第04讲第二章数列极限定义证明
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列极限的概念(经典课件)5页word
第二章 数列极限引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。
极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。
§１ 数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。
教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。
深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。
会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：数列极限的概念。
教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。
教学方法：讲授为主。
教学学时：2学时。
一、数列概念：１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。
若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。
若记()n f n a =，则数列n n n f Λ,2,1),(=就可写作为：12,,,,n a a a L L ，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
２．数列的例子：（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭L ； （2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭L（3）{}2:1,4,9,16,25,n L ； （4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-L二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12，第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，…，第n 天截下1111222n n -⋅=，… 得到一个数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n21： 231111,,,,,2222n L L 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于零。
数列极限的定义ppt课件
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
11
用定义证明
lim
n
an=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
n
nn
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定 1,
由 1 1, n
只要 n 1时,
有 an 1 1,
给定 1 , 由 1 1 ,
10
n 10
只要 n 10时,
有
1 an 1 10 ,
给定 给定
1, 1010 1000
由 ,
1 1 , n 100 只要 n
只要 n 1000时,
2
数列的极限
例如
111 1
, , , 248
, 2n
,
;
2, 3 , 4 ,L , n 1 ,L ; 23 n
{
1 2n
}
{n 1} n
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
n (1)n1
{
用定义证明数列极限存在的步骤PPT课件
11
问题：
1.
若
an
是任意数列，lim n
bn
0,
2对于某一正问数是否0 一如定果有存lni在m 正anb整n 数0N 使得当nN时 有| xn a| 0 是否有 xn a (n )
3如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界
发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?
4 数列的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的
13
例2 （记录） 用定义证明
lim n 0. 2 n n
证 0, 要使 n 0 n
2n
2n
这样的限制对数列极限的
显然当n 2时,
存在是否有影响？
n 2n
n
1 1n
1
n
n
nn 1
2！
1
n
nn 1
2
2 n1
因此只要 2 即可,
n1
即 n 1 2 由于改变数列
的有限项对数
再取所有偶数项组成子 数列x2k ,
显然
lim
k
x2k 1
1,
lim
k
x
2k
1,
xn 的两个子数列虽然分别 收敛, 但极限值不相等
由定理3的逆否命题知：
数列1,1,1,, 1n1 ,是发散的.
注:① 发散数列也可能有收敛的子数列．
② 证明数列发散时，可采用下列两种方法：
I ) 找两个极限不相等的子数列；
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
高等数学 第二节 数列的极限
lim
n
xn
a 的"
N" 定义 :
lim
n
xn
a
0, N N ,当n N 时, 有
| xn a | .
注意: (1) 0 的任意性; a xn a
(2) N 的存在性：N N ( ).
(3) 几何解释 当 x = n, 则 xn f (n)
第n 项 xn 叫 做 数 列 的 一 般 项.
例如:
1 , 2 , 3 ,, n ,: 2 3 4 n1
n n
1
;
2,
1 2
,
4 3
,,
n
(1)n1 n
,:
n
(1)n1 n
;
2,4,8,,2n ,:
{2n };
1,1,1,,(1)n1,: {(1)n1}.
注意: 1. 数列的每一项都是数.
n
2
2 n2
n n2
)
1 .
