沪教版(上海)数学高二上册- 空间直线的方向向量 课件
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沪教高三数学第一轮复习：直线的方程.ppt
（4）斜截式；
解：
n 3,1
（3）点斜式；
解：
l : y 2 3( x 1)
（5）截距式； x y 1 解： 1 1 3 （6）一般式；
解：
52 k 3 2 1
y 3x 1
3x y 1 0
例 2.设直线 l 的方程是 2 x ay 1 0 ，倾斜角为 。 (1)求直线 l 的一个法向量 n 和一个方向向量 d ；
k 0
l : x 2y 4 0
1 4 k 当且仅当 k
1 1 (4k 4) 2 k
4
1 ，即 k 2 时取等号.
例 2.设直线 l 的方程是 2 x ay 1 0 ，倾斜角为 。
(3)若 6
2 3 ，求 a 的取值范围；
3 2 2 解：当 时, k k tan , 3 , 3 2 a 6 3 2 2 2 3 a 3 2 3 ,0 0, 令 3或 d a,2
(2)将倾斜角为 表示为 a 的函数；
解：
a0 2, 2 arctan , a 0 a arctan 2 , a 0 a
2 a 0时, k a
lim f (n) 2
n
例 6.已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R) . （1）证明：直线 l 过定点； 证明：因为 y k ( x 2) 1 ， l 过点（-2,1）.
y A B
O
l
（2）若直线不过第四象限，求 k 的取值范围；
解：因为直线 l 的纵截距是 1，所以只要 k 0 .
解：
n 3,1
（3）点斜式；
解：
l : y 2 3( x 1)
（5）截距式； x y 1 解： 1 1 3 （6）一般式；
解：
52 k 3 2 1
y 3x 1
3x y 1 0
例 2.设直线 l 的方程是 2 x ay 1 0 ，倾斜角为 。 (1)求直线 l 的一个法向量 n 和一个方向向量 d ；
k 0
l : x 2y 4 0
1 4 k 当且仅当 k
1 1 (4k 4) 2 k
4
1 ，即 k 2 时取等号.
例 2.设直线 l 的方程是 2 x ay 1 0 ，倾斜角为 。
(3)若 6
2 3 ，求 a 的取值范围；
3 2 2 解：当 时, k k tan , 3 , 3 2 a 6 3 2 2 2 3 a 3 2 3 ,0 0, 令 3或 d a,2
(2)将倾斜角为 表示为 a 的函数；
解：
a0 2, 2 arctan , a 0 a arctan 2 , a 0 a
2 a 0时, k a
lim f (n) 2
n
例 6.已知直线 l : kx y 1 2k 0(k R) . （1）证明：直线 l 过定点； 证明：因为 y k ( x 2) 1 ， l 过点（-2,1）.
y A B
O
l
（2）若直线不过第四象限，求 k 的取值范围；
解：因为直线 l 的纵截距是 1，所以只要 k 0 .
沪教版高中数学高三上册第十四章空间直线与平面的位置关系课件
D1
C1
A1
B1
G
O
用举例：
例 1、正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a 。
（5）求直线 C1B 与平面 ACD1 所成角的大小；
D1
C1
A1
B1
D A
C B
二、应用举例：
例 1、正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a 。
（6）求直线 C1B1 与平面 ACD1 所成角的大小。
第十四章 空间直线与平面
90
，所以 BC
AB2 AC 2 2 6 a ，
3
14.
D BC 为 第十四章 空间直线与平面 中点，所以 DC
6a ，在 RtACD 中， AD
CD2 CA2 a ，
14.
3
PA 又因为 第十四章 空间直线与平面 平面ABC ，所以 PD 在平面 ABC 上射影为 AD ，
所以 MC 就是直线 B1C 在平面 A1BCD1 上的射影，
所以 MCB1 为直线 B1C 与平面 A1BCD1 所成角，
易求 MCB1 30 ， 所以直线 B1C 与平面 A1BCD1 所成角的大小为 30 ；
二、应用举例：
例 1、正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a 。
（4）求直线 A1C 与平面 ABC1D1 所成角的大小；
14.
