D1_2数列的极限
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.
已知
x1
1,
xn1
1 2xn
(n
1, 2,
),
求 lim xn
n
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a , 由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
M n
n N1 n
n
2
2
2
.
n
所以 lim a1 a2 an A.
n
n
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三、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
及
且 a b.
取
因 lim
n
xn
a,
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xn
ab 2
同理, 因
lim
n
xn
b,
故存在 N2 ,
π
lim
n
1
1
π n2
1
同时除以分母中
n 的最高次幂
lim
n
n
n2
1
π
n2
1 2π
n2
1 nπ
1
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例7. 若
lim
n
an且
A,
则an 0,
lim n
n
a1a2
an
A.
证明:
因为
an
0,
lim
n
an
A,
所以
A 0.
(1) A= 0. 由不等式
0n
a1a2
xn
a
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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例6. 证明
证: 利用夹逼定理. 由
n
n2
1
π
n2
1 2π
n2
1
n
π
n2 n2 π
且
lim
n
n
n2 2
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
矛盾取, 故Nb假2a设ma不xxn真Nba1!, 因Nbb222此aa,收则敛当数n列3a>a2的2bNb极时x限nx, nx必n3满唯ba22a足一b 的. 不等式
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
,
则当
n
>
N
时,
就有
qn1 0
故
lim qn1 0
n
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例4.
若
lim
n
an
A,
则 lim n
a1 a2
n
an
A.
证明：由于
limnan NhomakorabeaA,故
0,
正整数
N1,
当n
N1
时，an
A
2
,记
M
a1 A
a2 A
aN1
A, 易知 lim M n n
0.
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 四则运算； 任一子数列收敛于同一极限
3. 极限存在判定定理: 夹逼定理 ; 单调有界定理 ; 柯西收敛准则
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作业
习题一 11,12,14(1), 16(2), 17(2), 18,
1
2
n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
xn 趋向于某个确定的数
(1)n : 1,1, 1,1, , (1)n,
xn 不趋向于某个确定的数
y ... . . ...
O x
.. .
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定义：设数列{xn},如果通项 xn 当项数 n无限增大时， 无限趋近于某个常数 a, 则称 a 为数列 {xn}的极限。
an
a1 a2
n
an
,
由于 lim a1 a2 an A 0,
n
n
由夹逼定理有
lim n
n
a1a2
an
0
A.
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11
(2)
调和 平均数
A>0.
1
lim
n
an
A,
则
lim
n
1
n
1
n a1a2
an
an
, 由不等式 A
a1 a2 an , n
和 a1 a2
0, a 1.
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3. 柯西收敛准则 数列 极限存在的充要条件是:
0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时,
有
xn xm .
或叙述为
0, 存在正整数 N , 使当 n N 时, 自然数 p,
有
| xn p xn | .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
证:
“必要性”.设
lim
n
xn
a,则
时, 有
xn a 2 , xm a 2
使当
因此
xn xm
xn a xm a
“充分性” 证明从略 .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
例10. 设有数列 {an}，令 Tn a1 an , Sn a1 an , 若{Tn收} 敛，则 {也Sn收} 敛。
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2形n1的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正
3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
割圆术就是极限思想在几何上的应用
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微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法 作为研究工具的数学学科：
an
n
1
1
及
lim n 1 1
a1 a2
1 an
lim n
1 lim a1
1 a2
1 an
n
1 n an
A,
lim a1 a2 an A,
n
n
由夹逼定理有
lim n
n
a1a2
an
A.
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2. 单调有界数列必有极限
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
0
有关, 但不唯一.
就有 xn
也可由
0 xn
,
0
1 (n1)2
不一定取最小的 N .
取
N
1
1
2.
利用不等式的放缩故.也可取
N
[
1
]
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列
的极限为0 .
证: xn 0
欲使
只要
即
亦即 n 1 ln .
ln q
因此
,
取
N
1
ln
ln q
证: 设数列
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, N ,当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
xN
*********************
N
从而有
xnk a
,
由此证明
lim
k
xnk
a.
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 则原数列一定发散 .
