高数公式大全1
(完整版)高数1全套公式
o
x
极限的计算方法 一、初等函数： 1.lim C C(C是常值函数）
2.若 f x M（即 f x 是有界量），lim （0 即 是无穷小量）， lim f x
0,
特别 : f x C lim C 0
fx
3.若 f x M（即 f x 是有界量） lim
0,
特别 : f x C C 0
lim C 0
2．特殊角的三角函数值
f( ) cos sin tan cot
0 (0 )
1 0 0 不存在
6
(30 ) 3/ 2 1/ 2
1/ 3 3
4
( 45 ) 2 /2 2 /2
1 1
3
( 60 ) 1/ 2 3/ 2
3 1/ 3
2
( 90 )
0 1 不存在 0
只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值
(3)、 d( ax ) a x ln adx ，特别地，当 a e时， d (ex ) exdx ；
(4)、 d(log a x)
1 dx ，特别地，当 a e 时， d (ln x) 1 dx ；
1。
45 2
1
60
2 1
45
30
1 3 诱导公式：
3
函数
角A
sin cos tg ctg
-α 90 °- α 90 °+ α 180 °-α 180 °+α 270 °-α 270 °+α 360 °-α 360 °+α
-sin α cos α -tg α -ctg α cos α sin α ctg α tg α cos α -sin α -ctg α -tg α sin α -cos α -tg α -ctg α -sin α -cos α tg α ctg α -cos α -sin α ctg α tg α -cos α sin α -ctg α -tg α -sin α cos α -tg α -ctg α sin α cos α tg α ctg α
高数公式(精简版)
高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7） （8）lim arc cot 0x x →∞=lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10） （11）lim x x e →+∞=∞0lim 1xx x +→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）211cos 2x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂+−∂三、导数的四则运算法则（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v 四、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()xxe ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e=⑽() ⑾()ln xxaa′=a 1ln x x ′= ⑿()1log ln x a x a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′= ⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x′=−+（17）′=五、微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()d u v du dv ±=±()d cu cdu =()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d xxdx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x x ⑺ ⑻ ⑼()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅()xxd e e dx =⑽ ⑾()ln x x d a a adx =()1ln d x dx x =⑿()1log ln x a d dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+ 七、下列常用凑微分公式八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(完整版)高数公式汇总
高数公式汇总经管学生会内部资料导数公式:(tgx) sec x(ctgx) csc x(secx) secx tgx(cscx) cscx ctgx(a x) a x l na(log a x) 1xl na基本积分表：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx~ 2a xdx~ 2x adx~ 2a xdx2a x 高等数学公式In cosx CIn sinx CIn secx tgx C In cscx ctgx C 1 x-arctg — Ca a1 x a —— C 2a x a1 a x —— C 2a a xarcs in仝C aI n2sin xdx cos x2 2 a 'x2 2 a 'a2x2dxdxdxo三角函数的有理式积分:2usin x 2, c osx1 u22u2，1 u(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2~ cosxdx~~~2-sin xxdxx 2—x22 ax 2—x22 ax 21 a2 xn2otg i，111 x211 x2sec2 xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxa x dx — CIn ashxdx chx Cchxdx shx C2 2----------- In( x 、x a ) C2 2 v 7 x aI n2 a —In( x22 a .