PDA 就是 3 空间直线与平面的位置关系（2）
第十四章 空间直线与平面
PD
与平面
ABC
所成角，PA
AD
a
，所以
PDA
45
，
PD 14. 所以 与平面
第十四章 空间直线与平面
ABC
所成角的大小为
高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量(新编2019教材)
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 如何表示空间直线的方向？
方向向量 对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点，
（1）向量 AA',OC, BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
；中药祛痘 / 中药祛痘 ；
必妙尽英才 而欲求媚于石宣 坚飨群臣于前殿 游荡无度 广平公 密 琨将佐相继降勒 东夷校尉崔毖自以为南州士望 都督 健第三子也 骄傲有无上之心 负恩篡逆 师老卒殆 设奇禁 免斌官 琨收合离散 定江南 赵固郭默攻其河东 非二君 未易卒平 俄而斩之于建康市 续尽众逆战 勒巡下冀 州诸县 敬深然之 非唯为国 时聪子约已死 狐媚以取天下也 破其外垒 兔阴精之兽 进图宁 自士大夫至于卒伍 足断其流 所在兵起 梁平老等亟以为言 坐守洛阳者成擒也 躬察作役之所 季龙亲耕藉田于其桑梓苑 臣闻圣王之宰国也 临阵为流矢所中 众无部阵 实因故司空亮居元舅之尊 今 腾笺上听 然则信不由中 晋西中郎将陈逵进据寿春 卿若早来 有文字曰 与尧 段末柸杀鲜卑单于截附真 义阳 陛下亲御六师 阴有馀之征也 夔安 北地 引师而归 农师又败 思二神为元鉴 使气竭而击之 暐请独裁 礼卑逼下 吾不忍见陈安之死也 臣之所言当也 元海为北单于 温乎雅度 去年 水出巨材 以为勒灭之征 率众五万距温 以顺天人之心 斩匠 至留侯谏 今特以相妻 此则吾鸿渐之始也 公如故 徐 及惠皇失统 赤虹经天 及诸珍异
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 如何表示空间直线的方向？
方向向量 对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点，
（1）向量 AA',OC, BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
；中药祛痘 / 中药祛痘 ；
必妙尽英才 而欲求媚于石宣 坚飨群臣于前殿 游荡无度 广平公 密 琨将佐相继降勒 东夷校尉崔毖自以为南州士望 都督 健第三子也 骄傲有无上之心 负恩篡逆 师老卒殆 设奇禁 免斌官 琨收合离散 定江南 赵固郭默攻其河东 非二君 未易卒平 俄而斩之于建康市 续尽众逆战 勒巡下冀 州诸县 敬深然之 非唯为国 时聪子约已死 狐媚以取天下也 破其外垒 兔阴精之兽 进图宁 自士大夫至于卒伍 足断其流 所在兵起 梁平老等亟以为言 坐守洛阳者成擒也 躬察作役之所 季龙亲耕藉田于其桑梓苑 臣闻圣王之宰国也 临阵为流矢所中 众无部阵 实因故司空亮居元舅之尊 今 腾笺上听 然则信不由中 晋西中郎将陈逵进据寿春 卿若早来 有文字曰 与尧 段末柸杀鲜卑单于截附真 义阳 陛下亲御六师 阴有馀之征也 夔安 北地 引师而归 农师又败 思二神为元鉴 使气竭而击之 暐请独裁 礼卑逼下 吾不忍见陈安之死也 臣之所言当也 元海为北单于 温乎雅度 去年 水出巨材 以为勒灭之征 率众五万距温 以顺天人之心 斩匠 至留侯谏 今特以相妻 此则吾鸿渐之始也 公如故 徐 及惠皇失统 赤虹经天 及诸珍异
沪教版(上海)数学高二上册8.4空间直线的方向向量课件
B1
如图，在长方体
中，
（2）二面角B-B’E-F的大小。
23
非零向量 叫做直线 的一个方向向量。
注：直线 有无穷多个方向向量，这些方向向
M是棱 的中点， （2）二面角 的大小
3
C
A
B
xE
y
• 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面内任 一点，试求过P点在上底面内引一条直线，
使它和对角线A1C所成的角D最1 小。
基础命题1：两条直线平行与重合
方向向量互相平行
基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内
这条直线的方向向量垂直于该平面的
法向量 基础命题3：两个平面平行或重合
它们的法向量互相平行
Ex：如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形
PD 底面ABCD ，PD=DC，E是PC的中点，作 EF PB交
E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
z 它们的一个方向向量分别为
法正向方量 体与AB方CD向-A向1B量1C的1D应1中用，1：P为判上断底平面行内关任系一点，试求过P点在上底面内引一条直线，使它和对角线A1CC所1成的角最小。
对于空间任意一条直线 ，与直线 平行的
求正：方（ 体1A）BC顶D-点A1BB’1到C1平D面1中D，’ACP的为距上离底；面内任一点，试求过P点在上底面内引一条直线，使它和对角A线1A1C所成的角最小。
arccos 5
A1
C1已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别在BC、 CD上运动，且 PQ 2，建立如图所示坐标系
（1）确定P、Q的位置，使得 B1Q D1P z
（2）当 B1Q D1P 时，求二面角 C1 PQ A 的大小
向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
