抛物线的切线(自己)
刘蒋巍：抛物线的切线与阿基米德三角形及其考察的2个视角
抛物线的切线与阿基米德三角形及其考察的2个视角文/刘蒋巍一．什么是“阿基米德三角形”？抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形被称为阿基米德三角形．二．抛物线切线方程及阿基米德三角形的性质1. 过抛物线上的一点作切线：(1) 过抛物线y 2＝2px 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)； (2) 过抛物线y 2＝－2px 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝－p (x ＋x 0)； (3) 过抛物线x 2＝2py 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＝p (y ＋y 0)； (4) 过抛物线x 2＝－2py 上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＝－p (y ＋y 0)． 2. 如图，已知Q 是抛物线x 2＝2py 准线上任意一点，过Q 作抛物线的切线QA ，QB 分别交抛物线于A ，B 两点，M (x 0，y 0)为 AB 的中点，则：(1) 若AB 过焦点F ，则AB 的端点的两条切线的交点Q 在其准线上； (2) 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即x Q ＝x M ； (3) AB 过抛物线的焦点F ； (4) AQ ⊥BQ ；(5) 阿基米德三角形面积的最小值为p 2.三．考察的2个视角视角1：过弦的端点分别作切线问题例1 (2022·唐山三模)在平面直角坐标系xOy 中，动圆M 与圆N ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14相内切，且与直线y ＝－1相切，记动圆圆心M 的轨迹为曲线C .(1) 求曲线C 的方程；【解答】 设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，由题意知|MN |＝r －12，r ＝y ＋1，于是得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y ，所以曲线C 的方程为x 2＝2y .(2) 过点E (0,1)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作曲线C 的切线l 1，l 2，直线l 1，l 2交于点P .若(AB →＋AP →)·PB→＝0，求直线l 的方程．【解答】 由题意知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，12x 21，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，12x 22，由⎩⎨⎧x 2＝2y ，y ＝kx ＋1，消去y 并整理得x 2－2kx －2＝0，Δ＝4k 2＋8>0，且x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －12x 21＝m (x －x 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －12x 21＝m x －x 1，x 2＝2y ，消去y 并整理得x 2－2mx ＋2mx 1－x 21＝0，则Δ＝4m2－4(2mx 1－x 21)＝0，解得m ＝x 1，切线l 1的方程为y ＝x 1x －12x 21，同理可得，切线l 2的方程为y ＝x 2x －12x 22，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1x －12x 21，y ＝x 2x －12x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1，12x 22－12x 21，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 12，x 1x 2－x 12，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 12，x 2x 2－x 12.因为(AB →＋AP →)·PB →＝0，所以AB →·PB →＋AP →·PB→＝0，即x 2－x 122＋x 2x 1＋x 2x 2－x 124＋x 2－x 124＋x 1x 2x 2－x 124＝0，化简得3＋2x 1x 2＋x 22＝0，因此，x 22＝1，于是得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，直线l 的斜率k ＝±12，所以直线l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.变式 已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，AB 所在直线经过抛物线的焦点F ，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .求证：FM →·AB→为定值．【解答】 由题意，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝16k 2＋16>0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，又y ′＝x 2，所以切线的方程分别为MA ：y ＝x 12x －x 214，MB ：y ＝x 22x －x 224，从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，－1，所以k FM ＝2－x 1＋x 22，故k FM ·k ＝2－x 1＋x 22·x 1＋x 24＝－1，即FM →⊥AB →，所以FM →·AB→＝0，为定值．视角2：定直线上的点引两条切线问题例2 如图，设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过点M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(例2)(1) 求证：A ，B ，M 三点的横坐标成等差数列；【解答】 由题意设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p ，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py得y ＝x 22p ，求导得y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p .因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)，所以x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)①， x 222p ＋2p ＝x 2p (x 2－x 0)②，由①②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2，所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2) 当点M 的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410，求此时抛物线的方程．【解答】由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①，②并整理得x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0，所以x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两个根，Δ＝16＋16p 2>0，因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ＝2p ，故由弦长公式得|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋4p 216＋16p 2.又|AB |＝410，所以p ＝1或p ＝2，因此所求抛物线的方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .变式 已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E (不同于原点)的直线l 与抛物线D 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与y 轴交于点C .(1) 若EA →＝λ1EC →，EB →＝λ2EC →，求λ1·λ2的值；【解答】 设E (t,0)(t ≠0)，C (0，m )，因为EA →＝λ1EC →，EB →＝λ2EC →，所以⎩⎨⎧x 1－t ，y 1＝λ1－t ，m ，x 2－t ，y 2＝λ2－t ，m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝t －x 1t ，λ2＝t －x 2t . 设直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －t )，联立⎩⎨⎧y ＝k x －t，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4kt ＝0，Δ＝16k 2－16kt ＞0，且x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4kt ，所以λ1λ2＝t 2－x 1＋x 2t ＋x 1x 2t 2＝t 2－4kt ＋4ktt 2＝1.(2) 若E (4,0)，过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，并求此定直线的方程．【解答】设M (x ，y )，由x 2＝4y 可得y ＝x 24，故y ′＝x 2，所以抛物线在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214处的切线方程为y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理可得抛物线在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 24.因为E (4,0)，即t ＝4，由(1)可得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16k ，所以⎩⎨⎧x ＝2k ，y ＝4k ，即y ＝2x ，所以点M (x ，y )在直线y ＝2x 上．。