2
1. 证明lim( n2 1 n) 0. n
证 0,
n2 1 n 0 ( n2 1 n)( n2 1 n) n2 1 n
n2
1 1
n
1 2n
,
欲使 1 , 只须n 1 ,
2n
2
取
N
1
2
,
则当n N时,
n2 1 n 0 ,
lim
n
xn
a
f(n)
a
x1
a的邻域
x2
a
自然数 N
xn
对一切 n > N a
数列的极限定义证明
摘要：本文旨在通过对数列极限的定义进行证明，阐述数列极限的概念，并展示其数学严谨性。
首先回顾数列极限的定义，然后通过数学归纳法、夹逼定理等方法对数列极限进行证明。
一、引言数列极限是微积分学中的基本概念之一，它描述了数列在无限趋近于某一数值时的行为。
数列极限的定义为：若对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列{an}的项与常数A的差的绝对值小于ε，则称常数A为数列{an}的极限。
本文将对数列极限的定义进行证明，以展示其数学严谨性。
二、数列极限的定义设数列{an}是定义在正整数集N上的函数，常数A是实数。
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an - A| < ε，则称常数A为数列{an}的极限，记作：lim_{n→∞}an = A三、数列极限的证明1. 数学归纳法证明（1）当n=1时，由数列极限的定义，只需证明|a1 - A| < ε即可。
由于ε是任意给定的正数，因此当|a1 - A| < ε时，命题成立。
（2）假设当n=k（k为正整数）时，命题成立，即|ak - A| < ε。
接下来证明当n=k+1时，命题也成立。
由于|ak - A| < ε，根据数列极限的定义，存在一个正整数N1，使得当n>N1时，有|ak - A| < ε。
当n=k+1时，有：|ak+1 - A| ≤ |ak+1 - ak| + |ak - A|根据数列极限的定义，存在一个正整数N2，使得当n>N2时，有|ak+1 - ak| <ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时，有：|ak+1 - A| ≤ |ak+1 - ak| + |ak - A| < ε/2 + ε/2 = ε因此，当n=k+1时，命题也成立。
由数学归纳法可知，对于任意正整数n，都有|an - A| < ε。
因此，根据数列极限的定义，lim_{n→∞}an = A。
数列极限的定义证明
数列极限的定义证明一、引言数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列极限是数列理论中的基本概念之一。
在数学分析中，数列极限的定义是数学推理的重要基础，也是许多数学定理的核心。
二、数列极限的定义数列极限的定义是指当数列的项趋向于某个值时，数列的极限就是这个值。
换句话说，对于数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么数列的极限就是a。
三、数列极限的重要性1. 在微积分中，数列极限是导数和积分的基础。
在求导和积分的过程中，我们需要用到极限的性质和定义来推导出相应的公式和定理。
2. 在数学分析中，数列极限是许多重要定理的基础，如泰勒级数展开、函数极限和级数收敛等。
3. 数列极限的概念也被广泛应用于物理学、工程学和经济学等应用科学领域，用于描述各种现象和模型。
四、数列极限的例子1. 递推数列：考虑递推数列{an}，其中an=an-1+2，且a0=1。
我们想要求出数列的极限。
根据递推关系，我们可以得到a1=3，a2=5，a3=7，以此类推。
显然，数列的项随着n的增大而无限增大，所以数列没有极限。
2. 有界数列：考虑数列{an}，其中an=(-1)^n/n。
我们想要求出数列的极限。
当n为偶数时，an=1/n；当n为奇数时，an=-1/n。
显然，数列的项在n趋于无穷大时趋近于0，所以数列的极限是0。
3. 收敛数列：考虑数列{an}，其中an=1/n。
我们想要求出数列的极限。
对于任意给定的正实数ε，我们可以找到一个正整数N=1/ε，使得当n>N时，|an-0|<ε。
因此，数列的极限是0。
五、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：如果一个数列的极限存在，那么它是唯一的。
2. 数列极限的保号性：如果数列的极限大于（小于）0，那么数列中的项大于（小于）0的项的索引之后的所有项。
3. 数列极限的有界性：如果数列的极限存在，那么数列是有界的，即存在正整数M，使得对于所有的n，|an|<M。
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lim xn a
x n a ( n ).
a 收敛数列 lim xn 发散数列 n a
n { 2 } 无穷发散
振荡发散 {sin n}
( 1)n1 lim 1 1 n n
xn 1 ( n ).
当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于 某一确定的数值 a 如何用数学语言描述?
ln a , 若a 1, 只要 a 1 , a 1 , 即 : n ln(1 ) 0 a 1 ln a ], 取 N1 [ ln(1 ) 若0 a 1, 只要 1 n a , n a 1 , 即 : n ln a , ln(1 ) 0 1 a ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
1 任意给定 0, 只要 n N 时, 有 x n 1 成立 .
则只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。
n N
确保
xn 1
当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值 a ? 如果是, 如何用数学语言描述?
第一章
函数与极限
§1.1 函数 §1.2 极限
§1.2 极限 一、数列的极限 二、函数的极限 …
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义
数列的几何意义.
数列是整标函数
数列的单调性. 数列的有界性.
xn f ( n) ( n ).
3、数列的极限
{ xn } n , xn a (cons .) 称a为数列{ xn }的极限.
