组合计数问题的求解方法

Ix 一 1 1 (1) 2 < 析解: 由 (2)知x - 2> 0, 所以 解(1) 时无需 考虑 x - 2< 0 的情形. 从而原不等式可化为 0< 二 2< 1, 一
x 一 乙2 下一 ，
乙 -
为，~ (1+os0，一 - T;.-- - 2 .化，‘ :V2、 — ‘ -f1 月0 ”“’得 - ‘’ o 、 I ‘’一 ~ ; 简、 月. v
(j :A1,i ,j ) ， 有C1二 组解. 这时 9 9 ②有某一个x== 2(2< i < 10) ， 则必还有
一 个x; 二 = , i) ， 余xk= 0(kt l , i ,j ), 1(j Ai 其 这时 有以C8=72 组 解.
③所有xi0 2 或3(2< i簇10) ， 则x2,x3, ...,xlo中 有3 个等于1， 必 其余6 个等于0， 这 时 有C9= 84 组 解.
氏认-1二 。 所 ， 定 程x1+X 嵘十 -1， 以 不 方 2+
... + X ，的非负整数解的 k二 组数为氏; 1- 1= I k1 .
嵘十 I . *一
= 86 .
所以 第100() 项为 105 x 20 + 86 = 2186. 5 利用算两次
除了以 上常用方法以外， 有些组合计算问 评注: (1)本题中结论可当 作定理用， 在解 题还需要采用一些技巧性的方法， 算两次就是 其他一些组合问 题时， 常常要用到这一结论. 其中 一种比 较巧妙的 方法. (2)本题等价于“ 装球问 : 若将 n 个相 题” 例7 一张正方形纸片内有1000 个点， 这 同的球放入k 个不同的盒子中(允许空盒) ， 则 些点 及正方形的顶点中 任意3 点不共线. 然后 共有氏认-1= 嵘+,1-1种 的 不同 放球方法. 在这些点 及正方形的 顶点间 连一些线段将正方 例5 桌子上有6 个空钱包， 将12 个2 欧 形全部分成小三角形( 以所连线段及正方形的 元的 硬币放到这些钱包里， 使至多剩下一个， 以 边为边， 且所连线段除 端点外， 两两无公共点). 空的， 问有多 少种方法? 问一共连有多少条线段? 一共得到多少三角 解: ‘ 如果没有空 钱包， 其放法与6 枚硬币 形? 放到6 个钱包(包括可能 剩下一些空钱包) 的 放 解 设一共连有 l 条线段， 一共得到k 个 法 是一一 应的， 对 有C11种. 如 有1个钱包 果恰 三角形一 方面， k 个三角形的内角总和 所得 是空的， 从6 个钱包中 等于 选择1 个空钱包， 且 为k "180' . 另一方面， 所得 k 个三角形中， 以 随意地放 7 枚硬币到余下的5 个钱包中， 有 1000 个内 点为顶点的所有内角之和为1000 x 6以， 因 共 种. 此， 有C7 1+6C41=2442(种). 1 360' ， 正 以 方形的顶点为顶点的所有内 角和为 4 利用容斥原理 4x 90' ， k "180' = 1000 x 360' + 4x 90' ， 于是
上的 双射， N 中的元素个数IN !容易算 如果 出， 是由}M }= }N !可得出M 中 于 元素个数， 这种 计算方法 称为映 方法. 这种方法实质上 射
是通过双射将 M 中的元素与N 中的元素配 对， 故它又称为配对方法.
例4 证明 定方 不 程x1十 ...+ xk= n x2+
(k , ，为正整 ) 的非负整 解 的组 为
于一个由。个圆圈"O ", k 一 条竖线“ 组成 1 I”
的如下排列:
IA3flA 7!=1 一学」L 」L 」 5nA 05 L 一学 一带
. 。105 ，. r 子井毛 ，. r 于 竺 ， 1 = 一笼 冬二 1 105 1+ 1 105 I 一 r 105 + 1于祥先 ! 十 ! :七 ’ 3 X5 ' ’ 3 x 7 ’ 5 x 7 ' `3 x 5 x 7 “ ` ` ' = 105 一35 一2 1 一15 + 7 + 5 + 3 一1 = 48 .
1 利用分类、 分步计数原理
2007 年第3 期
记F. 表示 上第。阶的 方法， 则 凡 = 凡- 1+ 凡-2， 又易知 F1= 1, F2= 2， 故F3= 3, F4= 5, …pF,8= F1 F1 2584+ 1597= 4181(种) . 7+ 6=
例3 将一个2003 边形的每个顶点染为 红、 绿三种颜色之一， 蓝、 使得相邻顶点的颇色 互不相同. 问有多 少种满足条件的方法. 解:记将一个 n 边形的每个顶点染为红、 蓝、 绿三种颇色之一， 使得相邻顶点的 颇色互不 相同的方法数为 Tn. 易知， = 6, 几二 几 18.
