中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》
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《平面向量的坐标表示》中职数学(基础模块)下册7.2【高教版】2
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2、不要看书，要看老师的眼睛
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只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
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认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
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有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
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但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
解 因为
a＝可O以M看到＋，M从A原＝5i＋3j ，
点出发的向量，其坐
所标以在数值上与a向量(终5,
3)，
点的坐标是相同的．
同理可得 b (4,3).
图7－19
例2 已知点 P(2, 1)，Q(3,2) ，求 PQ，QP 的坐标．
解 PQ (3, 2) (2, 1) (1,3), QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
(3) 3 a－2 a＝3 (1, −2)－2 (−2,3)＝(3,−6)－(−4,6)＝(7, −12)．
运用知识 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
《平面向量的坐标表示》 讲义
《平面向量的坐标表示》讲义一、平面向量的基本概念在数学的世界里，平面向量是一个非常重要的概念。
我们先来了解一下什么是平面向量。
简单来说，平面向量是既有大小又有方向的量。
比如，一个力，它不仅有大小（比如 10 牛顿），还有方向（比如水平向右），这就是一个平面向量。
为了方便研究和计算，我们通常用有向线段来表示平面向量。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
二、平面向量的坐标表示接下来，咱们重点讲讲平面向量的坐标表示。
想象在一个平面直角坐标系中，有一个向量。
我们以这个平面直角坐标系的原点为起点，向量的终点坐标就可以用来表示这个向量。
比如说，有一个向量的终点坐标是（3, 4)，那么这个向量就可以用坐标（3, 4) 来表示。
那为什么要用坐标来表示向量呢？这是因为坐标表示能够让我们更方便地进行向量的运算和研究。
三、平面向量坐标表示的计算既然知道了平面向量可以用坐标表示，那怎么计算呢？假设我们有两个向量，向量 a 的坐标是（x1, y1)，向量 b 的坐标是（x2, y2)。
（一）加法运算它们的和，也就是向量 a ＋向量 b 的坐标就是（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2)。
比如说，向量 a 是（1, 2)，向量 b 是（3, 4)，那么 a ＋ b 就是（1＋ 3, 2 ＋ 4) ＝（4, 6) 。
（二）减法运算向量 a 向量 b 的坐标就是（x1 x2, y1 y2)。
例如，向量 a 是（5, 6)，向量 b 是（2, 3)，那么 a b 就是（5 2, 6 3) ＝（3, 3) 。
（三）数乘运算如果有一个实数 k 乘以向量 a ，那么得到的新向量的坐标就是（kx1, ky1) 。
比如，向量 a 是（2, 3)，k ＝ 2，那么 k a 就是（2 2, 2 3) ＝（4,6) 。
四、平面向量坐标表示的应用平面向量的坐标表示在很多方面都有应用。
（一）解决几何问题比如证明平行四边形、判断三角形的形状等。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。
一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。
位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。
当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。
当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。
当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。
当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。
二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。
方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。
通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。
三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。
首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。
四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。
2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。
3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。
五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
高教版中职数学(基础模块)下册7.2《平面向量的坐标表示》ppt课件1
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
最新中小学教学课件
22
thank
you!
2019/7/31
最新中小学教学课件
23
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设a (x1, y1),b (x2, y2 ),
(1) a＝(2,3)， b＝(13,
)；
2
(2) a＝(1, −1) ， b＝(−2,2)；
(3) a＝(2, 1) ， b＝(−1,2)．
略．
自我反思 目标检测
1 向量坐标的概念？
2 量任为一i意般, 地y起轴，点的设单的平位面向向直量量角为的坐j标，坐系则标中对表，于x从示轴原的？点单出位发向的
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点M (x, y) OM， 则xi + yj（如图7－18(1)）； (2) 设点 A(x1, y1)，B(x2, y2 ) （如图 7－18(2)），则
AB OB OA (x2i + y2 j) (x1i + y1 j) (x2 x1)i ( y2 y1) j．
• 一、听理科课重在理解基本概念和规律
• 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解， 同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
《平面向量的坐标表示》中职数学(基础模块)下册7.2【高教版】3
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式.
3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方
向相同的单位向量 i , j作为基本单位向量，任作一 向量a，由前分析可知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
1 、把 a=x i+y j 称为向量的正交分解. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
2019/8/10
教学资料精选
18
谢谢欣赏！
2019/8/10
教学资料精选
19
4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
六、作业
习题5.4第3、4、 7、8题.
