牛顿与莱布尼兹和他们的微积分评述

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目的实 现 阶段 。但 是 他 已经用 通行 的术语 陈述 了逻 辑 的加法 、 法和 否定 的主要 性 质 ， 乘 已经考 虑 到 空集 和 集 的包 含 关 系 ， 且 指 出 在集 的包 含 关 系 和命 题 并 的蕴含关 系 之 间的类似 性 。 莱 布尼兹 是在 １７ ６ ３年 到 １ ７ ６ ６年之 间某 时发 明
他 的微积 分 的 。１７ ６５年 １ Ｏ月 ２ ｔ他 第 一 次 用 长 ９ Ｅ， 写字 母 Ｓ 这个现 代 的积分 符号 表示 卡 瓦 列 利 的“ ， 不 可分 元 ”之 和 ， 周 之后 ， 像 我们 今 天这 样 写微 分 几 他
和微商 ， 了像 ｆｄ和 ｆ ｙ 并有 ｙｘ ｙ 这样的积分。 ｄ 直到１８ ６４
示， 或者有时也用 夕 表示。 牛顿还引进另一个概念 ， 他
生成 的坐标 和 Ｙ与它们 的流数 和 关系的方程。 牛 顿考 虑两 种类 型 问题 ， 在第 一类 型 的问题 中 ， 给 出联 系一 些 流 的关 系 式 ， 我 们 找 出这 些 流 和 它 要 们的流数 的关 系式 。这就是我们上面讲 的， 自然 这 等价于微分 。在第二种类型的问题 中， 出联 系的 给 些 流 和它 们 的流 数 的关 系式 ， 我 们 找 出仅 仅 联 要 系流 的 关 系 式 。这 是 逆 问题 ， 价 于 解 微 分 方 程 。 等 后 来 牛 顿 用 他 的初 步 极 限 概念 作 出根 据 ， 明 略 去 证 包 含 Ｏ的二 次 或二次 以上 的项 是 正 确 的 。他定 义极 大值和极小值 ， 曲线 的切线 ， 曲线的曲率 ， 拐点 ， 曲线 的 凹凸 性 ， 且 他 把 他 的理 论 应 用 于许 多求 积 问题 并 和 曲线 的求长。在一些微分方程 的积分 中， 他显示 了超 人 的能 力 ， 这 部 著 作 中有 对代 数 方 程 和 超 越 在 方程 都 适用 的实根 近似 值求 法 （ 牛顿 法 ） 。 牛顿 的贡 献 如 此 伟 大 ， 猎 广 泛 ， 了数 学 、 涉 除 物 理， 还包 括 化学 、 丹 、 学 的研究 。所 以 ， 炼 神 连莱 布尼 兹也 说 ：在从 世 界 开始 到牛顿 生 活 的 年代 的全部 数 “ 学中， 牛顿 的工 作 超 过 一 半 。 拉 格 朗 日也 说 他 是 历 ” 史 上最 有才 能 的 人 ， 是 最 幸 运 的人— — 因为 宇 宙 也 体 系 只能被 发现 一 次 。他 的成就 被 英 国诗人 波 普 用 诗表 达 ： 自然 和 自然 的规 律沉 浸 在 一 片 黑 暗之 中 ， 上 帝说 ： 出牛顿 ， 生 一切 都 变得 明 朗。
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年， 才发表 了他 的关 于微 积分 的第 一 篇论 文 。 在这 篇 论 文 中 ， 引 进 作 为 任 意 有 限 区 间 ， 且 用 比例 他 并
ｄ ｙ：ｄ ＝Ｙ：次切 距定 义 ｄ， ｘ ， 。
在我们 的初 等微 积分课 中 的微分 的许 多基 本 原 则 ， 莱布 尼 兹 推 出 的 。求 两 个 函 数 乘 积 的 ｎ阶倒 是 数 的法则 ， 在 还 被 称 作 莱 布 尼 兹 法则 。他 对 数 学 现 形 式 有 超 人 的 直觉 ， 并且 对 于很 好 地设 计 符 号 的 潜 在 可 能性很 敏感 。他 的微 积分 符 号 已被 证 明是 很 好
［ 中图分类号 ］ｏ １／ １ ［ １３ １７ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１０ ４ １ ０ ８－ ６４一（ ０２ ０ ２ １ ）４～０５ ０ ０６— ２
数学 研 究的 许多新 的 、 广泛 的领域 是 在 １ 纪 积分 的另一 种 表述 ） ７世 。
