微积分 第二章 第一节 数列的极限
2.1数列的极限
xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
较难的题目
证明 lim n n 1 n
记住结论
证 对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令 un n n 1 0 适当扩大
n
(1
un )n
1
nun
n(n 1) 2
un2
n(n 1) 2
un2
un2
2 n1
un
2
n1
2
n 2 1
取
N
2
2
1
1
则当n > N时, 恒有
n n 1
故 lim n n 1. n
类似地证明: 当 a 1是给定的实数时, lim n a 1 n
简证 令 un n a 1 0
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xnk 在原
数列 xn中却是第 nk 项，显然，nk k.
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．
正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,不等式 xn a
都成立,那么就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N 0,使n N时, 恒有 xn a
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列的极限
2,4,8,16,,2n ,;
（3）
1,1,1,1,, (1)n1,. （4）
一、数列极限的定义
1.描述性定义：当n无限增大时，如果数列
yn无限接近一个确定的常数A，则称数列yn 的极限为A，记为：
lim
n
yn
A
或: yn A（n ）
此时也说数列yn收敛于A。
如： lim 1 0 n n
例：证明 (1) lim n (1)n1 1 (2) lim 4n 3 4
n
n
n 5n 4 5
注：N不是唯一的，我们只要说明它的存在，
没必要去求最小的 N.
N 论证法步骤： 1.对于任意给定的正数 ；
2.由| yn A | 开始分析倒推，推出n ( ) ；
n n 1
lim (1
n
1 2n
)
1
极限是微积分学的一个重要基本概念， 是研究微分学和积分学的基本方法。
§1 数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列叫数列。
可以看成是以正整数为自变量的函数——整
标函数yn f (n) . 如：
1, 1 , 1 , 1 ,, 1 ,; 234 n
（1）
0, 1 , 2 , 3 , 4 , n 1,; （2） 2345 n
3.取 N [( )] ，再用 N 语言顺述结论。
注：并不是所有数列都有极限
例：数列 1，1，－1，1，，（－1）n ， 数列 1,4,9,16,, n 2 ,
发散
2.定理：数列yn收敛数列yn 有界。
但反之不成立。
（数列单调有界，则必有极限）
练习：证明 lim n 1
高等数学《 数列极限的定义》课件
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,. x3 x1 x2 x4 xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+
三、数列的极限
观察数列
(1
(1)n1 n
)n1
当
n
时的变化趋势.
一、概念的引入
一尺之椎，日取其半，永世不竭 .
1, 2
1 22
,
1 23
,
,
1 2n
,
2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn 的变化趋势如何？
把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。
பைடு நூலகம்
当
n
时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1
.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
要
xn 1
1, 100
由1 1 , n 100
只要 n 100,
2 N1, N 2 使得 当n N1 时恒有| xn a | ;
当n N2 时恒有| xn b | ; 取N maxN1, N2,
则当n N时有 | a b | | ( xn b) ( xn a) |
大学微积分上册第二章两个重要极限ppt课件
8
例3.求
sin 4x lim x0 x
lim x0
2sin 2x cos2x x
lim 4sin x cosx cos2x
x0
x
lim 4sin x cosx cos2x x0 x
4
方法2 lim sin 4x lim sin 4x 4 4
x0 x
x0 4x
9
推广: lim sin 1 ( lim 0 )
1
( x)(1)
)
x x
x x
lim 1 (
1
)
x
1
x x
e1
18
例12.求
lim
x
1x
x x 1
解 lim x 1x lim 1 2 x x x 1 x x 1
lim 1
2
x2121
2
1
e2
x x 1 x 1
方法2：lim x
x 1x
x 1
(1 lim
§2.4 极限存在准则 两个重要极限
1、夹逼定理 2、两个重要极限
1
一、极限存在准则
准则1. (夹逼定理)
如果变量 x, y及 z 满足：
1. y x z 2.lim y limz A
则 lim x A
准则2
单调有界数列必收敛. 单调增有上界数列必收敛. 单调减有下界数列必收敛.
2
例1. 利用夹逼定理证明 lim 1 1 1
x
(1
1)x x 1)x
lim (1 1 )x
x
x
lim (1 1 )x
e1 e2 e
x
x
x
19
练习一下
《经济数学——微积分》2-1
n− 1 −
{(−1)n−1 }
,L;
n + (−1) { n
n−1 −
}
3 , 3 + 3 ,L , 3 + 3 + L + 3 , L
注意： 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意： 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,L , x n ,L .
