微积分基本公式 牛顿—莱布尼茨公式
合集下载
5-2牛顿-莱布尼兹莱公式
例1. 求
1 ( sin x ) 解: x 0 2e 2x 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
原式 lim e
cos2 x
0 0
解: 原式 =
b 0.
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x), dx a ( x) d ( x) d a f (t ) d t f (t ) d t f (t ) d t a dx ( x) dx ( x)
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
0 f (t ) d t
x
2
0
(0 x )
三、牛顿—莱布尼兹（微积分基本公式）公式：
定理2：
b a
函数 , 则
f ( x )d x F (b) F (a ) .
微积分基本公式。 此公式称为： 牛顿 —莱布尼茨公式。
力
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间上的定积分等于它的 任意一个原函数在区间上的增量.
dF ( x) f ( x)dx
称 F ( x) 为 f ( x) 在
I 的一个原函数.
原函数存在的条件？
原函数如果存在，是否唯一？如不唯一，
则原函数之间的关系是什么？
猜想
若
是
的一个原函数，是否有
验证
b a
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x )d x
1
3.3牛顿——莱布尼兹公式
3.3 牛顿——莱布尼兹公式
3.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程 s.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与原函数之 间的联系，它表明，一个连续函数在某一区间上 的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增 量，为定积分计算提供了一个简便的方法. 求定 积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b 时， a f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
解 从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
s v(t )dt (10 5t )dt
0 0 2 2
1 2 2 [10t 5 t ]0 10 2
即在刹车后 汽车需走过10米才能停住
4 4x x dx
2
原式
3
1
(2 x) dx | 2 x | dx
2 1 3 2
3
(2 x)dx ( x 2)dx
1
x 2 x [2 x ]1 [ 2 x]3 2 2 2
2
2
5
例3.21 汽车从开始刹车到停车所需的时间为2秒钟， 刹车后t时刻的速度为 v(t ) 10 5t（米/秒），问从 开始刹车到停车 汽车走了多少距离？
另一方面若已知物体运动的路程s = s(t)，则这
段路程可表示为 s = s(T2 ) s(T1 )
3.3.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程 s.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与原函数之 间的联系，它表明，一个连续函数在某一区间上 的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增 量，为定积分计算提供了一个简便的方法. 求定 积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a b 时， a f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
解 从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
s v(t )dt (10 5t )dt
0 0 2 2
1 2 2 [10t 5 t ]0 10 2
即在刹车后 汽车需走过10米才能停住
4 4x x dx
2
原式
3
1
(2 x) dx | 2 x | dx
2 1 3 2
3
(2 x)dx ( x 2)dx
1
x 2 x [2 x ]1 [ 2 x]3 2 2 2
2
2
5
例3.21 汽车从开始刹车到停车所需的时间为2秒钟， 刹车后t时刻的速度为 v(t ) 10 5t（米/秒），问从 开始刹车到停车 汽车走了多少距离？
另一方面若已知物体运动的路程s = s(t)，则这
段路程可表示为 s = s(T2 ) s(T1 )
微积分牛顿莱布尼茨公式
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
微积分基本公式
§5-2
微积分基本公式
一、问题的提出； 二、牛顿－莱布尼茨公式； 三、小结
一、问题的提出
设某物体作直线运动，已知运动速度 v = v(t) 是事件区间[T1,T2]上 的一个连续函数，且v (t) ≥0，求物体在此时间区间上的运动路程。 变速直线运动中路程为
T
另一方面这段路程可表示为
T2
1
v ( t )dt
3 1
arctan 3 arctan( 1)
7 ( ) 3 4 12
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶到某处需要减速停车,设汽车以 等加速度a=-5m/s2刹车, ,问从开始刹车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为t =0,则此时刻汽车速度
361000 3600
时，必须满足函数f (x)在区间[a,b]上连续的条件，否则 公式不一定成立
因此求定积分问题，转化为求原函数的问题.