开 辟 的 ， 得 这 个 时期 成 为 数 学发 展 中最 富有 成 果 使 从 １６ ６５年夏 末 到 １６ ６７年 夏末 ， 于 鼠疫 流行 ， 由 的时期 。无疑 ， 中最值得注意的成就就是接近该 剑 桥大学 停 了课 。牛 顿 住 在 伍 尔 斯托 普 的 家 中 ， 其 研 世 纪末 牛顿 和莱 布 尼兹作 出的微 积分 的发 明 。有 了 究 其数 学 （ 曲线 上任意 点作其 切 线 ， 过 和计 算 其 曲率 这 个 发 明 ， 造 性 的 数学 相 当普遍 地 发 展 到 一个 高 半 径 ） 并有兴 趣 于 各种 物 理 问题 ， 他 的第 一 个 光 创 ， 作 级 的水 平 ， 初 等 数 学 的 历史 基 本 结 束 。几 乎 可 以 使 学实验 ， 并将其万有 引力理论的基本原理 系统化。 这样 说 ， 天如 果一 个人 没有 这方 面 的 知识 ， 不 能 今 就 但也有研究表明， 这种说法是虚构的 ， 牛顿本人为 但 说他 很好 地 受过教 育 。 了保证其在微积分发现 中的首要地位 ， 也散布这种 学过 高 数 的都 知 道 微 积 分 基 本 定 理 ， 就 是 牛 也 说法 ， 即在 １６ ６６年 剑 桥 大 学 短 期 复 课 之 前 ， 已做 他 顿 一莱 布尼 兹公 式 ： 函数 ） ［ ，］ 若 在 ｏ ｂ 上连续 ， 且 出了这些 发现 。 存 在 原 函 数 Ｆ（ ， Ｆ ）在 ［ ，］上 可 积 ， ） 则 （ 口ｂ 且 当牛 顿开 始他 ｌ 的大 学教 授 生 活后 ， 的第 ８年 他 Ｉ 广 ） ｘ＝Ｆ ６ Ｆ 。 占 ｄ （ ） （ ）这 即为 牛顿 一莱 布尼 茨公 个 研 究 是 关 于 光 色 的 ， 来 以一 篇 论文 的形 式 由 后
他有 时 间探 讨 他 喜爱 的研 究 ， 果 他 写下 结 另一 方 面 ， 量 Ｙ通过在 符 号 Ｙ 围画一小 正方 形 表 威工作 时 ， 流 周 的各种课题 的论文堆成 了山 。只可惜 他生命 的最后 ７
年， 是在 别人带 给他 和牛顿 的关 于他是 否独立 于牛顿 称 之 为 流 的矩 ， 它指 的是 流 （ 如 ）在无 穷 小 的 时 例 发 明 了微积 分的争论 中难 受地度过 的。 问间 隔 Ｏ中增加 的无 穷小 量 。 于是 ， 流 的矩 由乘 积 莱 布尼 兹对 其 《 能 算 法》的研 究 ， 出数 理 逻 万 导 Ｘ Ｏ给 出。 顿 指 出 ： 任 何 问题 中 ， 以 略去 所 有 包 牛 在 可 辑 的理 论 和具 有 形 式 规则 的符 号 法 ， 以避 免 思考 用 含 Ｏ的二 次或 二 次 以上幂 的项 ； 这样 ， 们得 到 曲线 我 的必要 性 。这个设 想 ， 了近现 代 ， 达 到 了令 人 注 到 才
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沃利斯的《 无穷的算术》 。他从读数学到研究数学 ， 还是可以凭借假定某量（ 比如 ， 动点 的横坐标 ） 固 依 开 始发 现推 广 的二项式 定理 ， 并且 创 造其 流 数法 （ 微 定 比率增加 ， 把时间的概念躲过。 某流增加的固定 比
［ 收稿 日期 ］２ １ ０ ０ ２— ７—１ ８
［ 作者 简介］赵坚（ ９２ ） 男 ， １７ 一 ， 河北衡水人 ， ｚ ： Ｎ煤 炭职业技术学 院讲师 。 ： ｈ
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率称 为 主 流 数 ， 以将 任 何 其 它 流 的 流 数 与 主 流 数 他 已经发现 微积分 的基本 原理 ， 出此 学科 中的大部 可 给 并 比较。 的流数被记作 ； 夕 对于高次流数， 如此类推。 分符号 ， 且做 出一 些微 积分 的基本 公式 。而在 汉诺
口 赵 坚
（ 同煤 炭 职 业技 术 学 院 ，山西 大 同 ０ ７ ０ ） 大 ３０ ３

［商 要］介 绍牛顿和莱布尼兹的生平 以及他们的研究成果 ， ｊ 主要是 关于微 积分基本定理 ， 即牛 顿 一莱布