８．１ 向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机 从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大 小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫 做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素 定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向
第 8 章 平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、 速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅 有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有 广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题 来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这 一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数 课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角 及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解 根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度； （２）体积； （３）速度； （４）能量； （５）电阻； （６）加速度； （７）功； （８）力矩．
3.1 空间向量及其运算(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)
第3章 空间向量及其应用
3.1空间向量及其运算
教师
xxx
目
录
01 由平面向量到空
间向量
03
空间向量的运算
C O N TA N T S
02 空间向量的有关概念
01
由平面向量到空间向量
平面向量的概念
定义
长度/模
既有大小又有方向的量叫做向量
向量的大小叫做向量的长度（或模）
几何表示法
表示法
字母表示法
用有向线段表示。A
探究
AB AD AA
AB AA AD
AB AD AA AB AA AD AC
D′
C′
三个不共面的向量的和与这三个向量的关系： A′
三个不共面的向量的和就是以这三个
不共面的向量为邻边的平行六面体的对
角线所在向量.
另外，利用向量加法的交换律和结合律，
空间向量的运算律
运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
（3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况：
①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， 1 ＝， 1 1 ＝，则
4.在空间四边形 ABCD 中,Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ =(
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案 B
解析 如图,
令Ԧ =a,Ԧ =b,Ԧ=c,
则Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
还可以得到: 有限个向量求和，交换相加向
3.1空间向量及其运算
教师
xxx
目
录
01 由平面向量到空
间向量
03
空间向量的运算
C O N TA N T S
02 空间向量的有关概念
01
由平面向量到空间向量
平面向量的概念
定义
长度/模
既有大小又有方向的量叫做向量
向量的大小叫做向量的长度（或模）
几何表示法
表示法
字母表示法
用有向线段表示。A
探究
AB AD AA
AB AA AD
AB AD AA AB AA AD AC
D′
C′
三个不共面的向量的和与这三个向量的关系： A′
三个不共面的向量的和就是以这三个
不共面的向量为邻边的平行六面体的对
角线所在向量.
另外，利用向量加法的交换律和结合律，
空间向量的运算律
运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.
（3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况：
①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， 1 ＝， 1 1 ＝，则
4.在空间四边形 ABCD 中,Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ =(
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案 B
解析 如图,
令Ԧ =a,Ԧ =b,Ԧ=c,
则Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ + Ԧ ·Ԧ =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
还可以得到: 有限个向量求和，交换相加向
沪教版数学高二上册-8.1 向量的概念及其表示 课件
可以构成的向量有：AB,
BA,
BC
,
CB,
CD,
DC,
DA,
A
AD
D
它们的模： AB BA CD DC 1 BC CB AD DA 2
想一想：A,B,C,D四点不共线，若四边形ABCD是平行四边 形的充要条件是 AB DC ，对不对？
沪教版数学高二上册-8.1 向量的概念及其表示 课件【精品】
向量的概念及其表示
问题情境
人生的方向也一样， 你们做好了准备吗？
新课
一、向量的概念及其表示 1、向量的概念： 既有_大__小_又有方___向_的量叫做向量.
