离散数学(屈婉玲版)第一章部分知识题

第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0(14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若2+2=4,则3+3=6.(2)若2+2=4,则3+3≠6.(3)若2+2≠4,则3+3=6.(4)若2+2≠4,则3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p q,真值为1.(6)p┐q,真值为0.(7)┐p q,真值为0.(8)┐p┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。

（1）如果今天是1号，则明天是2号。

p:今天是1号。

q:明天是2号。

符号化为：p q真值为：1（2）如果今天是1号，则明天是3号。

p:今天是1号。

q:明天是3号。

符号化为：p q真值为：01.5将下列命题符号化。

（1）2是偶数又是素数。

（2）小王不但聪明而且用功。

（3）虽然天气很冷，老王还是来了。

（4）他一边吃饭，一边看电视。

（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。

（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。

（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。

(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)（8）不经一事，不长一智。

答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。

符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。

符号化为：p∧q（3）设p：天气很冷，q：老王来了。

符号化为：p∧q（4）设p：他吃饭,q：他看电视。

符号化为：p∧q（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。

符号化为：p→q（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。

符号化为：q→p（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。

符号化为：q→p 或q →p（8）设p：经一事，q ：长一智。

符号化为：p →q1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)（2）(p↔r)∧(¬p∨s)（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)（4）¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)解：（1）p∨(q∧r)p q r q∧r p∨(q∧r)0 0 1 0 0(2) (p↔r)∧(¬p∨s)p q r s pr ¬p¬p∨s(p r)∧(¬p∨s)0 0 1 1 0 1 1 0 (3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)p q r s q∨r p∧(q∨r)p∨qr∧s (p∨q)∧(r∧s)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 (4)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)p q r s ¬p r∧¬pq→(r∧¬p)(p∨(q→(r∧¬p))(r∨¬s)¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)0 0 1 1 1 1 1 1 1 11．7 判断下列命题公式的类型。

（1）p(p q r)解：p q r pq p qrp(pq r)0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1由真值表可知，该命题公式为重言式。

（2）（p →┑p）→┑p由真值知命题公式的类型是：重言式（3）┐(q→p)∧p此命题公式是矛盾式。

(4)(p→q) →(﹁q→﹁p)解:其真值表为:由真值表观察,此命题为重言式.(5)( ﹁p→q) →(q→﹁p)解:其真值表为:由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式. （7）（p∨⌝p）→((q∧⌝q) ∧⌝r)解：0 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 0 0 0 01 1 0 1 0 1 01 1 1 1 0 0 0结论：此命题为矛盾式1.7(8)(p q)→﹁(p∨q).p q (p q) (p∨q) ﹁(p∨q) (p q)→﹁(p∨q)1 0 1 110 1 0 110 1 0 1111 1 0 0由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.(9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)解:该命题为永真式（10）（（p∨q）→r）↔s解：1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0 01 1 0 0 1 0 11 0 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 01 0 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1结论：此命题为非重言式可满足式1.8 用等值演算法证明下列等值式（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ⇔p证明：（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）⇔p∧(q∨﹁q) （排中律）⇔p∧1 (同一律)⇔p（3）（p q）( ( p q ) ( p q ) )证明：（p q）( ( p q ) (q p ) )( (p q ) (q p ) )(p q ) ( q p )( p q ) ( q p )( ( p q ) q ) ( (p q ) p )( ( p q ) ( q q ) ) ( ( p p ) ( q p) )(( p q ) 1) (1 ( q p) )( p q ) ( q p)( p q ) ( p q )1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。

（1）（（p q）p）.解：（1）（（p q）p）（（p q）p）蕴含等值式（（p q））p 德·摩根律p q p 双重否定律p p q 交换律0q 矛盾律0 零律即原式为矛盾式.(2)((p q)(q p))(p q)解：((p q)(q p))(p q)(p q) (p q)((p q) (p q)) ((p q) (p q))(P q) (p q)(p q) (p q))1即((p q)(q p))(p q)是重言式。

(3) (p→q)→(q→p).解：(p→q)→(q→p)((p∨q))∨(q∨p)(p∧q) ∨(q∨p)(p∨(p∧q))∧(q∨(q∨p))( (p∨p)∨q)∧((q∨q)∨p](p∨q) ∧(p∨q)(p∨q)或(p→q)→(q→p)((p∨q))∨(q∨p)(p∧q) ∨(q∨p)（(p∧q) ∨q）∨p结合律p∨q 吸收律结论：该公式为可满足式。

1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。

(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）¬(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)(¬p∧(¬q∨¬r)) ∨(p∧q∧r)(¬p∧¬q) ∨(¬p∧¬r)∨(p∧q∧r)((¬p∧¬q)∧(r∨¬r)) ∨((¬p∧¬r)∧(q∨¬q)) ∨(p∧q∧r)(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)((¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)m0∨m1∨m2∨m7∑(0,1,2,7)故其主析取范式为(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∑(0,1,2,7)由最小项定义可知道原命题的成真赋值为(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∏(3,4,5,6)（3）（p q）q r解：（p q）q r（p q）q rp q q r既（p q）q r是矛盾式。

（p q）q r的主合取范式为M0 M1 M2M3 M4 M5 M6 M7，成假赋值为：000，001，010，011，100，101，111．13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。

（1）①p→(q→r);②q→(p→r).解：p→(q→r) ﹁p(q→r)﹁p(﹁q r)﹁p﹁q r(﹁p(q﹁q)(r﹁r))((p﹁p)﹁q(r﹁r)) ((p﹁p)(q﹁q) r)(﹁p q r)(﹁p q﹁r)(﹁p﹁q r)(﹁p﹁q﹁r)(p﹁q r)(p﹁q﹁r)(﹁p q r) ∑(0,1,2,3,4,5,7)q→(p→r)﹁q(﹁p r)﹁p﹁q r∑(0,1,2,3,4,5,7)所以两式等值。

（2）①p q¬(p∧q)(p∧(q∨¬q))∨(q∧(p∨¬p))(p∧q)∨(¬p∧¬q) ∨(¬q∧p) ∨(¬p∧¬q)(¬p∧q) ∨(¬p∧¬q) ∨(p∧¬q)m1∨m0∨m2∑(0,1,2)(p∧¬q)处原为(¬q∧p)，不是极小项②令A = p qB= ¬(p∧q)C=(¬p∧q) ∨(¬p∧¬q) ∨(p∧¬q)D = p↓q则B*=¬(p∨q) p↓q=D且A B C所以D A*C*C* = (¬p∨q)∧(¬p∨¬q)∧(p∨¬q)∏（0，1，2）∑(3)所以①!②1.15某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；乙说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。