1-2数列的极限 (2)
第二节 数列的极限
第二节 数列的极限一、数列极限的定义如果按照某一法则，对每个n N +∈，对应着一个确定的实数n x ，这些实数n x 按照下标n 从小到大排列得到的一个系列12,,,,n x x x 就叫做数列，记为{}.n x数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项（或通项）． 数列{}n x 可以看作自变量为正整数n 的函数(),.n x f n n N +=∈当自变量n 依次取一切正整数1,2,3, 时，对应的函数值就排成数列{}.n x一个非常重要的问题是：当n 无限增大时（即n →∞时），对应的()n x f n =是否无限接近某个确定的数值？对于数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其通项()()111111.n n n n x nn--+-==+- ()()01123451111111111,111,1,1,1,1122345x x x x x =+-=+=+-=-=+=-=+ 678910111111,1,1,1,1,678910x x x x x =-=+=-=+=-1112131411111,1,1,1,11121314x x x x =+=-=+=- 易知，当n 无限增大时，n x 的值无限接近于1.也即当n 无限增大时，()11111n n x n n--=-=的值无限接近零． 给定1100，要使 11100n x -<， 只需11100n <，即100n >．故当100n >时，11.100n x -<给定11000，要使 111000n x -<， 只需111000n <，即1000.n >故当1000n >时，11.1000n x -<一般地，任意给定一个正数ε，存在一个正整数N ，使得当n N >时，不等式 1n x ε-<都成立．事实上，要使11n x n ε-=<，只需1n ε>．故取正整数1max ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，n ε1⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，1n ε>，1.n x ε-<注：设m 为整数，x 为实数，且[]m x >，则.m x >这是因为m 为整数，且[]m x >，所以[]111.m x x x ≥+>-+=一般地，有如下数列极限的定义．定义 设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为lim ,n n x a →∞=或().n x a n →→∞例1 证明数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的极限是1.证 上面已经证过，在此从略可 例2 已知()()211n n x n -=+，证明数列{}n x 的极限是0.证 ()()()222111011n n x n n n --==<++ 0ε∀>，要使0n x ε-<，只需21n ε<，即n >取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，有0.n x ε-< 故lim 0.n n x →∞=例3 设1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q -的极限是0.证 0ε∀>，要使1110n n n q q qε----==<，只需1ln ln ,n qε-<即()ln 1ln ln ,1.ln n q n qεε-<>+取正整数ln max 1,1ln N q ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，有 0n x ε-<， 故1lim 0.n n q -→∞=二、收敛数列的性质定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 证 假设同时有n x a →及n x b →，且a b <．取2b aε-=．因为lim n n x a →∞=，故存在正整数1N ，使得当1n N >时，.2n b ax a --<（2-2） 因为lim n n x b →∞=，所以存在正整数2N ，使得当2n N >时，.2n b ax b --<（2-3） 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时（2-2）和（2-3）同时成立．故当n N >时，由（2-2）得.2n a b x +<当n N >时，由（2-3）得2n a bx +>．矛盾． 例4 证明数列()()111,2,n n x n +=-= 是分散的．证 如果这数列是收敛的，根据定理1，它有唯一的极限．设极限为a ，即lim .n n x a →∞=按数列极限定义，对于12ε=，∃正整数N ，当n N >时，11111,,,.22222n n n x a a xa x a a ⎛⎫-<-<<+∈-+ ⎪⎝⎭但这是不可能的，因为当n N >且n 为奇数时，1n x =-，当n N >且n 为偶数时1n x =，而1和1-不可能同时属于长度为1的开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内． 对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得,1,2,n x M n ≤= ，则称数列{}n x 有界．否则称数列{}n x 无界． 数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界，数列{}2n 无界．定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界．证 因为数列{}n x 收敛，设lim n n x a →∞=．根据数列数列极限定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，1n x a -<． 于是，当n N >时，()1.n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ 取{}12max ,,,,1N M x x x a =+ ，则,.n x M n N +≤∈ 故数列{}n x 有界．定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →∞=，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，0n x >（或0n x <）．