黄冈市09届第二轮复习高三数学理科交流试题(3)

09届高考数学交流试题蕲春一中一、选择题（ （一起学习）收集整理，不注册，不收费）：本小题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题所给的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数13z i =+，21x i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．二项式431(2)3nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 （ ） A ．7B ．12C ．14D ．54．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1)k n S p p p k n =++⋅⋅⋅+≤≤，若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列（12991,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为（ ） A ．991B ．992C ．993D ．9995．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界，若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b --的上确界为 （ ） A ．92B ．92-C ．14D ．-46．某一批大米质量服从正态分布(10,0.01)N (单位:kg),任选一袋大米，它的质量在9.810.2kg kg -内的概率是 （ ） A ．1(2)φ-B ．2(2)1φ-C ．(2)(2)F F --D ．(2)(2)1F F +--7．古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不能相邻的排法数为 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．208．已知平面内的四边形ABCD 和该平面内任一点P 满足：2222AP CP BP DP +=+ ，那么四边形ABCD 一定是 （ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形9．在四面体ABCD5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 （ ） A．B ．5C．2D ．410．过原点O 作两条互相垂直的直线分别与椭圆2212x y +=相交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 的面积的最小值为 （ ） A ．83B． C．D ．43二、填空题：本小题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中相应的横线上。

11．已知变量x 、y 满足约束条件11y x xy y ≤⎧⎪+≤⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最小值为 。

12．常数a 、b 满足21531limx ax x b x →-++=+，则a b += 。

13．已知平面向量(1,2)a = ，(1,3)b =- ，()c a a b b =-⋅，则a 与c 夹角的余弦值为 。

14．设椭圆22221x y a b+=（0)a b >>的切线交x 、y 轴于A 、B 两点，则AB 的最小值为 。

15．已知：对于给定的*q N ∈及映射:,*f A B B N →⊆，若集合C A ⊆，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集。

①对于{}2,,,q A a b c ==，映射:1,f x x A →∈，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；②对于给定的q ，1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B →的对应关系如下表：若当且仅当中含有和至少中2个整数或者中至少含有中5个整数时，C 为集合A 的好子集，写出所有满足条件的数组(,,)q y z ： 。

三、解答题：本大题共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知向量33(cos ,sin ),22a x x = (cos ,sin )22x x b =- ，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

（Ⅰ）求a b ⋅ 及a b +；（Ⅱ）若()2(1)f x a b a b λλ=⋅-+≤ 的最小值等于32-，求λ值及()f x 取得最小值32-时x 的值。

17．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax b =++的图象在点(1,0)p 处（即p 为切点）的切线与直线30x y +=平行。

⑴求常数a 、b 的值；⑵求函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上的最小值和最大值；⑶（只理科做）若函数2(),(,2]()12,(2,)2f x x g x c x x ax ax∈-∞⎧⎪=⎨-∈+∞⎪-⎩为连续函数，求c 的值。

18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥p ABCD -的底面是直角梯形，090ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD 。

⑴求二面角P DC B --的大小；⑵（理）求证：平面PAD ⊥平面PAB 。

19．（本小题满分12分）美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市，甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“抄底”。

若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）。

⑴求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率；⑶（只理科做）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋回暖，若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股买人1000股某只股票，且预计今天收盘时，该只股票涨停（比上一交易日的收盘价上涨10%）的概率为0.5，持平的概率为0.2,否则将下跌5%,求此人今天获利的数学期望(不考虑交易税)。

20.如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线长为n a 的正方形(1,2,)n n n n A B C D n =⋅⋅⋅，其对角线n n B D 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）。

设数列{}n a 是首项为a ，公差为d （0)d >的等差数列，点1B 的坐标为(,0)d⑴当8,4a d ==，证明：顶点1A 、2A 、3A ⑵在⑴的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线22y x =上； ⑶为使所有顶点n A 均落在抛物线22(0)y px p =>上，求a 与d 之间所应满足的关系式。

DCPAB21．（本小题满分14分）（理）已知函数()()f x x In x a =-+在1x =处取得极值； ⑴求实数a 的值；⑵若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在1[,2]2上恰有两个相等的实数根，求实数b 的取值范围；⑶证明：22132(,2)()(1)nk n n n N n k f k n n =-->∈≥-+∑。

参考数据：20.6931In ≈参考答案11． -3 12. 3 13. 4114.a b + 15. 4 (5,1,3)16．⑴33cos cos sin sin cos 22222x xa b x x x ⋅=-⋅=2cos a b x +====⑵()2()cos24cos (1)f x a b a b x x λλλ=⋅-+=-⊆ [0,]2x π∈=2222cos 4cos 12(cos )21x x x λλλ--=--- 由于[0,]2x π∈ c o s [0,1x ∴ 当0λ<时 min 3()12f x =-≠-当01λ≤≤时 2m i n3()212f x x =--=- 12λ= 此时1cos 2x = 3x π= 综上12λ=，()f x 取最大值32-时， 3x π= 17．⑴2'()32f x x ax =+因为函数32()f x x ax b =++的图象在点(1,0)p 处的切线与直线30x y +=平行，所以'(1)323f a =+=-，即3a =-。

（文2分）又32()f x x ax b =++过点(1,0)p ，2b ∴= （文4分，理3分）⑵由⑴知，32()32f x x x =-+，2'()36f x x x =-。

令'()0f x =，则0x =或2，易知()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)。

（文6分，理5分）。

∴当02t <≤时，()f x 的最大值为(0)2f =，最小值为22()32f t t t =-+；当23t <≤时，()f x 的最大值为(0)2f =，最小值为(2)2f =-； （文10分，理7分）当3t >时，()f x 的最大值为32()32f t t t =-+，最小值为(2)2f =-； （文12分，理8分）⑶因为()g x 为连续函数，所以2lim ()x g x →=(2)g由⑵得(2)(2)2g f ==-，则3222lim ()lim(32)(2)2x x g x x x f →-→-=-+==-，（理10分） 222212()1212lim ()lim lim 2(2)x x x cx c x g x ax ax ax x →+→+→+--==-- =212()12lim23(2)x c x x x →+--=--， 22412cc ∴=⇒=。

（理12分） 18．⑴DC BC ⊥ ，且平面PBC ⊥平面ABCD ，DC ∴⊥平面PBCPC ⊂ 平面PBC ，∴DC PC ⊥，DC BC ⊥， ∴PCB ∠为二面角p DC B --的平面角。

（4分）PBC J 是等边三角形，∴060PCB ∠=，即二面角p DC B --的大小为060。

（5分）⑵（理）设PB 的中点为N ，PA 的中点为M ，连结DM 、MN 、CN ，PC BC = ，CN PB ∴⊥，①∴AB BC ⊥，且平面PBC ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PBC 。

（7分） 又CN ⊂平面PBC ，∴AB CN ⊥。

②由①、②知CN PAB ⊥平面 由MN AB CD ，12MN AB CD ==，得四边形MNCD 为平行四边形， ∴CN DM ，∴DM ⊥平面PAB ，又 DM ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面PAB 。

19．⑴三人恰好买到同一只股票的概率1111110101010100p =⨯⨯⨯=。

（文4分，理3分）⑵解法一 三人中恰好有两个买到同一只股票的概率2223192710()1010100p C =⨯⋅⋅=。

（文9分，理7分）由⑴知，三人恰好买到同一只股票的概率为11100p =，所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率12271710010025P P P =+=+=。