安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学(理)试题
2019-2020下学期高二阶段月考数学(理)试卷 Word版含答案
姓名，年级：时间：数学(理科）试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题5分，共60分） 1、iiz ++=13,则z =( ) A. 1+2i B 。
1−2i C. 2+iD. 2−i2、下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A. ①②③ B. ②①③ C. ②③①D. ③②① 3、不等式的解集是（ ） A. 或B.C 。
或D.4、用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2=0，求证：x =y =0.”时，应假设( )A. x ≠y ≠0B. x =y ≠0 C 。
x ≠0且y ≠0 D. x ≠0或 y ≠05、把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人， 每人1张， 事件A:“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是（ ） A.不可能事件 B.必然事件C 。
对立事件 D.互斥且不对立事件 6、下列函数求导运算正确的个数为( )①,②，③（，且）,④A 。
0个 B.1个 C 。
2个 D.3个 7、不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ． 8、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为'1(2)2x x x -=⋅'(sin 2)cos2x x ='(log )ln x a x a a =0a >1a ≠'1(ln 2)2=2112x x -++>2(,0)(,)3-∞+∞2(,)3+∞2(,1)(,)3-∞-+∞(,0)-∞两个素数(注：素数又叫质数)的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C.115D. 1189、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10、若P =√a +√a +5，Q =√a +2+√a +3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A 。
安徽省涡阳县第一中学2019-2020学年高二数学12月月考试题文[含答案]
![安徽省涡阳县第一中学2019-2020学年高二数学12月月考试题文[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/ffd09aeef242336c1fb95e93.png)
【解析】因为关于
x
的不等式
ax2
5x
c
0
{x
的解集为
|
1 3
x
1 }
2，
11 所以 a 0 ，且 2 ， 3 是方程 ax2 5x c 0 的两个实数根，
则
1 3
1 2
5 a
，
1 3
1 2
c a
a
，上述两式联立解得
c
6 1
．
（2）由（1）知 a 6 ， c 1 ，所以原不等式即 6x2 (6 b)x b 0 ，
A． 18 9
B． 36 27
C． 27 18
D．
x2 y2 1 45 36
x2 y2 1 11．已知双曲线 a2 b2 (a＞0，b＞0)的右焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双
曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是
A． (1, 2]
B． (1, 2)
C． (1, 2)
3Sn 1 33 2 34 (n 1) 3n1 n 3n2 ，
上述两式相减可得 2Sn 32 33 3n1 n 3n2
32 (3n 1) n 3n2 31
1 2n 3n2 9
2
2，
所以
Sn
2n 1 3n2 4
9 4
x2 y2 1 22．（本小题满分 12 分）【答案】（1） 4 2 ；（2）1．
D．
( 2, )
x2 12．已知 F1(c, 0) ， F2 (c, 0) 是椭圆 C : a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右焦点，若椭圆 C 上
存在一点 P 使得 PF1 PF2 c2 ，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为
2019-2020学年安徽省亳州市涡阳县一中高二12月月考数学(文)版[推荐]
![2019-2020学年安徽省亳州市涡阳县一中高二12月月考数学(文)版[推荐]](https://img.taocdn.com/s3/m/a9bb114ffc4ffe473268ab24.png)
4
一. 选择题：
数学（文）参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 C
B
D
D
C
A
B
D
A
A
C
B
二. 填空题：
13. [1,+ ∞ ) 14. 2.5 15.
2 3 16.
