全国高中数学青年教师展评课一等奖作品：函数的单调性教学设计(长春市实验中学刘冰)

《函数的单调性》教学设计长春市实验中学刘冰一、教学内容解析本节内容是人教A版必修一教材第一章第三节内容，是一节概念性知识，属于函数的基本性质．本节内容是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分的运用，另一方面，函数的单调性与前一节函数的概念和图像的知识的延续有着密切的联系，函数的单调性与后面的奇偶性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等其他函数的基础．学生在观察函数图像时，首先注意到的是图像的上升或下降，但是由图像直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以论证．教学中充分利用函数图像，让学生观察图像获得函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合思想，也为下一步学习函数其他性质提供了方法依据．由此确定本节课的教学重点为：重点：函数单调性的概念、判断和证明．研究函数性质时的“三步曲”是：第一步，观察图像，描述函数图像特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质．本节课特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程，并引导学生用数学语言表达出来，正是形成数学概念，培养学生探究能力的契机．由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，教学中充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．二、教学目标设置根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标：知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．三、学生学情分析本节课的教学对象是长春市实验中学高一年级的学生．1.学生已有认知基础一是学生通过初中的数学学习，已有研究一次函数、二次函数等初等函数的直接经验，对函数的简单性质有初步的认识；二是前一节已经学习过函数的概念，对函数的图像也有一定的感性认知；三是能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力．2.达成目标所需要的认知基础学生需要对研究目标、方法和途径有初步认识，具备知识整合和主动迁移的能力，从形的直观认识、感性认知到形成抽象的数学概念，具有数形结合的意识和归纳推理的能力．3.难点及突破策略对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．由此确定的难点及突破策略为：难点：（1）函数单调性概念的形成；（2）理解自变量在区间[a，b]上的“任意”取值的意义．突破策略：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程．四、教学策略设计根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——函数单调性的判断和证明，教学中采用直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的教学过程，先通过讨论具体函数图像的上升或下降直观描述发现问题，再把具体的、直观形象的单调性特征抽象出来，用数学符号语言描述．本节课的难点之一是单调性概念的得出．教学中采用教师启发引导，学生自主、合作、探究的教学方法，以及多媒体直观教学的恰当应用，使学生从感性认识上升到理性认识，从“形”的直观到“数”的推理，从“无限”验证转化为“有限”证明，使学生对单调性概念的理解水到渠成，逐层深入，步步升华．本节课的另一个难点是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的实数21x x ，．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生通过对图像的观察、分析，自主形成认识；二是通过小组研讨的方式让学生进行合作探究，加深对概念中“任意”含义的理解．五、教学过程设计【教学过程】一、创设情境，明确目标生活中的实例：情境一：我市某日24小时内的气温变化图．情境二：艾宾浩斯记忆遗忘曲线这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持两逐渐减小，第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢，这一规律提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆．生活中很多与数据相关的问题：比如燃油价格， 股票行情，水位高低等等，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助．而这些数据的变化，用函数的观点看，其实就是随着自变量变化时，函数值的变化规律．【学生活动】感受生活中的数学，体会了解函数的变化规律有助于把握事物的变化规律．【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．二、自主学习，启发引导概念生成——“形”的直观感知问题：函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律．在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质．观察下图中各个函数的图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？【学生活动】从个人观察的角度，描述图像反映的函数的变化规律．【教师活动】肯定学生多角度发现函数变化规律，并纠正学生语言表述的准确性．提出函数的性质有很多，引出本节课要研究的是随着自变量不断增大，函数值是增大还是减小这个特征．