数学期望(一维离散)
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
概率论与数理统计4.1离散型随机变量的数学期望
12×0.6-5×0.4=5.2万元 平均效益的计算方法就是离散型随机变量数学期望的计算方法.
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一维离散型随机变量数学期望的概念
定义 设离散型随机变量X的概率分布为P(X=xk)=pk,k=1,2,...,
④若(X,Y)是二维随机向量,且X与Y独立,则E(XY)=EXEY 证明：
E(X Y)
(xi y j ) pij
X0
1
2
3
P 0.750 0.204 0.041 0.005
则有:
E( X ) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 0.301.
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一维离散型随机变量数学期望例题小结
经计算可得： (1) 若X服从参数为p的0-1分布,则EX=p; (2) 若X~B(n,p),则EX=np; (3) 若X服从参数为λ的泊松分布,则EX= λ.
若Y=g(X),且E(g(X))存在,则：E(g( X )) g(xn ) pn
n
同理
若g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,则
E[g(X ,Y)]
g(xi , y j ) pij
ij
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例题分析
例1 设随机变量X 的分布律为
X
-1
0
1
2
P
0.1
0.3
0.4 0.2
k
注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.
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一维离散型随机变量数学期望例题分析
例1 泊松分布 设 X ~ P(), 且分布律为
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
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连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
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目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
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引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
01-4.1数学期望
第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、知识点1、一维离散型随机变量的数学期望：P {X =x k }=p k ，k =1,2,⋯，若级数∑x k p k n k=1绝对收敛，则数学期望E (X )=∑x k p k n k=1.2、一维连续型随机变量的数学期望：随机变量X 的概率密度为f(x)，若积分∫xf(x)+∞−∞dx 绝对收敛，则数学期望E (X )=∫xf(x)+∞−∞dx . 3、一维随机变量函数的数学期望：不用计算Y 的分布律或概率密度，只要利用X 的分布律或概率密度即可计算E (Y ).设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X ),且g(X)是连续函数.（1）X 为离散型随机变量：P {X =x k }=p k ，k =1,2,⋯，若级数∑g(x k )p k n k=1绝对收敛，则数学期望E (Y )=∑g(x k )p k n k=1.（2）X 为连续型随机变量：概率密度函数为f(x)，若积分∫g(x)f(x)+∞−∞dx 绝对收敛，则数学期望E (Y )=∫g(x)f(x)+∞−∞dx . 4、数学期望的性质：（1）E (C )=C (C 为任意常数)；（2）E (CX )=CE(X)(C 为任意常数)；（3）E (X ±Y )=E (X )±E(Y)；（4）若X 与Y 相互独立，则有E (XY )=E (X )E(Y).(充分非必要).5、二维随机变量的数学期望：随机变量X ，Y 的函数Z =g(x,y),且 g(x,y)是连续函数.（1）Z 为离散型随机变量：E (Z )=E (g(XY))=∑∑g(x i ,y j )p ij ∞i=1∞j=1； （2）Z 为连续型随机变量：E (Z )=E (g(XY))=∫∫g(x,y)f(x,y)+∞−∞dxdy +∞−∞. 特别类型：若Z =f (x,y )=X ，则 E (Z )=∫∫xf(x,y)+∞−∞dxdy +∞−∞（法一）； 利用边缘分布⇒ E (Z )=E (X )=∫xf X (x)+∞−∞dx （法二）. 二、重点:1、求离散型和连续型随机变量的数学期望；2、求随机变量函数的数学期望；3、利用性质求数学期望；4、数学期望的应用.三、难点：数学期望的求法和数学期望的应用.。
数学期望的计算公式
数学期望的计算公式数学期望是概率论中的重要概念，用于描述随机变量在大量试验中的平均值。
数学期望常用于统计分析和决策模型的建立。
本文将介绍数学期望的计算公式，并举例说明其应用。