A 1 A , 1 A
即
A2 A 1 0,
解得
A 1 2
5,
根据收敛数列的保号性的推论，可知A非负，
所以
lim
n
an
1 2
5
.
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例9.
求证
lim
n
nk an
0, a
1, k 为正整数。
证明
设
xn
nk an
,
于是
xn1
1 n 1k
1 1
1 k
n
xn a n a n
散
xn (1)n1 趋势不定
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数学定义：若数列 及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列 的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
a xn a
(n N)
即xn U ( a , )
a 1
不对! 此处 lim xn
n
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备用题
1.设
xn1
1 2
( xn
a xn
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
；蜘蛛云控 云东家云控 云通天下云控 云控 爆粉
；
机械可靠性基础（2学时） 掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto
02-1数列极限的概念
第二章 数列极限 §1 数列极限概念教学目标：1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法；3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。
我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y ＝f （x ）所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。
极限是进入高等数学的钥匙和工具。
我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。
1 数列极限的概念 课题引入1°予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。
我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。
天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。
将每天截后的木棒排成一列,如图所示, 其长度组成的数列为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21, n=10;x=0:n; y=1./2.^x; x1=[0:n]; y1=1./2.^x;line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1])分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2°数轴上描点，将其形象表示：将其一般化，即引出“数列极限”概念例2 三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想: 用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个（内接多边形的周长组成的）数列.⇒=1 +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4222221n n n a DE a a 22)411(n a --=-224n a -)用 Matlab 计算 n a 和图示如下：（c12(n)）rEBa na n+1AD11/21/4-1clf, n=5; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t));for i=1:n; for j=6*2^i;endz=j*sin(pi./i); endpolar(t,r);可以看出，随着 n的无限增大， n a 无限地接近圆的周长 π。
极限的应用
有很多问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。
起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分，后来遇到了一些逻辑方面的坎坷，所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。
牛顿运用路程的变量S∆和时间的变量t∆之比表示了运动物体的平均速度，让t∆无限地趋近于零，这样就会得到物体的瞬时速度，因此引出了导数的概念和微分学理论等知识。
牛顿发现了极限概念的重要性，尝试将极限概念作为微积分研究的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限的时间内不断趋近于相等，且在这一时间结束之前前互相靠近，使两个两个量和量之比差小于任意给定的差，最终就成为了相等”。
但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的，因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。
牛顿所应用的极限的概念，只是接近以下直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，a n无限地接近于常数A，那么就说a n以A为极限。
”例，圆是一个曲边形，它的内接正多边形是直边形，二者有内在的区别，但是这个区别又不是相绝对的，在一定的限制和所给的条件下，圆的内接正多边形可以转化为该圆周。
这个条件就是“若一个圆的内接正多边形的边数无限制增多时”，注意其中“无限”二字。
因此在无限的过程中，直边形可以转化为曲边形，也就是说在无限过程中，根据直边形的周长数列从而得到了曲边形的周长。
这种表现就是极限的思想及方法在定义圆的周长上的应用。
根据圆的周长定义和描述，显然就会计算出半径为R的圆的周长即C=2 πR。
其中，π是圆周率，R是常数。
那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢？我们会用直尺度量线段的长，从而也就会度量多边形的周长，因而多边形的周长是已知的。
圆的周长是一条封闭的曲线，不可能用直尺直接量出它的长度。
这就出现了一个新的问题：何谓圆的周长？也就是，怎样定义圆的周长？这是计算圆的周长的基础。
圆的周长是个未知的新概念。
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
高中数学第4章数列 第2课时等差数列的性质课件苏教版选择性必修第一册
培养数学建模及数学运算素养．
NO.1
情境导学·探新知
知识点1 知识点2
如图，第一层有 1 个球，第二层有 2 个球，最上层有 16 个球， 那么，从上面数第二层有几个球？
每隔一层的球数有什么规律？ 每隔二层呢？ 每隔三层呢？
知识点 1 等差数列的图象 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an 是一个固 定常数；当 d≠0 时，an 相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以_d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
知识点 2 等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 m＋ n＝p＋q，则 am＋an＝a_p_＋__a_q_． ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末 两项的和__，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
[解] 记 2017 年为第 1 年，由题设可知第 1 年获利 200 万元， 第 2 年获利 180 万元，第 3 年获利 160 万元，……则该公司每年获得 的利润构成等差数列{an}，且当 an＜0 时，该公司生产此产品将出现 亏损．
设第 n 年的利润为 an， 因为 a1＝200，公差 d＝－20， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝220－20n．
2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝ ________．
15 [由等差数列的性质得 a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12 ＝15．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 灵活设元解等差数列 【例 1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为 18，前三项的乘 积为 66，求数列的通项公式，并判断－34 是否为该数列的项．
高中数学复习――数列的极限(精选.)