过抛物线上一点的切线方程公式推导
过抛物线上一点的切线方程公式推导抛物线，这个名字听起来就有点高大上，其实它就是一种很常见的数学曲线。
想想你在公园里扔球，球的飞行轨迹就像一条抛物线。
今天，我们就来聊聊过抛物线上某一点的切线方程怎么推导。
听起来有点复杂，但别担心，我们慢慢来，讲得轻松点儿！1. 抛物线的基础知识1.1 抛物线是什么？首先，我们得搞清楚什么是抛物线。
简单来说，抛物线就是一个二次函数的图像，比如 (y = ax^2 + bx + c)。
你把这些字母放在一起，就能画出那种弯弯的、对称的曲线。
哎呀，想象一下，像是一只微笑的弓，超级可爱吧？1.2 为什么要找切线？那么，切线是什么鬼呢？切线就像是那条在某一点上恰好碰到曲线的直线，换句话说，它在那儿和曲线“亲密接触”了一下。
切线可以告诉我们在那一点的斜率，也就是曲线的“瞬时速度”。
对于抛物线来说，切线可以帮助我们理解曲线的走势，简直就像是为抛物线开了一扇窗，让我们看到里面的故事。
2. 推导切线方程的步骤2.1 选定点好了，准备开始推导了。
首先，假设我们要找切线的那一点是 ((x_0, y_0))，而这个点必然在抛物线上，所以我们可以代入公式，得到 (y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c)。
嘿，没想到吧，这里就已经有了第一个线索。
2.2 求斜率接下来，我们得计算在这个点的斜率。
切线的斜率可以通过导数来找。
你可能会想，导数是什么？简单来说，导数就是一种“变化率”，它能告诉我们在某一点上，曲线是往上走还是往下走。
对于这个抛物线，导数是 (y' = 2ax + b)，所以在点 ((x_0, y_0)) 上，斜率就变成了 (m = 2ax_0 + b)。
3. 切线方程的建立3.1 切线方程的公式我们已经有了切线的斜率，接下来要把切线的方程写出来。
切线的方程可以用点斜式来表示：。
y y_0 = m(x x_0)把 (m) 代进去，我们得到：y (ax_0^2 + bx_0 + c) = (2ax_0 + b)(x x_0)。
过抛物线焦点弦端点的切线的探究
过抛物线焦点弦端点的切线的探究抛物线是数学中研究物体受到重力作用时行进轨迹的重要平面曲线。
它求解物理抛物线的运动规律和运行轨迹的研究成为学生数学的重要课题。
本文将研究抛物线焦点弦端点的切线，分析它们的性质和影响，以期为进一步的数学研究提供有益的参考。
抛物线的焦点弦端点的切线就是过抛物线上的任意两个点，再以其中一个点为焦点，将该抛物线最切线作为切线，称为抛物线焦点弦端点的切线。
根据几何原理，由两点围成的弦上的每一点均不在所求的切线上，而这样两点之间的切线就是弦端点的切线，也就是抛物线焦点弦端点的切线。
从抛物线的几何性质可以看出，抛物线焦点弦端点的切线具有以下性质：首先，抛物线焦点弦端点的切线的斜率是有限的，并且斜率的绝对值与两点间的距离成正比；其次，这条切线的直线斜率与焦点弦的抛物线相同；再次，切线的斜率的绝对值的和为0；再者，这条切线的焦点与两点间的距离之和等于焦点弦的长度。
有时，在研究计算抛物线问题时，可以借助抛物线焦点弦端点的切线来求解抛物线的特性，这样就可以很快地解决抛物线的问题，可以有效地避免重复计算的困难。
在实际应用中，抛物线的焦点弦端点的切线可应用于工程中的吊桥，求解类似吊桥问题，可以使用抛物线上路径的焦点弦端点的切线。
抛物线是求解吊桥位置最佳，并可以很容易地计算出一桥梁的一定数量和形状来满足工程要求的最优方案。
此外，抛物线焦点弦端点的切线也可以用来研究体积、重量问题，以决定物体的某些有限的数量和形状，以此节省时间和精力。
总而言之，抛物线焦点弦端点的切线的性质和影响是独特的，超出了抛物线的几何性质本身，因此，有必要深入研究抛物线焦点弦端点的切线，从而可以更好地进行抛物线的相关研究。
抛物线外一点做两条切线轨迹方程
抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。
本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。
2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。
根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。
设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。
4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。
设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。
根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。
由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。
5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。
这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。
抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。
希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。
抛物线中的切线问题(推荐完整)
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程 为: x0 x p( y y0 )
x2
x1x0 x2 x0
p( x12 2p
p( x22 2p
y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意 一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ． 求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2
y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线高中数学抛物线切线方程1、已知切点Q(x0，y0)，若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x);若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)等。
2、已知切点Q(x0，y0)若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x)。
若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)。
3、已知切线斜率k若y?=2px，则切线y=kx+p/(2k)。
若x?=2py，则切线x=y/k+pk/2(y=kx-pk?/2)。
抛物线相关性质1、过抛物线焦弦两端的切线的交点在抛物线的准线上。
2、过抛物线焦弦两端的切线互相垂直。
3、以抛物线焦弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
4、过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直。
5、过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分。
高三学习数学的窍门有哪些1、做题后加强反思高三学生一定要明确一点，就是现在正在做的题，一定不是考试的题。
所以高三学生做题不是目的，学会运用数学题目的解题思路和方法才是正道。
因此，高三学生对于每道题都要加以反思。
2、主动复习总结高三学生想要学好数学，进行章节总结是非常重要的。
在初中的时候，都是教师替学生做总结;但是到了高中之后，就需要学生自己来做了。
所以高三学生需要自己常总结，主动复习。
怎样学好高中数学的方法技巧1.先看笔记后做作业有的高一学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。
因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。
能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。
尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。
