鸽巢原理
鸽巢原理
给下列每个格子涂上红色或者蓝色，观察每一列，你有什么发现，至少有几列的 涂法是相同的？
每列的涂法共有8中，把这巢原理（一）可知，至少有两列涂法相同。 9÷8=1......1 1+1=2 答：至少有两列的涂法相同。
鸽巢原理
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）
鸽巢原理（一）也叫抽屉原理：把（n+1）个物体放在n个 鸟巢中，一定有一个鸽巢中至少放进了2两个物体。
1.把5个苹果放进4个篮子里，不管怎么放，总有一个篮子至少放进（）苹果。
鸽巢原理（二）
• 把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
解决问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色， 至少要摸出几个球？
分析：把红色和蓝色视为2个鸽巢，摸出的球数视为分放的物体，有鸽巢原理（一）可知道， 分放的物体比鸽巢多1，才能符合要求。 2+1=3 答：至少摸出3个球才可以一定有两个同色的。
解决问题
有红色，黄色，蓝色，黑色、的小球各6个，装在一个不透明的 袋子里，为了保证摸出的小球有3个颜色相同，至少摸出几个？
图书馆里有甲、乙、丙、丁、四类图书，规定每名同学最少借一 本书，最多可以借2本，至少有多少名同学借书，才能保证有两 人所借的图书类别相同？
分析：借书情况有甲、乙、丙、丁、甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁等共 10种情况，把这10种情况视为鸽巢，借书人数视为分发的物体，由鸽巢原理 （一）可知，
鸽巢原理的应用示范
鸽巢原理的应用示范什么是鸽巢原理？鸽巢原理是一种计算机科学中的概念，也被称为抽屉原理或鸽笼原理。
它是指当把多个物体放在有限数量的容器中时，如果物体的数量超过容器的数量，那么至少会有一个容器中会放入多个物体。
这个原理可以在很多领域中找到应用，特别是在计算机科学和信息技术中。
在计算机科学中，鸽巢原理通常用来解决问题的正确性、算法的复杂性以及数据结构的设计等方面的问题。
鸽巢原理告诉我们，当解决某个问题时，如果问题的实例数量超过了可用解空间的数量，那么必然会出现解决方案中的某个元素会在不同的实例中重复出现的情况。
鸽巢原理的应用示范下面将通过几个示例来展示鸽巢原理的实际应用：示例一：生日悖论生日悖论是鸽巢原理的一个经典应用示例。
假设有一个房间里有23个人，那么至少有两个人的生日会在同一天。
这是因为每个人的生日有365种可能，但总共只有23个人，所以在这个例子中，存在更多的生日可能性(365^23)而要插入的位置只有365个，必然会有两个人拥有相同的生日。
示例二：散列算法散列算法是计算机科学中经常用到的一种技术，它通常用于将大量的输入数据转化为一个固定长度(通常是一个较短的字符串或数字)的输出。
在实际应用中，散列算法常常用于快速查找和比较大量数据。
然而，由于鸽巢原理，不同的输入数据可能会产生相同的散列值。
这称为散列碰撞。
虽然发生碰撞的概率非常低，但由于输入数据的数量远远超过散列算法生成的散列值的数量，必定会有一些数据会具有相同的散列值。
示例三：互联网地址分配在互联网的设计中，鸽巢原理也有很大的应用。
互联网的 IP 地址是分配给全球范围内的设备使用的。
采用 IPv4 地址系统时，IP 地址是由32位数字组成的，共有2^32个不同的可能性。
然而，由于全球范围内的设备数量已经远远超过了2^32个，IPv4 地址系统已经无法满足需求。
因此，采用了新的 IPv6 地址系统，它使用128位数字来表示 IP 地址，提供了2^128个不同的可能性。
鸽巢原理及其应用
2. 如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成6个相等的扇形，如图， A2 由于圆上相邻两点Ai,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以 A 1 取扇形OA1A2不包含OA2,扇形OA2A3不包含OA3,…,
A3 o A6 A4
扇形OA6A1不包含OA1, 由鸽巢原理，余下的7个点
至少有两个在在同一个扇形内，则这两点之间的距
路易· 波萨是匈牙利数学家, 在他11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他出
了个问题:
“如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那么你一 定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？” 波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。
3.2 利用划分图形构造“鸽巢”
例1 边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任 取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过
这个问题的一般提法 任意给定n+2个整数，它们之中必有2 个数，其和或差是2n的倍数。
类似这样的例子也有不少。
1.任取n+1个正整数，求证在这n+1 个数中必有两个数它们之差被n整除.
