牛顿微积分
牛顿积分公式
牛顿积分公式摘要：一、牛顿积分公式的背景与定义二、牛顿积分公式的性质与特点三、牛顿积分公式的应用领域四、牛顿积分公式与其他积分公式的关系五、总结正文：一、牛顿积分公式的背景与定义牛顿积分公式，又称牛顿-莱布尼茨公式，是微积分学中的一个重要公式。
它是由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在十七世纪独立发现的。
这个公式描述了函数的不定积分与原函数之间的关系，为微积分学的发展奠定了基础。
牛顿积分公式的定义如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么它的不定积分F(x)可以表示为：F(x) = ∫f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + C其中，C为积分常数。
二、牛顿积分公式的性质与特点牛顿积分公式具有以下性质和特点：1.线性性：对于任意常数k，有∫kf(x)dx = k∫f(x)dx。
2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上为正，那么∫[a, b]f(x)dx也为正；如果f(x)在区间[a, b]上为负，那么∫[a, b]f(x)dx也为负。
3.可积函数的有界性：如果f(x)在区间[a, b]上可积，那么它的原函数F(x)在区间[a, b]上连续。
三、牛顿积分公式的应用领域牛顿积分公式在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来求解质点的位移、速度、加速度等；在工程学中，它可以用来求解梁的弯曲、轴的扭转等；在经济学中，它可以用来求解成本、收益、需求等。
四、牛顿积分公式与其他积分公式的关系牛顿积分公式是莱布尼茨积分的特例。
对于可积函数f(x)，如果它的原函数F(x)在区间[a, b]上连续，那么我们可以用牛顿积分公式计算它的不定积分。
然而，如果f(x)不是可积函数，我们仍然可以使用莱布尼茨积分公式计算它的不定积分，但需要引入黎曼和（Riemann sum）的概念。
微积分产生的背景
微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。
微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。
1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
牛顿莱布尼茨公式 零点定理
牛顿莱布尼茨公式零点定理牛顿-莱布尼茨公式（newton-leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式取值分数提供更多了一个有效率而方便快捷的计算方法，大大简化的定分数的排序过程。
定理意义牛顿-莱布尼茨公式的辨认出，并使人们找出了化解曲线的长度，曲线围起的面积和曲面围起的体积这些问题的通常方法。
它精简的定分数的排序，只要晓得被内积函数的原函数，总可以谋出定分数的准确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式就是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明的定开卡元公式，分数第一中值定理和分数型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推展至二重积分与曲线分数，从一维推展至多维。
公式应用牛顿-莱布尼茨公式精简的定分数的排序，利用该公式可以排序曲线的弧长，平面曲线围起的面积以及空间曲面围起的立体体积，这在实际问题中存有广为的应用领域，比如排序坝体的围垦方量。
牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。
牛顿-莱布尼茨公式推动了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶转换，概率论，微分函数等数学分支中都存有彰显。
微积分牛顿莱布尼茨公式
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
牛顿微积分
牛顿微积分微积分不是牛顿发明的，他只是对微积分进行了发展。
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前~前）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
牛顿微积分的特点牛顿微积分，确切的说，应该叫做牛顿-莱布尼兹微积分，它的最大特点，就是广泛运用哲学中的从有限到无限的思想，大量使用流数，就是变化率。
用微分和反微分（也就是积分）来解决运动，变化的问题。
另外其符号是莱布尼兹首创。
后来引用为一体。
总体来说。