例3 求 解
2
1
1 dx. x
1 x
当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | ,
2
例4. 计算 解:
1
1 1 dx ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x
3 1
dx arctanx 1 x2
已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a x0 x1 x2 xn b
由拉格朗日定理，存在i[xi-1, xi],使
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
微积分基本公式
一、问题的提出； 二、牛顿－莱布尼茨公式； 三、小结
一、问题的提出
设某物体作直线运动，已知运动速度 v = v(t) 是事件区间[T1,T2]上 的一个连续函数，且v (t) ≥0，求物体在此时间区间上的运动路程。 变速直线运动中路程为
T
另一方面这段路程可表示为
T2
1
v ( t )dt
3 1
arctan 3 arctan( 1)
7 ( ) 3 4 12
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶到某处需要减速停车,设汽车以 等加速度a=-5m/s2刹车, ,问从开始刹车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为t =0,则此时刻汽车速度
361000 3600
时，必须满足函数f (x)在区间[a,b]上连续的条件，否则 公式不一定成立
因此求定积分问题，转化为求原函数的问题.
例3 求 解
2
1
1 dx. x
1 x
当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | ,
2
例4. 计算 解:
1
1 1 dx ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x
3 1
dx arctanx 1 x2
已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a x0 x1 x2 xn b
由拉格朗日定理，存在i[xi-1, xi],使
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
牛顿—莱布尼茨公式
|
x
|,
1 1
x
2
dx x
ln | x | 12 ln1 ln 2 ln 2.
例5
求
3
2 x dx
1
2
3
解 原式= 2 x dx 2 x dx
1
2
2
3
(2 x)dx ( x 2)dx
1
2
[2 9
x
1
1 2
x2 ]21
[1 2
x2
2 x]32
5
22
8
小结
1.积分上限函数
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
;
4. 2 sin x dx . 0
10
练习题解答
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
2 x2dx
1
21 1 x2dx
[1 3
x3 ]12
[
1 x
]12
25 6
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
1 d (1 e x ) 1 1 e x
[ln(1 e x )]11
1
1
5.2.1 积分上限函数
1. 积分上限函数的概念
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
2牛顿莱布尼兹公式
lim ΔG lim f(ξ)
Δx Δx0
Δx0
x 0, x G(x) f(x).
x
sin tdt
例： 求 lim x0
0
x2
.
x
解 lim 0 sin tdt 是( 0)型不定式，用L' Hospital法则及上述定理
x0
x2
0
x
x
lim
x0
sin tdt
(
0
x2
＝lim x0
0
sin tdt)
( x2 )
＝lim x0
sin x 2x
1 2.
推论 如果f (t)连续，a( x), b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t)dt的导数F ( x)为 a( x)
F( x) d b(x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a>b时, b f ( x)dx F (b) F (a)仍成立。 a
小结
1.积分上限函数
x
( x) f (t)dt
a
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理：设f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
G(x) x f(t)dt在[a, b]上可导，且 a
G(x)[ x f(t)dt] f(x)，(a x b) a y
证 G(x Δx) xΔx f(t)dt a
牛顿-莱布尼茨公式计算曲线的弧长
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中一个非常重要的公式，它可以用来计算曲线的弧长。
在学习微积分的过程中，我们经常会遇到需要计算曲线弧长的情况，而牛顿-莱布尼茨公式提供了一个非常便捷和有效的方法。
让我们来看一下牛顿-莱布尼茨公式的表达式：\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \]这里，\( L \)代表曲线的弧长，\( f(x) \)代表曲线的函数，\( f'(x) \)代表函数的导数。
公式的核心是利用积分来求曲线的弧长，通过对曲线的微小线段进行求和，从而得到整条曲线的长度。
接下来，让我们以一条简单的曲线\( y = x^2 \)为例来演示牛顿-莱布尼茨公式的计算过程。
我们假设要计算曲线在区间[0, 1]上的弧长。
第一步，我们需要求出函数\( y = x^2 \)的导数\( f'(x) \)，即\( 2x \)。
我们将\( f'(x) \)带入到公式中，得到：\[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^2} dx \]接下来，我们可以利用定积分的性质来求解这个积分。
通过简单的换元和分部积分，我们最终可以得到曲线\( y = x^2 \)在区间[0, 1]上的弧长为\( \frac{\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})}{4} \)。
这个结果非常直观地展现了牛顿-莱布尼茨公式的应用。
不仅如此，牛顿-莱布尼茨公式还可以应用于更加复杂的曲线和函数。
无论是求解圆的弧长、椭圆的弧长，还是一些特殊函数的弧长，牛顿-莱布尼茨公式都能够提供一个通用的计算方法。
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它可以有效地计算曲线的弧长。
通过对曲线的微小线段进行求和，利用积分来得到整条曲线的长度，这个公式为我们提供了一个非常便捷和实用的工具。
在实际应用中，只要我们掌握了牛顿-莱布尼茨公式的计算方法，并灵活运用积分的性质，就可以轻松地解决曲线弧长的计算问题。
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量.
