2.2数列的极限
高中数学中的数列极限求解知识点总结
高中数学中的数列极限求解知识点总结数列极限是高中数学中的重要内容，它是数学分析的基础，也是数学发展的重要方向之一。
掌握数列极限的求解方法和相关知识点，对于高中生提高数学学习水平具有重要的意义。
下面将对高中数学中的数列极限求解知识点进行总结与归纳。
一、数列极限的概念及性质数列极限指的是当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
数列极限的概念基于数列的收敛性，即当数列趋于某个确定的值时，其极限存在。
1.1 数列极限的定义数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞) an = a，当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，对应的数列项an 与极限a之间的差值小于ε，即|an - a| < ε。
1.2 数列极限的性质（1）唯一性：如果数列的极限存在，则极限值唯一。
（2）有界性：如果数列的极限存在，则数列必定有界。
（3）保序性：如果数列{an}的极限为a，且数列{bn}的极限为b，则当n足够大时，对于数列中的任意项an与bn，都有an ≤ bn。
二、常见数列极限求解方法2.1 基本数列的极限（1）常数数列的极限：对于常数数列{an} = a，其中a为常数，则该常数数列的极限为a，即lim(n→∞)a = a。
（2）等差数列的极限：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，则当公差d≠0时，该等差数列的极限为±∞（取决于公差d的正负性），若公差d=0，则该等差数列的极限为a1。
2.2 数列极限的四则运算法则（1）加减法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an ± bn}的极限为a ± b。
（2）乘法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an × bn}的极限为a × b。
（3）除法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b且b≠0，则数列{an ÷ bn}的极限为a ÷ b。
数列的递推公式与极限计算
数列的递推公式与极限计算数列是数学中一个重要的概念，它是一系列按照一定规律排列的数的集合。
而数列的递推公式及其极限计算是数列研究的核心内容之一。
本文将从递推公式的定义、举例、极限计算的概念以及一些常见的数列极限计算方法等方面进行探讨，带领读者深入了解数列的递推公式与极限计算。
一、数列的递推公式1.1 递推公式的定义数列的递推公式是指通过前一项或前几项来确定后一项的关系式。
通常情况下，递推公式可以表示为an = f(an-1, an-2, ..., a1)，其中an表示第n项，f表示关系函数，an-1, an-2, ..., a1表示前n-1项或更多项。
1.2 递推公式的举例下面以斐波那契数列为例，来解释递推公式的概念：斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
根据递推公式，我们可以一步步地计算出数列的每一项：a3 = a2 +a1 = 2，a4 = a3 + a2 = 3，a5 = a4 + a3 = 5，以此类推。
通过递推公式，我们可以方便地计算任意项的数值，而无需逐个求解。
二、数列的极限计算2.1 极限计算的概念在数列中，极限是指当项数趋于无穷大时，数列中的数值逐渐趋近于一个确定的值。
极限的计算对于我们理解数列的性质和趋势非常重要。
2.2 常见的数列极限计算方法2.2.1 等差数列的极限计算等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变的数列。
当数列的项数趋于无穷大时，等差数列的极限为数列的首项。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，当n趋于无穷大时，数列的极限为a1。
2.2.2 等比数列的极限计算等比数列是指数列中的相邻两项之比保持不变的数列。
当数列的项数趋于无穷大时，等比数列的极限存在的充要条件是公比的绝对值小于1。
其极限计算公式为an = a1 * r^(n-1)，当公比r的绝对值小于1时，数列的极限为0。
2.2.3 斐波那契数列的极限计算斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和的特殊数列。
第1节 数列的极限
因 交替取1和-1， 而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内， 故数列 发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界 证 有 设
取
， 存在 N ， n N 时 当
取
则有 证毕.