一、离散型随机变量的数学期望计算公式对于离散型随机变量X，其取值有限且可数，其概率分布可以用概率质量函数P(X=x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = Σ[xP(X=x)]其中，Σ表示求和运算，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
例如，假设有一个骰子，其有6个面，每个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，且每个面的点数出现的概率相等。
我们可以通过计算骰子的数学期望来获取平均点数的预期值。
设随机变量X表示骰子的点数，则X取值为1、2、3、4、5、6的概率均为1/6，因此骰子的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5因此，通过计算可得，骰子的数学期望为3.5。
二、连续型随机变量的数学期望计算公式对于连续型随机变量X，其取值在某个区间上，其概率分布可以用概率密度函数f(x)表示。
则X的数学期望E(X)计算公式如下：E(X) = ∫[xf(x)]dx其中，∫表示积分运算，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
例如，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围在0到1之间。
我们可以通过计算随机变量X的数学期望来预测其取值的平均数。
设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则在0到1之间，f(x)的取值为1。
因此，X的数学期望E(X)的计算如下：E(X) = ∫[x * 1]dx = ∫xdx = 1/2因此，通过计算可得，随机变量X的数学期望为1/2。
综上所述，对于离散型随机变量和连续型随机变量，其数学期望的计算公式分别为Σ[xP(X=x)]和∫[xf(x)]dx。
数学期望
数学期望1、定义：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数。
期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
2、离散型数学期望：如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望[2] (若该求和绝对收敛），记为。
它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。
公式离散型随机变量X的取为，为X对应取值的概率，可理解为数据出现的频率，则：例子某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。
则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X。
它可取值0，1，2，3。
其中，X取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。
则，它的数学期望，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。
定理：设Y是随机变量X的函数：（是连续函数）它的分布律为若绝对收敛，则有:3、连续性数学期望设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。
[2]若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。
数学期望完全由随机变量X的概率分布所确定。
若X服从某一分布，也称是这一分布的数学期望。
定理若随机变量Y符合函数，且绝对收敛，则有：[2]该定理的意义在于：我们求时不需要算出Y的分布律或者概率密度，只要利用X的分布律或概率密度即可。
第十讲(数学期望)
1 y x, x 1 x ，求 W 的 其它
1 )。 XY
4
Eg10：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产 品可获利 m 元，而挤压一件产品导致 n 元的损失，预测销售量 Y 服从指数分布，其概率密
1 y / e , y 0, 0. 度为： f ( y ) 0, y 0,
i i
i
g ( x) P ，其中 p
i
P{ xi }, i 1,2,
2. 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，则 g ( ) 是连续型随机变量 若
g ( x) f ( x)dx <+ ，则称 g () 的数学期望为
学
E E[ g ( )] g ( x) f ( x)dx
教
备课时间： 章节 年 月 §4.1 日 课题
案
第 10 次课 数学期望 3 学时
1、理解数学期望的定义并且掌握它们的计算公式； 2、掌握数学期望的性质，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用数学期望的性质 目的 要求 计算某些随机变量函数的数学期望。 3、熟记 0－1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、 均匀分布和指数分布的数学期望。
k 个人共化验 k 1 次. 试问用哪一种方法可减少化验次数？
Eg6：求泊松分布的数学期望。
3
Eg7：求均匀分布的的数学期望。 三、随机变量函数的数学期望 1. 是离散型随机变量 数学期望为：E =E[ g () ]= 教
g ( ) 是离散型随机变量若 g ( xi ) pi <+ ，则定义 的
离散期望值计算公式
离散期望值计算公式在概率论和统计学中，期望值是一个重要的概念，它代表了一个随机变量的平均值。
对于离散型随机变量，我们可以使用离散期望值计算公式来计算期望值。
本文将介绍离散期望值计算公式的推导和应用。
离散期望值计算公式的推导。