4n 1 3
三. 解答题：
17．（本小题满分 10 分）
【解析】（ 1）因为 p 为假命题，所以 p 为真命题．
y2 b2
1 的离心率为 2 ，则双曲线 C 的渐近线方程为
A． y
3 x
3
3
B． y
x
2
C． y
3x
D． y
5x
6．若实数 x ， y 满足约束条件
x 2y 2 0 x y 2 0 ，则 z x y 的最大值为 y2
1
A． 2
B ．1
C
．2
D． 4
7．已知 a ， b A． 2
R ，且 a 2b 2 B． 1
0 ，则 2a
1 4b 的最小值为
C． 1 2
8．已知等比数列 { an } 的各项均为正数， a2
3
，
4a
2 3
a1a7 ，则 a5
3
A．
4
3
B．
8
C
． 12
9．在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 bsin2 A
b 2 2c ，则 c a
A． 13 13
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
2020年安徽省亳州市涡阳县第一中学高三数学理月考试题含解析
2020年安徽省亳州市涡阳县第一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 满足的（）A．存在且有无限个B．存在且只有有限个C．存在且唯一D．不存在参考答案：A2. 如图所示，程序框图的输出值S=（）A．21 B．﹣21 C．15 D．28参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，能够输出S的值．【解答】解：第一次循环：i=1，S=0+12=1，i=1+1=2，第二次循环：i=2，S=1﹣22=﹣3，i=2+1=3，第三次循环：i=3，S=﹣3+32=6，i=3+1=4，第四次循环：i=4，S=6﹣42=﹣10，i=4+1=5．第五次循环：i=5，S=﹣10+52=15，i=5+1=6．第六次循环：i=6，S=15﹣62=﹣21，i=6+1=7．不满足条件i≤6，结束循环，输出S=﹣21．故选：B．3. 设函数则函数的定义域是( )参考答案：B4. 在菱形ABCD中，，现将沿折起，形成三棱锥，当时，记二面角大小为，二面角的大小为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】取BD的中点E，连接,CE，做,,连接GF，可得,，由二面角定义可得与的大小，易得，可得答案.【详解】解：如图，取BD的中点E，连接,CE，做,,连接GF，可得菱形中，，当时，此时为正四面体，EG=GF，当时，EG＞GF，易得：,,可得,,由EG＞GF，可得＜，由对称性可得，可得，故选B.【点睛】本题主要考查二面角的定义与性质，相对简单，由已知得出二面角的表达式时解题的关键.5. 把复数z的共轭复数记作，若（1+i）z=1﹣i，i为虚数单位，则=（）A．i B．﹣i C．1﹣i D．1+i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则先求出z，由此能出复数z的共轭复数．【解答】解：∵复数z的共轭复数记作，（1+i）z=1﹣i，i为虚数单位，∴z====﹣i，∴=i．故选：A．6. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点p在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是A. B. C. D.参考答案：B【知识点】双曲线的标准方程H6因为焦点为，所以，又因为的中点坐标为（0，2），所以，则此双曲线的方程是。
安徽省亳州市2020-2021学年高二12月月考数学(理)试题(含答案解析)
安徽省亳州市2020-2021学年高二12月月考试题数学（理）一、单选题1．若,,a b c ∈R ,且a b <,则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bc < B ．a c b c -<-C ．22a b <D ．11a b> 【答案】B【解析】根据不等式的基本性质，特值检验，排除A ，C ，D ，即可. 【详解】因为,,a b c ∈R ，且a b <.所以当0c ≤时，ac bc ≥，选项A 不成立.当2a =-，1b =-时a b <成立，但是22a b >，选项C 不成立. 当1a =-，1b =时a b <成立，但是11a b<，选项D 不成立. 排除A ，C ，D 选项. 故选B. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题.2．在ABC ∆中,4,60,75a B C ︒︒===,则b =（ ） A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据180A B C ++=，求出45A =，再由正弦定理，求解即可. 【详解】在ABC ∆中，60,75B C ︒︒==18045A B C ∴=--=由正弦定理可知sin sin a b A B=即4sin sin 60sin sin 4522a b B A =⨯=⨯==故选D.【点睛】本题考查正弦定理，属于较易题.3．命题“若1x >,则2230x x +->”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】解不等式2230x x +->，得3x <-或1x >.当1x >时，3x <-或1x >成立，原命题成立.当3x <-或1x >时，1x >不成立，逆命题不成立.根据原命题与其逆否命题；逆命题与否命题互为逆否命题，并且互为逆否命题的两个命题真假性相同.则可判断真命题的个数. 【详解】因为2230x x +->，所以3x <-或1x >.因为1x >⇒3x <-或1x >，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题. 因为3x <-或1x >⇒1x >，所以逆命题为假命题，则否命题为假命题. 即2个真命题. 故选B 【点睛】本题考查命题的四种形式的真假判断，属于较易题. 4．方程()2210x y xy +=<表示的曲线是()A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为0xy <,所以图像在二,四象限, 结合221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解. 【详解】因为221x y +=表示圆心在原点,半径为1的圆, 又0xy <,说明图像在二,四象限,故选D. 