F ( x ) ( x ) C
x [a , b]
令 xa
a
F (a ) (a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
x
2
x
0 x 0
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
x2
0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
.
五、设 f ( x ) 为连续函数，证明:
x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )
x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
2
y x
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
2
11 . 2
四、1、0；
1 2、 . 10
5 六、 , 0. 3 3 0 , x 0 1 七、( x ) (1 cos x ) , 0 x . 2 1 , x
b
d x a f ( t )dt f ( x ) dx d b x f ( u)du f ( x ) dx
练习题
一、填空题： 2 b x d 2 1、 e dx =_______ . dx a x d f ( x ))dx __________ . 2、 ( a dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 dx x 2 x2 , 0 x 1 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 2 x , 1 x 2
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立. a
b
例4
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解ห้องสมุดไป่ตู้
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
t 0 0 y x
dy 定，求 ； dx t2 x u ln udu, d2y 1 ( t 1) ,求 2 ； 2、 设 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x cos( t 2 )dt ； 3、 dx sin x x dx g (1) . 4、设 g ( x ) 0 3 ，求
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
o
1
2
x
例6
求 2 max{ x , x }dx .
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （ x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
八、设 f ( x )在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 , x x dt F ( x ) f ( t )dt ,证明： a b f (t ) F ' ( x) 2 ; （1） 、 （2） 、方程 F ( x ) 0 在( a , b ) 内有且仅有一个根 .
解 面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
四、小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a 2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.微积分基本公式
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
例7
求
1
2
1 dx . x
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 dx ln | x |1 ln 1 ln 2 ln 2. 2 x 2
x 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与 轴所围 成的平面图形的面积.
练习题答案
一、1、0； 2、 f ( x ) f (a ) ； 3、 3 x ln( x 2 1) ； 5 4、 ； 5、(1) , ； (2)0,0； 6 1 7、45 ; 8、 ； 9、1. 6 6 cos x 1 2 二、1、 ； 2、 ； sin x 1 2t ln t 2 3、(sin x cos x ) cos( sin x ) ； 4、 2 . 5 三、 1、2 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4. 8 3 4
2
1 x
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限：
1
1、 lim
( e dt )
t2
5、设 I 1
cos mx cos nxdx ,
sin mx sin nxdx ，
（1） m n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， 、当 （2） m n 时，I 1 =___ ,I 2 =_____ . 、当 6、设 （1） m n 时，I 3 =____ , 、当 （2） m n 时，I 3 =_____ . 、当 7、4
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b ) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
9
cos mx sin nxdx,
x (1
x )dx _____ .
dx _____ . 8、 1 2 31 x
3
9、lim
x0
x
0
cos t 2 dt x
________ .
二、求导数： 1、 设函数 y y( x ) 由方程 e dt cos tdt 0 所确
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
思考题
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
a x
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
思考题解答
a
x
x f ( t )dt 与 x f ( u)du 都是 的函数