河北省衡水中学2020届高三下学期三调考试数学(理科)试卷及答案2020.4
河北省衡水中学2020届高三下学期三调考试数学(理)试题答案解析
2019-2020学年度下学期第三次调研考试答案一．选择题（共12小题）1．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：A．3．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加，增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年；故选：C．4．解：由函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则函数f（|x﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．故选：B．5．解：由双曲线的性质可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，∵∠F2MN＝∠F2NM，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，且，解得n＝75．故选：D．7．解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．8．解：由已知AC＝4，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，＝×AC•tan30°×AC＝××＝4．其面积为S△ADC故选：D．9．解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．故选：C．10．解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．11．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），，∵函数f（x）恰有一个极值点1，∴f′（x）＝0有且仅有一个解，即x＝1是它的唯一解，也就是另一个方程无解，令，则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以当时，方程无解，故选：C．12．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ，由，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ．则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4），将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ＝﹣．则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①，同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4），∴λa 2（y 3+y 4）＝4λ2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e ＝＝＝．故选：A ．二．填空题（共4小题）13．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m ），则﹣＝（2，﹣m ﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．17种，解：按照甲乙是否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在C 病区，则丙丁分配在AB 病区，有两种。
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>,(){}ln 10N x x =->,则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D. ()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】解出集合M 、N ,利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误.【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞,(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以,M N ⊇,()2,M N =+∞,()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.2. 已知复数2(2)z i =+,则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3iC. 4D. 4i【答案】C 【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+,所以z 的虚部为4. 故选：C .3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％业灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中,大多数本科生选择继续深造,大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中,硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中,留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％,硕士生选择就业达89.2％,则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％,则判断选项B正确；。
2020届河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研数学（理）试题一、单选题 1．设复数34iz i=-，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数的几何意义得到所在象限，即可求得答案. 【详解】(34)34(34)(34)i i i z i i i ⋅+==--⋅+ 3443252525i i -==-+ ∴z 在复平面内对应的点为第二象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知集合{}2650M x x x =-+≥，{}21N y y x ==+，则M N =（ ）A ．[)5,+∞B ．{}[)15,⋃+∞C ．[]1,5D ．R【答案】B【解析】本题先求出{}15M x x x =≤≥或，再求出{}1N y y =≥，最后求M N ⋂. 【详解】解：∵{}2650M x x x =-+≥，∴ {}15M x x x =≤≥或， ∵{}21N y y x ==+，∴{}1N y y =≥， ∴ {}[)15,MN =+∞.故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.3．()612x -的展开式第三项为（ ） A ．60 B ．120-C ．260xD ．3120x -【答案】C【解析】直接利用二项展开式的通项公式，求出6(12)x -的展开式第三项． 【详解】6(12)x -的通项为61(2)r r r T C x +=-6(12)x -的展开式第三项2236221(2)60T T C x x +=-==，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．4．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为1()cos 1x x e f x x e +=⋅-，先判断函数的奇偶性，结合当0x +→时，函数值的为正，即可求得答案. 【详解】11()cos()cos()11x xx xe ef x x x f xe e--++-=⋅-=-⋅=---，∴()f x为奇函数，排除C，当0x+→时，()0f x>，排除B,D，故只有A符合题意故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．设变量x，y满足约束条件1,22,10,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则()223=-+z x y的最小值为（）A．2 B．45C．4 D．165【答案】D【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数()223=-+z x y可看作是可行域内的点到(3,0)距离的平方的最小值，即可求得答案.【详解】变量x，y满足约束条件1,22,10,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩画出可行域，()223=-+z x y可看作是可行域内的点到(3,0)距离的平方的最小值根据图象可知，()223=-+z x y的最小值是(3,0)到220x y--=距离的平方.根据点到直线距离公式可得：(3,0)到220x y --=距离为602455--=∴2min46=515z ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中，求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解.6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（ ）A ．120B ．145C ．270D ．285【答案】B【解析】记第n 个五角形数为n a ，由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅可得13(1)1n n a a n --=-+，根据累加法，即可求得答案. 【详解】记第n 个五角形数为n a ，由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅ 可得13(1)1n n a a n --=-+， 由累加法得(31)2n n na -=， ∴10145a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与函数()ln(1)f x x =+的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】A【解析】易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数()ln(1)f x x =+在()0,0的切线斜率,继而得出,a b 的关系求解离心率即可. 【详解】由题可知,切点为原点.又()ln(1)f x x =+的导函数1'()1f x x =+,故1'(0)101f ==+.故22222112b c a c e a a a-=⇒=⇒=⇒=故选：A 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题. 8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()3,0对称，当()0,3x ∈时()x f x e =，则当[]2018,2019x ∈时，()f x 的最小值为（ ）A ．0B ．eC ．2eD ．3e【答案】A【解析】先判断出()f x 的周期为6，从而判断出[]2018,2019x ∈时()f x 最小值，即为[]2,3x ∈时()f x 最小值，最后求出[]2,3x ∈的最小值即可解题. 【详解】解析：∵()f x 关于()3,0对称∴()()60f x f x +-=即()()6f x f x =--， ∵ ()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()()66f x f x f x =--=-， ∴()f x 的周期为6，∴[]2018,2019x ∈时()f x 最小值，即为[]2,3x ∈时()f x 最小值，∵[)2,3x ∈，()()2min 2f x f e ==∵()()()333f f f =-=- ∴()30f =∴[]2,3x ∈，()min 0f x =， 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、周期性求函数在指定区间内的最值，是中档题. 9．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53C ．74D ．95【答案】D【解析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤=⎪⎝⎭， 当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点.过点F 的直线l 交抛物线C 于A B ，两点，交准线于点M .若0BM BA +=，9AB =，则p 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ，画出图象，根据0BM BA +=，可得B 是线段AM 的中点，故1112BB MB AA MA ==，即可求得答案. 【详解】过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ， 画出图象：0BM BA +=∴可得B 是线段AM 的中点故111,2BB MB AA MA == 设BF t =，则11,2BB t AA AF t ===，11462FF MF t p AA MA t t===， 39,AB AF BF t =+==求得34t p ==. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握抛物线定义和向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．已知点()0,1A ，()1,2B x ，()2,2C x -在函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象上，且min 5BC =.给出关于()f x 的如下命题p ：()f x 的最小正周期为10；q ：()f x 的对称轴为31x k =+（k Z ∈）；r ：()()20202019f f >；s ：方程()2lg f x x =有3个实数根.其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】先求ϕ，接着求最小正周期T ，从而求ω，再求出对称轴31x k =+（k Z ∈）以及()2020f ，()2019f ，最后判断()2lg f x x =有几个实数根即可解题. 【详解】解析：∵()01f =∴1sin 2ϕ=∴6π=ϕ∵32T==∴6T =∴3πω=，∴()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭命题p ：因为6T =，所以命题p 为假命题 命题q ：令362x k ππππ+=+（k Z ∈），解得对称轴为()31x k k Z =+∈，所以命题q 为真命题命题r ：因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()20202f =-，()20191f =-，所以命题r 为假命题命题s ：画出函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭与函数()2lg g x x =的图象，如图.