第2章
极限与连续
说明 例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛 数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。 如 数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近， 但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定 【定义 2.2】 已知数列 yn ， 的正数 ， 总存在一个正整数 N ， n N 时， 当 有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时， 数列 yn 以常数 A 为极限。 记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近
a b 无限小
a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM
数列极限
a n 2 n；
1 1 1 ( 2) 1, , , , , 2 3 n
1 { }； n
{a n }；
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
1 an ； n a2 k 1 0， k 1, 2, a 2 k k，
整序函数： 数列是以正整数集合 N { 1,2,} 为定义域的一个 函数，若记此函数为 f ( n)，则数列可以记为 a1 f (1) , a2 f ( 2) ,, an f ( n) ,, 或 {an } , 每个数an 称为数列的项 。
注： 1. 如果an an1 (an an1 )，则称数列为严格单调 增加（减少） 数列。
二. 数列极限
观察：
1 {1 } n 3 4 5 n1 2, , , ,, , 2 3 4 n 1 1 1 1, 0, , 0, , 0 , , 3 5 7
n
1
n sin 2 } { n
1
例 3 对于数列{q n }，试证当| q | 1 时为收敛数列 , 且有
n
lim q n 0 .
n
证明
n 若 q 0， 则恒有 q n 0， lim q 0．
若 0 | q | 1， 则必存在 a 0，使 | q |
0， 要使
n n
1 ． 1 a
1
所以 lim 1
n
1 1。 n
( 1)n 例 2 已知 an ， 证明数列 {an } 的极限为 0． 2 ( n 1)
证明 0 1， 要使
| an 0 |
1 1 2 ( n 1) n 1
1 则 n 1， 可取 N 1 ．
数列极限的概念定义、性质及使用数列极限的定义证明数列极限举例
3 数列极限的性质
4
3 数列极限的性质
3.1 唯一性
定理 3.1 若极限 lim an，则其值唯一。 n→∞
证明：
反证法。假设 lim an = A，且 lim an = B，其中 A ̸= B。不妨设
n→∞
n→∞
A < B，取 ε = (B − A)/2，由极限的定义有，∃N > 0，使得当 n > N
5.3 指数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4 一些常见数列极限的结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.5 抽象数列的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
成立，从而有 成立，得证。
A |an − A| < ε = 2
AA an > A − 2 = 2 > 0
1 { },
{(−1)n},
(−1)n
{
}
n
n
如何刻画无限逼近
2 数列极限的概念
3
2.2 定量定义
定义 2.2 对 ∀ε > 0，∃N > 0，使得当 n > N 时，总有
|an − A| < ε 成立，则称 A 是数列 {an} 的极限，记作
lim an = A
n→∞
Note 1：极限的等价定义 (1) ε 可以只取比较小的情况，可以先假定 n 大于某个数 N1； (2) n > N 和 |an − A| < ε 中的严格不等号号可以换成不严格不等号； (3) |an − A| < ε 可以换成 < 2ε，3ε，ε2，√ε 等。
数列极限二
如果满足 an+1 ≤ an , n = 1,2,3,
则称{an}是单调减少数列.
单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列
例:
an
=
n ,n n +1
= 1,2,3,,是单调增加数列.
例: an
=
1 n
,n
= 1,2,3,,是单调减少数列.
2018/9/27
Edited by Lin Guojian
−a
< ε ,即lim n→∞
xn
=
a.
2018/9/27
Edited by Lin Guojian
1
例: 证明lni→m∞
1+ n2 +1
1 ++ n2 + 2
1 n2 +
n
=
1
证: n = 1 + 1 ++ 1
n2 + n n2 + n n2 + n
n2 + n
< 1 + 1 ++ 1
n2 +1 n2 + 2
2
例 : 设xn
=
n
3n
+ 5n ,求 lim n→∞
xn .