【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.5．若直线l 的方向向量(1,2,1)a =-，平面α的一个法向量()2,4,m k =--，若l α⊥，则实数k =（ ） A ．2 B ．10-C ．2-D ．10【答案】A【解析】根据l α⊥，可知l 的方向向量与平面α的法向量共线，从而得到k 的值. 【详解】l α⊥∴l 的方向向量()1,2,1a =-与平面的法向量()2,4,m k =--共线.a m λ∴=，即12241k λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解得122k λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故选A 项. 【点睛】本题考查空间向量的位置关系，通过向量共线求参数的值，属于简单题. 6．已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d <”是“46521S S S +<+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【解析】根据等差数列前n 项和公式1(1)2n n S n a n d -=+，可知4146S a d =+，61615S a d =+，51510S a d =+，不等式46521S S S +<+变形整理为1d <，即可判断为充分不必要条件. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S∴1(1)2n n S n a n d -=+即4146S a d =+，61615S a d =+，51510S a d =+.46521S S S +<+∴111(46)(615)2(510)1a d a d a d +++<++即1d <01d d <⇒<且10d d <⇒<∴“0d <”是“46521S S S +<+”的充分不必要条件.故选A. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式，以及命题的充分条件与必要条件.属于中档题. 7．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5C ．5-D ．7-【答案】D【解析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D.本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.8．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2 ，侧棱长为4 ，则1B 点到平面1AD C 的距离为 （ ）A ．83 B．3 C．3 D ．43【答案】A【解析】根据题意，以D 为原点， 1,,DA DC DD 分别为,,x y z 为坐标轴，建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,2,2,4A C D B ,设平面1AD C 的法向量为(),,n x y z =，则10240{{2200n AC x z x y n AD ⋅=-+=⇒-+=⋅=，取1z =，则2x y ==，所以()2,2,1n =，所以1B 点到平面1AD C 的距离为183n BD n ⋅=，故选A. 点睛：求点到平面的距离：设A 是平面α外一点， AB 是α的一条斜线，交平面α于点B ，而n 是平面α的法向量， A 到平面α的距离h ，所以cos BA n BA n h BA BA n BA nBA n⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅n9．已知1,0x y >->,且0x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】先将0x y +=变形为(1)1x y ++=，再与141x y++相乘，整理为4(1)51x yy x ++++，然后根据均值定理，求解即可. 【详解】1,0x y >->,且0x y +=∴(1)1x y ++=10x +>，0y >∴()()411414114111x yx y x y x y y x +⎛⎫+=+++=+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()41555491x y y x +=++≥+=+=+ 当且仅当1x y +=即12x =-，12y =时，等号成立.141x y++的最小值为9. 故选C. 【点睛】本题考查均值定理，解决此类问题的关键是“一正，二定，三相等”，属于中档题. 10．若关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(4,3)(1,2)--⋃ C ．(1,2]D ．[4,3)(1,2]--⋃【答案】D【解析】分情况讨论，当1a =-时，不等式2(1)0x a x a +--<无解，舍去；当1a >-时，满足题意的两个整数只能为0，1，从而得到a 的取值范围；当1a <-时，满足题意的两个整数只能为2-，3-，从而得到a 的取值范围；即可. 【详解】当1a =-时，不等式2(1)0x a x a +--<的解集为∅，不满足题意，舍去. 当1a >-时，不等式2(1)0x a x a +--<的解集为{|1}x x a -<<； 若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为0，1，则需12a <≤. 当1a <-时，不等式2(1)0x a x a +--<的解集为{|1}x a x <<-； 若使得解集中恰有两个整数，即两个整数只能为2-，3-，则需43a -≤<-. 综上所述，实数a 的取值范围为[4,3)(1,2]--⋃ 故选D.【点睛】与2是本题的易错点.属于中档题.本题考查根的分布问题，a值能取得411．四棱柱的底面为矩形，AB＝1，AD＝2，，，则的长为( )A． B．23 C． D．32【答案】C【解析】分析：记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC1的长．