注意：有界性是数列收敛的必要条件 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 无界数列必定发散. 推论 无界数列必定发散.
性质3（保号性 性质 （保号性） 若 lim x n = a , 且a > 0(或a < 0), n→ ∞ 则存在正整数 N , 当 n > N 时, xn > 0(或 xn < 0).
n→∞
有界， 二、 设数列 x n 有界， lim y n = 0 ， 又 n→ ∞
→∞
证明： 证明： lim x n y n = 0 . n→ ∞
→∞
一、概念的引入
1、割圆术： 割圆术： “割之弥细，所 割之弥细， 割之弥细 失弥少， 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” 体而无所失矣” ——刘徽 刘徽
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
2. 有界性
定义: 定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 成立, 有界, 然数 n , 恒有 x n ≤ M 成立 则称数列 x n 有界 否则, 称为无界. 否则 称为无界
n 例如, 有界； 例如 数列 xn = 有界； 数列 xn = 2 n 无界 n+1
第一节 数列的极限
yn
a. b
例4.
求 lim n2 a2 . 其中a为常数.
n
n
例5. 求 lim 2n3 n 1. n 3n3 1
例6. 求 lim ( n 2 n ) n
例7. 求 lim 2n n
小结
• 极限概念 • 部分的极限运算
几何意义: 由于| xna |< a <xn< a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn
以a为极限, 就是对任何以a为心, 以
任意小的正数 为半径的 邻域,总
能找到一个N, 从第N+1项开始, 以
后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只 有有限项落在U(a, )外部.看图.
无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,
记作
lim
n
xn
a
, 或,
xn a(n )
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的 极限不存在, 或称{xn}是发散的.
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,
则记lim n
xn
a
比如, 对于刚才的数列1. 有 lim (1 1 ) 1
证. 若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 < |q |<1. 现在, xn = qn, a = 0.
> 0. (要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < )
因 | xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,
要使| xn a | < , 只须 |q | n < 即可.
|xn1| 会越来越接近于0.
事实上,
|
文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)
第二章 微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。
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几何解释：
a
2 a
a2 a1 aN 1 a aN 2 aN x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )内, 至多只有有限个( N个) 落在其外.
12
极限定义的辨析：
lim
n
an
a：
0, N 0, 使n N时, 恒有 | an a | 2 .
N 0, 对 0，使n N时, 恒有 | an a | .
an
a,
或
an a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式| an a | 刻画了an 与a 的无限接近;
2. N一般与任意给定的正数 有关.
11
“ N”定义:
lim
n
an
a：
0 , 正整数N ，使当n N 时 , 恒有 | an a | .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
定理2 收敛的数列必定有界.
注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件. 有界数列不一定收敛. 例如：xn (1)n .
注2 无界数列必定发散. 例如：xn 2n.
19
性质3 收敛数列的保号性
定理3
设
lim
n
an
a, 且a
0
(a
0), 那 么 存 在
正 整 数N 0, 当n N时, 都 有an 0 (an 0).
,
只要 n N 时,
恒有 | an 1 | 成立.
10
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于 n N 时的一切 an ,不等式
| an a | 都成立, 那么就称常数 a 是数列{an } 的极限,
或者称数列 {an } 收敛于 a,记为
lim
n
0.9910000 2.2 1044 ; 0.9920000 5.11088
由此猜想 lim 0.99n 0 . n
16
例3 证明lim0.99n 0 . n
证 0 , 欲使 | 0.99n 0 | , 只要 0.99n ，即 n log 0.99 ，取 N [log 0.99 ] ,
递推公式an1 3 an 说明：1. 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 a1 , a2 ,, an ,.
a2 a1 a3 a4 an
2. 数列是整标函数 an f (n).
7
二、数列极限的定义
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 , , 1 (1)n1 ,
|
1 n
,
9
| an
1|
|
(1)n1
1 n
|
1 n
给定
1, 100
由
1 n
1, 100
只要 n
100时,
有|
an
1|
1 ,
100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
|
an
1
|
1 1000
,
给定 1 , 10000
只要
n
10000时,
有
|
an
1
|
1 10000
,
任意给定 0,
取
N
1
2
第一节 数列的极限
一、数列概念
1.割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利 用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆 术，就是极限思想在几何上的应用.