所以方程()2lg f x x =有3个实数根，所以命题s 为真命题故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，方程的根的个数的判断，是中档题.12．已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，1AA ⊥平面ABC ，有一个过点B 且平行于平面1AB C 的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（ ） A ．117B ．107C ．97D ．87【答案】A【解析】根据投影面平移不影响正投影的形状和大小，以平面1AB C 为投影面，构造四棱柱，画出投影图形，再计算正投影的面积即可. 【详解】 如图所示：因为投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以以平面1AB C 为投影面，构造四棱柱，得到投影为五边形1B MACN ， 所以正投影的面积为47137117227277=⨯+⨯⨯=S . 故选：A 【点睛】本题主要考查平行投影的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象的能力，属于中档题.二、填空题13．已知{}n a 是首项为1的等比数列，若4n a ，12n a +，2n a +成等差数列，则n a =_______.【答案】12n -【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于4n a ，12n a +，2n a +成等差数列，可得1244n n n a a a ++=+，由此即可求出2q，进而求出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ； ∵4n a ，12n a +，2n a +成等差数列， ∴1244n n n a a a ++=+， ∴244q q =+， ∴2q，所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列； ∴12n na .故答案为：12n -. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等差中项的应用，属于基础题.14．执行如图所示的程序框图，若输出的y 值为1，则可输入的所有x 值组成的集合为___________.【答案】12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】先根据框图分类讨论，在0x >时，得到lg 1x =，解得110x =、2110x =；在0x <时，得到2(1)1x +=，解得32x =-，最后写出所有x 值组成的集合即可.【详解】解：（1）当0x >时，lg 1x =得110x =，2110x =（2）当0x <时，2(1)1x +=，得32x =-，故答案为：12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查对数的运算、程序框图，是基础题15．若A ，B ，C 三点满足6AB =，且对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥，则CA CB ⋅的最小值为________. 【答案】5-【解析】根据对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥，得到点C 到AB 所在直线的距离最小值为2，设AB 中点为M ，则()()2214⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦CA CB CA CB CA CB ，再由平面向量的加法和减法运算求解.【详解】 如图所示：因为对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥， 所以A ，B ，C 三点不共线，设AD AB λ=，过C 作 CH AB ⊥，所以2λ-=-=≥=AC AB AC AD CD CH 所以点C 到AB 所在直线的距离最小值为2设AB 中点为M ，则()()2214⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦CA CB CA CB CA CB ， ()()221121636544⎡⎤=-≥-=-⎢⎥⎣⎦CM AB ，当且仅当CM AB ⊥时等号成立. 故答案为：-5 【点睛】本题主要考查平面向量加法和减法及以及数量积的性质和运算，属于中档题.三、双空题16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于r 个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r ，其中3r ≥），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余1r -个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的1r -个外卖店取单.设事件k A ={第k 次取单恰好是从1号店取单}，()k P A 是事件k A 发生的概率，显然()11P A =，()20P A =，则()3P A =_______，()1k P A +与()k P A 的关系式为_______（*k N ∈）【答案】11r - ()()1111k k P A P A r +=-⎡⎤⎣⎦-【解析】由题意可知，3A 表示第3次取单恰好是从1号店取单，可知()()323P A P A A =，再利用条件概率计算公式()()()23232P A A P A P A A =，即可求出()3P A ；由题意可知，()()11k k k P A P A A ++=，再根据条件概率公式可得()()()11k k k k k P A A P A P A A ++=，由此即可求出()1k P A +结果． 【详解】因为2A ={第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以()20P A =，3A ={第3次取单恰好是从1号店取单}，因此()()()()()323232211111P A P A A P A P A A P A r r ⎡⎤===-=⎣⎦--； 由题意可知，()()()()()()()11111111k k k k k k k k k k P A P A A P A P A A P A P A A P A r ++++⎡⎤⎡⎤===-=-⎣⎦⎣⎦-.故答案为： 11r -；()()1111k k P A P A r +=-⎡⎤⎣⎦-． 【点睛】本题考查条件概率的求法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1b =，cos cos c B A C =-.（1）求B ；（2）若B ，A ，C 成等差数列，求ABC 的面积.【答案】（1）4B π=或34B π=；（2）38+.【解析】（1）根据cos cos c B A C =-，利用余弦定理化简为a A =，然后利用正弦定理由sin sin =⋅AB b a求解. （2）根据B ，A ，C 等差数列得到3A π=，结合4B π=，由()11sin sin 22==+ABC S ab C ab B A △求解. 【详解】（1）∵cos cos c B A C =-∴22222222a c b a b c c A ac ab+-+-⋅=-又∵1b =∴22221122a c a c A a a+-+-=-∴a A =∴sin sin 2A B b a =⋅=又∵()0,B π∈ ∴4B π=或34B π=（2）∵B ，A ，C 等差数列 ∴3A π=，由（1）知4B π=∴a A ==∴()11sin sin 22==+ABC S ab C ab B A △,11122=⨯+=【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理以及面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD ，1AB AD ==，AB CD ∥，AB AD ⊥，点E 为PC 的中点.平面ABE 交侧棱PD 于点F ，四边形ABEF 为平行四边形.（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若二面角A PB C --的余弦值为10，求PD 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（210【解析】（1）由四边形ABEF 为平行四边形，得//AB EF ，AB EF =，结合点E 为PC 的中点，得222CD EF AB ===，求解三角形可得BD BC ⊥，再由已知得到PC BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面PBC ，从而得到平面PBD ⊥平面PBC ；（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0P ，0，)(0)h h >，由二面角A PB C --的余弦值为10列式求得h ，求出PD 与平面PAB 的一个法向量，可得PD 与平面PAB 所成角的正弦值． 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABEF 为平行四边形. ∴AB EF ∥，又∵AB CD ∥ ∴EF CD ∥，又∵点E 为PC 的中点 ∴222CD EF AB ===∴在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =可得 连接BD ，易得2BD BC ==222BD BC DC +=，∴BD BC ⊥，又∵PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥平面PBCBD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PBC ；（2）由（1）知2CD =，∴在直角梯形中可得45DCB ∠=︒，又PC ⊥底面ABCD ，∴以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则()2,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0D ，设()()0,0,0P h h >， ∴()1,0,0BA =，()1,1,BP h =--，()2,0,DP h =-，()1,1,0BD =- ∵BD ⊥平面PBC ，∴平面PBC 的法向量可取()1,1,0BD =-， 设平面ABP 法向量为(),,a x y z =，由0,0,a BA a BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0x x y hz =⎧⎨--+=⎩，∴可取()0,,1a h =， ∴210cos ,521a BD h ==-+， ∴2h =，∴()2,0,2DP =-，()0,2,1a =，10cos ,1085DP a ==⨯， ∴PD 与平面PAB 10. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练利用空间向量求解空间角，是中档题．19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t （单位：mm ）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量t （单位：mm ） 10≤ (]10,50 (]50,100100猕猴桃灾害等级 轻灾 正常轻灾重灾根据上述信息，解答如下问题.（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数； （2）以收集数据的频率作为概率.①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元. 方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元. 方案3：不采取防控措施.问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.【答案】（1）中位数为12.5，众数为10；（2）①估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为130和35，无灾害概率为1130；②选择方案一比较好；答案见解析. 【解析】(1)根据茎叶图，可得中位数和众数；(2)①根据图中的数据，求出该地区周降雨量的概率，由此能估计该地在今年发生重、轻害的概率和无灾害概率；②分别计算各方案中每亩获利的期望，进而比较出每亩净利润，可得结论．【详解】（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t （单位：mm ）的概率：()15110302P t ≤==，()11105030P t <≤=，()31501003010P t <≤==，()110030P t ≥=， P （轻灾）()()310501005P t P t =≤+<≤=，P （重灾）()110030P t =>= 因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为130和35，无灾害概率为1130②方案1：设每亩的获利为1X （元），则1X 的可能取值为600，10800-，则1X 的分布列如下：则()129160001080054403030E X =⨯-⨯=（元），则每亩净利润为54404005040-=（元）； 方案2：设每亩的获利为2X （元），则2X 的可能取值为6000元，于是()260001P X ==，()26000E X =，净利润为600010804920-=（元）；方案3：设每亩的获利为3X （元），则3X 的可能取值为6000，5400-，10800-， 则3X 的分布列如下：则()311316000540010800140030530E X =⨯-⨯-⨯=-（元），于是每亩亏损为1400（元）；由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好. 【点睛】本题考查中位数、众数、概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法定理、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点(M 且离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA OB OP +=，求弦长AB 的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）6,⎡⎣. 【解析】（1）根据待定系数法求解即可得答案.