证 就0a >的情形证明．由数列极限定义，对02aε=>，∃正整数N ，当n N >时， ,2n ax a -<于是， 0.22n a ax a >-=> 推论 如果数列{}n x 从某项起0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →∞=，那么0a ≥（或0a ≤）．证 只证明其中一种情形，另一种情形类似可证．如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥，则存在正整数1N ，当1n N >时，0n x ≥．假设lim 0n n x a →∞=<，则由定理3得，∃正整数2N ，当2n N >时，0.n x <取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，1n N >，2n N >，由1n N >得0n x ≥，但由2n N >得0n x <，矛盾．习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；解 收敛，1lim0.2n n →∞= （3）212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭；解 收敛，lim n →∞212 2.n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（5）(){}1nn -；解 发散．（7）1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；解 发散．2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？ 解 （1）必要条件． （2）一定发散．（3）未必一定收敛，如数列(){}1n-有界，但它是发散的．5.根据数列极限的定义证明：（1）21lim0n n →∞=； 证 0ε∀>，要使22110n n ε-=<，只需n >．取正整数max ,1N⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，210n ε-<， 故21lim0.n n →∞= （2）313lim 212n n n →∞+=+；证 因为()31311.2122214n n n n +-=<++ 0ε∀>，当14nε<时，313.212n n ε+-<+ 要使14n ε<，只需1.4n ε> 取正整数1max ,14N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，313.212n n ε+-<+故313lim .212n n n →∞+=+（3） 1.n →∞= 证 当0a =时，所给的数列为常数列，显然有此结论． 以下设0.a ≠因为22212a n -=<．0ε∀>，当222a n ε<时，1ε<．要使222a n ε<，只需n >．取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >1 1.-<故 1.n →∞=（4）lim0.999=1.n n →∞个证 0ε∀>，要使10.999110nn ε-=< 个，只需1lg n ε>． 取正整数1max lg ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，0.9991n ε-< 个．故lim 0.999=1.n n →∞个7.设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0.n n n x y →∞=证 因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n N +∈有.n x M ≤0ε∀>，由于lim n n y →∞=0，故对1Mεε=，N N +∃∈，当n N >时，1n y Mεε<=，从而0,n n n n x y x y M Mεε-=<⋅=所以lim 0.n n n x y →∞=。
高等数学1-2数列极限+收敛数列
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
up
down
1
一、数列极限的定义 1、概念的引入
（1）割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则
与圆周合体而无所
失矣” ——刘徽
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44页
2
正 6=3×2 边形的面积 A1
正12 3 2 2 边形的面积 A2
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26
例6 证明
证明 lim n a 1,( a 0). n 当a =1时为常数列，结论显然成立.
a 1, 令 n a 1 n , ( n 0), 则 若 a (1 n )n 1 n n nn 1 n n ,
a a
故 lim x n a .
n
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
up down
25
n 2 3n 1 例5 证明 lim 2 . n 2n 3n 4 2 证明： 0, 3n 4 7n 7 n 2 3n 1 n2 3n3n 41 3n 4n , 解不等式 2 2 2 2 , 2 2 2 3) n 4n 2n 3n 4 22 2(nn 4 3n2 4) 2( 2n2(n n 4) n 32 7 n 2 3n 1 若要 2 , 只要 , 4n 2n 3n 4 2 n 2 3n 1 7 7 7 . 解得n , 取N [ ], 当n N , 2 2n 3n 4 2 4 n 4 4 n 2 3n 1 lim 2 . n 2n 3n 4 2 思考：N的取法是否唯一？不等式放大(适当放大)过 程中是否还可以作其他形式的放大？
1-2 数列的极限
xn
A
M
注: 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
15
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பைடு நூலகம்
例8 已知 x0 = 1, xn1 = 3 3 2 xn . 证明 lim xn 存在.