B
AB
A
2、向量的表示方法： （1）用___两__个__大__写__英__文__字__母_ 上面加箭头来表示,如
__A_B_，读作 向___量___A__B_ ，表示_由__A_到__B_的向量，A、B分
沪教版数学高二上册-8.1 向量的概念及其表示 课件【精品】
,
, 课堂练习
,
,
, ,
4、按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出
以下向量。（图中每个小正方形的边长为1）
1）正北方向，且模为2
的向量 AE ; F
2)长度为 2 2 ，方向为北 E
偏西45度的向量 BF ;
G
3）向量BF的负向量 CG.
,
沪教版数学高二上册-8.1 向量的概念及其表示 课件【精品】
,
, , ,
,
足球技术：正六边形交叉带球练习
沪教版数学高二上册-8.1 向量的概念及其表示 课件【精品】
,
沪教版数学高二上册-8.1 向量的概念及其表示 课件【精品】
3.4求角的大小(第2课时)高二数学(上教版选修第一册)课件
于是
·
cos<1 , >= 1
|1 |||
=
1
2
1
2
2
2× 2
,C1(0,1,1),
1
= 2,
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
归纳总结
1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线
EF和BC1所成的角.
解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).
设 AB=1,则 B(0,0,0),E
1
1
1
,0,0
2
,F 0,0,
所以 = - 2 ,0, 2 , 1 =(0,1,1).
那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为
－θ．
图３- ４- ７则显示了二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法
向量夹角大小的关系．因为一个平面的法向量垂直于该平面内的所有
直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边．从
平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补．
例5.如图３-４-８，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向
量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是
·
cos<1 , >= 1
|1 |||
=
1
2
1
2
2
2× 2
,C1(0,1,1),
1
= 2,
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
归纳总结
1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
思路分析:建立空间直角坐标系,求出直线EF和BC1的方向向量的坐标,求它们的夹角即得直线
EF和BC1所成的角.
解:分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).
设 AB=1,则 B(0,0,0),E
1
1
1
,0,0
2
,F 0,0,
所以 = - 2 ,0, 2 , 1 =(0,1,1).
那么直线与平面垂线（法向量所在直线）所成的角为
－θ．
图３- ４- ７则显示了二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法
向量夹角大小的关系．因为一个平面的法向量垂直于该平面内的所有
直线，所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边．从
平面几何知道，这样两个角或者相等，或者互补．
例5.如图３-４-８，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向
量的夹角可能为钝角.
(2)范围:异面直线所成角的范围是
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沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
Ex：正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是棱BC和 AD的中点，求直线AE和FC所成角 z
arccos 2 3
A
F
y
B
O
D
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
E
C
x
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
x B1
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
Ex：已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别在BC、 CD上运动，且 PQ 2，建立如图所示坐标系
（1）确定P、Q的位置，使得 B1Q D1P z
（2）当 B1Q D1P 时，求二面角 C1 PQ A 的大小
EX.如图，在长方体 ABCD A' B 'C ' D '中，
求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' Dz '.
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
D' A'
C' B'
D A
y
C
B
x
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
法向量与方向向量的应用2：空间角的度量
Ex：已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都是a，
M是棱 A1B1 的中点，
求：（1）直线 BB1与平面 AMC1 所成角的大小
（2）二面角 M AC1 A1 的大小
z
arcsin 5 5
A
C
arccos 15
B
5
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
A1
C1
y
M
Ex：四棱锥S-ABCD的高SO=3,底面是边长为
2,∠ABC=600的菱形,F是SA的中点,E是SC的中点,
求异面直线DF与BE所成角的大小.