●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;∞→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞→n limn n b a =ba（b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个.1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n limnn n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3C.4D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于A.0B.1C.2D.3解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］ =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C3.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C4.（2005年春季上海,2） ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21 思考讨论●典例剖析【例1】 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nnn +++=52.（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. （3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n=0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n nn n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim cc c n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d ,则d 2=1)1(22+-n n . 又r =1,∴|AB |2=4（1－d 2）=218nn+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n +1）x +n =0,∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD |2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=41n（4n +1）（n 2+1）. ∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c , ∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c |＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6 解析:由∞→n limcbn can ++=2,得a =2b . 由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b . ∴ca =6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim22na c n c a ++=ca =6. 答案:D2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n n n nn n n n n即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n nn∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =__________________.解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n . ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n－1）=38,则a 1=_________________. 解析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n .∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）. （1）求{b n }的通项公式； （2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值. 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1.n =2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n . ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立. ②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1）. ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 能力提高7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值.解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2. ∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p ＞q 且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a q q b p p a S S n n n n n n--+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜p q ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得 .1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111qp q pb p p a q pq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim1-n nS S =p . 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim1-n n S S =qb p a q bp a -+--+-11111111=1. 探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n . 解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.∴a n －32=－21（a n －1－32）. ∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32.教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在.∴0＜|q |＜1或q =1.当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3. 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q . ∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21. 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
数列与级数的极限与判定
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单调性与连续性
单调性：数列或级数的单调性决定了其极限的存在性 连续性：数列或级数的连续性是判定其极限的重要依据 单调性与连续性的关系：单调性可以推导出连续性，反之亦然 应用场景：单调性与连续性在解决实际问题中的应用
连续函数的性质
函数在某点连续的定义
连续函数的基本性质
连续函数的极限性质
连续函数的可微性
否存在
单调有界定理
定义：如果数列 在某区间内单调 递增（或递减）， 且存在上界（或 下界），则该数 列收敛。
应用场景：判断 数列的收敛性
定理证明：利用 反证法，假设数 列无界，则存在 一个子列无上界 或无下界，与单 调递增或递减矛 盾。
举例说明：如等 比数列、等差数 列等。
柯西收敛准则
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定义：一个数列如果满足对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得对于所有 的正整数n>N，数列的相邻两项之差都小于ε，则称这个数列收敛。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：加减乘除的极限运算规则 极限的复合函数性质：复合函数的极限运算规则 极限的幂函数性质：幂函数的极限运算规则 极限的指数函数性质：指数函数的极限运算规则
04
数列与级数的连续性
连续的定义
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连续的定义：如果数列或级数的极限存在， 且极限值等于该项的值，则称该数列或级数 是连续的。
极限的唯一性：对于任意数列，其极限值是唯一的。
添加标题 添加标题
极限的保序性：若数列${a_n}$和${b_n}$满足$a_n \leq b_n$，且$\lim_{n \to \infty} a_n = L$和$\lim_{n \to \infty} b_n = M$，则有$L \leq M$。
数学分析数列极限分析解析
第二章 数列极限§1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。
教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。
教学内容： 一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。
”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21，…… 或简记作数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；2二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列{}na ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。
例如：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1， a=0；⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2n ， a 不存在，数列不收敛；{}n)1(-， a 不存在，数列不收敛；2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε=1013)1(3--+=-na a nn =1011n只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}na 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有aa n -＜ε则称数列{}na 收敛于a ，a 为它的极限。
记作a a n n =∞→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}na 没有极限，则称该数列为发散数列。
高等数学D1_2数列的极限
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xn (1) n1 趋势不定
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散
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
( 0) . (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
*********************
xN
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
(整理)《数学分析》第二章 数列极限.