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n
9
例2 计算 lim 4n 1 . n 2n 1
4n 1 1 = lim (2 ) 解1 lim n 2n 1 n 2n 1 1 = lim 2 lim n n 2n 1 = 20 = 2 1 1 4 lim (4 ) 4n 1 40 n n n = lim = 解2 lim = =2 1 1 n 2n 1 n 2 lim (2 ) 2 0 n n n
8
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三、极限的四则运算法则
极限的四则运算法则 设有数列{xn}和{yn} 如果 那么
n
n
lim xn = A lim yn = B
n
(1) lim (xn yn ) = A B ; (2) lim (xn yn ) = A B ;
xn A = (3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时 lim n yn B
数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质 三、极限的四则运算法则 四、极限存在准则
1
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一、数列极限的定义
【精品】高等数学1-2-数列的极限
(1) x n
1 3n
(3)
xn
(1)n
1 n
n 1 (5) x n n 1
(7) x n
cos
1 n
(2)
xn
( 1) n
1 n
n
(4) xn sin 2
(6) xn 2(1)n
(8)
xn
ln
1 n
解 (1) 0; (2) 0; (5) 1; (7) 1; (3) (4) (6) (8) 都不存在.
二、数列极限的性质
定理1（极限的唯一性） 如果数列{ xn } 收敛，那
么它的极限唯一.
证 用反证法. 设数列有两个极限 xn a, 及
xn b, 且 a < b.
取 ba .
2
ln im xna,N10,当 nN1时，不等
都成立.
xn
a
ba 2
（2-2）
又 ln im xnb, N20,当 nN2时，不等
以
xn
1 (1)n1 n
为例.
ln im xn 1
（1）用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程 度：
用 xn 1 表示数列与常数值的距离，另用正数
ε 表示两者接近的程度.
xn
11
(1)n1 n
1 (1)n1 1 会越来越小.
n
(n1)2
(n1)2 (n1)2
1 1 n 1 n
0 ，要 xa使 sinn1
n
(n1 )2 n
取 N [ 1 ] ，则当n > N时，就有
sinn 0
高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
微积分中的极限方法1-2数列极限的定义
18 返回
微积分
第一章 极限与连续
注意： (1) 是任意给定(不论多么小), xn a 才能表达 xn无限接近于a (2) N依赖于 ,但不唯一
(3) 几何意义 : 在给出几何意义前, 先了解一下邻域 的概念:
点a的邻域:U (a, ) { x x a } (a ,a )
点a的去心邻域:U (a, ) { x 0 x a }
lim
n
xn
a
或
xn a(n )
如：
1 xn n ,
1 lim 0 ; n n
xn (1)n ,
lim(1)n 不存在 .
n
15 返回
微积分
第一章 极限与连续
描述性定义精确化：
xn无限接近于a, 即 xn a 可以任意小 .
如xn
n (1)n , n
实际上
lim
n
xn
1,
xn 1
微积分
第一章 极限与连续
第一节 微积分中的极限方法
典型问题１：面积问题
2
求由y x , x 1, x轴所围成的曲边三角形的面积S . 步骤：
分割: 将区间 [0,1] n 等分并作矩形; 近似: 第i个小曲边图形的面积为 ( i 1)2 1 ;
nn
7 返回
微积分
第一章 极限与连续
求和:
Sn
(2)由 xn a 求N;
(3)用定义.
22 返回
微积分
第一章 极限与连续
例2 当{ x2k1 } a, { x2k } a, k ,
证明 :
lim
n
xn
a.
