人教版九年级数学下26.1.4二次函数的图象与性质5
(x－6)2＋3
x>6 当_____时y随
5
x的增大而增
（4，5）
大
O
· · （8，5） · (6，3)
5
x<6 当_____时y随x
的增大而减小
x＝6
10
x
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶 点坐标．
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1 y 2x 2 12x 13;
对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
2 y 5x 2 80x 319;
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
配方后的表达 式通常称为顶 点式
3x 1 2.
2
函数y=3x2-6x+5的图象有何特征
2.根据(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点 坐标. 2
y 3x 1 2.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
如何画出函数y=3x2-6x+5的图象？
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y 3x 1 2
描表、连线
…
29
14
5
2
5
14
29
…
通过图象你能看
例1、怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
配方:
老师提示:
y 3x 2 6 x 5 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 2 3x 1 3
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a 函数y=ax²+bx+c的顶点式
2
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
c 2 b a x x a c 2
提取二次项系数
提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 a 2a 2a a 数绝对值一半 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项
b 4ac b2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a
2
顶点坐标公式
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b 2 . 它的顶点是 , 2a 4a
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标
1. y 3x2 2x; 3. y 2x
2
2. y x2 2x;
1 2 4. y x 4 x 3. 2
8x 8;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y 3x 2 6 x 5
出当x取何值时y
随x的增大而减 小，当x取何值
●
时，y随x的增大 而增大吗？
x=1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1，2)
当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大 而增大.
画出y＝
1 x2－6x＋21的图象. 2
1 2 配方得： y= x －6x＋21 2
＝ 1 (x－6)2＋3
2+bx+c 二次函数y=ax
的图象和性质
二次函数
y 4( x 2) 1
2
图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
它是由y=-4x2怎样平移得到的？ 我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图象, 顶点坐标为 ,通过平移抛物线y=ax2可以得 （h,k） 到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式吗？
2
由此可知，抛物线 y＝ x2－6x＋21 的顶点
是点（6，3），对称轴是直线x＝6.
1 2
y
1 2 y＝ 2 x －6x＋21 20
（0，21）
·
（12，21） ·
1
y＝ 2 (x－6)2＋3
怎样画二次函数 15 y＝ax2＋bx＋c （a≠0）的图象？
10
怎样平移抛物线
1 y＝ 2 x2得到抛物线
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
二次函数的图像和性质第五课时
为方程
的两实数根
与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程
△＞0有两个交点抛物线与x轴相交； △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
例4 已知抛物线
01
k取何值时，抛物线经过原点； k取何值时，抛物线顶点在y轴上； k取何值时，抛物线顶点在x轴上； k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
，故
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
y
练习3 画出 的图像。
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
5
…
x=1
y=x2－2x＋2
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
4．二次函数
的性质：
（1）顶点坐标
（2）对称轴是直线
如果a＞0，当
时，函数有最小值，
如果a＜0，当
时，函数有最大值，
最值：
当 当肆化为 Nhomakorabea叁
练习1 用配方法把
贰
的形式，求出顶点坐标和对称轴。
的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：
化为
的形式。
26.1 二次函数图象和性质(5)
二次函数教案 (第一课时)
二次函数教案 (第一课时)二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
2.教学思考学生能对具体情境中的数学息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。
4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
2.教学困难根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
第四，教学过程的安排教学活动流程活动1：温故知新，揭示课题活动内容和目的由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪函数呢？然后从打篮球的例子引入二次函数。
学生能独立运用函数知识解决变量之间的关系。
2.活动：合作探究，获取新知识，制作探究环节，与学生互动，自主探索新知识，从而通过观察和归纳。
得到二次函数的解析式，获取新知。
本组题目是新知识的直接应用，目的是让学生能够区分。
活动3：小试身手，循序渐进认二次函数，循序渐进这一环节主要帮助学生处理解决问题，加深对二次函数的理解。
总结内容、应用、数学思维方法、获取知识的途径等。
活动四：回顾课堂，总结巩固方面，既总结知识，又提炼方法，让研究研究知识和运用知识都有很大的提升，方法就是学生讲收获。
活动5：课堂检测，测评反馈以测试的形式检测本节课的内容，检查学生的掌握程度，同时加深学生对知识的理解。
第五，教学过程的设计问题与情景【活动１】１.知识回顾：以问答式引起学生对知识的回忆。
２.揭示课题：以篮球为例。
九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何 值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
26.1.4(1)二次函数y=ax^2+bx+c的图象
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下，
2.对称轴是直线x=h；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数:y＝a(x-h)2+k的性质:
1. 当a>0时，开口向上，当x<h时，y随x的增大而 ___减__小__；当x>h时，y随x的增大而___增__大___。
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
x
y1(x6)2 3 2
…3 4 … 7.5 5
56
3.5 3
y
78
3.5 5
9… 7.5 …
10
5
O
5
10 x
巩固练习
1、用配方法把下列函数 化成 y a( x h)2 k 的形式，
指出其图象的开口方向 ，对称轴和顶点坐标（ 不画图）
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b 2a
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
y = 4(x-3)2 y = -5x2 - 6
向上 向下 向上 向下
直线x=–3 （－3，5）
直线x=1 （1，－2） 直线x=3 （3，0 ） 直线x=0 （0，－6）
二次函数图象和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线 y x2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x2的顶点
它是抛物线 y x2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
x2
函数y= x2,21y=2x2的图象 与函数y=x2(图中虚线图形)
的图象相比,有什么共同点
和不同点? 共同点: 开口都向上; 顶点是原点而且是抛物线
的最低点，对称轴是 y 轴
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y x2
2
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件
A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
人教版第26章二次函数全章导学案
课题26.1 二次函数（1）九年级备课人：洪双桥审核：审批：班级：____________ 姓名：____________ 使用时间：2012年12月日导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数反比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。
因此，n 边形的对角线总数d = 。
（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为 。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如 的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a 为 ， b 为 ，c 为 ， 做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)(2)(3)(4))1(x x y -=(5))1)(1()1(2-+--=x x x y (6) 23712y x x =+-－2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？三、展示点评学习知识最好的途径就是自我发现四、课堂检测1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系 ， 是 的 函数。
九年级数学二次函数的图象和性质课件
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性