（2）设直线l 过A 、B 两点，先考虑直线l 垂直于x 轴时，易得6AB =，再考虑直线l 不垂直于x 轴时，设l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，根据题意与椭圆联立方程得()2223484480kxkmx m +++-=，122834kmx x k +=-+，212244834m x x k-=+，进而化简计算得2286,3434km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再根据P 在椭圆上得2234m k =+，再用弦长公式得：AB =最后结合2343k +≥即可求得弦长的范围. 【详解】解：（1）由题意知12c a =，(22221a b+=，又因为222c b a +=，解得216a =，212b =.则椭圆标准方程为2211612x y +=.（2）因为OA OB OP +=，所以由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形. 设直线l 过A 、B 两点，①若直线l 垂直于x 轴，易得：()4,0P ，()2,3A ，()2,3B -或者()4,0P -，()2,3A -，()2,3B --，此时6AB =.②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，将直线y kx m =+代入C 的方程得()2223484480kxkmx m +++-=故122834km x x k +=-+，212244834m x x k-=+， 因为OA OB OP +=，所以012x x x =+，012y y y =+， 则02834kmx k =-+，()0121226234m y y y k x x m k =+=++=+，即2286,3434kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为P 在椭圆上，有222286343411612km m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，化简得2234m k =+.验证，()()22222641634121440k m kmm ∆=-+-=>.所以1228834km k x x k m -+=-=+，22122244844834m m x x k m --==+所以12AB x =-===因为2343k +≥，则2110343k <≤+. 即()21111443434k <+≤+，得6AB <≤.综上可得，弦长AB 的取值范围为6,⎡⎣.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆相交的弦的最值问题，考查数学运算能力，是中档题.21．已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）求证：()()111ln 1a xa e e f x x e+++'⋅⋅+<. 【答案】（1）()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）把1a =代入解析式对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；（2）原不等式转化为证明()1111ln ln 1a a e x a x x e +++⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，结合不等式的特点构造函数，结合函数性质及导数可证． 【详解】 解：（1）当1a =时，()ln 1x x f x e+=，()1ln 1xx x f x e --'= 令()1ln 1g x x x=--，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g = 所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞（2）()1ln xx a x f x e --'=，()1ln xe f x x a x'=-- 只需证()1111ln ln 1a a e x a x x e +++⎛⎫--+< ⎪⎝⎭即()()11ln 111ln a a x e x x ax x e++++--<易证()()ln 10x x x +<>成立.记()1ln h x x x ax =--，则()ln 10h x x a '=---=令()0h x '=，得(1)a x e -+=并且，当()()10,a x e-+∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()()1,a x e -+∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减所以，()()()1111111a a a a e h x h eee+-++++≤=+=即()()111ln 1a xa e e f x x e +++'⋅⋅+<，命题得证．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，函数与导数的综合应用，属于难题．22．在平面直角坐标系中，点P 是曲线1C ：2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 顺时针旋转90得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点M 的坐标为(4,)2π，射线:(0)6l πθρ=>与曲线12C C 、分别交于,A B 两点，求MAB △的面积．【答案】（1）1:4sin C ρθ=；2:4cos C ρθ=（2）6-. 【解析】（1）因为曲线1C ：2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩，可得1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，根据极坐标与直角坐标的互化公式:222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，结合已知，即可求得答案.（2）由题意知点M 到射线6πθ=的距离为4sin3d π==由（1）知1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，即可求得答案. 【详解】 （1）曲线1C ：2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩∴1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，其极坐标方程为4sin ρθ=设Q 点的极坐标为()ρθ，，则对应的P 点的极坐标为()2πρθ+，又点P 在1C 上，将线段OP 顺时针旋转90得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C∴4sin()4cos 2πρθθ=+=即2C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）由题意知点M 到射线6πθ=的距离为4sin3d π==由（1）知1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，)4(cos sin )2166B A AB ππρρ=-=-=，∴162MAB AB d =⋅=-△S 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．已知函数()(1)1()f x x a x x x a =+++-+． （1）当0a =时，求()0f x ≥的解集；（2）若()0f x <在(),0-∞上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}0x x ≥；（2）0a ≤.【解析】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．分别讨论1≥x ，01x ≤<和0x <时()0f x ≥，即可求得答案；（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；讨论0a <和0a >时，()0f x <在(),0-∞上是否恒成立，即可求得答案.【详解】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．当1≥x 时，2()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}1x x ≥；当01x ≤<时，()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}01x x ≤<；当0x <时，2()(1)(1)2f x x x x x x =-+--=-，此时()0f x ≥的解集为∅综上所述()0f x ≥的解集为：{}0x x ≥（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；当0a <时，在(),0x ∈-∞内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x x a =-++--+=-+<恒成立；当0a >时，在(),0x a ∈-内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x a =++--+=+>，不满足()0f x <在(,0)-∞上恒成立的条件 综上所述0a ≤. 【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学(理)试卷及答案解析
2020届河北省衡水中学高三下学期三模数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A.{}0,2B.{}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.44.平面向量a 与b 的夹角为60︒， ()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 125.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A.()|sin cos |f x x x =+B.22()sin cos f x x x =+C.()|sin ||cos |f x x x =+D.()sin ||cos ||f x x x =+6.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A.240B.120C.48D.367.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）A.297B.302C.307D.3128.设函数()()2sin f x x ωϕ=+， x R ∈，其中0ω>，ϕπ<.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A. 23ω=， 12πϕ= B. 23ω=， 1112πϕ=- C. 13ω=， 1124πϕ=- D. 13ω=，724πϕ= 9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）A.乙丁B.乙丙C.丙丁D.甲丁10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（ ）A.121 C.3111.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A.2e -B.e -C.e 2-D.1e-12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）B. C.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______．14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题（题型注释）17.已知等差数列n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<）试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21.已知函数()l e n xm f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值； （2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值． 23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．参考答案1.C【解析】1.求出集合A ，利用交集的定义可得出集合AB .{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C. 2.D【解析】2.先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i--+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D. 3.C【解析】3.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．4.B【解析】4.因为2,1a b ==， a 与b 的夹角为60︒，故cos601a b a b ⋅=⋅=，则244a b +=+=B 。
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题(附答案解析)
5．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
6．已知函数 有零点，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某中学在高二下学期开设四门数学选修课，分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》．现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同，下面关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》，也不选《对称与群》：②乙同学不选《对称与群》，也不选《数学史选讲》：③如果甲同学不选《数学史选讲》，那么丁同学就不选《对称与群》．若这些信息都是正确的，则丙同学选修的课程是（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
12．已知 分别是椭圆 的左右焦点，点 是椭圆的右顶点， ． C． D．
二、填空题
13．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为_____平方里．
14．若双曲线 的两个焦点都在 轴上，且关于 轴对称，焦距为 ，实轴长与虚轴长相等，则双曲线 的方程是_____________.
15．由2，0，1，8，6，7六个数字组成的四位数中，若数字可以重复，则含有奇数个6的数共有_________个.（用数字作答）.
16．函数 图像上不同两点 处的切线的斜率分别是 ，规定 ( 为线段 的长度)叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”.设曲线 上不同两点 ，且 ，则 的取值范围是_________.