设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分布为P(X=x1),P(X=x2),...,P(X=xn)。
则X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1P(X=x1) + x2P(X=x2) + ... + xnP(X=xn)。
这个公式的推导其实很简单，就是每个取值乘以对应的概率再相加。
这个公式也可以写成累加的形式：E(X) = ΣxiP(X=xi)。
其中，Σ表示求和符号，xi表示X的取值，P(X=xi)表示X取值为xi的概率。
离散期望值计算公式的应用。
离散期望值计算公式可以用于各种离散型随机变量的期望值计算。
下面我们通过一个例子来说明其应用。
假设有一个骰子，其点数的概率分布如下：P(X=1) = 1/6。
P(X=2) = 1/6。
P(X=3) = 1/6。
P(X=4) = 1/6。
P(X=5) = 1/6。
P(X=6) = 1/6。
我们可以使用离散期望值计算公式来计算这个骰子的期望值。
根据公式，期望值E(X)为：E(X) = 1P(X=1) + 2P(X=2) + 3P(X=3) + 4P(X=4) + 5P(X=5) + 6P(X=6)。
= 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6)。
= 3.5。
所以这个骰子的期望值为3.5。
这个结果也很容易理解，因为骰子的点数是均匀分布的，所以其期望值就是所有可能点数的平均值，即(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
除了简单的骰子例子，离散期望值计算公式还可以应用于更复杂的离散型随机变量，比如二项分布、泊松分布等。
在实际问题中，我们可以利用离散期望值计算公式来计算随机变量的期望值，从而帮助我们理解随机变量的平均特征。
41数学期望讲义与方差
二 、 连R续 .V的 型期 望
1、 一 维 连 续 R.V型.及 其 函 数 的 数 学 期 望
Def 3
设 R.V.X~p(x),若 xp(x)dx绝 对 收 敛
则 E(X)
x(px)dx
Def 4
对Y 于 f(X),E(Y)
f(x)p(x)dx
思考 是否任意分布的期望都存在？
2、二维R 连 .V(X续 ,Y)~型 p(x,y)则 ,
X Y -1 0 3
1 0.1 0.2 0.1
2 0 0.2 0.4
四 、 方 差 的 性 质( 普适）
（ 1） Dk 0( k为常数）
（2）D(kX k)2DX （ 3） X 与 Y 相 互D 独 (Y X 立 )D ， X DY
Notes
（ 1 ） D （ X Y ） D D X 2 E （ [ Y X E ） ( Y X E )
8 、 X~ 设 E (1 )则 , 数 E (学 X e 2X 期 )_望 ____
10、设X与Y相互独立，分布密度为 同
p(z)
2z
2
0z 1
0
其它
则E(X 2Y ) ____
9 、 X ~ B 已 ( n ,p )且 , E 知 2 .4 X ,D 1 .4 X , 4
则n？p?
12、设一次试验成率 功为 的 p,若 概进行 10次 0 这 样的试验，则成的 功标 次准 数差的最大值为
Notes 1. DX实质为期D望 X且 0；
2. 一个重要公式 DX E(X2)(EX )2
eg 5 (1)甲乙哪一个射手发挥稳定？
甲 8 9 10 乙 8 9 10
P 0 .3 0 .1 0 .6 P 0 .2 0 .5 0 .3
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数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 二维随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望
1 . 引 例 观察一名射手20次射击的成绩如下：
中靶环数（xi） 频 数（n i）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 031 2 2 4 2 2 11 2
k 1
X的数学期望(简称期望)，或均值，记为
E ( X ) x k p k
k 1
Note: a)随机变量的期望由其分布唯一确定.
b)数学期望刻画了随机变量取值的“平均数”.
例1 X ~ b(1, p), 求 E ( X ). 解 : 因 X的 分 布 律 为
故X的数学期望为
1
E ( X ) x k p k 0 (1 p ) 1 p p
e e
Note：服从泊松分布的r.v的分布可由期望确定.
X 表示中靶环数，
p X xi pi , i 0,1,,10; xi i
10
则 x 的值稳定于
xi pi
i 0
此为该射手平均中靶环数的真实评价.
10
称
xi p i 为随机变量X的是数学期望.
i0
2 定义1 设离散型随机变量X的分布律为
P{X xk} pk
(k 1,2,)
若 级 数 xk pk 绝 对 收 敛 ， 则 称 此 级 数 之 和 为 随 机 变 量
频 率（fi）
0 31 2 2 4 2 2 1 1 2 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20
可求得此射手的平均中靶环数为：
10
xi ni10源自x i0 nxi fi 0
i0
0 1 3 1 0 2 5.1
20
20
20
当射击次数增加时，频率稳定于概率（Ch5中证明），于是若设
k0
Note：服从（0-1）分布的r.v的分布可由期望确定.
例 2 设 X ~ () 求 E ( X ).
解 X的 分 布 律 为 k e
P{X k} k!
则 X的 数 学 期 望 为
k e
E( X ) xk pk k
k 0
k 0
k!
(k 0,1,2,, 0)
e
k 1
k 1(k 1)!