如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。
2.做题之后加强反思学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。
而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。
【圆锥曲线】11抛物线切线(含经典题型+答案)
抛物线切线的性质例1：点M （2，1）是抛物线x 2=2py 上的点，则以点M 为切点的抛物线的切线方程为 ．解：将点M （2，1）代入抛物线得：p =2，故以点M 为切点的切线方程为()122+=y x ，即01=--y x例2：过点A （0，2）且和抛物线C ：y 2=6x 相切的直线l 方程为 ．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()003x x yy +=代入点A （0，2）得：0032x y =，与抛物线方程联立得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=⎪⎭⎫⎝⎛004386230000020y x y x x x 或，故切线方程为0843=+-y x 或0=x 。
例3：直线l 经过点（0，2）且与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，满足这样条件的直线l 有 条．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()004x x yy +=代入点A （0，2）得：002x y =，与抛物线方程联立得：()⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒=4200820000020y x y x x x ，或，故存在两条切线，还有一条直线2=y 与抛物线只有一个公共点，故答案为3条。
1.在曲线y=x 2上切线的倾斜角为的点的坐标为 ．2.过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.抛物线2x y =在点M(21,41)处的切线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设曲线2ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A.12-B.12C.1D.1- 5.函数24x y =在点P （2, 1）处的切线方程为__________________________.6.抛物线x 2=4y 的准线l 与y 轴交于点P ，若直线l 绕点P 以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t= ．7.过点（2，﹣1）引直线与抛物线y=x 2只有一个公共点，这样的直线共有 条．8.过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为 ． 9.（2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于 点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知点A 为抛物线C ：x 2=4y 上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则△ABF （ ）A ．一定是直角 B ．一定是锐角C ．一定是钝角 D ．上述三种情况都可能11.抛物线x 2=y 在第一象限内图象上一点（a i ，2a i 2）处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i ∈N *，若a 2=32，则a 2+a 4+a 6等于（ ）A ．64 B ．42C ．32D ．2112抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）A ．B ．C ．D ．13.已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A 、B.过点A 的抛物线C 的切线y 轴交于点D ，求证；︱AF ︱=︱DF ︱；14.已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1（x 1＞0），过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线于点M ，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1值．15如图所示，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）与直线AB ：y=x+b 相切于点A ．（1）求p ，b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶角的Rt △AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程． 例4：已知点P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，过点P 的直线与抛物线C 相切于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为（ ）A ．1B ．C ．D ．3解：P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，故p =6，抛物线C ：y 2=12x ，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与P 点纵坐标相等（如图），即20=y ，且AB 过抛物线的焦点；设AB 方程为3+=ky x ，代入抛物线方程得：036122=--ky y ，312621221021=⇒==+=⇒=+k k y y y k y y ，故直线AB 的斜率为3。
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程
抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。
本文将详细探讨该问题。
1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。
早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。
随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。
在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。
1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。
通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。
此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。
以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。
接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。
2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。
其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。
抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。
- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。
- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。
2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。
切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。
切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。
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(3)若C为AB中点，则直线 PC的斜率为 0
即BPC APC(即为k PB k PA 0)
性质2：过抛物线准线上任意 一点作抛物线的切线 则过两切点的弦过抛物 线的焦点
性质1推广：已知 AB是经过抛物线 : y 2 2 px( p 0) 的对称轴上一定点 Q（a ,0 ）的弦，过 A、B分别作抛 物线的切线，则两切线 的交点P的轨迹为直线 : x a
1 2 y＝2x ， 由 y＝kx＋1， 4
整理得2x2－4kx－1＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
1 由于Δ1＝16k ＋8>0，x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，
2
所以|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝(1＋k2)(4k2＋2)． 12 27 5 2 2 x－ 8 ＋y－4 ＝32， 由 y＝kx＋1， 4 5 2 1 整理得(1＋k )x － 4 x－16＝0.