第二章 数列极限（计划课时：1 2 时）P23—41§1 数列极限的定义 （ 4时 ）一、数列：1.数列定义 —— 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限: 以 na nn ) 1 (1-+=为例.定义 (a a n n =∞→lim 的 “N -ε”定义)三、用定义验证数列极限： 思路与方法.例1 .01l i m =∞→nn证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>n □）要使-a a n ε， 只须>n □.于是0>∀ε,=∃N □，当N n >时，有ε＜ □ - □.根据数列极限的“N -ε”定义知∞→n lim □ = □.例2 .1,0lim <=∞→q q nn 例3 .32142332lim22=+-+-∞→n n n n n 例4 .04l i m 2=∞→n n n证 >++⋅--+⋅-+⋅+=+=n nnn n n n n n 33!3)2)(1(3!2)1(31)31(432.3 ,3!3)2)(1(3≥⋅-->n n n n注意到对任何正整数k n k 2 ,>时有 ,2nk n >- 就有)2)(1(276)2)(1(27640422><--=--<<n n n n n n n n n n .11272427462n n nn <⋅=⋅⋅ 于是，对,0>∀ε 取 }. 1 , 4 max {⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN .例5 .1,1lim >=∞→a a n n 证法一 令,1n na α=- 有 .0>n α 用Bernoulli 不等式，有),1(11)1(1-+=+≥+=nn nn a n n a αα 或 .1101nan a a n<-≤-< 证法二 （用均值不等式）n n n a a 个11110-⋅=-< .1111nan a n n a <-=--+≤- 例6 .1l i m=∞→nn n 证 2≥n 时，.22212211 102nn n n n n n n n n n n <-=--+≤-=-<-Ex [1]P 34 1； 2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.2. N 的存在性与非唯一性,对N 只要求存在,不在乎大小.3. 数列极限的等价定义:)0( , , , ,0 :1>≤-⇒≥∀∃>∀k k a a N n N n εεD. , , ,0 :22εε<-⇒>∀∃>∀a a N n N n D. , , ,0 :3εε<-⇒>∀∃>∀a a N n N n D:4D 对 ,0c <<∀ε. , , ε<-⇒>∀∃a a N n N n:5D 对任正整数.1 , , ,ma a N n N m n <-⇒>∀∃ 4. a a n n =∞→lim 的几何意义.5. 数列极限的几何定义:五、收敛的否定叙述:1. 定义 ( a a n n ≠∞→lim 的“N -ε”定义 ).2. 定义 ( 数列{}n a 发散的“N -ε”定义 ).3. a a n n ≠∞→lim 的“N -ε”几何定义4. 数列{}n a 发散的“N -ε”几何定义Th1 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 例7 验证 .01lim ≠+∞→nn n例8 证明{}2n与{}n)1(-都是发散数列.例9 设,lim lim a y x n n n n ==∞→∞→作数列{}n z 如下:{}.,,,,,,,:2211 n n n y x y x y x z 证明a z n n =∞→lim六、无穷小数列: 定义.Th2 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ).Ex [1]P 35 3，4，5，6，7，8.§2 收敛数列的性质 （ 4时 ）一、极限唯一性：（ 证 ）Th 1 (极限唯一性)二、收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ）Th2 (收敛数列有界性)三、收敛数列保号性：Th 3 设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→ 若 ,b a > 则. , ,n n b a N n N >⇒>∀∍∃（ 证 ）推论1 设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→ 若n n b a N n N <>∀∃ , ,有时， ⇒.b a ≤（注意“ = ” ；并注意b b n ≡ 和 0=b 的情况 ）.推论2 设 ( 0lim >=∞→a a n n 或)0<. 则对a r <<∀0 (或 , ),0∍∃<<N r ar a N n n >⇒>∀ , (或).r a n <推论3 若 ,0lim ≠=∞→a a n n 则对. , , , 0r a N n N a r n >⇒>∀∃<<∀例1 设),2,1(0 =≥n a n .证明:若a a n n =∞→lim ,则a a n n =∞→lim.注: 用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当b a <<0时,有a b a b -<-<0 .一般化有2121x x x x -≤-,m m mx x x x 2121-≤-,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理):Th4 (双逼原理). (证) 例2 求下列极限:⑴ );12sin( ) 13 (lim 2+-∞→n n n⑵ ∑=∞→+ni n in 02;31lim例3 .limnn n ∞→ ( .)122112→-+≤⋅=≤-nn n n n n nn n例4（1）求证：{}3,2max 332lim==+∞→nn n n（2）).1( ,0k i a i ≤≤>求证:}.,,, m ax {lim2121k n nk n n n a a a a a a =+++∞→五、绝对值收敛性:Th 5 . lim ,lim a a a a n n n n =⇒=∞→∞→ ( 注意反之不确 )..0 lim ,0lim =⇔=∞→∞→n n n n a a ( 证 )六、四则运算性质:Th 6 (四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外). ( 证 ) 系 设数列{n a }和{n b }收敛, 则}.lim , lim { min } , { min lim },lim , lim max{} , max{lim n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a ∞→∞→∞→∞→∞→∞→==利用数列极限性质求极限: 两个基本极限：01lim=∞→αnn ,(0>α)). 