尼兹公式的来龙去脉 ， 他们各 自独立发 明了微积分的过程和时间， 让我们更加 崇敬伟人们和他们 的巨大贡献。 ［ 关键词 ］牛顿 ， 莱布尼兹 ， 流数 法， 微积分
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莱 布 尼兹 的微 积分
学 研究 得深 ， 他 的知 识 面则 较 广 ， 且 ， 为 一 个 但 并 作 发 明上 ， 牛顿 的 竞 争 者 ， １４ 是 于 ６６年 出 生 于 莱 比锡 分 析 学家 和 数 学 物理 学 家 他 都 次 于 他 的英 国对 手 ， 城 。 当还是儿 童 的 时候 ， 自学 拉 丁 文 和希 腊 文 ， 就 不 但 他对 数 学 形 式 有 比较 敏 锐 的想 像 力 和 卓 越 的 本 到２ ０岁 ， 就熟 练地 掌握 了一 般课 本 上 的数 学 、 学 、 哲 能 。在牛顿 和 莱 布 尼 兹 之 后 的若 干 时 间 ， 分 的 基 积 神学 和 法学 知识 。青 年 时代 ， 他开 始 发 展他 的《 万能 础还 是 不 清 楚 的并 且 很 少 被 人 注 意 ， 为早 期 研 究 因 算法 》； 来 ， 展 出 布 尔 的 符 号 逻 辑 ； 靠 后 些 ， 后 发 再 者被 此学科 的显著 的可 用性 所 吸 引 。第 一 本微 积 分 １１ 年 ， ９ ０ 发展 出怀特黑德 和罗素 的伟大 的《 数学原 课 本 出版 于 １９ ６ ６年 ， 洛 比达 写 的。还 发 表 了他 老 是 理》 当莱 比锡 大学 以他 年轻 为藉 口， 。 拒绝 授 予他 法 师约翰 ・ 伯努利的讲义 ， 在这本书中有求分子 、 分母 学博 士 学位 时 ， 他迁 到纽 伦 堡 。在 那 里 ， 写 了一 篇 他 趋 于零 的分式 的极 限值 的所谓 洛 比达法 则 。 关 于 用 历 史 的方 法 教 授法 学 的杰 出论 文 ， 且 把 它 并 献 给美 因茨 的帝选侯 。这导 致 帝选 侯 任 命 他 重修 一
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式 。 个公 式是 牛顿 和莱布 尼 兹彼 此独 立 地 做 出 的。 皇家学会 发 表 。但 引 起 一 些 科 学 家 的猛 烈 攻 击 ， 这 牛
下面我就对他们各 自的工作和他们 的微 积分理论做 顿感到很无聊 ， 发誓再也不发表任何关于科学 的东 点 简单 阐述 与介 西了。这对数学史产生 了重大影响， 几乎所有他 的 发 现都在 许多 年后 才发 表 。也就 引 出 了后 来 他 与莱 牛顿和 他 的流数 法 布尼兹 在微积 分发 现 的优先权 上 的争论 。 伊 沙 尔 ・ 顿 于 １４ 牛 ６ ２年 （ 旧历 ） 出生 于 沃 尔斯 他 的《 数法 》写 于 １７ 年 ， 到 １７ 流 ６１ 直 ６６年 才 发 索 普村 。他 的父 亲是 个农 民 ， 牛 顿 出生 前 就死 了 ， 在 表。 在这 部著 作 中 ， 牛顿 把一 条 曲线 看作 是 由一个 点 他 计划 让 牛顿也 务农 。而 幼年 的牛顿 在设 计 灵 巧 的 的连续 运动生 成 的 。 照这个 概 念 ， 按 生成 点 的横 坐标 机 械模 型 和做 实 验上 ， 就显 示 出才 能 和爱 好 。 １ ８岁 和纵 坐标 ， 一般 是 变 动 的量 。 生成 的量 被 称 作 流 ， 流 时被 允许进 入剑 桥大 学三一 学 院 。 的变化 度称 为它 的流数 。 如果 一 个 流 （ 比如 生成 一 条 由于牛 顿在 斯托 桥 的集 市 上偶 然 碰 到一 本 占星 用 表示 ， 则这个流 的流数用 夕 学 的 书 ， 起 了他 对 数 学 的兴 趣 ， 先 读 欧 几 里 德 曲线的点的纵坐标） Ｙ 引 他 表示 。 我们 知 道 ： 现 代 的符 号 ， 等 价 于 ｄ／ ｔ在 用 这 ｙｄ， 《 原本》 然后看笛 卡尔的《 ， 几何》 这有些 困难 。他 ， ｔ 尽 但我 们 还读 奥特 雷德 的《 门》 刻 卜 和韦达 的 著作 ， 入 、 勒 以及 这里 ，表示 时间 。 管在 几何 中 引进 了时 间 ，