解答：解：记A1在面ABCD内的射影为O，∵∠A1AB=∠A1AD，∴O在∠BAD的平分线上，由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A1E，A1F，A1E，A1F分别垂直AB，AD于E，F∵AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，∴AE=AF=又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=，可得OA=在直角三角形A1OA中，由勾股定理得A1O=过C1作C1M垂直底面于M，则有△C1MC≌△A1OA，由此可得M到直线AD的距离是，M到直线AB的距离是，C1M=A1O=所以AC1 ==故选C．12．已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项是2，接着三项是02，12，22，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，则满足3000n S >的最小的正整数n 的值为（ ） A ．65 B ．67C ．75D ．77【答案】C【解析】由题将数列分组，得每组的和，推理3000n S >的n 的大致范围再求解即可 【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列共有()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()32t t n +=时，()()()121211221222t t n t t t t S t +-+-=-+=+--,随t 增大而增大， 10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22，…，102，11，02，12，…，又0211222222112mm m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的n 值为651075+=. 故选：C 【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题二、填空题 13．命题“ ”的否定是“ ”． 【答案】，【解析】试题分析：，【考点】命题的否定14．若,x y满足约束条件22xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则1yx+的最大值为________.【答案】2【解析】画出可行域，利用1yx+的几何意义是过可行域内的点(,)x y与点(1,0)-两点所在直线的斜率.画图求解即可.【详解】设1(1)y ykx x-==+--，则k表示为过点(,)x y与点(1,0)-两点所在直线的斜率.画出约束条件22xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所满足的可行域，如图所示由图象可知，过可行域上点(0,2)时，k取得最大值，2201k≤=+即1yx+的最大值为2.故答案为2【点睛】本题考查目标函数为斜率形式的非线性规划.属于中档题.15．若平面内动点P到两定点,A B的距离之比||||PAPBλ=（其中λ为常数，0,1λλ>≠）,则动点P的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知(1,0),(1,0),2A Bλ-=,则此阿波罗尼斯圆的方程为_____.【答案】2210103x y x+-+=【解析】根据阿波罗尼斯圆的定义||||PAPBλ=，设点(,)p x y，将22||(1)PA x y=++，22||(1)PB x y =-+，代入||2||PA PB =，整理即可. 【详解】设点(,)p x y ，则22||(1)PA x y =++，22||(1)PB x y =-+即2222(1)||2||(1)x y PA PB x y ++==-+ ∴2222(1)2(1)x y x y ++=-+两边同时平方得：222222(1)2(1)x y x y ⎡⎤⎡⎤++=-+⎣⎦⎣⎦即：2222(1)4(1)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦∴22331030x y x +-+=即2210103x y x +-+= 故答案为：2210103x y x +-+= 【点睛】本题考查待定系数法求轨迹方程，新定义题型，属于较易题.16．ABC 中，23BC =，3AC =，2A B =，D 是BC 上一点且AD AC ⊥，则ABD 的面积为______． 【答案】210【解析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B ，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用二倍角的余弦函数公式可求cos A ，利用诱导公式可求sin BAD ∠，可求cos BAD ∠，利用两角和的正弦函数公式可求sin ADB ∠，在ABC中，由余弦定理可得AB ，在ABD 中，由正弦定理可得AD ，即可根据三角形的面积公式计算得解ABDS 的值．【详解】23BC =，3AC =，2A B =，∴在ABC 中，由正弦定理sin sin BC AC A B =，可得：3sin sin 2sin cos A B B B==，∴解得：cos B =，可得：sin B ==， 21cos cos22cos 13A B B ∴==-=-，AD AC ⊥，1sin sin cos 23BAD A A π⎛⎫∴∠=-=-= ⎪⎝⎭，可得：cos BAD ∠==，()1sin sin 33339ADB BAD B ∴∠=∠+=⨯+=，在ABC 中，由余弦定理可得：222323AB AB =+-⋅， 解得：1AB =，或3．3AB AC ==，2A B =，可得：124B C A π===，可得：BC =与BC =1AB ∴=，∴在ABD 中，由正弦定理sin sin AB ADADB B=∠，可得：sin sin AB B AD ADB ⋅==∠，111sin 22310ABDSAB AD BAD AB AD ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=．故答案为10． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题17．已知命题2:[0,1],0p x x m ∀∈->恒成立,命题2:,10q x R x mx ∀∈++>恒成立,若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(,2][0,2)-∞-⋃【解析】求出命题p 为真时实数m 的取值范围，命题q 为真时实数m 的取值范围，根据p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得p 为真且q 为假，或p 为假且q 为真，从而求出实数m 的取值范围. 