河北省2020届高三下学期三调数学试卷(理科)Word版含解析
一、 ：本大 共12 个小 ，每小5 分，共 60 分 .在每小 出的四个中，只有一 是切合 目要求的 .1．已知复数 z 足 ， 复数 z 在复平面内 的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限．已知会合3（2x 1）≤ 0} ， ，全集 U=R ， A2 A= { x| log∩（ ?U B ）等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．若 α∈（，π），且3cos2 α =sin （α），sin2 α的 （）A ．B ．C ．D ．4．已知， 以下 正确的选项是（）A ． h （x ） =f （x ）+g （ x ）是偶函数B ．h （x ）=f （ x ）+g （x ）是奇函数C ． h （x ）=f （x ）g （x ）是奇函数D ．h （x ）=f （ x ） g （ x ）是偶函数5．已知双曲E ： =1（a ＞0．b ＞ 0），若矩形ABCD的四个 点在E 上，AB ，CD 的中点 双曲 斜率 k ． | k| 等于（E 的两个焦点，且双曲 ）E 的离心率是2．直AC的A ． 2B ．C ．D ．3 6．在△ ABC中，=，P 是直BN上的一点，若 =m+， 数m 的 （）A ． 4B ． 1C ． 1D ．47．已知函数 f （x ）=Asin （ωx +?）（ A ＞0，ω＞0）的 象与直 y=a （0＜a ＜A ）的三个相 交点的横坐 分 是2，4，8， f （x ）的 减区 是（）A ． 6k π，6k π3 （ k ∈ Z ）B ． 6k π 3，6k π（k ∈Z ）C ． 6k ，6k 3 ] （k [ + ] [ ] [ +∈ Z ）D ．[ 6k 3， 6k] （ k ∈ Z ）8．某旅行景点 了今年 5 月 1 号至 10 号每日的 票收入（ 位：万元） ，分a 1，a 2，⋯ ，a 10（如： a 3 表示 5 月 3 号的 票收入），表是 5 月 1 号到 5月 10 号每日的 票收入，依据表中数据，下边程序框 出的 果 （ ）日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 门票收入80 120 110 91 65 77 131 116 55 77 （万元）A． 3 B．4 C． 5 D．69．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，恰巧碰在一同，他们除懂本国语言外，每日还会说其余三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日自己，丁不会说日语，但他俩都能自由谈话；②四人中没有一个人既能用日语谈话，又能用法语谈话；③甲、乙、丙、丁谈话时，找不到共同语言交流；④乙不会说英语，当甲与丙谈话时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英10．如图，已知正方体 ABCD ﹣A'B'C'D' 的外接球的体积为，将正方体割去部分后，节余几何体的三视图以下图，则节余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或11．如图，已知抛物线的方程为 x2=2py（p＞0），过点 A （0，﹣ 1）作直线与抛物线订交于 P，Q 两点，点 B 的坐标为（ 0， 1），连结 BP，BQ，设 QB， BP 与x 轴分别订交于 M ，N 两点．假如 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为﹣ 3，则∠MBN 的大小等于（）A．B．C．D．12．已知 a，b∈R，且 e x≥a（ x﹣ 1）+b 对 x∈R 恒成立，则 ab 的最大值是（）A．B．C．D．e3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．在的睁开式中，含x3项的系数为．14．在公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在《几何本来》里提出：“球的体积（V）与它的直径（ D）的立方成正比”，此即 V=kD 3，欧几里得未给出 k 的值 .17 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不认识，他们将体积公式 V=kD 3中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率”．近似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 V=kD 3求体积（在等边圆柱中， D 表示底面圆的直径；在正方体中， D 表示棱长）．假定运用此体积公式求得球（直径为 a）、等边圆柱（底面圆的直径为 a）、正方体（棱长为 a）的“玉积率”分别为 k1，k2，k3，那么 k1：k2： k3=．15．由拘束条件，确立的可行域 D 能被半径为的圆面完整覆盖，则实数 k 的取值范围是．16．如图，已知 O 为△ ABC 的重心，∠ BOC=90°，若 4BC2=AB?AC ，则 A 的大小为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1n=S1+S n对全部正整数 n 都成立．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 a1＞ 0，λ=100，当 n 为什么值时，数列的前n项和最大？18．某同学在研究性学习中，采集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据以下表所示：月份 x 1 2 3 4 5y（万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出 y 对于 x 的线性回归方程 = + ，依据表中数据已经正确计算出 =0.6，试求出的值，并预计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数；（ 2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊5 盒，小红同学从中随机购置了 3 盒甲胶囊，后经认识发现该制药厂今年二月份生产的全部甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购置的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的散布列和数学希望．19．已知多面体 ABCDEF 以下图，此中 ABCD 为矩形，△ DAE 为等腰等腰三角形，DA ⊥AE ，四边形 AEFB 为梯形，且 AE∥ BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2 ．（1）若 G 为线段 DF 的中点，求证： EG∥平面 ABCD ；（2）线段 DF 上能否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N 的地点；若不存在，请说明原因．20．如图，椭圆 E ： + =1（a ＞b ＞0）左、右极点为 A ， B ，左、右焦点为F 1， F 2 ，| AB | =4，| F 1F 2| =2 ．直线 y=kx +m （ k ＞ 0）交椭圆 E 于 C ， D 两点，与线段 F 1 2、椭圆短轴分别交于 M ， N 两点（ M ，N 不重合），且 CM = DN ．F | | | | （ Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（ Ⅱ）设直线 AD ， BC 的斜率分别为 k 1，k 2，求的取值范围．21．设函数 f （x ）=﹣ax ，e 为自然对数的底数（ Ⅰ）若函数 f （x ）的图象在点 （ e 2，f （ e 2））处的切线方程为 3x+4y ﹣e 2=0，务实数 a ，b 的值；（ Ⅱ）当 b=1 时，若存在 x 1 ，x 2 ∈[ e ， e 2] ，使 f （x 1）≤ f ′（x 2）+a 成立，务实数 a 的最小值．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在平面直角坐标系xOy 中，斜率为 1 的直线 l 过定点（﹣ 2，﹣ 4）．以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴成立极坐标系．已知曲线 2C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ =0．（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程；（ 2）两曲线订交于 M ，N 两点，若 P （﹣ 2，﹣ 4），求 | PM|+| PN| 的值．[ 选修4-5：不等式选讲]23 ．已知函数 f （ x ） =| 2x+1|+| 3x ﹣ 2| ，且不等式 f （ x ）≤ 5 的解集为，a，b∈R．（1）求 a，b 的值；（2）对随意实数 x，都有 | x﹣ a|+| x+b| ≥m2﹣3m+5 成立，务实数 m 的最大值．2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 12 个小题，每题5 分，共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 . 1．已知复数 z 知足 ，则复数 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】 复数的代数表示法及其几何意义．【剖析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，获得 z 的坐标得答案．【解答】 解：∵，∴ z=，∴复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣ 2），在第三象限．应选： C ．．已知会合3（2x ﹣ 1）≤ 0} ， ，全集 U=R ，则 A2 A= { x| log∩（ ?U B ）等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】 交、并、补集的混淆运算．【剖析】先分别求出会合 A 和 B ，进而求出 C UB ，由此能求出 A ∩（ U ）的值．? B 【解答】 解：∵会合 A= { x| log 3（2x ﹣1）≤ 0} ={ x |} ，={ x| x ≤0 或 x} ，全集 U=R ，∴ C UB={ x| 0＜ x ＜ } ，A ∩（ ?UB ）={ x|} =（）．3．若α∈（，π），且 3cos2 α =sin（﹣α），则 sin2 α的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【剖析】由已知可得 sin α＞0，cosα＜ 0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosαsin α=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2 α的值．+【解答】解：∵ α∈（，π），∴ sin α＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（ cos2α﹣ sin2α） = （ cos α﹣sin α），∴cosα+sin α=，∴两边平方，可得： 1+2sinαcosα=，∴sin2 α=2sin αcos﹣α=．应选： D．4．已知，则以下结论正确的选项是（）A． h（x ） =f（x）+g（ x）是偶函数 B．h（x）=f（ x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f （x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【剖析】利用奇偶函数的定义，即可判断．【解答】解：h（x）=f（x） g（x）=+= ，h（﹣ x）= = +﹣=h（x），∴ h（ x） =f（x）+g（ x）是偶函数；h（x）=f（ x） g（ x）无奇偶性，5．已知双曲线 E：﹣=1（a＞0．b＞ 0），若矩形 ABCD 的四个极点在E上，AB ，CD 的中点为双曲线 E 的两个焦点，且双曲线 E 的离心率是2．直线AC 的斜率为k．则 | k| 等于（）A． 