微积分是17世纪由英国的牛顿(Newton)和德国的莱布尼茨(Leibniz)在前人成果的基础上创立起来的.在以后的两个世纪里，它以惊人的速度飞快地发展，在许多领域中得到了广泛的应用，取得了空前辉煌的成就.作为显示数学理论无比威力的例证之一是海王星的发现.年德国的威廉·赫歇尔通过观察，发现了天王星.年天文学家发现天王星的运行轨道的观测位置与理论计算位置不符，因而推测在天王星之外可能还有一颗未知的行星在影响它的运动.英国天文学家与几何学家亚当斯(和法国天文学家勒维利(LeVerrier)于，年先后按三体运动的推测，用严格的数学方法算出了这颗未知行星的运行轨道.年9月23日晚上在柏林天文台工作的加勒(Galle)，将望远镜指向秋夜的星空，对准了勒维利预报的方位，果然找到了这颗新的行星，这就是海王星.微积分之所以有如此神奇的力量，是因为通过这种方法，能找到“无限短”时间内物理运动规律的所谓“微分形式”，然后进行“积分”，从而合乎逻辑地得到适合于表示物体运动规律的函数关系.正如爱因斯坦所说：“微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”.从更一般的角度看：用微积分方法研究实际问题的过程大致是这样的，在自变量的无限小变化过程中，考察函数的对应变化，并通过确定变化趋势的数学过程，即所谓“极限过程”，找出函数所满足的“微分规律”，然后“积分”，从而找出函数关系.这里的关键就在于，如何在数学上理解并阐述清楚什么是“无限小变化”？什么是“极限过程”？牛顿及莱布尼茨等微积分的创立者，当时是用现实直观与数学理性相结合的方法，大胆而机智地解决了大量实际问题.他们的思想今天仍然在许多学科中被广泛使用.当然，这种方法有其不足之处，主要是作为一般的数学概念和方法，缺乏精确的数学描述，因而造成了一些混乱.在当时，牛顿也为其困惑，他想了许多方法来解决，终因受当时数学发展水平所限而没能完成.对于这种状况，18世纪的许多大数学家，如高斯(Gauss)，达朗贝尔(d’Alembert)等都意识到了这一问题的所在：微积分原理的严格理性基础，不能依赖于物理或几何的直观，而只能依靠自身合理的数学概念和方法.当时挪威数学家阿贝尔(明确地指出：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处”，“最糟糕的是它还没有得到严格处理，高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明.人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方法”.正是在这种形势下，法国数学家柯西(Cauchy)在他年至年相继编写的几本教材：《分析教程第一编·代数分析》()、《微积分概要》()、《微积分在几何中的应用教程》()和《微分学教程》()中，首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础，其中最核心的是给“极限”以比较精确的数学定义，使微积分从此走出了混乱的阶段.今天我们来回顾微积分发展的这两个阶段，对于牛顿的直观微积分与柯西的理性微积分，应该给两者一个全面的评述.首先，这两个阶段是微积分发展历史中的两个必然阶段，前者是后者的基础，后者是前者的发展.更为重要的是，这两个阶段的微积分从方法上讲各有其特点，两者不是互相否定的，而是互为补充的.从应用上讲，牛顿的方法易于理解，贴近实际，激发创意，生动而充满活力，所以为许多非数学的学者所喜爱与沿用.但存在的问题是缺乏严格的数学理论基础，导致一些重要概念上的混乱.柯西的理性微积分，基本上排除了混乱的概念，给微积分以完整的理论体系，为分析学科的发展奠定了坚实的理论基础.但另一方面，它也有用严格而形式的语言，掩盖牛顿方法的许多鲜活和源于实际的思想等问题，使学习者难以较快地理解极限的实质.这套严格的形式处理，对于初学者，有一种难以接受的感觉.。
微积分中的牛顿法
牛顿法，也被称为牛顿-拉夫逊法，是一种用于求解方程的迭代算法。
它是由英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿在17世纪中期开发的，以他的名字命名的。
牛顿法的核心思想是利用函数的一阶和二阶导数来近似解方程，并通过迭代逼近精确解。
牛顿法在微积分中有着广泛的应用，特别是在数值计算、优化问题以及数学建模中。
它的基本思路是通过线性逼近来确定函数的根或者极值点。
首先，我们选取一个初始的近似解，然后通过迭代计算出更精确的解。
具体而言，牛顿法的算法思路如下。
首先，我们选择一个初值x0，并对目标函数求导，得到函数在该点的切线方程，即：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)接下来，我们将切线方程等于零，得到近似解x1：f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) = 0然后，我们继续迭代此过程，通过计算x2、x3、x4，直到满足某个停止准则为止。
停止准则可以是近似解的精确度达到某个要求，或者是迭代次数达到一定的次数。
牛顿法的收敛性是相当迅速的，尤其是在初始值选择恰当的情况下。
它的收敛速度通常是二阶的，意味着每次迭代精确度翻倍。
然而，牛顿法也存在一些局限性。
首先，它对初始值敏感，不同的初始值可能会导致不同的近似解。
其次，对于复杂的非线性函数，牛顿法可能会陷入局部最小值或者发散。
牛顿法的应用非常广泛。
在微积分中，我们可以使用牛顿法来求解方程，寻找函数的根。