证 :由于n 5n < n 3n + 5n < n 5n + 5n ,
⇒ 5 < n 3n + 5n < n 2 ⋅5n = n 2 ⋅ n 5n = 5⋅ n 2
由于 lim n n→∞
2
=
1,
故由夹逼定理知
:
lim
n→∞
数列极限绝对值极限__解释说明以及概述
数列极限绝对值极限解释说明以及概述1. 引言1.1 概述数学中的数列极限和绝对值极限是重要的概念，它们在分析、微积分和实际问题解决中有着广泛的应用。
数列极限研究数列随着自变量趋近于无穷大时的性质与趋势，而绝对值极限则是指函数或数列中的元素绝对值随着自变量趋近某个点或趋近于无穷大时的性质与趋势。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、数列极限、绝对值极限、数列极限与绝对值极限之间的关系以及结论。
下面我们将逐一介绍每个部分的内容。
1.3 目的本文旨在通过深入讨论数列极限和绝对值极限的定义、性质以及计算方法，进一步探究二者之间的联系和区别，并运用具体实例来加深理解。
最后，总结文章主要观点并展望未来可能进行更深入研究或探讨的问题。
2. 数列极限:2.1 定义与基本概念:数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列极限指的是当数列中的项随着自变量趋近于某个值时，数列中的项逐渐趋近于一个常数，该常数即为极限。
形式化地说，对于一个给定的数列{an}，若存在常数L，使得对于任意给定的正实数ϵ（ε），存在正整数N满足对所有n>N都有|an-L|<ϵ，则称L为该数列的极限。
2.2 数列极限的性质与判定方法:- 唯一性：一个数列只能有一个唯一的极限。
- 有界性：如果一个数列存在极限，则它必然是有界的。
- 收敛性与发散性判断方法：可以通过计算下标趋向无穷大时，项值是否趋近于一个常数来判断是否收敛或发散。
- 若在某个区间内所有序号较大的项都在ϵ范围内，即满足条件|an-L|<ϵ（ε），则可判定该序列收敛到L；- 若存在至少一个ϵ>0,使得在任何正整数N上都至少有一个超过ϵ的项（即|an-L|≥ϵ，其中L为某个常数），则可判定该序列发散。
2.3 数列极限的计算方法:- 代入法：通过将自变量依次代入数列求出的结果中，观察数列是否逐渐趋近于一个常数，来确定极限。
- 倒推法：若数列无法直接计算出结果时，可以通过将n递增或递减使得n在趋近无穷时，利用已知极限进行计算。
数列极限的定义证明过程
数列极限的定义证明过程1. 引言好吧，今天咱们来聊聊数列极限这个话题。
听起来有点严肃，但其实就像吃火锅一样，慢慢来，绝对不会让你失望。
数列极限就像我们生活中的小目标，咱们都希望在某个时候能到达那个“终点”。
所以，想象一下，如果有一个数列像一条小鱼一样，在水中游来游去，最终会朝着某个地方游去，那就是我们所说的极限。
说到极限，其实就跟追梦一样，有时候远，有时候近，但总能让你充满期待。
2. 数列的基本概念2.1 什么是数列？首先，数列就像是个大杂烩，各种数字在里面打成一团。
你可以把它想象成一个排队等候的队伍，前面是1，后面是2，接着是3，依次类推。
其实，数列的定义很简单，就是一系列有序的数。
这些数可以是正的、负的，甚至是分数，也可以是个无理数。
只要按照某种规律排列在一起，就叫数列。
2.2 数列的极限当我们谈到数列的极限时，其实是在问：“这个数列到底会收敛到哪个数字？”就像一只小鸟在天空中飞翔，最终总会找到栖息的地方。
极限是数列在不断变化时最终“停下来的地方”。
当你让这个数列的项数越来越大时，它就会逐渐接近一个特定的数，这个数就是极限。
3. 极限的定义3.1 如何定义极限？极限的定义可以说是有点儿复杂，但没关系，我们用简单的方式来理解。
假设我们有一个数列 (a_n)，我们说这个数列的极限是L，当且仅当，对于任何小于某个特定值(epsilon) 的正数，总有一个正整数 (N)，使得当 (n > N) 时，(a_n) 和 L 之间的距离都小于 (epsilon)。
听起来像是数学家在说悄悄话，但其实就是在说：“只要我足够接近，就可以算数！”就像你在追一颗星星，虽然距离很远，但只要你努力，终究会靠近它。
3.2 极限的意义数列极限的意义其实就在于它帮助我们理解变化。
就像生活中，有些事情可能看起来总是起伏不定，但只要我们努力，就能找到一个稳定的状态。
比如说，你每天都在练习，虽然开始的时候可能会有点儿笨拙，但时间久了，你会发现自己越来越熟练。
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课 题：2.2数列的极限教学目的：1. 理解数列极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：一、复习引入：1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝12n(尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1-12n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n12+=; (2)n n a )31(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n; (8)a n =6+n 101二、讲解新课：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn三、讲解范例：例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）21，32，43，…，1+n n ，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…； 解：（1）1，21，31，…，n1，… 的项随n 的增大而减小，且当n 无限增大时，n 1无限地趋近于0.因此，数列｛n 1｝的极限是0，即lim n →∞n1＝0. （2）21，32，43，…，1+n n，…的项随n 的增大而增大，且当n 无限增大时，1+n n 无限地趋近于1.因此，数列｛1+n n ｝的极限是1，即lim n →∞1+n n ＝1.（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即lim n →∞(-2)＝-2.（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n)1.0(-，…的项随n 的增大而绝对值在减小，且当n 无限增大时，n)1.0(-无限地趋近于0.因此，数列｛n)1.0(-｝的极限是0，即limn →∞n)1.0(-＝0. （5）－1,1，－1，…，n)1(-，…的项随n 的增大而在两个值－1与1上变化，且当n 无限增大时，n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n)1(-｝无极限四、课堂练习：1．