线性映射及矩阵的运算 ppt课件
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矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
线性代数矩阵及其运算 ppt课件
1 2 2 .5 8 3 1 3 0 .5 89
1 2 4 .5 9 3 6 3 .5
83
22
三、 矩阵的乘法
定义1.5 (P5)
设矩阵A=(aij)ml的列数与矩阵B=(bij)ln的行数相等, 则由元素
C
2
8
4
求AB、BA和BC
解 AB 816 1362
BA
0 0
0 0
BC
0 0
0 0
AB≠BA , BA=BC
(1) AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2) 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 (3) BA=BC,但A≠C,可见，矩阵乘法不满足消去率
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B
16
判断下列各组矩阵是否相等
(1)
8
(3)2
5 2 0
s9in61
2 2 2.5 0.5
9 0 8
(2)
0 0
0 0
0 0
00
0 0
1 0 0
(3)
0
0
1 0
0 1
(1 )
am1x1am2x 2 amn xn bm
m个方程 ，
n个未知数
a11 a12
a
21
a 22
a m 1 a m 2
a1n
a2n
a m n
a11 a12
a21
a22
《高等代数》线性变换PPT课件
的列是
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
高等代数课件 第七章
①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
第二章线性映射与线性变换 ppt课件
（2）线性变换的数乘：( k T ) ( ) k T ( ) ;
（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2())
则可以验证，T1+T2,kT, T1T2都是线性变换，因此L (V,V ) 是数 域P上的线性空间。 注：数乘变换和线性变换的数pp乘t课件运算是两个不同的概念. 23
ppt课件
15
解 在R [x] n中取基1=1， 2=x, … n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基 1=1， 2=x, … n-1=xn-2，则
D( 1)=0= 01+0 2+ …+0 n-1 D( 2)=1= 1+0 2+ …+0 n-1 D( 3)=2x= 01+2 2+ …+0 n-1
④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
于逆矩阵.
ppt课件
28
L(V,V)与Pnn同构；
例2 设线性空间R3 的线性变换 为
()= ( x1 , x 2 , x 3 ) ( x1 , x 2 , x1 x 2 )
求 在自然基底 1 , 2 , 3下的矩阵.
解： ( 1 ) (1, 0, 0) (1, 0,1)
,
nn
矩阵A称为线性变换T在基 1 , 2 , , n下的矩阵.
ppt课件
26
注：
A的第i 列是 T ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.
单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2())
则可以验证，T1+T2,kT, T1T2都是线性变换，因此L (V,V ) 是数 域P上的线性空间。 注：数乘变换和线性变换的数pp乘t课件运算是两个不同的概念. 23
ppt课件
15
解 在R [x] n中取基1=1， 2=x, … n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基 1=1， 2=x, … n-1=xn-2，则
D( 1)=0= 01+0 2+ …+0 n-1 D( 2)=1= 1+0 2+ …+0 n-1 D( 3)=2x= 01+2 2+ …+0 n-1
④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
于逆矩阵.
ppt课件
28
L(V,V)与Pnn同构；
例2 设线性空间R3 的线性变换 为
()= ( x1 , x 2 , x 3 ) ( x1 , x 2 , x1 x 2 )
求 在自然基底 1 , 2 , 3下的矩阵.
解： ( 1 ) (1, 0, 0) (1, 0,1)
,
nn
矩阵A称为线性变换T在基 1 , 2 , , n下的矩阵.
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26
注：
A的第i 列是 T ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.
单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
线性变换和矩阵PPT课件
f : A
第3页/共30页
7.3.2 坐标变换
设V 是数域F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,, n}
是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系呢?
2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A ；
因为由 B T 1AT 得 A TBT 1 (T 1)1 BT 1.
第26页/共30页
3. 传递性：如果 A ~ B 且 B ~ C 那么 A ~ C
事实上，由 B T 1AT和C U 1BU 得
C (U 1T 1) A(TU ) (TU )1 A(TU ).
这样一来从lv到mf必然存在着一个对应关系映射丌妨记为是数域f上一个n维向量空间的一个基关于这个基的坐标是最后等式表明的坐标所组成综合上面所述我们得到坐标变换公式
7.3.1 线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V 的一个线性变换，取定V的一个基 {1,2 , ,n}, 令
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
单位向量 1, 2 作为V2 的基.令σ是将 V2的每一向
量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一V2 个线性变换.我
们有
1 1 cos 2 sin ,
2 1 sin 2 cos.
所以σ关于基 1,2的矩阵是
cos sin
sin cos
设 V2，它关于基 1,2 的坐标是 x1, x2 ,而
………………………………………
(n ) a1n1 a2n2 annn
第3页/共30页
7.3.2 坐标变换
设V 是数域F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,, n}
是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系呢?
2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A ；
因为由 B T 1AT 得 A TBT 1 (T 1)1 BT 1.
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3. 传递性：如果 A ~ B 且 B ~ C 那么 A ~ C
事实上，由 B T 1AT和C U 1BU 得
C (U 1T 1) A(TU ) (TU )1 A(TU ).