z
arccos 2
11
S
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
B
x
F E
A
O C
D
y
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
Ex：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E，F分别是BC,CD的 中点，求：
（1）直线A’D与平面EFD’B’所成角的大小；
（2）二面角B-B’E-F的大小。
arcsin 2 6
arccos 2
3
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
空间两条直线所成的角：设空间直线a与b所成的角为
0
, 它们的一个方向向量分别为
2
d1
l1, m1, n1 ,
d 2 l2, m2, n2 , d1与d2 的夹角为 0 ，根据空间
两条直线所成的角的定义，可知 与是
0
2
2
即cos cos
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
法向量与方向向量的应用1：判断平行关系
基础命题1：两条直线平行与重合
方向向量互相平行
基础命题2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内
这条直线的方向向量垂直于该平面的
法向量 基础命题3：两个平面平行或重合
它们的法向量互相平行
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
空间直线与平面所成的角：当直线l与平面相交且不
垂直时，设它们所成的角为
0
2
,
d是直线
l的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，d与n
的夹角为
，那么
与
有如下关系：
2
0
2
l
或l
0,
;l
,
2
2
0
2
2
于是 sin cos
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 空间直线的方向向量 课件
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d AB 1, 3, 2 2 , d AC 1, 0, 2 , d AD 1, 3, 2 2
D C
注：为了计算和表达的方便，我们常选用坐标的 值比较简单的方向向量。
平面的法向量
对于非零的空间向量 n,如果它所在的直线与平 面α垂直,那么向量 n叫做平面α的一个法向量.
注:(1)平面 有无穷多个法向量，这些法向量是相互平行的； (2)平面 的 法向量 与n平面n0 内 13的, 23所, 23 有向量都垂直
中点
arccos 1
3
A1 B1
D1 C1
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A
B
x
P
Dy
Q
C
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法向量与方向向量的应用3：空间 点到平面的距离
设A是平面α外任意一点，n 是平面α过点A的法向量， 点M是平面α内任意一点，向量 AM与n 的夹角为θ， 直线AM与平面α所成角为 。
空间直线的方向向量
对于空间任意一条直线 l ，与直线 l 平行的 非零向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量。
注：直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向
量是相互平行的
例、已知所有棱长为1的正三棱锥A-BCD，试建立 空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
A
d BD 0,1, 0, d BC 3,1, 0 , d CD 3, 1, 0 B
3
D1
y
C1
x
A1
B1
问题:如何求平面的法向量?
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二面角：设两个半平面所在的平面α1，α2的法向
量分别为 n1, n2，两个法向量的夹角为 ，二面角
的大小为 0 ，可以看出 或
| cos || cos |
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使它和对角线A1C所成的角D最1 小。
C1
设向量A1P坐标 （x,y,0）
A1
P
B1
D
C
A
B
Ex：如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形
PD 底面ABCD ，PD=DC，E是PC的中点，作 EF PB交
PB于点F，证明：（1）PA 平面EzDB
（2） PB 平面EFD
P
推论：一条直线与一个平面垂直
FE
这条直线的方向向量
D
y
C
平行于该平面的法向量
A
x
G
B
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例、 已知 AB=（2，2，1），AC=（4，5，3）求平面
ABC的单位法向量.
例、在放置于空间直角坐标系中的长方体 ABCD A1B1C中1D1， 求下列平面的一个法向量：
（1）平面 ABCD ； （2）平面 ACC1 A1 ；
z
D2 C
4
（3）平面 ACD1
A
B
n 0, 0,1 n 1, 2, 0 n 3, 6, 4
4 3
2 3
EX.已知直三棱柱 ABC ─A1B1C1 的侧棱 AA1 4 , 底面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90 ,
E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
z
C1
23 3
A1
B1
C
A
B
xE
y
• 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上底面内任 一点，试求过P点在上底面内引一条直线，
d AM sin AM cos
n AM n AM
AM
n AM
n
A
n
M
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Ex:在长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2,AD=1,AA’=1. 求：（1）顶点B’到平面D’AC的距离；（2）直线 BC’到平面D’AC的距离。