它也可以用于求解优化问题，例如最小化一个函数，找到函数的极小值。
此外，牛顿法还在数学建模中被广泛使用，例如在物理学和工程学中的求解某些非线性方程和方程组。
总结起来，牛顿法是微积分中一种重要的数值计算方法。
它通过利用函数的一阶和二阶导数来近似求解方程，具有快速收敛、高精度等优点。
然而，牛顿法也存在一些局限性，必须注意初始值的选择以及特定函数的性质。
但是，在实践中，牛顿法仍然是解决许多数值问题的强大工具，为我们解决复杂问题提供了更多的可能性。
牛顿与微积分的发展
牛顿与微积分的发展牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。
牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。
传记作家理查德·威斯法说，伊萨克·牛顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡献的许多领域中的一个。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。
牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。
就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
他对微积分的研究大致可分三个阶段: 第一阶段是静态的无穷小量方法，象费尔马那样把变量看作是无穷小元素的集合; 第二阶段是变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此他把变量称为“流”，变量的变化率称为“流数”; 第三阶段是牛顿称之为最初比和最后比的方法，这种方法又是牛顿对第一阶段无穷小量方法的彻底否定．第一阶段：1667年牛顿完成了他的第一篇微积分论文: 《运用无穷多次方程的分析学》，正式发表于1711年．这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在这篇文章中他总结了前人各种求积方法．给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了: 求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本性质，即得到现在成为微积分学基本定理的牛顿——莱布尼茨公式．这篇文章是牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方．第二阶段：牛顿第二阶段的工作，主要体现在1671年的《流数法和无穷级数》中，在这篇论文中牛顿主要解决了两个问题:(1) 已知变量的关系y = f(x)，求它们流数比(牛顿用表示y的流数);(2) 已知一个含流数的方程，求变量之间的关系，这是问题(1)的逆问题，相当于求积分或解微分方程．当时牛顿把微积分叫做流数法，并明确指出流数法的普遍意义: 流数法“不仅可以用来做出任何曲线的切线，而且还可以用来处理其他关于曲度(即曲率)、面积、曲线的长度、重心等深奥的问题”．这个认识远远超过了费尔马等所有的前期微积分学者．牛顿的《流数法》写于1671年，直到1736年才发表。
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
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17世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的深刻 认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在： （1）由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬时 速度和加速度； （2）确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向，以 及研究光线通过透镜而提出的切线问题； （3）求函数的最大值和最小值（极值问题）； （4）求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体的 重心等等。
（4）开普勒与旋转体积
开普勒第二定律：行星与太阳之间的半径 在相等的时间里扫过的面积相等。他将椭 圆分割成许多小三角形相加，进而利用积 分的方法粗略地求出椭圆的面积。
《求酒桶体积之新法》
(Nova stereometria doliorum vinariorum,Linz,1615) 注意：封面标题中“stereometriae Archimedeae Supplementum”
PM PR = TM QR
y a = t e
a Q e R P
巴罗的方法实质上是把切线看 做是a和e趋于零时割线PQ的极 限位置。 O T
N M
这时，微积分的诞生正处于一个突破口，需要的任务是： （1）澄清概念:比如何为“变化率”?何为“瞬时速度”？ （2）提炼方法:建立具有普遍意义的一般方法； （3）改变形式:将几何形式变为解析形式，从而摆脱对具体问题的依赖； （4）建立微分与积分的联系：这是最重要、也是最关键的。