【学生活动】观察函数2+=x y ，2+-=x y ，2x y =，x y 1=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？【教师活动】引导学生读图分析，直观感知单调性这一性质．【设计意图】函数的变化规律反映了函数的性质，研究函数的变化规律使我们更能够把握相应事物的变化规律，引出研究函数性质的实际意义．培养学生读图和分析总结规律的能力． 得出描述性定义：函数单调性的描述性．．．定义：设函数的定义域为I ，区间I D ⊆，在区间D 上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D 上是增函数，区间D 称为函数的单调增区间；在区间D 上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D 上是减函数，区间D 称为函数的单调减区间．【学生活动】学生完成对函数单调性的直观认识．．．．．根据单调性的定义，完成教材29页例1: 定义在区间[]5,5-上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．【教师活动】引导学生理解函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．并提出图像解决问题不够精确严谨，还要有数量上的准确刻画．【设计意图】从“形”的角度直观理解函数单调性的意义，并铺垫单调性是一个区间概念．三、合作探究，互助研讨概念生成——“数”的抽象刻画探究一：根据函数的定义，对于自变量x 的每一个确定的值，变量y 有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调递增（或单调递减）时，相应的，自变量的值．．．．．与对应的函数值．．．．．．的变化规律．．．．是怎样的？（几何画板演示） 【设计意图】从“形”到“数”的转化，从图像的直观认识，到变量的数值增减理解，形象的“上升”和“下降”的规律对应到函数在变量值上的变化规律．概念生成——单调性的严格定义探究二：函数)(x f 在区间),(b a 上有无数个自变量x ，满足当b x x a <<<< 21时，有)()()()(21b f x f x f a f <<<< ，那么)(x f 在区间),(b a 上一定单调递增吗？说明理由（可举例或画图）【设计意图】自变量不能被穷举的情况下，引导学生在给定区间内任意取两个自变量1x ，2x ，体会无限向有限的转化思想．探究三：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为增函数？ 【设计意图】通过讨论，学生发现结合解析式进行严密化、精确化的研究的方法．在区间[)0,+∞上，任取两个12,x x ,得到221122(),()f x x f x x ==,当12x x <时，有12()()f x f x <则说明函数2()f x x =在[)0,+∞为增函数． 【学生活动】通过先自主再合作，小组互助研讨解决探究问题，并展示自己的观点．【教师活动】提出问题，放手学生解决，巡视、适当点拨．【设计意图】从“数”的角度深入严谨理解函数单调性的意义，培养学生思考的习惯和探究问题的能力，通过合作学习互促提升，突破难点．通过上述探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．板书定义: 一般地，设函数)(x f 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x ，,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x ，,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数．判断与证明单调性判断以下说法是否正确？（1）已知x x f 1)(=，由于)1()2(f f <-，所以函数)(x f 是增函数 （2）若函数)(x f 满足)2()1(f f <，则函数)(x f 在区间]2,1[上是增函数．（3）若函数)(x f 在区间(]2,1和)3,2(上均为增函数，则函数)(x f 在区间(1,3)上为增函数．（4）因为函数x x f 1)(=在区间)0,(-∞和),0(+∞上都是减函数，所以x x f 1)(=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数.【学生活动】先自主思考，再小组交流，得出结论．【教师活动】纠正学生语言的准确性，给出合理评价．【设计意图】1.从特殊到一般，从“形”到“数”，从直观到抽象，提升理解的高度和严谨性，加深理解单调性的严格定义，并培养学生类比、归纳的能力．2.通过概念辨析，强调（1）单调性是对定义域内某个区间而言的，因此谈单调性离不开区间；（2）定义中的“任意”是关键；（3）函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在B A ⋃上是增（或减）函数．四、精心点拨，启发引导1.例题：物理学中的玻意耳定律V k p =（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明之．2.巩固练习：画出反比例函数xx f 1)(=的图象. （1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论.【学生活动】自主完成，展示过程．【教师活动】引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、比较、变形、定号、结论． 投影学生证明过程，进行点拨和要点强调．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．五、归纳小结，整理提高学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、感性到理性、无限到有限．(2) 证明方法和步骤：取值、比较、变形、定号、结论．(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本第39页 习题1.3 A 组第1、2、3题． 课后探究：研究函数xx y 1+=的单调性，并证明你的结论． 板书设计：。