完成《三维设计》
那么是否任意向量也能表示为一个 水平方向向量和一个竖直方向向量 之和呢
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核心要点研究
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例1 [2013·南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分
别是边CD和BC的中点．若
→ AC
＝λ
→ AE
＋μ
→ AF
，其中λ，μ∈
R，则λ＋μ＝________.
.
[解析] A→C＝A→B＋A→D， A→E＝12A→B＋A→D， A→F＝A→B＋12A→D，
于是得λ12＋λ＋12μμ＝ ＝11， ，
→ OA
＝a， O→B ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹
角，当θ＝________或________时，两向量共线，当θ＝
________时，两向量垂直．
.
• (2)平面向量的正交分解
• 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解．
• (3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i， j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面 内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与 数对(x，y)是一一对应的，因此把________叫 做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a 在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共
线的充要条件是λ＋μ＝1.
3. 平面的基底中一定不含零向量.
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课前自主导学
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• 1. 平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使________．其中不共线的 向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
• 2. 利用已知向量表示未知向量，实质就是利 用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算．
.
[变式探究] [2013·金版原创]如图，在△ABC中，已知 AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中 点，若A→M＝λA→B＋μB→C，则λ＋μ＝________.
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
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• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
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• 1. 了解平面向量基本定理及其意义． • 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示． • 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数
乘运算． • 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
.
• 1个重要区别 • 向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后， 2项其必起须防点范和终点的坐标都变了，但向量的坐 1. 标不变若．a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或
• [审题视点] 根据题意可设出点C、D的坐标， 然后利用已知的两个关系式，得到方程组， 求出坐标．
.
[解] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 得A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)， D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A＝(－3，－6)． 因为A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
.
3. (x1±x2，y1±y2) (x2－x1，y2－y1) (λx，λy) x1y2－
x2y1＝0
填一填：(1)(－1，－1)
提示：
→ BC
＝
→ BA
＋ A→C ＝(－1，
－1)．
(2)(1,2) (3)2 提示：∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∴(λ＋2)(－7)＝
(2λ＋3)(－4)，∴λ＝2.
.
(1)在△ABC中，D为BC边中点，设
→ AB
＝a，
→ AC
＝b，则
用基底a，b表示A→D应为________．
(2)设e1，e2表示平面内向量的基底，则a＝e1＋λe2与b＝
－e1＋2e2共线的条件是λ＝________.
.
• 2. 平面向量的坐标表示
(1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作
.
• (4)规定： • ①相等的向量坐标________，坐标________
的向量是相等的向量； • ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始
点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关系．
.
在正△ABC中，向量A→B与B→C的夹角为60°，对吗？
.
已知
→ AB
＝(3,4)，A(－2，－1)，则B点的坐标是
.
(1)若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，则B→C＝________. (2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则3a＋b＝ ________. (3)向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量(－4， －7)共线，则λ＝________.
.
1. a＝λ1e1＋λ2e2 填一填：(1)12(a＋b) (2)－2 2. 0° 180° 90° (x，y) 相同 相同 想一想：提示：不对，向量A→B与B→C的夹角为120°. 填一填：(1,3)
180°，忽视其中一种情形会出错． 2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示
为xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
.
3条必会结论
1. 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2.
已知
→ OA
＝λ
→ OB
＋μ
→ OC
[答案]
4 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所以λ＋μ＝43.
.
奇思妙想：在△ABC中，M为BC上任意一点，N为AM 的中点，A→N＝λA→B＋μA→C，求λ＋μ的值．
解：A→M＝2A→N＝2(λA→B＋μA→C) ＝2λA→B＋2μA→C， ∵M、B、C共线， ∴2λ＋2μ＝1，∴λ＋μ＝12.
.
• 1．以平面内任意两个非零不共线的向量为一 组基底，该平面内的任意一个向量都可表示 成这组基底的线性组合，基底不同，表示也 不同．
________．
3. 平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝____________；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝____________；
.
• (3)若a＝(x，y)，则λa＝________； • (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， • 则a∥b⇔____________.
答案：23
.
解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°， 所以BH＝1，M为AH的中点， 所以A→M＝12A→H＝12(A→B＋B→H) ＝12(A→B＋13B→C) ＝12A→B＋16B→C，所以λ＋μ＝23.
.
例2 [2013·赤峰调研]已知点A(－1,2)，B(2,8)以及A→C＝ 13A→B，D→A＝－13B→A，求点C、D的坐标和C→D的坐标．