这样一来从lv到mf必然存在着一个对应关系映射丌妨记为是数域f上一个n维向量空间的一个基关于这个基的坐标是最后等式表明的坐标所组成综合上面所述我们得到坐标变换公式
7.3.1 线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V 的一个线性变换，取定V的一个基 {1,2 , ,n}, 令
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
单位向量 1, 2 作为V2 的基.令σ是将 V2的每一向
量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一V2 个线性变换.我
们有
1 1 cos 2 sin ,
2 1 sin 2 cos.
所以σ关于基 1,2的矩阵是
cos sin
sin cos
设 V2，它关于基 1,2 的坐标是 x1, x2 ,而
………………………………………
(n ) a1n1 a2n2 annn
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命题5.2 矩阵的乘法满足结合律. 具体地说, 设
则
11.04.2020
18
关于交换律与消去律
1）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律.
2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此, 矩阵的乘法不满足消去律. 例如，设
11.04.2020
19
线性映射矩阵的乘法分配律
1) 左分配律: 2) 右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律.
11.04.2020
16
几点说明（3）
形式表示： 为了叙述方便，通常把线性组合写成 “矩阵乘积”的形式，比如
比较（1）与（2）得到
11.04.2020
17
乘法结合律
由于映射的乘积满足结合律, 线性映射的乘积也满足结合律. 设
则有 根据矩阵与线性映射的对应关系, 可以导出矩阵的乘法 也满足结合律.
则有
11.04.2020
20
矩阵转置的运算
有
证明：只验证第三条性质.
11.04.2020
21
由线性映射与矩阵的对应关系得
11.04.2020
9
矩阵的乘法运算(2)
两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数 与第二个矩阵的行数相等.
11.04.2020
10
例题 5.2
计算矩阵的乘积 解: AB 的(1,1)元为 其它元可以类似地求得.
11.04.2020
=-25
11
例子 5.3
11.04.2020
12
例子 5.4
解: 经计算得
11.04.2020
13
矩阵与列向量的乘积
设 计算
解：
第 i 分量为
即
11.04.2020
14
几点说明（1）
1) 线性方程组的表达式的简化. 设线性方程组如下
引进记号
则线性方程组可以表示成
11.04.2020
15
几点说明(2)
2) 线性映射的坐标表示.
事实上，
则有 由坐标的唯一性
§5 线性映射及其矩阵的运算
线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算
乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律
11.04.2020
1
线性映射与矩阵的加法运算
11.04.2020
2
矩阵的加法运算
11.04.2020
3
线性映射与矩阵加法的基本性质
11.04.2020
4
线性映射的数乘运算
基本性质:
11.04.2020
5
矩阵的数乘运算
我们把矩阵 C 称为矩阵 A 与数k的数乘，记为C = kA. 基本性质:
11.04.2020
6
例题 5.1
解: (1) 原式=
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7
线性映射与矩阵的乘法运算
可以作出它们的乘积映射：
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8
矩阵的乘法运ห้องสมุดไป่ตู้(1)
则
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关于交换律与消去律
1）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律.
2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此, 矩阵的乘法不满足消去律. 例如，设
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线性映射矩阵的乘法分配律
1) 左分配律: 2) 右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律.
11.04.2020
16
几点说明（3）
形式表示： 为了叙述方便，通常把线性组合写成 “矩阵乘积”的形式，比如
比较（1）与（2）得到
11.04.2020
17
乘法结合律
由于映射的乘积满足结合律, 线性映射的乘积也满足结合律. 设
则有 根据矩阵与线性映射的对应关系, 可以导出矩阵的乘法 也满足结合律.
则有
11.04.2020
20
矩阵转置的运算
有
证明：只验证第三条性质.
11.04.2020
21
由线性映射与矩阵的对应关系得
11.04.2020
9
矩阵的乘法运算(2)
两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数 与第二个矩阵的行数相等.
11.04.2020
10
例题 5.2
计算矩阵的乘积 解: AB 的(1,1)元为 其它元可以类似地求得.
11.04.2020
=-25
11
例子 5.3
11.04.2020
12
例子 5.4
解: 经计算得
11.04.2020
13
矩阵与列向量的乘积
设 计算
解：
第 i 分量为
即
11.04.2020
14
几点说明（1）
1) 线性方程组的表达式的简化. 设线性方程组如下
引进记号
则线性方程组可以表示成
11.04.2020
15
几点说明(2)
2) 线性映射的坐标表示.
事实上，
则有 由坐标的唯一性
§5 线性映射及其矩阵的运算
线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算
乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律
11.04.2020
1
线性映射与矩阵的加法运算
11.04.2020
2
矩阵的加法运算
11.04.2020
3
线性映射与矩阵加法的基本性质
11.04.2020
4
线性映射的数乘运算
基本性质:
11.04.2020
5
矩阵的数乘运算
我们把矩阵 C 称为矩阵 A 与数k的数乘，记为C = kA. 基本性质:
11.04.2020
6
例题 5.1
解: (1) 原式=
11.04.2020
7
线性映射与矩阵的乘法运算
可以作出它们的乘积映射：
11.04.2020
8
矩阵的乘法运ห้องสมุดไป่ตู้(1)