2 B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【剖析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由离心率公式，可得a，b， c 的关系，运用直线的斜率公式，计算即可获得所求值．【解答】解：令 x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设 A （﹣ c，），B（﹣c，﹣），C（ c，﹣），D（c，），由双曲线 E 的离心率是 2，可得 e= =2，即 c=2a， b==a，直线 AC 的斜率为 k==﹣=﹣=﹣．即有 | k| =．应选： B．6．在△ ABC 中，= ，P 是直线BN 上的一点，若=m + ，则实数m 的值为（）A．﹣ 4 B．﹣ 1 C ． 1 D．4【考点】向量在几何中的应用．【剖析】设=n ，利用向量的线性运算，联合=m + ，可务实数m 的值．【解答】解：由题意，设=n，则= + = +n = +n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m +，∴m=1﹣n，且 =解得； n=2， m=﹣ 1，应选： B．7．已知函数 f（x）=Asin （ωx+?）（ A ＞0，ω＞0）的图象与直线 y=a（0＜a＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则 f（x）的单一递减区间是（）A ． 6k π，6k π3 （ k ∈ Z ）B ． 6k π 3，6k π（k ∈Z ）C ． 6k ，6k 3 ] （k [ + ] [ ] [ +∈ Z ） D ．[ 6k 3， 6k] （ k ∈ Z ） 【考点】 正弦函数的 象．【剖析】由 意可得， 第一个交点与第三个交点的差是一个周期； 第一个交点与第二个交点的中点的横坐 的函数 是最大 ． 从 两个方面考 可求得参数 ω、φ的 ， 而利用三角函数的 性求区 ．【解答】 解：与直 y=b （ 0＜ b ＜ A ）的三个相 交点的横坐 分 是2， 4， 8知函数的周期T= =2（ ），得 ω= ，再由五点法作 可得? +φ= ，求得 φ= ，∴函数 f （x ）=Asin （x ）．令 2k π+ ≤x≤2k π+，k ∈z ，解得： 6k+3≤x ≤6k+6，k ∈z ，∴即 x ∈[ 6k 3，6k] （ k ∈ Z ），故 ： D ．8．某旅行景点 了今年 5 月 1 号至 10 号每日的 票收入（ 位：万元） ，分a 1，a 2，⋯ ，a 10（如： a 3 表示 5 月 3 号的 票收入），表是 5 月 1 号到 5月 10 号每日的 票收入，依据表中数据，下边程序框 出的 果 （）日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 票收入 801201109165771311165577（万元）A． 3 B．4 C． 5 D．6【考点】程序框图．【剖析】剖析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的次序，可知：该程序的作用是计算并输出大于115 的．【解答】解：剖析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的次序，可知：该程序的作用是计算并输出门票大于115 的天数．115．由统计表可知：参加统计的十天中，第2、7、8 这 3 天门票大于故最后输出的值为： 3应选： A．9．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，恰巧碰在一同，他们除懂本国语言外，每日还会说其余三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日自己，丁不会说日语，但他俩都能自由谈话；②四人中没有一个人既能用日语谈话，又能用法语谈话；③甲、乙、丙、丁谈话时，找不到共同语言交流；④乙不会说英语，当甲与丙谈话时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】依据题干逐个考证即可【解答】解：本题可直接用察看选项法得出正确答案，依据第二条规则，日语和法语不可以同时由一个人说，所以 B、C、D 都错误，只有 A 正确，再将 A 代入题干考证，可知切合条件．应选 A10．如图，已知正方体 ABCD ﹣A'B'C'D' 的外接球的体积为，将正方体割去部分后，节余几何体的三视图以下图，则节余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图，即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图则节余几何体的表面积为S=3×12++=．应选： A．11．如图，已知抛物线的方程为 x 2=2py （p ＞0），过点 A （0，﹣ 1）作直线与抛物线订交于 P ，Q 两点，点 B 的坐标为（ 0， 1），连结 BP ，BQ ，设 QB ， BP 与 x 轴分别订交于 M ，N 两点．假如 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为﹣ 3，则∠MBN 的大小等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【剖析】 设直线 PQ 的方程为： y=kx ﹣1，P （x 1， y 1）， Q （x 2，y 2），联立直线PQ 方程与抛物线方程消掉 y 得 x 的二次方程，依据韦达定理及斜率公式可求得k BP +k BQ，再由已知 k BP ?k BQ ﹣ 3 可解得，，由此可知∠BNM=0 =与∠ BMN 的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN ．【解答】解：设直线 PQ 的方程为： y=kx ﹣1，P（x1，y1），Q（ x2，y2），由得x 2﹣2pkx 2p=0，△＞ 0，+则x1+x2=2pk， x1x2=2p，，，== = ，即BP+k BQ ①=0k =0又k BP?k BQ=﹣3②，联立①②解得，，所以，，故∠ MBN=π ﹣∠ BNM ﹣∠ BMN=，应选 D．x ≥a（ x﹣ 1） b 对 x∈R 恒成立，则 ab 的最大值是（）12．已知 a，b∈R，且 e +A．B．C．D．e3【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】先求出函数的导数，再分别议论 a=0，a＜0，a＞ 0 的状况，进而得出 ab 的最大值．【解答】解：令 f（ x） =e x﹣ a（x﹣1）﹣ b，则 f ′（x ）=e x﹣a，若a=0，则 f（ x） =e x﹣ b≥﹣ b≥0，得 b≤0，此时 ab=0；若a＜0，则 f ′（ x）＞ 0，函数单一增， x→ ﹣∞，此时 f （x）→﹣∞，不行能恒有 f（ x）≥ 0．若a＞0，由 f ′（x ）=e x﹣ a=0，得极小值点 x=lna，由f（ lna） =a﹣alna+a﹣b≥0，得 b≤ a（2﹣lna），ab≤ a2（2 lna）．令g（a） =a2（2 lna）．g′（a）=2a（2 lna） a=a（ 3 2lna）=0，得极大点 a= ．而 g（）=．∴ab 的最大是．故：A．二、填空（每 5 分，分 20 分，将答案填在答上）13．在的睁开式中，含 x3的系数84 ．【考点】二式系数的性．【剖析】由二式睁开式的通公式，得出睁开式中含x3的系数是（ 1 x）9的含 x3的系数．求出即可．【解答】解：睁开式中，通公式 T k+1 （）9﹣k? ，= ? 1 x令k=0，得 ?（1 x）9=（1 x）9，又（ 1 x）9=19x+ x2 x3+⋯，所以其睁开式中含x3的系数= 84．故答案： 84．14．在公元前 3 世，古希腊欧几里得在《几何本来》里提出：“球的体（ V ）与它的直径（ D）的立方成正比”，此即 V=kD 3，欧几里得未出 k 的 .17 世日本数学家求球的体的方法不认识，他将体公式V=kD 3中的常数 k 称“立率”或“玉率”．似地，于等柱（截面是正方形的柱）、正方体也可利用公式V=kD 3求体（在等柱中， D 表示底面的直径；在正方体中， D 表示棱）．假运用此体公式求得球（直径 a）、等柱（底面的直径 a）、正方体（棱a）的“玉率”分 k1，k2，k3，那么 k1：k 2： k 3= ： ：1 ．【考点】 类比推理．【剖析】 依据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力即可得出．V 1333 ，∴ k 1【解答】 解：∵ = πR πa=（ ） == ，223，∴ k 2=，∵ V 2=a πR =a π（ ） = a∵ V 3=a 3，∴ k 3=1，∴ k 1：k 2：k 3= ： ：1，故答案为：15．由拘束条件 ，确立的可行域 D 能被半径为 的圆面完整覆盖，则实数 k 的取值范围是 ．【考点】 简单线性规划．【剖析】先画出由拘束条件确立的可行域 D ，由可行域能被圆覆盖获得可行域是关闭的，判断出直线 y=kx 1 斜率小于等于 即可得出 k 的范围．+【解答】 解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是关闭的，作出拘束条件的可行域：可得 B （0，1），C （1，0）， | BC| = ，联合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只要直线 y=kx +1 与直线 y=﹣3x+3 的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰幸亏圆上，此时k= ，则实数 k 的取值范围是：．故答案为： ．16．如图，已知 O 为△ ABC 的重心，∠ BOC=90°，若 4BC2=AB?AC ，则 A 的大小为．【考点】相像三角形的性质．【剖析】利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解： cosA=，连结AO而且延伸与BC订交于点D．设AD=m ，∠ ADB=α ．则AB 2 α= ﹣2× ×mcos ，AC 2=m2+﹣2m××cos（π﹣α），相加可得： AB 2+AC 2=2m2+．m2=（3OD）2==．∴ AB2+AC 2=5BC2．又 4BC2=AB?AC，∴ cosA=，A∈（0，π）∴ A=，故答案为：．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1n=S1+S n对全部正整数 n 都成立．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 a1＞ 0，λ=100，当 n 为什么值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的乞降．【剖析】（1）利用递推关系即可得出．（ 2）利用对数的运算性质、等差数列的通项公式与单一性即可得出．【解答】解：（ 1）令 n=1，得，由于a1≠0，所以，当 n≥ 2 时，，，两式相减得2a n﹣2a n﹣1=a n（n≥2），所以 a n=2a n﹣1（n≥2），进而数列 { a n} 为等比数列，所以．（2）当a1＞0，λ=100时，由（1）知，，所以数列 { b n} 是单调递减的等差数列，公差为﹣ lg2 ，所以，当 n≥7 时，，所以数列的前6项和最大．18．某同学在研究性学习中，采集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据以下表所示：月份 x 1 2 3 4 5y（万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出 y 对于 x 的线性回归方程 = + ，依据表中数据已经正确计算出 =0.6，试求出的值，并预计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数；（ 2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊5 盒，小红同学从中随机购置了 3 盒甲胶囊，后经认识发现该制药厂今年二月份生产的全部甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购置的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的散布列和数学希望．【考点】失散型随机变量及其散布列；线性回归方程；失散型随机变量的希望与方差．