,a , a ,证明必存在正整数 k , （ l0 kl 2 0 1 1 ) , 2.任意给出2011个正整数 a 1 2 2 0 1 1
2011.11.22
主要内容
引言 2. 鸽巢原理 3.鸽巢的构造及其应用 4.鸽巢原理在国内外数学竞赛中的应用 5.鸽巢原理的推广——Ramsey定理(介绍）
1.
1. 引言
鸽巢原理为组合学中的一个重要原理。鸽巢原理 最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运 用于解决数学问题而提出来的，所以又称为“迪里赫莱 原理”，也有称“抽屉原理”的。应用它可以解决许多 有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。它常 被用来证明一些存在性的数学问题，并且在数论和密码 学中也有着广泛的应用。对于一些比较特殊的问题，若 用一般的数学方法去研究，很复杂或根本解决不了，但 用鸽巢原理往往能起到事半功倍的效果，所以鸽巢原理 也是国际国内数学竞赛中的重要内容，在数学竞赛中具 有很大的应用意义。
3.2 鸽巢原理
例.在100个人中至少有 ������������������/������������ =9个人生在同一个月。
3.2.2
广义鸽巢原理
例.如果有5个可能的成绩A、B、C、D、F，那么在一 个班里至少要多少个学生才能保证至少6个学生得到
有150个正整数都小于149，根据鸽巢原理至少有2个整数相等。
由于所有的������������ 不相等，所有的������������ +24 也不相等，所以对某个i>j, 有������������ =������������ +24,∴在第j+1到第i小时之间恰有24场比赛。
服务器
������������ ������������ … ������������������
10条线
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连 接到所有10个服务器
������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ 每台连接到所有10个服务器 如果������������ —������������������ 中有1台不在组里，那么必定有 ������������������ — ������������������ 中的1台在组里，所以������������������ — ������������������ 的每台都连接 到10台服务器，才可满足题意。 证明至少60条连线：假设连线少于60，则某服务器至多连接
六年级下数学广角-鸽巢问题知识点
第五单元：数学广角－鸽巢问题【知识点一】“鸽巢原理”（一）“鸽巢原理”（一）：把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且ｍ＞ｎ），那么一定有一个鸽巢中至少放进了２个物体。
【知识点二】“鸽巢原理”（二）“鸽巢原理”（二）：把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），那么一定有一个鸽巢中至少放进了（ｋ＋１）个物体。
【知识点三】应用“鸽巢原理”解决简单的实际问题应用“鸽巢原理”解题的一般步骤（１）分析题意，把实际问题转化成“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
（２）设计“鸽巢”的具体形式。
（３）运用原理得出某个“鸽巢”中至少分放的物体个数，最终解决问题。
【误区警示】误区一：判断：因为１１÷３＝３．．．．２，所以把１１本书放进３个抽屉中，总有一个抽屉里至少放５本书。
（√）错解分析此题错在把这个抽屉至少放的书的本数用“３（商）＋２（余数）”计算了，应该是“３（商）＋１”。
错解改正×误区二：有红、绿、蓝三种颜色的小球各５个，至少取出几个能保证有２个同色的？５×３÷３＝５（个）错解分析此题错在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也是与问题要求不符。