下列命题正确的是（ ）①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④答案：D2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，41，91，…，21n，… ； （2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2)1(,,81,41,21nn---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n,…，答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3 答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n21可以任意小.故选B.4.下列数列，不存在极限的是…( )A.ΛΛ,)1(,,271,81,131n n ---B.ΛΛ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n n C.－1，1，－1，1，…，(－1)n，… D.ΛΛ,1,,34,23,2nn + 答案：C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =)1(1+n n 的极限是0，选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1. 五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.设等比数列{q n －1}(|q |＞1)的前n 项和为S n ，则∞→n lim nn S S 2+的值是A.21q B.41qC.q 2D.q 42.已知a ＞b ＞1，则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是A. －abB.a1C.－bD.不存在 3.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则首项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）4.设f (x )=(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n ，f (x )中x 2的系数为T n ，则∞→n lim nn T n23+等于A.31 B.61C.1D.25.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞→n limnnS S 2}，则N 等于 A.{0，1}B.{1，21 } C.{0，21} D.{0，1，21} 6. ∞→n lim )11(--+n n n 等于A.1B.0C.21 D.不存在二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.无穷数列{2312++k k }（k =1,2,3,……）的各项和是___________. 8.在数列{a n }中，若∞→n lim (3n －1)a n =1,则∞→n lim na n =___________.9.设数列{a n }，{b n }均为等差数列，（公差都不为零），∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________.10.已知∞→n lim （112++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________.11.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (x )=422+x (x ＞0),设a 1=1,且a n +12·f (a n )=2(n ∈N *)，求(1)数列{a n }的通项公式；（2）∞→n lim22232244n n a n a n bb ⨯+--13.如图，在边长为l 的等边△AB C 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆O n 的面积为a n ，(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列；（Ⅱ）求∞→n lim （a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.14.设数列{a n }满足a 1+3232a a ++…+na n =a 2n－1,{a n }的前n 项和为S n (a ＞0,a ≠1,n ∈N *).(1)求a n ; (2)求∞→n limna S n n)1(2-；（3）求证：(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2参考答案：一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 二、7.21 8.31 9.92 10.1 －1 11.21＜a 1≤23,且a 1≠1. 三、12.解：（1）由a n +12·f (a n )=2,得a n +12·422+n a =2 ∴a n +12－a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n 2=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b 当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－31当|b |=2，即b =±2时，原式=57 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或13.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ，n n n n r r r r +---11=sin30°=21∴r n =31r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(91)n－1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.14.解（1） ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n －1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a2(n －1)－1+na n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2)(n ≥2) ∵a 1=a 2－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n－a2n －2)n ∈N *(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2)a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)(a 2－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证11+++n a n a n n ＜2·22++n a n ∵2·1212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a 2－1)·a 2n －2(2a 4－1－a 2)=(a 2－1)2·a2n －2(2a 2+1)＞0∴原不等式成立.。