【剖析】（1）由线性回归方程过点（，），得 = ﹣，而，易求，且 =0.6，进而可得的值，把 x=6 代入回归方程可得 6 月份生产的甲胶囊产量数；（ 2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式可得 P（ξ=0）、P（ξ=1）、P （ξ=2）、 P（ξ=3），进而可得ξ的散布列，由希望公式可求ξ的希望；【解答】解：（1） = =3，（4 4 5 6 6） =5，+ + + +因线性回归方程= x+ 过点（，），∴= ﹣ =5﹣ 0.6×3=3.2，∴ 6 月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6× 6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ =0） = =，P（ξ =1）==，P（ξ =2） ==，P（ξ =3）==，其散布列为ξ012 3P所以 Eξ==．19．已知多面体 ABCDEF 以下图，此中 ABCD 为矩形，△ DAE 为等腰等腰三角形，DA ⊥AE ，四边形 AEFB 为梯形，且 AE∥ BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2 ．（1）若 G 为线段 DF 的中点，求证： EG∥平面 ABCD ；（2）线段 DF 上能否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的地点；若不存在，请说明原因．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判断．【剖析】（1）以 B 为原点， BA ，BF，BC 分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，成立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 ABCD 的一个法向量，通过，推出，即可证明EG∥平面ABCD ．（ 2）当点 N 与点由以下：直线BN 所成角的正弦值为D 重合时，直线 BN 与平面 FCD 所成角的余弦值等于．理与平面 FCD 所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD ，求出平面 FCD 的法向量，设线段 FD 上存在一点 N，使得直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于，设，经过向量的数目积，转变求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN 与平面 FCD 所成角的余弦值为．【解答】解：（1）证明：由于 DA ⊥AE ，DA ⊥AB ，AB ∩AE=A ，故 DA ⊥平面ABFE ，故CB⊥平面 ABFE ，以 B 为原点， BA ，BF，BC 分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，成立以下图的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（ 2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以向量，所以，易知平面 ABCD，所以的一个法，又 EG?平面ABCD ，所以EG∥平面ABCD ．（ 2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于．理由以下：直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为，即直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值为，由于，设平面FCD 的法向量为，由，得，取y1=1 得平面FCD 的一个法向量假定线段设FD 上存在一点N，使得直线，则BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于，，，所以，2（舍去）所以 9λ﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或所以，线段 DF 上存在一点 N，当 N 点与 D 点重合时，直线BN 与平面 FCD 所成角的余弦值为．20．如图，椭圆 E ： + =1（a ＞b ＞0）左、右极点为 A ， B ，左、右焦点为F 1， F 2 ，| AB | =4，| F 1F 2| =2 ．直线 y=kx +m （ k ＞ 0）交椭圆 E 于 C ， D 两点，与线段 F 1 2、椭圆短轴分别交于 M ， N 两点（ M ，N 不重合），且 CM = DN ．F | | | | （ Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（ Ⅱ）设直线 AD ， BC 的斜率分别为 k 1，k 2，求的取值范围．【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（Ⅰ ）确立 2a=4， 2c=2 ，求出 b ，即可求椭圆 E 的方程；（ Ⅱ ）直线 y=kx m （k ＞0）与椭圆联立，利用韦达定理，联合 | CM = DN ， + | | |求出 m 的范围，再求的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ）由于2a=4，2c=2，所以 a=2， c=，所以 b=1，所以椭圆 E 的方程为；（ Ⅱ）直线 y=kx +m （k ＞0）与椭圆联立，可得（ 4k 2+1）x 2+x8mk +4m 2 ﹣4=0．设 D （x 1， y 1）， C （x 2，y 2），则 x 1+x 2 = ﹣， 1 2，x x =又 M （﹣ ，0）， N （0，m ），由 CM = DN 得 x 1 x 2 M x N ，所以﹣=﹣ ，所以 k=（k ＞0）．|| | | + =x + 所以 x 1 x 2 1 22﹣ 2． + =﹣2m ，x x =2m由于直线 y=kx +m （ k ＞ 0）交椭圆 E 于 C ， D 两点，与线段 F 1F 2、椭圆短轴分别交于 M ， N 两点（ M ，N 不重合），所以﹣≤﹣ 2m ≤ 且 m ≠0，所以（）2=] 2=[=== ，所以 = =﹣ 1﹣∈[ ﹣2 ﹣3，2 ﹣ 3] ．21．设函数 f （x ）= ﹣ax ，e 为自然对数的底数（ Ⅰ）若函数 f （x ）的图象在点 （ e 2，f （ e 2））处的切线方程为 3x 4y ﹣e 2+ =0， 务实数 a ，b 的值；（ Ⅱ）当 b=1 时，若存在 x 1 ，x 2 ∈ e ， e 2 ] ，使 f （x 1）≤ f ′（x 2） a 成立，务实[ + 数 a 的最小值．【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用．【剖析】（I ）﹣ a （x ＞0，且 x ≠1），由题意可得 f ′（e 2）= ﹣ a=， f （ e 2）==﹣，联立解得即可．（ II ）当 b=1 时， f （x ）=，f ′（x ）= ，由 x ∈[ e ，e 2] ，可得 ．由 f （′x ） a==﹣+，可得 f （′x ） a max+[ + ] = ，x ∈[ e ，e 2] ．存在 x 1， x 2∈[ e ，e 2] ，使 f （x 1）≤ f ′（x 2）+a 成立 ? x ∈ [ e ，e 2] ，f （x ）min ≤ f （x ）max +a= ，对 a 分类议论解出即可．【解答】 解：（I ）﹣a （x ＞0，且 x ≠ 1），∵函数 f （x ）的图象在点（ e 2，f （e 2））处的切线方程为 3x+4y ﹣e 2=0，∴ f （′ e 2）= ﹣a= ， f （e 2） = =﹣，联立解得 a=b=1．（ II ）当 b=1 时， f （x ）= ， f ′（ x ） =，∵ x ∈ [ e ，e 2] ，∴ lnx ∈[ 1，2] ， ．∴ f ′（ x ） +a==﹣+，∴ [ f ′（x ） a 2 ． + ] max = ， x ∈ [ e ，e ]存在 x 1，x 2∈[ e ，e 2] ，使 f （ x 1）≤ f ′（x 2） +a 成立 ? x ∈[ e ，e 2] ，f （ x ） min ≤f（ x ） max +a= ，①当 a时， f ′（ x ）≤ 0 ， f （ x ）在x ∈ [ e ， e 2] 上为减函数，则f （ x ）min =，解得 a ≥．②当 a时，由 f （′x ）=﹣ a 在 [ e ，e 2] 上的值域为．（ i ）当﹣ a ≥ 0 即 a ≤0 时， f ′（x ）≥ 0 在 x ∈[ e ，e 2] 上恒成立，所以 f （x ）在 x ∈ [ e ，e 2] 上为增函数，∴ f （x ）min =f （e ）=，不合题意，舍去．（ ii ）当﹣ a ＜0 时，即时，由 f ′（x ）的单一性和值域可知：存在独一x 0∈（ e ，e 2 ），使得 f ′（x 0）=0，且知足当 x ∈[ e ，x 0），f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数；当 x ∈时，f （′x ）＞ 0， f （x ）为增函数．∴ f （x ）min =f （x 0） =﹣ax 0，x 0∈（ e ，e 2）．∴ a ≥ ，与 矛盾．（或结构函数即可）．综上可得： a 的最小值为．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在平面直角坐标系 xOy 中，斜率为 1 的直线 l 过定点（﹣ 2，﹣ 4）．以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴成立极坐标系．已知曲线 2C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ =0．（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的参数方程；（ 2）两曲线订交于 M ，N 两点，若 P （﹣ 2，﹣ 4），求 | PM|+| PN| 的值．【考点】 简单曲线的极坐标方程．【剖析】（ 1）由斜率为 1 的直线l 过定点（﹣ 2，﹣ 4），可得参数方程为：（，22 2t 为参数）．由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ ，即 ρθ=0sin﹣ 4ρcos θ，=0利用互化公式可得直角坐标方程．（ 2）把直线 l 的方程代入抛物线方程可得： t 2﹣12 t+48=0．利用根与系数的关系及其 | PM|+| PN| =| t 1|+| t 2| =| t 1+t 2| 即可得出．【解答】 解：（1）由斜率为 1 的直线 l 过定点（﹣ 2，﹣ 4），可得参数方程为：，（t 为参数）．2 22 θ﹣ 4ρ cos θ，=0可得直角坐由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣4cos θ =0，即 ρsin标方程： C ： y 2=4x ．（ 2）把直线 l 的方程代入抛物线方程可得： t 2﹣ 12t+48=0．t 1 t 2=121 2∴ + ，t t =48．∴ | PM|+| PN= t 1|+| t 2 = t 1 t 2| =12．| | | | +[ 选修4-5：不等式选讲]23 ． 已知 函数f （ x ） =| 2x+1|+|3x ﹣ 2|，且 不等式f （ x ） ≤ 5的解集 为，a，b∈R．（1）求 a，b 的值；（2）对随意实数 x，都有 | x﹣ a|+| x+b| ≥m2﹣3m+5 成立，务实数 m 的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【剖析】（1）经过若，若，若，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b．（2）由（ 1）知 a=1， b=2，求出绝对值的最值，获得m2﹣3m 5≤3，而后求解+实数 m 的最大值．【解答】解：（ 1）若，原不等式可化为﹣2x ﹣ 1﹣ 3x+2≤ 5，解得，即；若，原不等式可化为 2x 1﹣ 3x 2≤ 5，解得 x≥﹣ 2，即；+ +若，原不等式可化为2x+1+3x﹣ 2≤5，解得，即；综上所述，不等式 | 2x+1|+| 3x﹣ 2| ≤5 的解集为，所以 a=1，b=2．（2）由（ 1）知 a=1，b=2，所以 | x﹣ a|+| x+b| =| x ﹣1|+| x+2| ≥ | x ﹣1﹣x ﹣2| =3，故 m2﹣ 3m+5≤3，m2﹣ 3m+2≤0，所以 1≤m≤2，即实数 m 的最大值为 2．2017 年 5 月 7 日。
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I)理数答案
{xlx>2}，所以M二N．故选A.