O护!O.0} 1” 0. x1 个圆 …的左侧恰有 1 0. 其中 第一根竖线“
圈“ ”第i - 1 根竖线" I” i 根竖线“ 之 0 ; 与第 I”
其次， 设所有正整数中与105 互素的正整
间 恰有x‘ 个圆圈 0 ” “ (1=2， …，一 ;第k 3， k 1 )
数 小 大 从 到 排列的 列 数 为{a. I， 是al = 1, a2 于
于是， 原方程共有9 + 9 + 72 + 84二174 组
解.
2 递推方法
及=2( 一 1)n+2n， 7-2仍 220 一 故T如 _ 03 2. 030
3 映射方法
映射方法的建立基于如下的一个重要性
质:
将与正整数有关的数字问 通过寻求递 题， 推公式， 或通过递推公式， 使得问 题得到解决的
对于两个有限 集合 M 与N ， 若存在从 M 到N 上的 单射， 则{M } IN I;若存在M 到N < 上的 满射， 则IM I> IN I; 若存在M 到N 上的 双射， 则IM I= IN I. 当计算有限集合M 中的元素个数比较困 难时， 我们设法建立M 到另一个有限集合N
规律创造条件.
万一丁 几_径 万下 一 例4 解方 2+2x 一 1-r v 1一 = 万 程了 x析解:本题方程较复杂， 若观察到左端式子 变I 的 取值范围 是}x I< 1， 由此联想考虑作三 建 代换， x = aoso(0成e《二 ， 设 ) 则原方程化
例解 式log?(x 一2)<1 (2). 。不组 等{
2007 年第3 期
中学数学 研究
组 合 计 数 问 题 的 求 解 方 法
浙江省宁波行知中 等职业学 校 (315300) 陈建忠
组合计数问题是组合数学的重要组成部 剖析: 用补集思想求解， 想法是好的. 但由 分， 也是各类考试中 常考常新的问 解决组合 题. (a , + 0 ) 时， 则有(x - a )(x 一 b)> 0( > 0) . 根 据上述规律， 可直接获得一些问题的解答. 例5 求函数y
分类、 分步计数原理是关于组合计数的两
个 基本原 是解 理， 决组合计数问 基础. 在应 题的
用分类、 分步原理解题时要注意分类时不重复
不遗漏，
例1 方程2x1+ x2+ x3+ x4+ xs + x6+
x7+xs+x9+xlo=3 的 负 数 共 多 非 整解 有 少
组?
对 任意一 (n> 5) ， 于 个。 记A1.A2，’ 二，
了 - 3\ 二 、。 7x ， ， 即2x2一 + 3镇0， 7x 从而有一 x 一 ‘习 ，且
仅当
3
,3 时 等 成 ， 号 立.所以ym ， ie=涯.
定义域 的简化 功 能
‘ 从函数所涉及的函数定义域的 即 特征诱发 对数学规律、 数学方法的 联想， 从而获得简捷的
解题途径.
在解决与函数有关的较复杂的问题时， 若 首先求出有关函数的 定义域， 则可缩小探索的 范围， 或可避免分类讨论， 或可为运用一些数学
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< x < 3}.
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了 二 _招 * ，，、 - 万二 ‘
最小值.
解 : 由 以粤 二
‘
于 视了 数y = a a 下 的 忽 函 x) 定义域而出 现
失 应先由a (a - x )> 0， 误. 求得全集 U = 3x l x簇司， 原不等式的解集是x < 0 在全集 U = {x Ix< a l 中 补集， 1 x< a 1. 的 即Ix 0<
三 函数定义域的应用功能
疏- 一 .、1. 证明:我 将不 程XI+ X ... + xk= 们 定 2+
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2007 年第3 期
. 中学数学 研究
IA7卜 IA3n A5!+ JA3n A7}+ IA5n A7!一
二 。 。。。二 。 r 105 , ， r 105, r 105 ,
n 的 意 组 负 数 (X 2. ...0xk)对 任 一 非 整 解 I9X , 应
- 1 根竖线“ 的右侧恰有ak 个圆圈“ ”显 ’ = 2 , a 3= 4, …，46= 101, a 47= 103 , a 48= 104 , !” 0 . a 并记P = Ial ,a2,- .a4 8}. 然， 定 不 方程X1+...+xk= n 的不同的解(X1, y29... ,X 对应于不同的排列， k) . 易知所有与105 互素的正整数均可写成 t ， 且每一个这样 形式. 的 对应于不定方程XI + x2+ … + x k = 拄 = 105k + r (kE N , r E P ) 的 排列 又1000= 48 x 20 + 40, 所以a ioo 105 x o= 的一组非负整数解. 因此， 我们所建立的对应是 20 + a 4o， a 4 而 8“104 , a 47= 103 , a 46= 101，45 a 一个双射. 又因 为由。个圆圈“ ” k - 1 根 0 及 = 97 , a 44= 94 , a 43= 92 , a 42 = 89, a 41= 88 , a 4 o 竖线“ 组成的n + k 一 个元素的全排数为 !” 1