本题属于已知鸽巢数量（３中颜色即３个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有２个同色的），求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参与运算。
错解改正３＋１＝４（个）【方法运用】运用逆推法解决鸽巢问题典型例题把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有５个玻璃球？思路分析由“鸽巢原理”（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中至少有一个鸽巢中有（平均每个鸽巢里所放物体的数量＋１）个物体。
此题可以把玻璃球的总数看成分放的物体总数，把盒子数看成鸽巢数，要使其中一个鸽巢里至少有５个玻璃球，则玻璃球的个数至少要比鸽巢数的（５－１）倍多１个。
鸽巢原理知识点总结
鸽巢原理知识点总结一、什么是鸽巢原理1.1 定义鸽巢原理（Pigeonhole Principle），也叫抽屉原理或鸽笼原理，是一种常用的数学原理。
它指出，如果有n+1个物体被放入n个容器中，那么至少有一个容器必然包含两个或更多的物体。
1.2 表述鸽巢原理可以用一句话来表述：如果有m个鸽子进入n个巢穴，并且m > n（鸽子的数量多于巢穴的数量），那么至少有一个巢穴中会有多于一个只鸽子。
二、鸽巢原理的应用2.1 数学领域鸽巢原理在数学领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）抽屉原理抽屉原理是鸽巢原理的一种特殊情形，它指出：如果有n个物体被放入m个容器中，其中n > m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
这个原理常用于证明存在性问题。
（2）鸽巢模型鸽巢模型是鸽巢原理的一种应用模型。
它主要用于解决排列与选择问题，如数学中的鸽巢函数、离散数学中的排列与组合问题等。
（3）整数划分鸽巢原理可以用于整数划分问题的证明。
例如，如果将1到9的整数划分为四组，并且至少有一组会包含两个或更多的整数。
2.2 计算机科学领域鸽巢原理在计算机科学领域也有着重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）哈希算法哈希算法中的哈希冲突问题可以借鉴鸽巢原理的思想进行解决。
在哈希表中，如果有n个键被映射到m个槽位中，其中n > m，则至少有一个槽位会包含两个或更多的键，这时可以通过使用冲突解决方法来解决哈希冲突。
（2）抽屉排序抽屉排序（Pigeonhole Sort）是一种基于鸽巢原理的排序算法。
该算法的基本思想是将待排序的元素根据其值的范围分配到对应的鸽巢中，然后按照鸽巢的顺序收集元素得到有序序列。
（3）数据分析在数据分析领域，鸽巢原理常用于解决去重、分组和统计等问题。
例如，在一组数据中，如果有n个数据被映射到m个分组中，其中n > m，则至少有一个分组会包含两个或更多的数据。
三、使用鸽巢原理的注意事项3.1 确定条件在使用鸽巢原理解决问题时，需要明确问题中的限制条件，包括鸽子的数量、巢穴的数量以及其他相关条件。
第二章 鸽巢原理
第二章 鸽巢原理我们在本章考虑一个重要而又初等的组合学原理，它能够用来解决各种有趣的问题，常常得出一些令人惊奇的结论。
这个原理有许多的名字，但最普通的名字叫鸽巢原理，也叫做鞋盒原理。
有关于鸽巢的原理阐释，粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不足够多的鸽子巢内，那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。
更精确的叙述在下面给出。
2.1 鸽巢原理的简单形式鸽巢原理的简单的形式可以描述如下：定理2.1.1 如果n+1个物体被放进n 个盒子，那么至少有一个盒子包合两个或更多的物体。
证明：如果这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是n 。
既然我们有n ＋1个物体，于是某个盒子就必然包含至少两个物体。
注意，无论是鸽巢原理，还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助。
它们只是简单地断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子里面放有多于一个的物体：鸽巢原理只是保证这样的盒子存在。
因此，无论何时鸽巢原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有可能性之外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示。
我们可以把将物体放入盒子改为用n 种颜色中的一种颜色对每一个物体涂色：此时，鸽巢原理断言，如果n ＋1个物体用n 种颜色涂色，那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。
下面是两个简单的应用。
应用1 在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月份里。
应用2 设有n 对已婚夫妇。
为保证能够有一对夫妇被选出，至少要从这2n 个人中选出多少人?为了在这种情形下应用鸽巢原理，考虑n 个盒子，其中一个盒子对应一对夫妇。
如果我们选择n ＋1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去，那么就有同一个盒子含有两个人；也就是说，我们已经选择了一对已婚夫妇。
选择n 个人使他们当中一对夫妻也不没有的两种方法是选择所有的丈夫或选择所有的妻子。
因此，n ＋1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。
鸽巢原理在生活上的应用
鸽巢原理在生活上的应用1. 什么是鸽巢原理鸽巢原理是指在一定范围内，如果有n+1个物体要放入n个容器中，那么至少有一个容器必定至少放有两个物体。
2. 鸽巢原理的应用场景鸽巢原理常常在生活中出现，尤其是在以下几个方面的应用上：2.1. 邮政投递在邮政投递中，鸽巢原理可以解释为：如果邮递员需要将n+1封信件投递到n 个邮箱中，那么至少有一个邮箱必定会收到多封信件。
这是因为在大多数情况下，有些人会收到多封信件，而有些人可能不会收到任何信件。
2.2. 电梯调度在一个大楼内，如果有n+1个人要乘坐n部电梯，那么至少有一部电梯会有多个人乘坐。
这是因为鸽巢原理告诉我们，在繁忙的时间段，不同的电梯会同时有人要乘坐。
2.3. 会场座位安排当一个会场需要安排n+1个人进入n个座位时，至少有一个座位会有多个人坐。
这是因为在座位有限的情况下，无法给每个人都分配一个独立的座位，因此必然会有人共用一个座位。
2.4. 赛事报名在一项赛事报名时，如果报名人数超过了参赛名额，那么至少有一个参赛号码会有多个人使用。
这是因为人数超过名额限制导致参赛号码有限，而部分参赛者可能会使用相同的号码。
3. 鸽巢原理的意义鸽巢原理在生活中的应用有助于我们理解一些普遍现象，并为我们在解决问题时提供指导。
鸽巢原理告诉我们，在资源有限的情况下，不同的对象会出现竞争和共享的现象。
这个原理的理解能帮助我们更好地规划和安排资源，以避免出现资源的浪费和不公平的分配。
4. 总结鸽巢原理是一个简单而重要的数学原理，它在生活中的应用非常广泛。
通过理解和应用鸽巢原理，我们可以更好地解决实际问题，并合理地利用有限的资源。
在不断发展的社会中，鸽巢原理的应用将会越来越重要，我们应该持续学习和理解这个原理，以便更好地适应和应对现实生活中的各种挑战。
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6
需要注意以下事实： 1、如果某台计算机不与其它机器相连，那么没有一台计算 机连接到所有其它5台机器。（取0取不到5）。 2、如果一台计算机连接到所有其它5台机器，那就没有不 与其它机器相连的计算机。（取5取不到0）。
例5的证明 的证明 证明：因为有6台计算机，连接到同一台 计算机的其它机器的数在0～5之间，但 是0和5不能同时出现。 于是1台计算机相连的机器数最多有5 种可能，由鸽巢原理知在6台计算机中至 少有两台连接的其它机器数相等。