2. C【解析】z=(2＋沪 ＝ 3+4i，所以 z的虚部为4．故
选 C.
3． 4．
D C 【解析】D选项中，留北京人数不到 一半．故选D.
【解析】由题意知圆心(Z,1)在直线 ax+by — l = O
以＼ m— n
=
— 23 ．故选B.
10. D【解析】如图，
上，则
2a +b=
l．又因为a
>O,b>O， 所 以
— a2.+
— 1 = b
(f 分）（2a +b) ＝ 了＋亨＋5?9，当且仅当 a =
B 二c A,B,C,D 四点最多可确定AB,AC,AD,BC,BD, CD共6条边．由题意知恰有 3条边且无孤立点，所以
1
21
b ＝ 了时取等号，所以（丁十了）皿n=9．故选C.
6. D【解析】A选项中，a 1= Z,q= 3 满足 {a n )单调递 增，故 A错误；B选项中，a1 =—l,q=2，满足{a n}单调
递减， 故 B 错 误； C 选 项 中，若a 1 = 1, q =—21 ， 则
C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏 半年比冬半年多几天．故选 A. 1 2. A【解析】如图，由题意知，P和Q分别为三棱锥 B1-A1BC1 和三棱锥A1 -AB1队．设平面A1BC1 与平 面AB1D1 的交线为EF，则M为四面体A1B1EF取 A1B1 的中点 O，连接EO，可得EO上平面A1B1F,
= — sin ( x —
习 re) 亢
sin(x
—
穴
了
5rc =sin(x勹），所以向右平移
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学试卷
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。
1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2020河北省衡水中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、单选题1．（3分）设复数z满足|z﹣1|＝1，则z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝12．（3分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）等差数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．0B．9C．12D．184．（3分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）已知函数的两个零点分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1，x1+x2＞﹣1C．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣2D．x1＜﹣2，x1+x2＞﹣16．（3分）抛物线方程为x2＝4y，动点P的坐标为（1，t），若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．﹣27．（3分）已知函数，则下述结论中错误的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在上单调递增C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是D．若f（x）图象关于对称，且在单调，则ω的最大值为98．（3分）某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（）A．6.25%B．7.5%C．10.25%D．31.25%9．（3分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g （x）为奇函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．10．（3分）一个由两个圆柱组合而成的的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1．如图2放置容器，液面以上空余部分的高为h2．则＝（）A．B．C．D．11．（3分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且•（＝0（O为坐标原点），cos∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．12．（3分）设函数f（x）＝﹣t（lnx+x+）恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（，+∞）C．（，）∪（，+∞）D．（﹣∞，]∪（，+∞）二、填空题13．（3分）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大．14．（3分）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为4的菱形，∠ABC＝60°，AA1＝4，过点B与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M，则三棱锥A﹣MBD的外接球的表面积为．15．（3分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，a4﹣a2＝6，且a1，a3，a8成等比数列，则＝．16．（3分）根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB＝4，D为“弦”BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则＝．三、解答题17．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，b sin B+a sin C＝a sin A+c sin C．（1）求角B；（2）若c＝1，△ABC的面积为，求C．18．已知椭圆的短半轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A在第一象限，AE⊥x轴，垂足为E，连接BE并延长交椭圆于点D，证明：△ABD是直角三角形．19．如图1，在等腰梯形ABF1F2中，两腰AF2＝BF1＝2，底边AB＝6，F1F2＝4，D，C是AB的三等分点，E是F1F2的中点．分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使F1，F2重合于点F，得到如图2所示的几何体．在图2中，M，N分别为CD，EF的中点．（1）证明：MN⊥平面ABCD．（2）求直线CN与平面ABF所成角的正弦值．20．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下：AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望．21．已知函数（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性（Ⅱ）当a＝1时，，对任意x∈（0，+∞），都有F（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为（1，2），求直线l的斜率．23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|，（实数a＞0）．（1）当a＝1，求不等式f（x）＞3的解集；（2）求证：f（x）≥2．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD ＝1，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：P A∥平面EDB；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求P A与面ABCD所成角的正弦值．25．设函数f（x）＝x﹣，g（x）＝tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（l）若f（x）的图象总在函数g（x）的图象的下方，求实数t的取值范围；（2）设H（x）＝（lnx﹣x2+1）e x+（x2﹣l）（l﹣），证明：对任意x∈（0，1），都有H （x）＞0．参考答案一、单选题1．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z﹣1|＝1，得|（x﹣1）+yi|＝1．∴（x﹣1）2+y2＝1．故选：B．2．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为＝50；∴P（A）＝．故选：B．3．【解答】解：∵等差数列{a n}：x，3x+3，6x+6，…，∴2（3x+3）＝x+6x+6，解得x＝0．∴此数列的首项a1＝0，公差d＝3．∴a4＝0+3×（4﹣1）＝9．故选：B．4．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．5．【解答】解：函数的两个零点分别为x1，x2（x1＜x2）；即有两个实根；设函数，并作出其图象；根据图象有：﹣2＜x1＜﹣1，﹣1＜x2；所以，即；则＞2 ＝2 ；所以x1+x2＞﹣2；故选：A．6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），两点代入抛物线的方程：，两式相减可得＝，而由题意可得x1+x2＝2×1＝2，所以直线的斜率k＝＝＝＝，故选：A．7．【解答】解：∵∈[0，2π]，∴．类比函数y＝sin x可得，要使f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，必有4π≤，所以．所以选项C正确；此时，f（x）在第1个零点与第2个零点之间有一个极小值点，在第3个零点与第4个零点之间有一个极小值点，故f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点，故选项A正确；∵，∴；∵．故取ω＝2，此时．时函数不是单调函数，所以选项B错误；∵f（x）图象关于对称，且在单调，∴⇒ω＝4k+1.0＜ω≤12．ω＝11时，﹣φ＝kπ，可得φ＝﹣在不单调，ω＝9时，﹣φ＝kπ，φ＝，在单调，故的最大值为9．故选项D正确．故选：B．8．【解答】解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100＝800（万元），共中水费支出250（万元），∴去年的水费开支占总开支的百分比为：＝6.25%．故选：A．9．【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到y＝sin（x+），再将所得到的图象向右平移m（m＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象由，即g（x）＝sin[（x﹣m）+]＝sin（x+﹣），因为g（x）是奇函数，所以﹣＝kπ，k∈Z．解得m＝﹣2kπ．因为m＞0，所以当k＝0时，m的最小值为．故选：D．10．【解答】解：在图1中，液面以上空余部分的体积为：，在图2中，液面以上空余部分的体积为：，∵＝，∴＝．故选：B．11．【解答】解：如图，取PF1的中点为M，则＝（+），由•（＝0，得•＝0，即⊥．