【详解】若p 真：2m x <对[0,1]x ∀∈恒成立，则0m <； 若q 真：240m ∆=-<，则22m -<<.p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则,p q 一真一假.若p 真且q 假，则02m m <⎧⎨≤-⎩或02m m <⎧⎨≥⎩，得2m ≤-；若p 假且q 真，则022m m ≥⎧⎨-<<⎩，得02m ≤<.综上所述：m 的取值范围为(,2][0,2)-∞-⋃. 【点睛】本题考查根据或命题与且命题的真假求参数的取值范围.属于中档题.18．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin (cos cos )A b C c B +=. （1）求A ；（2）若A 为锐角,a ABC =∆的面积为求ABC ∆的周长.【答案】（1）3A π=或23A π=；（2）7+【解析】（1）根据正弦定理将2sin (cos cos )A b C c B +=变形整理为sin()2B C +=，再根据A 为三角形内角，求解即可. （2）根据三角形面积公式1sin 2S bc A =，计算出bc ，代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-，计算出b c +，即可.【详解】（1）2sin (cos cos )A b C c B +=∴由正弦定理得2sin (sin cos sin cos )A B C C B A +=，sin 0A ≠sin()2B C ∴+=，即sin 2A = 又(0,)A π∈，3A π∴=或23A π=. （2）A 为锐角∴3A π=.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2213b c bc +-=2()313b c bc ∴+-=，而ABC ∆的面积为1sin 122bc A bc ===. 即2()49,7b c b c +=∴+=ABC ∆∴的周长为7【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，属于中档题.19．已知数列{}n a 是等差数列,首项12a =,且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()24n n b n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）2n a n =；（2）342(1)(223)n S n n n =++-+ 【解析】（1）根据3a 是2a 与41a +的等比中项，即2324(1)a a a =+，列方程2(22)(2)(33)d d d +=++，解公差d ，注意验证30a =不成立，即可.（2）由于11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，根据裂项相消法，求前n 项和n S 即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，1(1)n a a n d =+-，由12a =,且3a 是2a 与41a +的等比中项得：2(22)(2)(33)d d d +=++,2d ∴=或1-.当1d ∴=-时，3220a d =+=与3a 是2a 与41a +的等比中项矛盾，舍去.1(1)2n a a n d n ∴=+-=.（2）21111(24)(2)22n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113231221242(1)(2)n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭. 【点睛】本题考查求等差数列通项公式和裂项相消法求数列前n 项和.属于中档题.20．雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元．Ⅰ若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形． Ⅱ根据的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【答案】（I ）详见解析；（II ）用万元投资甲项目，万元投资乙项目.【解析】（I ）投资人用万元投资甲项目，万元投资乙项目，根据投资人计划投资金额、资金亏损的范围，写出所满足的条件，然后在直角坐标系内作出表示范围的图形；（II ）根据（I ）的规划，由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数求解盈利的最大值． 【详解】Ⅰ 由题意，知x ，y 满足的条件为上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分含边界Ⅱ根据第一问的规划和题设条件，依题意 可知目标函数为，在上图中，作直线：平移直线，当经过直线与的交点A 时，其纵截距最大， 解方程与，解得，，即，此时万元， 所以当，时，z 取得最大值，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过万元，且使可能的利润最大 【点睛】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.21．如图，ABCD 是棱形，60,ABC AC ∠=与BD 相交于点O ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，且AEFC 是直角梯形，90,//,2,4EAC CF AE AE AB CF ∠====.（1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角B DE F --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）15【解析】试题分析：（1）由菱形的性质可得DB AC ⊥，由线面垂直的性质可得DB ⊥平面AEFC ，再由线面垂直的性质可得结论；（2）直角梯形AEFC 中，由90,//,2EAC CF AE AE AB ∠===得EA ⊥平面ABCD ，取EF 的中点M ，以O为坐标原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE 的法向量与平面DEF 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角B DE F --的余弦值.