x 0
x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
对任意的x
0都存在，则称极限为f (x)在点x=x0处的导数，记作
f'
( x0 )
即为求导的过程
积分
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 （1）分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间:
设旋转体是由连续曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b),及x轴所围成的曲边 梯形绕x轴旋转而成，求其体积v。 在区间[a,b]上点x处垂直x轴的截面积为
A( x) = f 2 ( x)
在x的变化区间[a,b]内积分，得旋转体体积为
V = f 2 ( x)dx
a
b
y
O
A(x) a
b
m
将右边运用二项式定理展开，与原式相减，用ο除方程的两边，略去仍然含有 ο的项，得到
y = max
m1
（2）求瞬时速度
伽利略早已提出了物体下落的距离与时间b x) ( x e)[b ( x e: )] 引入“虚拟等式”
展开得 ： bx x 2 bx be x2 2 xe e 2 消去相同的项，余项除以e,得： 2x+e≈b 舍弃含e的项，得真正等式: x=b/2
（7）巴罗的“微分三角形”（运用几何的方法）
（6）费马求极值的“虚拟等式法”
1637年，费马在一份名为《求最大值和最小值的方法》的手稿中，使 用“虚拟等式法”。比如一个传统的问题：把定长的线段b分成两段x 和 b-x.何时乘积 x (b-x) 为最大？ 费马的方法是：以x+e 代替x ，即 x+e≈x ，因为
( x e)[b ( x e)] = b( x e) ( x e) 2 = bx be x 2 2xe e2
第十五章 领悟飞逝的瞬间：微积分
一、微积分的定义 二、微积分的先驱 三、牛顿和莱布尼茨的微积分 四、微积分面临的困境
一、微积分的定义
微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，“无限细分”就是微 分（求瞬时速度、曲线的切线），“无限求和”就是积分（求曲边三角 形的面积、体积等），两者是互逆的。
若f (x)在[a, b]上连续， 是[a, b]内一点，若极限
n
S f (xi )x
i =1
（4）逼近:所求曲边梯形的面积S为
x 0, ( n )
f (x )x S
i =1 i
n
O
a
x
b
x
二、微积分的先驱
（1）欧多克斯（公元前408—前355）的“穷竭法”（就是指某个图形 （如圆）被另一个图形（如内接多边形）所逐步“穷竭”，即填满） 在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量 变得任意小。
a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b,
ba = n
每个小区间宽度⊿x
（2）以直代曲:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为x y 的小矩形面积f(xi)x近似地去代替。 （3）作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面 积S的近似值： y=f(x)
（2）阿基米德（公元前287-212） 在《圆的度量》中，用穷竭法求出了圆周长和面积公式，他从圆的内接 正三角形开始，变数逐步加倍，计算到正96边形时得到了圆周率的近似值为，还 证明了与球的表面积和体积相关的重要结果。
设圆面积为A，三角形的面积为T，证明A>T和A<T都不 可能，所以A=T。
（3）刘徽（约320年） 他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无 所失矣。” 刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周 率的精确到小数点后二位的近似值 3.14 ，化成分数为 157 ，这就是有名 50 的“徽率”。
x
（5）卡瓦列里 ：不可分量原理
如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线 保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积相等。类似的， 如果两个立体图形处于一对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平 面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等。
“缘幂势即同，则积不容异”---祖暅原 理
三、牛顿和莱布尼茨的微积分
（1）求曲线围成的面积
牛顿假定有一条曲线 y, 而且曲线下的面积为z （左图），已知有其中m是整数。他把x 的无 限小的增量叫做x 的瞬（moment）,并用ο表 示，由曲线、x轴、y轴和x+ο处的纵坐标围成 的面积，用z+οy表示，其中οy是面积的瞬， 那么，
z oy = a ( x o )