1 ( ,0lim <=∞→q q n n 例5 (1).14123lim22+-++∞→n n n n n (2)1412lim2+-+∞→n n n n .(3)01110111lim b x b x b x b a x a x a x a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ .其中.0,0,≠≠≤k m b a k m 例6 .1 .1lim ≠+∞→a a a nnn 例7 ). 1 (limn n n n -+∞→七、子列收敛性: 子列概念.Th 7 (数列收敛充要条件) {n a }收敛 ⇔ {n a }的任何子列收敛于同一极限. Th 8 (数列收敛充要条件) {n a }收敛 ⇔子列{12-n a }和{n a 2}收敛于同一极限. Th 9 (数列收敛充要条件){n a }收敛 ⇔子列{12-k a }、{k a 2}和{}3k a 都收敛. (简证)利用子列性质证明数列发散:例8 证明数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sinπn 发散.Ex [1]P 33—34 1—6§3 数列极限存在的条件（ 2时 ）一、指出数列极限的“N -ε”定义的缺陷——是非构造性的，即只能用来验证极限而不能用来求极限.在§2中根据极限的四则运算、夹逼原理利用简单已知数列的极限来求一些数列的极限，对于一些较为复杂数列通常考察是否有极限，若有极限再设法求其极限,因此有必要根据数列本身的特点建立数列极限存在的判别条件.二、数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理：回顾单调有界数列.Th 1 (单调有界定理). (证) 例1 设 ). 2 ( ,131211≥++++=ααααn a n 证明数列{n a }收敛. 例2 222 , ,22 ,221+++=+==n a a a (n 重根号),· · ·证明数列{n a }单调有界, 并求极限. 例3 .21 .0 ,011⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>>+n n n x a x x x a 求.lim n n x ∞→( 计算a 的逐次逼近法, 亦即迭代法) 解: 由均值不等式, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x a x x 21 1}{ .n n n x a x a x ⇒=⋅≥有下界;注意到对,n ∀有,a x n ≥ 有nn n n x a a x a x x .1) (121121221⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+↘···,.lim a x n n =∞→ 例4 证明nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 存在 ) 71828.2 (≈e数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（ Riemann 最先给出这一证法 ）设 .11nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=应用二项式展开，得+⋅+=n n x n 11++⋅--+⋅- 321!3)2)(1(1!2)1(n n n n n n n n nn n n 1!123)1(⋅⋅⋅- ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111 ， !21111++=+n x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121111!31111n n n + ;11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n 注意到 ,11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n ,12121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n .11111 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+--<⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n 且1+n x 比n x 多一项)!1(1+n ,011111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n , 1n n x x >⇒+ 即n x ↗.nn n x n )1(132121111!1!31!21110-++⋅+⋅++<+++++<< n x n n n .31111111312121111⇒<-++=⎪⎭⎫⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++= 有界. 综上, 数列{n x }单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.证法二 ( 利用Bernoulli 不等式 )注意到Bernoulli 不等式 n x nx x n,1( ,1)1(->+≥+为正整数 ), 有=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n nn n n x x 1111111nn n n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n n n n n 12211122,)1(111112nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 由 ,1)1(12->+-n 利用Bernoulli 不等式,有.1133233)1(1111232321>++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+n n n n n n n n n x x n n n x ⇒↗. 为证{n x }上方有界, 考虑数列 .111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n y 可类证n y ↘. 