2014-2015年山东省威海市文登市高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜22．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞03．（5分）对于下列四个命题p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）xp 2：∃x∈（0，1），log x＞log xp 3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp 4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣5．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．56．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣ C．2或1 D．2或﹣17．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[0，+∞）8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．9．（5分）△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．210．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为．12．（5分）设，则=．13．（5分）已知sin（+x）=，则sin2x的值为．14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=．15．（5分）已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c= b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．（12分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f（x）=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18．（12分）已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f（x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．20．（13分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n 项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．＜b n；（1）求证：b n+1（2）求数列{b2n}的前n项和T n．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2【解答】解：法一：当a=0时，符合，所以排除C．D，再令a=2，符合，排除B，故选A；法二：根据题意，分析可得，，解可得，0≤a≤2；故选：A．2．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n=na1+d=n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．故选：D．3．（5分）对于下列四个命题p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）xp 2：∃x∈（0，1），log x＞log xp 3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp 4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；p 2：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如；p 3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，；p4：∀x∈（0，），＜＜1，，是真命题．故选：D．4．（5分）将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．5．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D．6．（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣ C．2或1 D．2或﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[0，+∞）【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx+1为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+2，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[0，2]，当x＞0时，函数的值域为值域为（2，+∞），故函数f（x）的值域为[0，+∞），故正确．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），∴．∵当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），∴，解得a=．故选：D．9．（5分）△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意可得=0，因为=λ，=（1﹣λ），所以=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理得：﹣（1﹣λ）+[λ（1﹣λ）+1]﹣λ=﹣2，即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，解得λ=，故选：A．10．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（5分）对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．【解答】解：当2x≥3，即x≥时，2x﹣3﹣x≥3，解得x≥6；当2x＜3，即x＜时，3﹣2x﹣x≥3，解得x≤0；所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．12．（5分）设，则=．【解答】解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．13．（5分）已知sin（+x）=，则sin2x的值为﹣．【解答】解：∵sin（+x）=sin cosx+cos sinx=（sinx+cosx）=，∴sinx+cosx=，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x=，解得：sin2x=﹣．故答案为：﹣14．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17=34．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…lna17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．15．（5分）已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=﹣，数形结合可得﹣1＜k＜﹣，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c= b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由，及，可得，又由，有a=2c，所以，．（Ⅱ）在△ABC中，由，可得，∴，所以，cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．17．（12分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4且k∈R）个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中f（x）=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k 的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（3分）（Ⅱ）当k=4，所以y=…（5分）当0≤x≤5时，由解得x≥1，所以1≤x≤5．…（8分）当5＜x＜16时，由解得：﹣15≤x≤15所以5＜x≤15综上，1≤x≤15 …（11分）故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟…（12分）18．（12分）已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．【解答】解：（Ⅰ）===sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）﹣…（1分）∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．…（2分）由，得所以f（x）的单调递增区间为…（4分）（Ⅱ）∵∴∴…（6分）∴∴…（8分）（Ⅲ）∵f（α）=0，∴，∴∵0＜α＜π，∴，…（10分）∴∴…（12分）19．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f（x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0），f（0）=1，∴c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）∴f（x）图象的对称轴为直线，则，∴a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），即ax2﹣（a﹣1）x≥0对任意x∈R都成立，∴，故a=1，b=﹣1∴f（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x2+x=m2﹣m，由题意知方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令，∴g（x）min=g（﹣）=﹣，g（x）max=g（2）=6，∴≤m2﹣m≤6，∴，所以满足题意的实数m取值范围[﹣2，3]．20．（13分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n 项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．＜b n；（1）求证：b n+1（2）求数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1=10，a2为整数知，等差数列{a n}的公差d为整数，又S n≤S4，故a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得，因此d=﹣3，数列{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）（1）由题意知，∴，∴数列{b n}是单调递减数列，{b n}的最大项为，所以b n＜b n．+1（2），T n=+++…+，两式相减得：=+++…+，=∴．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）≥0 得；由f′（x）≤0 得．∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x）min==．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0，得，解得．∴f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，∴，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为．。