3
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分
成三等分、六等分、十二等分、二十四等分 ···这样继续 分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
只要 1 ,
n
或n 1,
取
N
1
,
则当 n N 时,
就有 | n (1)n1 1 | ，即得证
n (1)n1
lim
1.
n
n
n
14
例2 证明lim 2n 2 . n n 1
证 0 , 欲使 2n 2 ,
n1
即
n
2
1，取
N
2
1
,
则当 n N 时, 就有 2n 2 ，
极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法 的工具，是整个微积分学的理论基础.
1
本章介绍极限的概念、性质和运算法则以及 与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起 重要作用的无穷小量的概念和性质. 此外还给出 了两个极其有用的重要极限. 随后，运用极限引 入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存 在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中 讨论的函数主要是连续函数.
在16 ~ 17世纪 ， 随着生产实践和科学技术的发 展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线， 确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和 空间中表面弯曲的立体的体积等.在这些问题面前， 初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学 突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动 及变化过程的新理论和新方法——变量数学，而微 积分作为变量数学的主体，随之而生.
推论 如果数列{an } 从某项起恒有an 0 (或an 0 ），
且
lim
n
an
a
，那么a
0
(或a
0
)
注
即使数列{an }
从某项起恒有an
0
，且lim n
an
a
，
也只能得到a 0 ，而不能得到a 0 .
例如
，数列
1
n
恒正，但
1 lim n n
0.
20
四、小结 练习题
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性.
n1
即证得 lim 2n 2 . n n 1
2n 2n 2
n1
2
n1
15
【实验】 用计算器计算
0.991000 , 0.995000 , 0.9910000 , 0.9920000 ,
由此猜想数列 {0.99n }的极限(保留两位有效数字)．
解 由计算器可算得
0.991000 4.3 105 ; 0.995000 1.5 1022 ;
则当 n N 时, 就有 | 0.99n 0 | ，
即证得 lim0.99n 0 . n
练习 证明 limqn 0,其中| q | 1. n 17
证明: lim qn 0,其中| q | 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 | q | 1, | qn 0 | | qn | , nln | q | ln ,
21
练习题
一、 利用数列极限的定义证明:
1．lim 3n 1 3 ；
n 2n 1 2
2．lim0.999....9 1
n
二、
设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
证明：lim n
x
n
y
n
0.
22
n ln ,
ln | q |
取N
ln ln |
q
|
,
则当 n N 时, 就有 | qn 0 | ,
limqn 0 . n 18
三、收敛数列的基本性质
性质1 极限的唯一性 定理 1 若数列{an } 收敛，则极限唯一.
例如，{1)n } 是发散的.
性质2 有界性
对于数列 {an } ，如果存在常数 M 0 ，使对一切 n，有 | an | M , 则称数列{an } 是有界的.
4
2.
战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下
截
篇》引用过一句话：
杖
一尺之棰 日截其半 万世不竭.
问
题
{an }
：剩余的长度
an
1 2n
{bn } ：截去的总长度
1 bn 1 2n
{an } 1
1 2
1 4
1 8
{bn } 0
1 2
3 4
7 8
5
数列的定义
按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
a1 , a2 ,, an , (1)
称为无穷数列,简称数列.
其中的每个数称为数列的项， an 称为通项(一般项).
数列(1)记为{an } . 例如 2, 4, 8,, {2n }
1 , 1 , 1 ,,
(1)n1
{
}
1 35
2n 1
6
1, 1, 1,, {(1)n1}
2, 1 , 4 ,,
(1)n1
{1
}
23
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
对 0, 都有无穷多项an 满足不等式| an a | .
对 0, 都只有有限项 an 满足不等式| an a | .
13
用数列极限的定义证明极限.
例1 证明
n (1)n1
lim
1.
n
n
证
| an
1|
|
n (1)n1 n
1|
1 n
，
任给
0,
欲使 | an 1 | ,
2 3 4 56
n
1
3 51 64
2
46
53
x
2
8
问题: 当n无限增大时, an 是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
通过上面图示观察: