线性代数第2讲
线性代数 2-2 第2章2讲-矩阵的运算(1)
1
3 0
2 4
1
3 0
13
0
51，BA
1 2 4
1
3 0
1 2
0 1
1
3 0
8 4
1 3 0
3 6 . 12
注 当AB不是方阵时，AB 、BA 不是同型矩阵.
10
二、线性变换与矩阵乘法(1)
例2
求矩阵
A
1 1
11，B
2
2
11，C
2 1
33，D
1 2
11，
计算 AB 、BA、AC、AD.
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第二讲 矩阵的运算(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
一、矩阵的线性运算
定义2.2—矩阵的相等
设A (aij )mn , B (bij )mn 是两个同型矩阵， 规定A B aij bij , (i 1, 2,, m, j 1, 2,, n). 即完全一样的两个矩阵才相等.
bmn
即将两个矩阵的对应元素相加.
4
一、矩阵的线性运算 注 只有两个矩阵同型才能进行加法运算.
负矩阵 记 A (aij ，) 称 A为A 的负矩阵. 矩阵的减法 A B A (B)
性质2.1—矩阵加法运算规律
(1) 交换律 (2) 结合律
A B B A； (A B) C A (B C).
(3) ( A B) A B； (4) A n A
6
本讲内容
01 矩阵的线性运算 02 线性变换与矩阵乘法(1)
二、线性变换与矩阵乘法(1)
设变量x1 、x2与变量y1 、y2 、y3 关系
超详细MIT线性代数公开课笔记_完整版
列图像 Column Picture 在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向
量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。
4
x
2 1
y
1 2
0 3
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和 y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。
第 01 讲 行图像和列图像
Row picture & Column picture
线性方程的几何图像 The geometry of linear equations 线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组 2x y 0 x 2y 3
写成矩阵形式就是
2 - 1
- 1x 2y
从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的 x 和 y，使得两者分别数乘对应的列向
量之后相加得到向量
0 3
。其几何图像如下图。
2 蓝色为向量 - 1 ；
- 1
红色为向量
2 ；
可以看到当蓝色的向量乘以 1 与红色的
向量乘以 2（红色虚线）后做加法（首尾 0
相接）就可以得到绿色的向量 b= 3 ，
由此可得到方程的解 x=1,y=2。
0 3
其中
A=
-
2 1
-
1 2
被称为系数矩阵（coefficient
matrix）。
未知数向量通常记为
x=
x y
而等号右侧的向量记为 b。线性方程组简记为 Ax=b。
行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述，每个 方程在平面上的图像为一条直线。找到 符合方程的两个数组，就可以确定出 x-y 平面上的两个点，连接两点可以画 出该方程所代表的直线。两直线交点即 为方程组的解 x=1,y=2。
第二讲线性规划算法
bi xk yik
注意：xBr=0
3. 基变换——转轴变换
新可行解：x‘=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…，0,xk,0,…，0)
可以证明此解为新的基本可行解。这是因为原来的基 PB1,…,PBm线性无关，而yk=B-1Pk,故Pk=Byk=∑yikPBi， 而PBr的系数yrk≠0，
maxZ=CTX s.t.AX=b X ≥0
A=(B,N)
cB xB C x cN xN
s.t.
Bx B +Nx N =b x0
max z s.t. Bx B +Nx N =b
T z＝cT x +c B B N xN
z
xB
xN
右端项
0 1
B cB
矩阵式： maxZ=CTX
AX=b
X ≥0
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N) b,即Bx B +Nx N =b, x B＝B-1b-B 1Nx N xN
3. 基变换——转轴变换
取某一非基变量xk→换入基（即让xk>0，其余非基变量仍为0） 同时，再从基变量中换出一个变量xBr→作为非基变量。
如何求换入变量xk和换出变量xBr？K=?，r=?
选 k max{ j | j 0}, 令xk 0, 其余非基变量＝0
jR
由AX=b, xB＝B-1b-B1Nx N
《线性代数》考点强化班 配套讲义 第二章 矩阵
( A2 )2
0
1
0
0
1
0
E
0
0
1
0
0
1
所以 B2 P1APP1AP P1A(PP1) AP P1A2P,,
B2020 P1A2020 P P1 A4 505 P P1EP P1P E
1 0 0 3 0 0
所以Leabharlann B2020 2 A2 E 2 0
1
0
，
AB A AE 1,33 A E 1,33 2E 1,33
1 0 3
AB
1
2E
1, 3 3
1
1 2
0 0
1 0
0
1
1 0 0
【例
12】设
A
为
3
阶矩阵，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P 1
AP
0
1
0
.若
0
0
2
P 1,2 ,3 ， Q (1 2 ,2 ,3 ) ，则 Q1AQ （ ）
行（3）-3行（1）
3 4 6 0 0 1
0 -2 -3 -3 0 1
1 0 0 -2 0 1
1 0 0 -2 0 1
行（1）行（3）
行（3）-2行（2）
0 -1 -1 -1 1 -1 0 1 1 1 -1 1
行（2）-行（3）
（-1）行（2）
0 -2 -3 -3 0 1
0 0 -1 -1 -2 3
0
0 a2
0
【例 2】设 A 其中 ai 0 ；求 Ak1 Ak 2 Akn .
0 0 0 an1
an 0 0 0
1
0 A 0
线性代数讲义2
第二章 矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.§2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1 设有线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------77391111833312111151这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1这个排成4行5列的产值阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7680827088809090759076848570986478755880具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3 生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品（m i ，，Λ2,1=）耗用第j 种材料（n j ，，Λ2,1=）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2这个由m 行n 列构成的消耗定额阵列⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 (2-1-1) 叫做m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵.这n m ⨯个数叫做矩阵A 的元素，ij a 叫做矩阵A 的第i 行第j 列元素.一般情形下，用大写字母A ，B ，C ，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ，可用n m A ⨯表示，或记作()nm ija ⨯.二、几种特殊的矩阵1．n 阶方阵当n m =时，即A =()nn ija ⨯时，A 称为n 阶方阵.2．对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n OO A λλλO21 3．单位矩阵主对角线上的元素都是1的n 阶对角矩阵称为单位矩阵，记为E ，如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111O O OE 4．三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a aa a a ΛM O M M ΛΛ00022211211 或 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a aa ΛM O M M ΛΛ21222111000 5．零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作n m O ⨯，简记O . 6．行矩阵、列矩阵m =1时的矩阵，即()n a a a A Λ21=称为行矩阵；n =1时的矩阵，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A M 21称为列矩阵.7．对称矩阵在矩阵n n ij a A ⨯=)(中，若),,2,1,(n j i a a jiij Λ==则矩阵A 称为对称矩阵，如⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡410781086076258051§2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念. 定义1 在矩阵()nm ija A ⨯=和()nm ijb B ⨯=中，若它们的对应元素相等，即),,2,1;,,2,1(n j m i b a ijij ΛΛ===则称矩阵A 与B 相等,记为A=B .定义2 设()nm ija A ⨯=，()nm ijb B ⨯=，矩阵()nm ijij b a ⨯±称为矩阵A 与矩阵B 的和或差，记作A +B 或A -B ，即n m ij ij b a B A ⨯±=±)(注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算.例1 有两种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=846075120231321034022753B A则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+11670109142984834261007354102202273513 846075120231321034022753B A矩阵加法满足以下运算规律：（1）A B B A +=+（2）)()(C B A C B A ++=++（3）A O A =+ 矩阵()nm ija ⨯-称为矩阵()nm ija A ⨯=的负矩阵，记为()nm ija A ⨯-=-.显然，有（4）O A A =-+)(二、数与矩阵的乘法定义3 以数k 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数k 与矩阵A 的积，记作kA .如果()nm ija A ⨯=，那么()()n m ij n m ij ka a k kA ⨯⨯==不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律： (1) kB kA B A k +=+)( (2) lA kA A l k +=+)( (3) )()(lA k A kl =(4) A A A A -=-=⋅)1(1， (5) O O k =⋅ (O 为零矩阵) 例2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=052110351234230412301321B A求3A -2B .解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+-+----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-61941016151055011061094021223066910023496683052110351234223412301321323B A 例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=612379154257864297510213B A且B X A =+2,求X ..解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=1271211122223227212244446421)(21A B X 三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4 某工厂有321,,A A A 三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为A车间的原料费=21×12+15×14+16×8+10×20=790（元）1A车间的原料费=53×12+0×14+13×8+4×20=820（元）2A车间的原料费=24×12+32×14+10×8+0×20=816（元）3A车间的加工费=21×5+15×4+16×2.5+10×3=235（元）1A车间的加工费=53×5+0×4+13×2.5+4×3=309.5（元）2A车间的加工费=24×5+32×4+10×2.5+0×3=273（元）3上述结果列成表2-5如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2738165.309820235790,3205.28414512,010322441305310161521C B A 从上述分析可以看出，矩阵A 、B 与C 之间的关系是：C 中第i 行第j 列)2,1;3,2,1(==j i 元素恰好等于A 的第i 行各元素分别和矩阵B 第j 列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C 定义为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记为C =AB , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==2738165.3098202357903205.28414512010322441305310161521AB C 我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法. 定义4 设矩阵()l m ik a A ⨯=的列数与矩阵()nl kjb B ⨯=的行数相同，则由元素),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c lk kjik lj il j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=构成的m 行n 列矩阵n m lk kj ik n m ij b a c C ⨯=⨯∑==)()(1称为矩阵A 与矩阵B 的积，记为C =A ·B 或AB .这个定义说明，如果矩阵A 的列数等于矩阵B 的行数，则A 与B 的乘积C 中第i 行第j 列的元素，等于矩阵A 的第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积的和.并且矩阵C 的行数等于矩阵A 的行数，矩阵C 的列数等于矩阵B 的列数.例5 若,012321,132132⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=B A 求AB . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012321132132AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯-+-⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯+-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯=97530367801)3(3)1(1)2(321130)2()3(1)1()2()2(12)2(1103)3(2)1(3)2(22312我们还可以求一下BA .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+-⨯-+⨯⨯-+⨯-+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=834910)2()1(32301)1(221)3()2()2(313)3(1)2(21132132012321BA显然,BA AB ≠.例6 若()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==530412,013B A ,求AB . 解()()()32500113)3(0)4(123530412013=⨯+⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ABBA 没有意义，因为B 的列数不等于A 的行数，BA 不可进行运算.例7 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6342,2142B A ，求AB 及BA .解⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=168321663422142AB .000021426342BA AB BA ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=由例5，例6，例7可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例6可以看到AB 有意义，BA 不一定有意义.由例5、例7可以看到，即使AB 、BA 都有意义，AB 与BA 也不一定相等.但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例7还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB =O 必然推出A =O 或B =O .例8 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021,1011B A ，求AB 与BA . 解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110211011AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=103110111021BA 显见，AB=BA .如果两矩阵A 与B 相乘，有AB=BA ，则称矩阵A 与矩阵B 可交换. 矩阵相乘时必须注意顺序，AX 称为用X 右乘A ，XA 称为用X 左乘A . 矩阵乘法具有下列性质：（1）（AB ）C=A （BC ）（2）k （AB ）=（kA ）B=A （kB ） （其中k 为数值）（3）A （B+C ）=AB+AC （4）（B+C ）A=BA+CA 设A 是n 阶方阵，规定：,,,,,1210A A A AA A A A E A k k ⋅====+Λ其中k 为正整数，k A 称为A 的k 次幂.例9 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4321A ，求E A A 5322+-. 解E A A 5322+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001543213432122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6127181650051296344181214四、矩阵的转置定义5 把矩阵A 的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为TA ，即若()nm ija A ⨯=，则()mn jiT a A ⨯=.例10 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=52134071A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=54201731T A 可见，若A 是对称矩阵，则有TA A =. 矩阵的转置具有下列性质： （1）A A TT=)(（2）TTTB A B A +=+)( （3）T TA A λλ=)(（4）TT T A B AB =)(五、方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A 的行列式，记作A .应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是2n 个数按一定方式排列成的数表，而n 阶行列式是这些数（也就是数表A ）按一定运算法则所确定的一个数.由A 确定的A 的这个运算满足下述运算规律（设A ，B 为n 阶方阵，k 为数值）： （1）A A T = （2）A k kA n= （3）B A AB =由（3）可知，对于n 阶方阵A 、B ，一般说来BA AB ≠，但总有BA AB =例11 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=43522231B A ，，求AB . 解法1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22171143522231AB所以 56221711=-=AB解法256)7(843522231=-⨯-=⋅-==B A AB习题2.21． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150421321,111111111B A ，求 （1）3AB-2A （2）B A T2．已知011311232021132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X ，求X .3．计算下列乘积.（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-127075321134 （2）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123321 （3）()132211-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--131201********* （5）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11212221211211y x c b b b a a b a a y x 4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=321431422,531531531,431541532C B A证明：（1）AB=BA=0 （2）AC=A ，CA=C （3）ACB=CBA5．证明矩阵下列运算性质.（1）)()(C B A C B A ++=++ （2）TTTB A B A +=+)( （3）A A nλλ= （4）AE =EA =A 6．求下列矩阵的幂. （1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101λA ，求kA A A ，，，Λ32 （2）求nO O⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλOO7．若矩阵AB =BA ，则称B 与A 可交换，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵.§2.3 逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算.于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b ，当0≠a 时，存在一个数1-a ，使b a x 1-=为方程组的解.那么在解矩阵方程AX =B 时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B 等于X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.定义1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA=E那么矩阵A 称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵. 如果A 可逆，A 的逆矩阵是唯一的.因为如果B 和1B 都是A 的逆矩阵,则有E A B AB E BA AB ====11,那么 1111)()(B EB B BA AB B BE B ===== 即 1B B =所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1-A .定义2 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称A 为非奇异的. 为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的概念. 定义3 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 的行列式A 中的元素ij a 代数余子式，那么矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111*称为矩阵A 的伴随矩阵.定理1 矩阵A 存在逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即A 为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在.证 必要性：因为A 可逆，则有1-A使E A A AA==--11.因此，01111≠====---E A A A A AA ，即0≠A .充分性：若0≠A ，作矩阵*1A AB =由§1.2定理1和定理2，可得E A A AA AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00*O ， 即得AB=E .同理，可证，BA=E .故*11A AA B ==- 二、逆矩阵的性质逆矩阵具有下列性质： （1）A A =--11)( （2）111)(---=A B AB（3）11)()(--=TTA A （4）AA11=- （5）111)(--=A kkA 下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明. 证（2） 因为E AA AEA A BB A A B AB ====------111111)())((， E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以 111)(---=A B AB证毕 由定理1,可得由矩阵A 的伴随矩阵*A 求逆矩阵1-A 的计算方法，求出矩阵A 的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵*A ；由*11A AA=-便得1-A .这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题. 例1 求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4312A 的逆矩阵. 解 因为011≠=A ，所以1-A 存在.由于213422211211=-===A A A A因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2314*A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-11211311111423141111*1A A A 例2 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=631321222A 的逆矩阵. 解 因为,02≠=A 所以1-A 存在，由于 131213613136332131211==-=-===A A A ,4312210612266322232221-=-===-=-=A A A221224312223222333231=-=-=-===A A A因此⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-122125231323241410326321211332313322212312111*1A A A A A A A A A A A A 例3 试用逆矩阵求解线性方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=--353042231321321x x x x x x x x 解 令,302,,503411112321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B x x x X A 于是原方程组可写成AX=B （2-3-1）因为 ,0653411112≠=--=A 故1-A 存在，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-3339137355611*1A A A对（2-3-1）式两侧左乘1-A ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-63613613131613023339137355611B A X即线性方程组的解为21,613,61321=-==x x x .习题2.31． 验证矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123124321B A （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012015120110141101510075504321B A 2．写出下列初等方阵的逆矩阵。
线性代数第2讲 方阵的行列式
□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵，则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质；性质 7′、3′( k 0 )、
□
3、按一行(列)展开公式 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 ( n 2) ，则
| A | ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1, 2, , n .
上式称为行列式的 Laplace 按一行展开公式. 定理 2′设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 (n 2) ，则 □
i j
的 (i, j ) 元素 aij [或 (i, j ) 位置]的余子式 M ij 、代数余子式 Aij (1) 阵. k 阶子方阵的行列式即为 k 阶子式. 定理 1
M ij .
在 m n 矩阵中，k l 子矩阵的余子阵为 ( m k ) ( n l ) 子矩阵，二者互为余子 在 n 阶方阵 A [ aij ] 中选定第 i1 i2 ik 行( 1 k n 1 )，则
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
注 2(三角行列式)
a12 a22 a32
辅导讲义(线性代数第二讲)
178第二章 矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。
1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。
一、 考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。
只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。
两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。
如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。
注意不同型的零矩阵是不同的。
2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
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定理2 n阶行列式也可定义为
(−1 t ap11ap22 ⋅⋅ ⋅ apnn , ∑ )
其中t为行标排列p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn的逆序数. >>>
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§1.3 行列式的性质
性质1 性质2 、性质3、性质4 性质5、性质6
补充例题
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行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式, 记为DT. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … , 则 D … … … … . an1 an2 … ann a1n a2n … ann 显然, 如果 b11 b T= 21 D … bn1 b12 b22 … bn2 … … … … b1n b2n … , bnn
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a 11 a21 例1 证明行列式 D= a 31 ⋅⋅⋅ an1
0 0 ⋅⋅⋅ a22 0 ⋅ ⋅ ⋅ a32 a33 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an2 an3 ⋅ ⋅ ⋅
0 0 0 =a a22 ⋅ ⋅ ⋅ ann . 11 ⋅⋅⋅ ann
解 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零, 第一行只能取a11, 第二行只能取a22, 第三行只能取a33, ⋅ ⋅ ⋅ , 第n行只能取ann. 这样的乘积项只有一个, 即a11a22a33 ⋅ ⋅ ⋅ ann. 因为它的列标排列为标准排列, 其逆序数为0, 所以在它前面 带有正号. 因此 D=a11a22a33 ⋅ ⋅ ⋅ ann. 上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上 n个元素的乘积. >>>
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3, D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3−b1a21a33−a13b2a31, D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3−b1a22a31. a11 a12 a13 为了便于记忆和计算, 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列. (2)各项所带的正负号可以表示为(−1)t, 其中t为列标排列 的逆序数. 三阶行列式可以写成
a a a 11 12 13 a21 a22 a23 =∑ −1 t a p1a2p2a3p3 , ( ) 1 a31 a32 a33 其中t为排列p1p2p3的逆序数, ∑表示对1、2、3三个数的所有 排列p1p2p3取和.