因为OM为△PF1P2的中位线，所以⊥．由cos∠PF2F1＝，设|PF2|＝12，则|F2F1|＝13，|PF1|＝5，所以2a＝|PF2|﹣|PF1|＝7，2c＝|F2F1|＝13，得C的离心率为＝．故选：D．12．【解答】解：函数f（x）＝﹣t（lnx+x+），x∈（0，+∞），∴f'（x）＝＝＝，∵函数f（x）＝﹣t（lnx+x+）恰有两个极值点，∴方程f'（x）＝0恰有两个正根，显然x＝1时方程f'（x）＝0的一个正根，∴方程e x﹣t（x+2）＝0 有唯一正根，即方程有唯一正根，等价于函数g（x）＝与函数y＝t在（0，+∞）上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，∵g'（x）＝＝＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵g（0）＝，g（1）＝，函数g（x）的图象如图所示：，∴t＞且t，故选：C．二、填空题13．【解答】解：设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p（A）＝0.5，p（B）＝0.3，p（C）＝0.2，p（D|A）＝0.95，p（D|B）＝0.90，p（D|C）＝0.85，则p（D）＝p（D|A）p（A）+p（D|B）p（B）+p（D|C）p（C）＝0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2＝0.915，故答案为：0.91514．【解答】解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系．O（0，0，0），B（2，0，0），D（﹣2，0，0），A（0，﹣2，0），C1（0，2，4），设M（0，﹣2，t），＝（﹣2，﹣2，t），＝（0，4，4），∵⊥，∴•＝﹣8+4t＝0，解得t＝2．∴|AM|＝2．∵CB＝CA＝CD，∴△ABD的外接圆的圆心为点C，则三棱锥A﹣MBD的外接球的球心G在直线CC1上．线段AM的垂直平分面与CC1的交点为球心G（0，2，1）．R＝|GM|＝＝．∴三棱锥A﹣MBD的外接球的表面积＝4πR2＝68π．故答案为：68π．15．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a4﹣a2＝6，可得2d＝6，即d＝3，又a1，a3，a8成等比数列，可得a32＝a1a8，即（a1+2d）2＝a1（a1+7d），即为（a1+6）2＝a1（a1+21），解得a1＝4，从而a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1，故＝＝，故答案为：．16．【解答】解：如图，根据题意知，△ABC，△ABD都为直角三角形，则：5•AD＝3•4，∴AD＝，且∠DAB＝∠ACB，且AB＝4，AC＝3，∴＝•＝||×||×cos∠DAB＝4××cos∠ACB＝4××＝．故答案为：三、解答题17．【解答】解：（1）由b sin B+a sin C＝a sin A+c sin C及正弦定理可得b2+ac＝a2+c2，由余弦定理可得，又因为B∈（0，π），所以．（2）因为，所以a＝1．又因为，所以△ABC是等边三角形，所以．18．【解答】解：（1）依题意可得，所以，解得a＝2，所以椭圆的方程是；（2）法一：设A（x1，y1），D（x D，y D），则B（﹣x1，﹣y1），E（x1，0），直线BE的方程为，与联立得，因为x D，﹣x1是方程的两个解，所以，又因为，所以，代入直线方程得，∴，所以AB⊥AD，即△ABD是直角三角形；（2）法二：设B（x1，y1），D（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），E（﹣x1，0）设直线BD的方程为y＝kx+m，与联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，∴，，，，所以k AB•k AD＝﹣1，所以AB⊥AD，即△ABD是直角三角形；（2）法三：设B（x1，y1），D（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），E（﹣x1，0）设，则，∴，因为B（x1，y1），D（x2，y2）在椭圆上，满足椭圆方程，所以，所以，所以k AB•k AD＝﹣1，所以AB⊥AD，即△ABD是直角三角形．19．【解答】（1）证明：连接CF，DN，由图1知，四边形BCEF为菱形，且∠CEF＝60°，所以△CEF是正三角形，从而CN⊥EF．同理可证，DN⊥EF，所以EF⊥平面CDN．又EF∥BC，所以BC⊥平面CDN，因为BC⊂平面ABCD，所以平面CDN⊥平面ABCD．易知CN＝DN，且M为CD的中点，所以MN⊥CD，所以MN⊥平面ABCD．（2）解：由（1）可知CN＝，MN＝，且四边形ABCD为正方形．设AB的中点为G，以M为原点，以MG，MC，MN所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz，则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），N（0，0，），F（1，0，），所以，，．设平面ABF的法向量为，由．取．设直线CN与平面ABF所成的角为θ，所以sinθ＝＝．，所以直线CN与平面ABF所成角的正弦值为．20．【解答】解：（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则P（ξ≥2）＝P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝+＝．（2）任选一天，设该天的经济损失为X元，则X的可能取值为0，220，1480，P（X＝0）＝P（0＜X≤100）＝＝，P（X＝220）＝P（100＜X≤250）＝＝，P（X＝1480）＝P（250＜X≤300）＝＝，∴E（X）＝＝302（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为30EX＝9060（元）．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣﹣+a＝，当a＜0时，ax﹣e x＜0，∴当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，（Ⅱ）由F（x）≥1恒成立可得，xe x﹣lnx+（1﹣b）x≥1恒成立，即b﹣1≤e x﹣﹣，设g（x）＝e x﹣﹣，∴g′（x）＝，再设h（x）＝x2e x+lnx，∴h′（x）＝（x2+2x）e x+，∴当x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝e＞0，h（）＝﹣ln2＜0，∴函数h（x）有唯一的零点x0，且＜x0＜1，当x∈（0，x0），h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞），h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x0）是g（x）在定义域的最小值，∴b﹣1≤﹣﹣，∵h（x0）＝0可得x0e＝﹣，＜x0＜1，（*）令k（x）＝xe x，＜x＜1，方程（*）等价于k（x）＝k（﹣lnx），＜x＜1，而k（x）＝k（﹣lnx）等价于x＝﹣lnx，＜x＜1，设函数m（x）＝x+lnx，＜x＜1，易知函数m（x）单调递增，又m（）＝﹣ln2＜0，m（1）＝1＞0，故x0是函数的唯一零点，∴lnx0＝x0，＝，故函数g（x）的最小值为g（x0）＝1，故实数b的取值范围是（﹣∞，2]．22．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．转换为直角坐标方程为y﹣2＝tanα（x﹣1）．曲线C的极坐标方程为ρ＝．转换为直角坐标方程为4x2+y2＝16，整理得．（2）把直线的参数方程代入4x2+y2＝16，得到：4（1+t cosθ）2+（2+t sinθ）2＝16，整理得（3cos2θ+1）t2+（4sinθ+8cosθ）t﹣8＝0，所以由于曲线C截直线l所得线段的中点的直角坐标为（1，2），所以，即：4sinθ+8cosθ＝0，解得k＝tanθ＝﹣2．23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，因为f（x）＞3，当x≥1时，可得x﹣1+x+1＞3，∴；当﹣1＜x＜1时，可得﹣x+1+x+1＞3，∴2＜3不成立；当x≤﹣1时，可得﹣x+1﹣x﹣1＞3，∴；综上所述，原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立，又，当且仅当a＝1的时等号成立，∴f（x）≥2．24．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于G，则G是AC的中点，连接EG，则EG是△P AC的中位线，所以P A∥EG，又因为P A⊄面EDB，EG⊂面EDB，所以P A∥平面EDB；（2）法一：如图以D为原点，方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，则A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），，，设，则F（at，t，1﹣t），，又EF⊥PB，即，解得……①设是平面DEF的一个法向量，则，即，方程的一组解为，显然是面ABCD的一个法向量，依题意有，得，结合①式得，因为PD⊥底面ABCD，所以∠P AD是P A与面ABCD所成的角，．25．【解答】解：（1）依题意，在（0，1）上恒成立，，①当△＝t2﹣4≤0，即0＜t≤2时，F′（x）≥0，函数F（x）在（0，1）上单调递增，则F（x）＜F（1）＝0，满足题意；②当t2﹣4＞0，即t＞2时，设φ（x）＝x2﹣tx+1，0＜x＜1，则φ（x）的对称轴为，φ（0）＝1，φ（1）＝2﹣t＜0，∴φ（x）在（0，1）上存在唯一零点x1，当x∈（x1，1）时，φ（x）＜0，F′（x）＜0，∴F（x）在（x1，1）上单调递减，故F（x）＞F（1）＝0，不合题意．综上，实数t的取值范围为（0，2]；（2）证明：由题意可得，因为当x∈（0，1）时，xe x﹣x+1＞0，lnx＜0，∴要证H（x）＞0，即证，即证，由常见不等式可知，e x＞x+1在（0，1）上恒成立，∴xe x﹣x+1＞x（x+1）﹣x+1＝x2+1，从而，由（1）知，当t＝2时，在（0，1）上恒成立，整理得，令，则，故m（x）在（0，1）单调递增，∴，即m（x）＜2在（0，1）上恒成立．综上可得，对任意x∈（0，1），都有H（x）＞0．。
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =（ ）A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B ．2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =（ ） A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】 化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选：A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。