试题解析：（1）证明：在棱形ABCD 中，可得DB AC ⊥， 因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，且交线为AC ， 所以DB ⊥平面AEFC ，因为EF ⊂平面AEFC ，所以BD EF ⊥.（2）直角梯形AEFC 中，由90,//,2EAC CF AE AE AB ∠===，得EA ⊥平面ABCD .取EF 的中点M ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OM 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()3,0,0,3,0,1,0,2,1,0,4B D E F --. 所以()()0,23,0,1,3,2DB DE ==. 设平面BDE 的法向量{}1,,n x y z =，由11230320n DB n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()12,0,1n =- 由()3,4DF =-.设平面DEF 的法向量为()2,,n u v w =， 同上得，可取()21,3,1n =-. 则121cos ,55n n ==⨯，即二面角B DE F --的余弦值为15. 【方法点晴】本题主要考查线面垂直判定与性质以及利用空间向量求二面角的大小，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 22．已知数列{}n a 的前 n 项和n S 满足113n n S a =+. （1）求{}n a 的通项公式;（2）设n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n T ;若n T m ≤对n N +∀∈恒成立,求实数m 最小值.【答案】（1）13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）m 的最小值为32【解析】（1）当1n =时，111113a S a ==+，解得1a ，再根据11n n n a S S ++=-，变形整理12n n a a +=-，利用等比数列的通项公式即可得出n a .（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，利用错位相减法求其前n 项和n T ，分类讨论，当n是奇数时221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为减数列，132n T T ≤=；当n 是偶数时，22123323nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若n T m ≤对n N +∀∈恒成立，即()max n T m ≤，可解得m的取值范围，即可. 【详解】（1）由111113a S a ==+得132a =.由113n n S a =+①，可知11113n n S a ++=+②，两式相减可得11111111113333n n n n n n n S S a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-==+-+-⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭，即12n n a a +=-.因为1302a =≠，所以0n a ≠，故112n n a a +=- 因此{}n a 是首项为32，公比为12-的等比数列，故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.所以012213113213313(1)1312222222222n n n n n T --⨯⨯⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①两边同乘以12-得 1231131********(1)13122222222222n nn n n T -⨯⨯⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ①②相减得12311331313131311222222222222n nnn T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-+-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 从而311223311313112111222222212nn n n nn n n n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎛⎫⎣⎦=-⋅----⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭于是221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 是奇数时，221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为222221221121233233232832n n n nn n T T n n n n +++⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭2228121130323224n n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-< ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=，所以n 是奇数时n T 为减数列，132n T T ≤=. 当n 是偶数时，21320nn ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，22123323nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因此32n T ≤. 因为n T m ≤对n N +∀∈恒成立，所以32m ≥， 即m 的最小值为32. 【点睛】本题考查已知前n 项和n S 与n a 的关系求通项公式，同时也考查了错位相减法求前n 项和，分类讨论求n T 的取值范围是解决本题的关键.属于一道较难题.。