一In x22a . x arcs in C2x2 a2) C、x2 a2dx2du1 u2高数公式汇总 经管学生会内部资料两个重要极限:sin x ’lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045…xarchx In (x x 21)三角函数公式:•诱导公式：-和差角公式:sin( )sin COS COS sin COS ( )COSCOS sin sintg()汽tg1 tg tgCtg()CtgCtg 1Ctg Ctg-和差化积公式:sin sin 2 si nCOS 2 2sinsin2 COSsin22COS COS 2 COSCOS --2 2COS COS2 si nsin2 2一些初等函数: xe e x2xxe e2shx x e x echx x e x ex 21)arthx llnl 双曲正弦：shx双曲余弦:chx双曲正切:thx高数公式汇总经管学生会内部资料sin 2 2sin cos cos2 2cos 2 1ctg2ctg 212ctgtg2 2tg 21 tg•倍角公式: 1 2si n 2-半角公式: 2cos 2sinsin3 3sin 4sin 3 cos3 4cos 3costg33tg tg 31 3tg 2tg 2sin — 2 1 cos 1 cos sin sin 1 cos-余弦定理:-正弦定理:a b sin A sinB c si nC2Rc 2 a 2 b 2 2ab cosC•反三角函数性质： arcs inx arccosx 2 arctgx arcctgx高阶导数公式 ------ 莱布尼兹( Leibniz )公式：2! k ! 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f(b) f(a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄型 f (a) f () F(b) F(a) F () n (n) k (n k) (k)(uv) C n u v k 0(n) (n 1) n(n 1) (n 2) n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu v u vu v当F(x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率:uv(n)高数公式汇总 经管学生会内部资料弧微分公式：ds .1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M 点到M 点，切线斜率的倾角变 化量；s ： MM 弧长。
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lim[ f ( x) g ( x)]
两个重要极限
lim
sin
x
1, lim
sin
x
0; lim(1
1)x
e
lim(1
1
x) x
x0 x
x x
x
x
x0
常用等价无穷小:
1 cos x ~ 1 x2; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 x 1 ~ 1 x;
lim n0
n i 1
f(i)1 nn
F (b) F (a) F (x)
b a
,
(F(x) f (x))
连续可积; 有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函数存在
(x) x f (t)dt (x) f (x) a
d (x) f (t)dt f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 x
n0
3、
弧微分公式：ds 1 y2 dx x(t) y(t)2 dt 2 2 d
平均曲率：K从点到点.(， 切: 线M斜率的M倾 角变化量；: s
弧长)
s MM
M点的曲率：K lim d s0 s ds
y
(t) (t) (t) (t)
= (1 y2 )3
Байду номын сангаас
3
[2 (t) 2 (t)]2
x2 a2 2a x a
a2 x2 2a a x
dx ln(x x2 a2 ) C;
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C;
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
高数一全套公式
初等数学基础知识一、三角函数1 .公式同角三角函数间的基本关系式：平方关系：sin A2( a )+cos A2( a )=tan^2( a )+1= sec A2( ；cOt A2( a )+1= csc A2( a) 商的关系：tan a =sin a /cos a ot a =cos a /sin a倒数关系：tan a・ cot a; =sin a・ csc a =1cos a・ sec a =1三角函数恒等变形公式：两角和与差的三角函数：cos( a + 3 )=cos a・ coin Ba・ sin 3cos( a 3 )=cos a・ cos 3 +sin a・ sin 3sin( a±3 )=sin a・ cos 3 土 cos a・ sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan -tan(a^ tan 3)tan( a 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a・ tan 3)倍角公式：sin(2 a )=2sin a・ cos acos(2 a )=cosA2( -s)n人2( a )=2cosA2( -a=1- 2si门人2( a)tan(2 a )=2tan a #1 门人2( a )]半角公式：sinA2( a /2X1-C0S a )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tan A2( a /2)=(1cos a )/(1+cos a)tan( a /2)=sin a /(1+cos ot-()os1a )/sin a万能公式：sin a =2tan( a /2)/[1+ta门人2( a /2)]cos a =[1-tanA2( a /2)]/[1+ta门人2( a /2)]tan a =2tan( a /2)/{t1a门人2( a /2)]积化和差公式：sin a・cos 3 =(1/2){sin(a + 3-)+s]n( acos a・sin 3=(1/2){sin(-si a+ a))]cos a・cos 3 =(1/2){cos( a + 3 )+^$1 asin a・sin-(1=){cos( a +-co)( a- 3 )] 和差化积公式：sin a +sin 3 =2sin{( a + 3 )/2]cos{)/2] asin asin3 =2cos[( a + 3 )/2]sin{© )/2}x cos a +cos 3 =2cos[( a + 3 )/2]cos{(3 )2 cos a-cos 3=2S in{(a + 3 )/2]sin{- 3 )/a2.特殊角的三角函数值f （衿、0 (0=)JI■6(30 JJT~4(45)JI~3(60 °)31"2(90°)cos日 1 73/2 V2/2 1/2 0si n日0 1/2 v'2 / 2 V3/2 1tan日0 1/V3 1 不存在cot日不存在43 1 1小0只需记住这两的三角值。