注意：
对具体的xn , 由 xn a 解出n N ( );
数学分析 第二章 数列极限1-2
1 1 这时 lim a lim lim n 1. n n b n b
2015-2-11
23
证法二
( a b )n
0 n 0 1 n 1 2 n 2 2 n n n n Cn a b Cn a b Cn a b Cn a b
an
1. 0
2. N
3. 满足： an a
N f ( )
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16
例 4 对 x n= ( 1 ) ， 证明 lim x n 0。 n ( n 1 ) 2 称为: 放大法 1 证 因为 | x - 0| = 1 1. N 不唯一；
n
n
例如
2,4,8,,2 ,
1 1 1 1 , , , , n , 2 4 8 2
n
{2 } 1 { n} 2
n
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1,1,1,,1
{1}
4
例1（1） a, aq, aq2, aq3, … , aqn-1,…. 其中a,q为常数且q 0。一般项公式为 xn = aq n-1。此数列简记为 {aqn-1} 。 （2） {( 1)
n n 例如, 数列 x n ，有界； 数列 xn 2 ， 无界。 n1
2015-2-11
30
二、有界性
定理3 收敛的数列必定有界.
2015-2-11
31
我们经常能把一个定理啃下来，但是还是觉得 对这个定理依然云里雾里的。 数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇 而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却 始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要 的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个 让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很 酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用 也很有帮助。 这就是我们称为的——直观思维
微积分中的极限方法1-2数列极限的定义
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。
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n
n
a2
a2
n( n2 a2 n) n
任给 0,
要 xn1,
只要a2 ,
n
或 n a2 ,
所以, 取N [a2 ],
则n 当 N时 ,
就有n a2 ,
即 n2 a2 1
n
所以 limn2a2 1. n n
例3 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
证 若q0, 则 lim qnlim 00;
几何解释:
a 2 a x 1 xN1 x 2 a xN2 x 3 x
当 n N 时 ,所x n 有 都 ( a 的 落 ,a ) 内 ,点 在
只有(至 有多 限 N 个 只 个 )落有 在 . 其外
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 nl im (n(11)n)2 0.
证
23
n
n
3 ,3 3 , ,3 3 3 ,
注意： 1.从几何上看，数列可以看作一个动点 在数轴上的运动．
x3 x1 x2 x4 xn
2.从函数的角度看，数列是整标函数
xnf(n). nN
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
注意： 1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限
2 .不n 等 N 刻 式 n 划 的 了 ;过程
3.N与任意给定的 有正 关 . 数 NN()
N定义 : limxna
n
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n a 有 . 其中 :每一个或任给; 的 :至少有一个或存 . 在
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
的项, xn称为通项(一般项).
数列记为 { xn }
例如 2,4,8, ,2n, ;
{2 n }
12,14,18,,21n,;
1 {2 n }
1,1,1, ,(1)n1, ; {(1)n1}
2,1,4, ,n(1)n1, ; {n(1)n1}
有n1, 从有 而 xn1n 1成.立
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立, 那末就称常数a是数列 xn的极限,或者称数列 xn
收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
三、数列的极限
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
|xna|成立
（2）为了找到上述 N ，常常先将 | xna|
适当放大为 |xna|(n )
再令 (n), 并从中能方便的解出 n(),
此时取 N[()]即,可
（3）有时为了方便，在不妨碍 可以任意小的前提 下，可事先设 小于某个正数。
例2 证明 limn2a21. n n
证
xn a
n2 a2 1 n2 a2 n
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
“无限接近”的含义：只要
n
足够大，
xn
1
1 n
A 1,A 2,A 3, ,A n, S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
xn a
(1)n (n 1)2
0
(n
1 1)2
1 n1
任给 0(设1),
要 xn0,
只要1 ,
n1
或n 11,
所以,
取N[11],
则n 当 N时 ,
就有n11,
即 (1)n (n1)2
0
所以 nl im (n(11)n)2 0.
小结 （1）用定义证数列极限存在时, 关键是任 意给定 > 0 寻找 N, 使当 n > N 时，
可以小于任意给定的小正数。
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,0有00
只要 n100时 0, 0 有xn
1 1 , 10000
给定 0, 无论它多么小，只n 要 N ( [1 ])时 ,
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
n
n
若 0q1, 则对任 给 0, (不妨 设 1),
xn0qn, nlnqln,
n ln , ln q
取N [ln], lnq
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n