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题：①空集是任何集合的子集；②若整数是素数，则是奇数；③若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；④其中真命题的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B2. 在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C略3. .某种节能灯能使用800小时的概率是0.8，能使用1000小时的概率是0.5，问已经使用了800小时的节能灯，还能继续使用到1000小时的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C略4. 已知复数，则下列结论正确的是A. z的虚部为iB.C. 为纯虚数D.参考答案：C【分析】先利用复数的除法将复数化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误。
【详解】，的虚部为，，为纯虚数，，故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题。
5. 已知，则（）A．B．C．D．参考答案：C略6. 已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“x∈R”，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1D．－2≤a≤1参考答案：A7. 定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间（n∈N*）内的所有零点的和为( )A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．【解答】解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3?2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3?2n﹣2时，g（x）max=0；当3?2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间上有1个零点，从而g（x）在区间上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D【点评】本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．8. 直线与直线平行，则它们之间的距离为( )A． B． C． D．参考答案：D略9. 将函数的图像向右平移个单位后，所得的图像对应的解析式为（）A． B．C． D．参考答案：C10. 若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3B．±3C．±2D．±参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，再利用点到直线的距离公式求得 a的值．【解答】解：由题意可得，直线l的方程为 y=x+a，即 x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得 a=，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若｛a2－1，2｝∩｛1，2，3，2a－4｝＝｛a－2｝，则a的值是．参考答案：412. _______.参考答案：略13. 某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组样本数据的回归直线方程是 .参考答案：14. 设函数，满足，则的值是__________。
2019-2020年高二上学期12月月考试题数学(理)含答案.doc
2019-2020年高二上学期12月月考试题数学（理）含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.已知i z 21-=，则z 的虚部是 . 2.已知)1(,11->++=x x x y ，则y 的最小值是 3.已知)2)(1(i i z +-=，则=z4.已知双曲线C :)0,(12222>=-b a by a x 的焦距是10，点P （3,4）在C 的渐近线上，则双曲线C 的标准方程是5.在直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示平面区域面积是4，则常数a 的值_______．6.函数)1()(-=x e x f x的图象在点()()1,1f 处的切线方程是 .7.已知C z ∈,12=-i z ，则1-z 的最大值是 8.数列}{n a 的前n 项和为n S *)(N n ∈，且,211=a n n a n S 2=，利用归纳推理，猜想}{n a 的通项公式为9.已知x a x x x f ln 212)(2++-=在),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 . 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -成等差数列； 类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积．为n T ，则4T ， ，812T T 成等比数列．11.函数mx x x x f ++=233)(在)0,2(-∈x 上有极值，则m 的取值范围是 12.43:222b y x O =+,若C 上存在点P ,使得过点P 引圆O 的两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=︒,则椭圆C 的离心率取值范围是13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21F F 、在x 轴上，21,A A 为左右顶点，焦距为2，左准线l 与x 轴的交点为M ，2MA ∶11||A F = 6∶1．若点P 在直线l 上运动，且离心率21<e ，则12tan F PF ∠的最大值为 ．14.已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，20154321)(2015432x x x x x x g --+-+-= 设)3()4()(+⋅-=x g x f x F ，且函数()F x 的零点均在区间[],a b （a b <，a ，∈b Z ）内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是_______.