[解析]
显然双曲线的渐近线与抛物线的轴不平
x2 y2 b 行，∵双曲线 a2 － b2 ＝1的一条渐近线方程为y＝ a x，由 b y＝ x 方程组 a 2 y＝x ＋1 ＝0， b 消去y得x － x＋1＝0有唯一解，∴Δ a
2
b b 2 即 a －4＝0，∴a＝2，
GZC
[例3]
x2 y2 设双曲线 a2 － b2 ＝1的一条渐近线与抛物线y )
＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( 5 A. 4 5 C. 2 B．5 D. 5
• [分析] (1)利用直线与抛物线的位置关系， 只有一个公共点，则对应方程组有唯一解 得到a、b的关系，进而求出离心率． • (2)结合导数知识，以数助形，应用灵活． • [答案] D
设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k，x1· x2＝－4， ∴|AC|＝ 1＋k2 16k2＋16＝4(k2＋1)． 同理得|BD|＝ 1 1＋ 2 k 16 1 ＋16＝4· (1＋ 2)． k2 k
设F是抛物G：x2＝4y的焦点． 2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA FB 0 延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积 的最小值
x0>0，
所以 x0＝ 2，此时 M( 2，1)． 故存在点 M( 2，1)，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M.
无 人 迹 处 有 奇 观 。
学 林 探 路 贵 涉 远
,
会当凌绝顶，一览众山小。
所以x0＝ 2，此时M( 2，1)． 故存在点M( 2，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
(3)当x0＝
5 2 1 2时，由(2)得Q ， 8 ， 4 5 2 12 3 6 2 ＝ ， 8 ＋ 4 8
⊙Q的半径为r＝
12 27 5 2 2 所以⊙Q的方程为x－ ＋y－4 ＝32. 8
思考性质2推广
例 1： （2007 江苏高考第 19 题）如图，过 C（0，c） （c>0）作直线与 抛物线 y=x2 相交于 A、B 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线 y 段 AB 和直线 y+c=0 交于 P、Q。 （1）若 OA OB =2，求 c 的值； （2）若 P 为线段 AB 的中点， 求证：AQ 为抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立。
2 2
2
25 1 因此|AB| ＋|DE| ＝(1＋k )(4k ＋2)＋ ＋ . 81＋k2 4
2 2 2 2
1 5 令1＋k ＝t，由于2≤k≤2，则4≤t≤5，
2
25 1 25 1 2 所以|AB| ＋|DE| ＝t(4t－2)＋ 8t ＋4＝4t －2t＋ 8t ＋4，
2 2
5 25 1 设g(t)＝4t －2t＋ 8t ＋4，t∈4，5，
解：(1)依题意知 上．
p F0，2，圆心
p Q 在线段 OF 的垂直平分线 y＝4
p 3p 3 因为抛物线 C 的准线方程为 y＝－2，所以 4 ＝4，即 p＝1， 因此抛物线 C 的方程为 x2＝2y. (2)假设存在点 切线斜率为
x2 0 Mx0， 2 (x0>0)满足条件，抛物线
性质1：过抛物线焦点弦的两 端点作抛物线的切线， 两切线的交点在抛物线 的准线上
例1、 已 知抛 物线 方程 为： y 2 px( p 0), F是
2
其 焦点 ， 过 F作 直线L交 抛物 线于 A、B两 点， 过A、B分 别作 抛物 线的 切线 ， 求 证 : (1)两 切线 的交 点 P在 准线 上
引 例1、 已 知抛 物 线 方程 为 ： y 2 px( p 0), 直 线L
2
过 点P（a ,0 ） ( a 0)交 抛物 线 于 A( x1 , y1 )、B( x 2 , y 2 ) 两 点， 求: (1) x1 x 2 ( 2) y1 y 2
2
引 例2、 已 知 抛 物 线 方 程 为 ： y 2 px( p 0), A( x1 , y1 )是 抛 物 线 上 一 点 ， 求 过 点 A且 与 抛 物 线相切的直线方程
解： (1)依题意知
p F0，2， 圆心
p Q 在线段 OF 的垂直平分线 y＝ 上， 4
p 3p 3 因为抛物线 C 的准线方程为 y＝－ ，所以 ＝ ，即 p＝1， 2 4 4 因此抛物线 C 的方程为 x2＝2y. (2)假设存在点 线斜率为
x2 0 Mx0， 2 (x0>0)满足条件， 抛物线