， N , n， x n 是 __ 量 。
6）几何意义。 7）数列极限的等价定义：
0若在U(a , )之外数列 xn 至多只有有限项，则称数列 xn 收敛于极限a .
lim xn a 0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
> 1+ nn a 1 得 n . n
n
a 1 n,
(2) 设 a > 1, … >0,
n
令 n a 1 n ( n 0),
a1 , n
a 1 n
a 1 a 1 要使 a 1 , 只须 , 即n 即可. n
n
1 证明 lim .0. n n
n 证明 lim 1. n n 1
证明 lim C C .
n
证明 lim q n 0. q 1.
n
lim
n
n
a
1 , 其 中 a 0.
练习5 设x n 0, 且 lim x n a 0, 求证 lim x n a .
3 确 定 a是 xn 的 极 限
o
练习2 证明 lim
n
n2
n 1
2
2
1.
2 n 1
∵ xn 1
n2
n 1
1
n 1
2
2 2 2 n 1 ( n 1) n 1
2n 1
2n 2
2 , 0, 要 x n 1 , 只要 n1 2 取N [ 1], 当n N时 , 有
ln a 即: n , ln(1 )
ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
就有 a 1 ,
n
lim n a 1.
n
（P23
LT4）
例4
证明 lim
n
n
a 1, 其中 a 0.
n
证： 0,
要使
n
a 1 ,
n
a 1 . 0 a 1, a 1,
就有
n
a 1 ,
lim n a 1.
n
另证例4.
证明 lim n a 1. 其中a 0为常数.
n
证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, 令 n a 1 n ( n 0), 从而
1 2 2 n n a (1 n )n 1 C n n Cn n ... C n n
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
一、数列的极限
1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
3、数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那么就称常数 a 是{xn} 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
1 ( n 1)
2
,
n
1
1 1
1 , 2 n 1 , n
n
1 n
例2
证明 lim C C .
n
（P22
LT2）
0,
xn C C C 0 ,
n N , 都有 C C 成立
例3
证明 lim q n 0 q 1. （P22
若a 1, 只要 a 1 ,
ln a ], 取 N1 [ ln(1 )
n
ln a , a 1 , 即 : n ln(1 )
a 1 0 a 1
n
若0 a 1, 只要 1 a ,
ln a ], 取 N2 [ ln(1 )
1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 1 , 1000 1000
1 1 , 给定 , 只要 n 10000 时 , 有 x n 1 10000 10000
引入符号 N 和 来刻化
引入符号 N 和 来刻化无限增大和无限接近!
( 1)n1 xn 1 n
2 2 n n6 取N [ ], 当n N时 , 就有 1 2 n 5
注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要
不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小).
练习4 证明 lim
1
n
n 1
2
0.
1
n 1
2
0
n
LT3）
证明 (1) q 0 . (2) 0< q 1.
lg N [ ], lg q
0 q , n 要 xn 0 q ,
lg q lg ,
n
n lg q lg lg n lg q
例4 证:
证明 lim
n
n
a 1, 其中 a 0.
n
a 1 取N ,则 当 n N时 ,有
n
a 1 .
故
lim
n
n
a 1
( 其 中 a 1).
1 (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 a 1 n lim 1 <=> > 0, N, 当n>N时, 有 n a
n2
n 1
2
1
成立，故命题得证.
练习3 证明 lim 证 ∵ xn 1
n2 n 6 n 5
2
பைடு நூலகம்
1.
n
n2 n 6 n2 5
1
n1 n2 5
n n n2
2 n
0, 要 x n 1 ,
2 只要 , n
刻化两个数的接近程度: 绝对值
1 ( 1) n1 n 1 1 xn 1 1 1 ( 1) n n n
( 1)n1 xn 1 n
1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100 时, 有 x n 1 100 100 n 100
n n 1 n 2
lim n a 1. a 0.
n
b 1 (b 1)(b
n
b
... b 1)
a 1 n a 1.
( n a 1)[( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1] ( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1
n
lim xn a
lim x n a
n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
1) 的绝对任意性和相对固定性。
2）N ( ) 的相应性（和不唯一性）。
3）xn a 的多样性。
4）n是大于N的所有自然数。
5） a 是 数 列 x n 的 极 限 ， 是 __ 量
即
另证例4.
n
1 1 . a
n
a 1
n
a
.
n
a 1 n a . (因 0 < a < 1)
n
lim
n
a 1.
(0 a 1).
综合（1、2、3）得
lim
n
n
a 1.
( a 0).
(2) 设 a > 1, … 还可以 用有理化的方法.
不等式 x n a 刻划了 x n与a的无限接近 ;
N与任意给定的正数 有关 .