高数的全部公式大全
(tgx)，=sec x (ctgx)，= -CSC 2x (secx)'=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a x)' = a xl na (log a x)'=1xln a(arcsin x)，= . 1：J l -x 21 (arccos x)'= — 一’ j 1—x 21(arctgx)'= __21 +x 1(arcctgx )' = 一 --1 + x基本积分表:三角函数的有理式积分:导数公式:高等数学公式Jtgxdx = -1 n cosx +C Jctgxdx =1 n sin X +C Jsecxdx = In secx+tgx +CJcscxdx = In cscx-ctgx +C f 巴=fsec xdx = tgx + C ' cos x 、dx 2J ———=Jcsc xdx = -ctgx + C 'sin X 、fsecx tgxdx = secx + Cdx J 2 , 2a +x 「 dx J —2 2 x -af dxJ ""2 2 a -x' 2寸a -x1 x =一 arctg -七 a 亠n2a _ 1 . g+c X +aa -x X =arcsi n — +CaI n J cscx ctgxdx =-cscx + C xfa xd^-^ +C ln a Jshxdx = chx +CJchxdx = shx +Cdx=ln( X + J x 2±a 2) + C2=Jsin n xdx = Jcos nxdx =0 0N x 2 -a 2dx = *J x 2 -a 22口I nd n2 , _______________________+ —l n(x +J x 2 +a 2)+C 2ln X + J x 2 - a 2+C 2222 .a - X . c-x + ——arcsi n —+C2 a2usin X = --- 7,1+u,x u=tg-,dx 严1+u 2一些初等函数: 两个重要极限:-sin (a ±P)=si n^cosP ±cos。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高等数学公式所有大全
高等数学公式大全
(tgx)′ = sec2 x
(ctgx)′ = −csc2 x
(sec x)′ = sec x ⋅tgx
(csc x)′ = −csc x ⋅ ctgx
(a x )′ = a x ln a
(log x)′ = 1
a
x ln a
(arcsin x)′ = 1 1− x2
tg
(α
±
β
)
=
tgα ± 1µ tgα
tgβ ⋅ tgβ
ctg
(α
±
β
)
=
ctgα ⋅ ctgβ
ctgβ µ1 ± ctgα
·和差化积公式：
sinα + sin β = 2sin α + β cos α − β
2
2
sinα − sin β = 2cos α + β sin α − β
2
2
cosα + cos β = 2cos α + β cos α − β
=
−ctgx
+
C
∫sec x ⋅tgxdx = sec x + C
∫ csc x ⋅ctgxdx = −csc x + C
∫ a xdx = a x + C ln a
∫ shxdx = chx + C
∫ chxdx = shx + C
∫ dx = ln(x + x2 ± a2 ) + C x2 ± a2
引力：F
=
k
m1m2 r2
, k为引力系数
函数的平均值：y =
1
b
∫ f (x)dx
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高等数学公式·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：·三倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot （π/2＋α）＝－tanα sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα tan （π/2－α）＝cotα cot （π/2－α）＝tanα sin （3π/2＋α）＝－cosα cos （3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－cotα cot （3π/2＋α）＝－tanα sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cotα cot （3π/2－α）＝tanα (以上k ∈Z) 部分高等内容 [编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n ！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx ，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0导数公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C ax a x a a x dxC a x arctg a xa dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdxC x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln cscsec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx xx xx x x xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e x xxx x x三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin-=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。