A O Q P B x
例 2： （2006 全国高考卷Ⅱ21 题）抛物线 x2=4y 的焦点 F， A、 B 是抛物线上两动点，且 AF FB ，过 A、B 两点分别 B、作抛物线的切线，设其交点为 M。 （1） 证明： FM AB 为定值； （2） 设△ABM 的面积为 S，求出 S 的最小值。
设F是抛物G：x2＝4y的焦点． 2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足 FA FB 0 延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积 的最小值
(2)设 AF 所在直线的斜率为 k， 1 则直线 AF：y＝kx＋1，直线 BF：y＝－kx＋1. y＝kx＋1， 联立 x2 y＝ . 4 得 x2－4kx－4＝0，
a2＋b2 c ∴e＝a＝ a ＝
b 1＋a2＝
5.
• [评析] (1)在双曲线的几何性质中，渐近 线是其独特的一种性质，也是考查的重要 内容，应充分利用双曲线的渐近线方程， 简化解题过程． • (2)导数与解析几何中斜率问题的有机联系 常能出奇制胜． • (3)由a、b、c三者中任何两者的等式关系 皆可求出e.
2
25 因为g′(t)＝8t－2－8t2，
5 5 5 所以当t∈ 4，5 时，g′(t)≥g′ 4 ＝6，即函数g(t)在t∈ 4，5
5 13 1 是增函数，所以当t＝4时，g(t)取到最小值 2 ，因此当k＝2时， 13 |AB| ＋|DE| 取到最小值 2 .
2 2
2．在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦 点，M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点，过 M，F， 3 O 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 . 4 (1)求抛物线 C 的方程； (2)是否存在点 M，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
C 在点 M 处的切
x2 y′|x＝x ＝ 2 ′|x＝x0＝x0， 0
2 x0 所以直线 MQ 的方程为 y－ ＝x0(x－x0)． 2
1 x0 1 令y＝4，得xQ＝ 2 ＋4x ，
0
x0 1 1 所以Q 2 ＋4x ，4. 0
又|QM|＝|OQ|，
1 1 x02 1 x2 x02 1 02 故4x － 2 ＋4－ 2 ＝4x ＋ 2 ＋16， 0 0 1 x2 9 02 因此 4－ 2 ＝16，又因为x0>0，
1 ∴S 四边形 ABCD＝ |AC|·|BD| 2 1 1 4k ＋16k ＋8 2 ＝ ×4(k ＋1)·4(1＋ 2)＝ 2 2 k k ＝8k ＋ 2＋16≥2
2 2 2
8
k
8k · 2＋16＝32，
2
8
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 k ＝1 时取“＝” ，故四边形 ABCD 面积的最小值为 32.
2
3．(2012· 山东高考)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C： x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任 意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C 3 的准线的距离为4. (1)求抛物线C的方程； (2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； 1 (3)若点M的横坐标为 2，直线l：y＝kx＋4与抛物线C有两 个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求 1 当2≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．
2 2
设D，E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，
k2 27 由于Δ2＝ 4 ＋ 8 >0， 5 2 1 x3＋x4＝ ，x x ＝－ . 41＋k2 3 4 161＋k2 25 1 所以|DE| ＝(1＋k )[(x3＋x4) －4x3x4]＝ 2 ＋ . 81＋k 4
C 在点 M 处的
x2 y′|x＝x0＝ 2 ′|x＝x0＝x0，
x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y－ 2 ＝x0(x－x0)．
1 x0 1 令 y＝4，得 xQ＝ 2 ＋4x ， 0 所以