称为n阶行列式, 记为
a 11 D= a21 ⋅⋅⋅ an1
a 12 a22 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 a2n , ⋅⋅⋅ ann
求和式子中 一共有多少 项？ n！
简记为det(aij), 其中p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn为自然数1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n的一个排列, t为这个排列的逆序数, ∑表示对所有排列p1p2 ⋅ ⋅ ⋅ pn取和. 在n阶行列式D中, 数aij为行列式D的(i, j)元. 特别规定一阶行列式|a|的值就是a.
则bij=aji(i, j=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n) .
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行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行 列式, 记为DT. 即 a11 a12 … a1n a11 a21 … an1 a21 a22 … a2n a12 a22 … an2 T= D= … … … … , 则 D … … … … . an1 an2 … ann a1n a2n … ann 性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等. >>> 由此性质可知, 行列式中的行与列具有同等的地位, 行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立, 反之亦然.
其中t为排列n⋅(n−1)⋅ ⋅ ⋅21的逆序数, 故 1 t=0+1+2+ ⋅ ⋅ ⋅ +(n−1) = n(n− ) . 2 n(n− ) 1 因此 D=(−1 2 λλ ⋅ ⋅ ⋅ λ . )
1 2 n
⋅⋅ ⋅
a2,n−1
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回忆： 回忆： 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数. 标准排列的对换次数为偶数.
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1.2.1三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, 并称它为三阶行列式.
对角线法则 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
§1.2 行列式的定义
1.2.1 三阶行列式的定义 1.2.2 n 阶行列式的定义
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1.2.1三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 3 1 2 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x = D , x2 = D , x3 = D , 1 D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列.
寻找规律！
(2)带正号的的三项列标排列是:123,231,312; 带负号的的三项列标排列是:132,213,321; 前三个排列都是偶排列,后三个都是奇排列. 观察与思考: 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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三阶行列式的结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a p1a2p2a3p3 , 1 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列. (2)各项所带的正负号可以表示为(−1)t, 其中t为列标排列 的逆序数.
观察与思考: 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
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性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. >>> •推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 这是因为, 把这两行互换, 有D=−D, 故D=0.
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性质2 互换行列式的两行, 行列式变号. •推论 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于 用数k乘此行列式. >>> •推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列 式符号的外面. 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则行列式等于零.
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1.2.2 n 阶行列式的定义
思考: 如何把二 、三阶行列式的定义
a11 a1 =a11a22 −a12a21 = ∑(−1 t a1p a2p . ) a2 2 1 a a a2 a 11 12 13 2 a21 a22 a23 =∑ −1 t a p1a2p2 a3p3 , ( ) 1 a31 a32 a33
a 11 ⋅⋅⋅ ai1 ⋅⋅⋅ an1
a 12 ⋅⋅⋅ ai2 ⋅⋅⋅ an2
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⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
a a an 11 12 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ain = ai1+kaj1 ai2 +kaj2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann an1 an2
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⋅⋅⋅ an 1 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ain +kajn . ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ann
1 2
推广到n阶
a 11 a21 D= ⋅⋅⋅ an1
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a 12 a22 ⋅⋅⋅ an2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
an 1 a2n , ⋅⋅⋅ ann
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补充例题
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n阶行列式的定义 由n2个数aij (i, j=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n)构成的代数和
(−1 t a p1a2p2 ⋅ ⋅ ⋅ anpn ∑ )1
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