事实上,=+1n n y y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2111111n n n n 1111111111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n 12221221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++=+n n n n n n n n n n 2112121121212 (此处利用了Bernoulli 不等式 ) n y nn n n n n ,1441442323⇒>+++++=↘. 显然有 , .n y x n n ∀⇒< 有 .41=≤≤<y y x n n 即数列{n y }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式)0( ,1121>≤∑=i ni i nn a a n a a a中, 令 ,1 ,111121=-+====-n n a n a a a 就有 ,11111111)1(1 111111n n n nn n nn x n n n n n n x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--, 1n n x x ≤⇒- 即 n x ↗.令 ,1 ,111121=--====-n n a n a a a 可仿上证得 3≥n 时⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn 11↗, ( 1=n 时无意义, 2=n 时诸i a =0, 不能用均值不等式. ) 当2≥n 时, 由.11111,11111112nn nn n -<+⇒<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+.11111 n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴ 由 nn ⎪⎭⎫⎝⎛-11↗ n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒111 ↘. 22111 ⎪⎭⎫⎝⎛-<⇒n x < 4. 评注: 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P 22. 证法四 (仍利用均值不等式)个n nn n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111111⋅<, .111121111 1111++++<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n x x n n n n n n 即 n x ↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注: 该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”.证法五 先证明:对 b a <≤∀0和正整数n ,有不等式.)1(11n n n b n ab a b +<--++事实上，=-++++-=----++ab a ba a b b a b a b a b n n n n n n ))((1111 n n n n a ba a b b ++++--11 < .)1(nb n +该不等式又可变形为[],)1(1+<-+n nanb a n b ( n b a ,0<≤为正整数 )在此不等式中, 取 ,11 ,111nb n a +=++= 则有 ,0b a <≤ 就有 n n n x n n ,111111⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++↗.取,211 ,1n b a +== 又有 121211<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn对n ∀成立,⇒<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ,2211 n n .421122<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n x又由 .4 ,212<⇒<-n n n x x x评注: 该证法真叫绝, [1]采用这一证法.可参阅《 The American Mathematical Monthly 》1974.V ol 81. №9 P 1011—1012.例6 .21lim nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→例7 .211lim 3nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→例8 .1232lim n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→二、数列收敛的充要条件 —— Cauchy 收敛准则：1． Cauchy 列：2． Cauchy 收敛准则：Th 2 数列{}n a 收敛. , , , ,0 εε<-⇒>∀∃>∀⇔n m a a N n m N（或数列{}n a 收敛. ,p , , ,0 εε<-⇒∈∀>∀∃>∀⇔+n p n a a N n N N 或数列{}n a 收敛. , , ,0 εε<-⇒>>∀∃>∀⇔n m a a N n m N )Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy 列. (此处“就是”理解为“等价于”).(简证必要性,充分性的证明在第七章)例9 证明:任一无限十进小数 )10( .021<<=αα n b b b 的不足近似值所组成的数列,101010 , ,1010 ,102212211 n n b b b b b b ++++收敛.其中) 9,,2,1 ( =i b i 是9,,1,0 中的数.证：令 =n a ,101010221n n b b b +++ 有⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+++=--++++++++1122111011011109101010 p n p n p n n n n n n pn b b b a a 1109+=n ().1101)1.0(11011.01)1.0(1n n p n p<<-=-- ……例10 设 .sin sin sin ,102n nn q q q q q q x q +++=<< 试证明数列{}n x 收敛.Ex [1]P38—39 1，2，3，4，5，6，7，8。