二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15. （本题满分14分）已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是减函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是增函数,又.23)21(-='f(Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若m x f ≤)(在区间∈x ]2,0[恒成立,求m 的取值范围.16. （本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0，1)，B 点在直线1-=y 上，M 点满足//，⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)斜率为1的直线l 过原点O ，求l 被曲线C 截得的弦长.17. (本题满分14分) 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且方程02=--n n a x a x 有一根为)(1*N n S n ∈-.(1)求21,S S ;(2)猜想数列}{n S 的通项公式，并给出证明．18. （本题满分16分）在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x bx a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，70490y x =-+．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确到0.1元/千克）．19. （本题满分16分）如图，已知椭圆:C )0(12222>>=+b a bx a y 的离心率为21，以椭圆C的上顶点Q 为圆心作圆)0()2(:222>=-+r r y x Q ，设圆Q 与椭圆C 交于点M 与点N 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的底面
为矩形，AB＝1，AD＝2，
，
B．23
C．
，则 的长为( ) D．32
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题
12. 已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是 ，第二项是1，接着两项为 ， ，接
着下一项是2，接着三项是 ， ， ，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前 项和为 ，则满足
的最小的正整数 的值为
（）
A．65
B．67
C．75
D．77
二、填空题
13. 命题“
”的否定是“ ”．
14. 若 满足约束条件
,则 的最大值为________.
15. 若平面内动点 到两定点 的距离之比 阿波罗尼斯发现的，故称作阿波罗尼斯圆.若已知
A．
B．
C．
D．
5. 若直线 的方向向量 A．2
，平面 的一个法向量 B．
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题
，若 C．
，则实数
（） D．10
6. 已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,则“
”是“
A．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
”的ห้องสมุดไป่ตู้ ） B．必要不充分条件 D．充要条件
（其中 为常数，
）,则动点 的轨迹为圆，这个轨迹最先由古希腊数学家
,则此阿波罗尼斯圆的方程为_____.
16.
中，
，
，
，D是BC上一点且
，则
的面积为______．
三、解答题
17. 已知命题
恒成立,命题
恒成立,若
为假命题，
为真命题，求实数 的取值范围.
18.
内角
的对边分别为
,已知
.
（1）求 ；
（2）若 为锐角,
的面积为 ,求
的周长.
19. 已知数列 （1）求数列 （2）设
是等差数列,首项 的通项公式；
,且 是 与
,求数列 的前 项和 .
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题
的等比中项.
20. 雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要
考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为
和 ，可能的最
大亏损率分别为 和 ，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过 万元．
Ⅰ 若投资人用x万元投资甲项目，y万元投资乙项目，试写出x，y所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x，y范围的图形．
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题
一、单选题
1. 若
,且
,则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 在
中,
,则 （ ）
A．
B．
C．
D．
3. 命题“若 ,则 A．0
”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（ ）
B．2
C．3
D．4
4. 方程
表示的曲线是()
7. 已知 为等比数列,
,
,则
（）
A．
B．
C．
D．
8. 正四棱柱 A．
中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面
B．
C．
的距离为 （ ） D．
9. 已知 A．6
,且
，则
的最小值为（ ）
B．8
C．9
D．10
10. 若关于 的不等式 A．
的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
11. 四棱柱 A．
恒成立,求实数 最小值.
Ⅱ 根据 的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
21. 如图，
是棱形，
与 相交于点 ，平面 .
平面
，且
是直角梯形，
（1）求证： （2）求二面角
； 的余弦值.
22. 已知数列 的前 项和 满足
.
（1）求 的通项公式;
（2）设
,求数列 的前 项和 ;若
对
安徽省亳州市涡阳县第一中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试题