • 第三节 二项式定理与组合恒等式续P1357 • 第八章 组合计数方法P1380 • 第二节 递推方程的其他解法P1408
• 逻辑真值： 0，1
真值表(truth-table)
• 赋值(assignment)：给变元指定0、1值 • n个变元，共有2n种不同的赋值
p q p p q p q pq pq 0 01 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 1 00 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1
真值表(续)
集合 二元关系 函数
• 第4章 自然数 • 第5章 基数
内容介绍
• 《集合论与图论》
– 第二部分 图论
• 第7章 图 • 第8章 欧拉图与哈密顿图
• 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章
树 图的矩阵表示 平面图 图的着色
• 第13章 支配、覆盖、独立、匹配 • 第14章 带权图
进度安排
p q r (p q)r 00 0 1 00 1 1 01 0 1 01 1 1 10 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 1
p q r 1 1 1 1 1 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
p q (p q)p (p q)(p q)
q
00 1
1
1
01 1
1
1
10 1
1
1
11 0
0
1
逻辑等值式(identities)
• 等值： AB
– 读作：A等值于B – 含义：A与B在各种赋值下取值均相等
• AB 当且仅当 AB是永真式 • 例如： (p q)r p q r
常用逻辑等值式(关于 与 )
A (B C)(A B ) (A C ) A (B C)(A B ) (A C )
常用逻辑等值式(关于 与 )
• 吸收律(absorption laws)
A (A B)A A (A B)A
常用逻辑等值式(关于)
• 双重否定律(double negation law)
AA
• 德●摩根律(DeMorgan’s laws)