鸽洞原理
信息安全所 明俊峰
1
3.3 鸽巢原理
组合数学中解决计数问题 计数问题的一个工具。 计数问题 假定一群鸽子飞入一组巢安歇，如果鸽子 比鸽巢多，那么一定至少有一个鸽巢里有两只 或两只以上的鸽子。 这个原理除了鸽子和鸽巢外也可用于其它 对象，因此也称为（狄利克莱，德国，19世纪） 抽屉原理、鞋盒原理 鞋盒原理等。 抽屉原理 鞋盒原理
b
f 若将 7 个点放入正三角形 bcd中， 由鸽巢原理知： 在 bcf、 cdf、 c a bdf内，至少有一个三角形中存在 三个点。 取这3个点构成的小三角形的面积一 定不会超过 ( 3 / 12 ) a 2 。
a
a d
10
例7 某比赛，在30天内总共安排了45场比 赛，每天至少赛一场。证明一定存在有 连续的若干天内一共恰好比赛了14场。
17
结
束
18
15
a
（1）a连接的5条边中一定有3条黑色或 连接的5条边中一定有3 红色的，不妨设有三条黑色的。
16
a
b d
a
b d
c c 图 1 图 2 （2）如果与a连接的三角形b c d中 有一条黑边， 那么即可构成一个黑色三角形abc ，这表明a、b、 c三人不认识，如图1。 否则b、c、d本身一定构成一个红色三角形， 这表明a、b、c三人互相认识，如图2。 证明完毕。
4
推广的鸽巢原理
表述形式一 当盒子仅有 N 个，而物体的数目大于 m×N时，则必有一个盒子中至少有 m＋1 或 多于 m＋1 个物体。 表述形式二 如果 m 个物体放入N个盒子，那么至少 有一个盒子包含了至少 m / N 个物体。
5
推广的鸽巢原理 的例题 例4：在 100 个人中至少有 100/12 = 9 个人 出生在同一个月。 例5：假定某计算机网络由6台计算机组 成。每台计算机直接连接到0台或者更多 的其它计算机。证明网络中至少有两台 计算机直接相连相同数目的其它计算机。
7
鸽巢原理的巧妙运用
难点： 构造 放入的 物体 和 存放物体的盒子 盒子。 盒子
8
例6 在边长为 a 的正三角形内，任取7个 点，证明其中必有3个点连成的小三角形 其面积不超过 ( 3 / 12 ) a 2 。
9பைடு நூலகம்
证明：将正三角形重心记为 f 。 则图中 bcf、 cdf、 bdf 面积相等。 且Sbcf＝1/3 Sbcd= ( 3 / 12 ) a 2
2
鸽巢原理
如果 K＋1 个或更多的物体放入 K 个 盒子，那么至少有一个盒子含 2 个或更多 的物体。
3
鸽巢原理例题
例1：在一组367个人中一定至少有2个人生日相同。 这是由于只有最多只有366个可能的生日。 例2：任取 27 个英文单词，一定至少有2个单词的首字 母相同。 因为英文字母表中只有26个字母。 例3：如果考试成绩是从 0 到 100 的整数，那么在102 个学生中一定至少有两个学生成绩相同。
11
证明：令 ai 是本月第 i 天前（包括第i天）所打场 数的总和。 则 a1、a2、a3 …a30 是由不同正整数构 成的一个严格递增的数列,其中 1 ≤ a i ≤ 45 构造另外一个数列： ai＋14 。 从而： a 1 + 14 、 a 2 + 14 、 a 3 + 14 a 30 + 14 也是一个严格递增的数列，并且： ≤ a i＋14 ≤ 59 15 两个数列中的60个正整数，全都小于或等于 59。因此，由鸽巢原理知：必有两个正整数相等。 又因为ai （i＝1、2… 30）都不相同，并且 ai ＋14 （i＝1、2… 30）也都不相同，因此一定存在下标 i 和 j ，满足 a j = a i + 14 。这意味着从第 i＋1 天起，到第 j 天恰好打了14 场球。 推广 12
练习题
把132个球放入到77个盒子内，盒子排成 一行，每个盒子至少放一个球。证明无 论如何怎样放，一定存在着相邻的某几 个盒子内恰好放有21个球。
13
例8 证明：在任意6个人中，要么有3个人 互相认识，要么有3个人互相不认识。
14
a
b
证明：每个人用一个点表示，如果 ， 认识 认识， 证明：每个人用一个点表示，如果a，b认识，用红线 连接，否则黑线链接。 连接，否则黑线链接。 那么就是要证明上图中存在 红色或黑色的三角形。 红色或黑色的三角形。