第三章 带间跃迁的吸收与发射光谱

Eg E=0 Eg
（自由电子近似）
2 K i 2 2 K 2 Ei ( K i ) * * 2m h 2mh 2 K 2 E f (K f ) Eg Eg * * 2 me 2 me 2 K 2 2 K 2 2 K 2 E E f Ei E g Eg * * 2 me 2mh 2 * 2 K 2 f
金属导体：它最上面的能带或是 未被电子填满，或虽被填满但填 满的能带却与空带相重叠。
电子与空穴 波包-准经典粒子 群速度
vk 0 1 ( k E ) k 0
充满带，外 场不改变电 子的对称分 布，即满带 电子不导电
准动量 d ( k ) F 外力 dt
有效质量 - 能带顶 dv 1 *F dt m 2 E * m ( x , y , z ) 2 k 空穴
相互作用哈密顿量
辐射场(光场) 矢量势 标量势
( it k .r ) i (t k .r ) A A0a[e e ]
A A E t t
哈密顿量 电子动量:在光场作用下为 相互作用哈密顿量
HI H
注释：
(1)
P eA
e指数区
~ 102 cm 1
弱吸收区
102 cm 1
半导体GaAs的吸收光谱
3.2 允许的直接跃迁
直接带结构半导体(GaAs) 能量守恒 E f Ei 动量守恒 Ki + k = Kf 直接跃迁 Ki Kf =K（竖直跃迁） 带边跃迁:取跃迁几率为常数 抛物线能带结构近似
N (E ) N
i i i, f
if
f
( E f ) B( Eg EP )2
态密度卷积
(2次幂!) 讨论1：联合态密度(½次幂!)与态密度的卷积
讨论2：间接跃迁吸收光谱的温度依赖
若 Eg EP
[()]1/2
吸收一个声子
2次幂！
a ( )
若
C ( E g E P )2 exp( E P / k BT ) 1
由于晶体中原子的周期性 排列而使价电子不再为单 个原子所有的现象，称为 电子的共有化。
2、能带的形成 电子的共有化使原先每个原子中具有相同能级 的电子能级，因各原子间的相互影响而分裂成一系 列和原来能级很接近的新能级，形成能带。
能带的一般规律： 原子间距越小，能带越宽，
∆E越大；
越是外层电子，能带越宽，
3.5 杂质参与的间接跃迁的光吸收
掺杂对声子伴随间接跃迁光吸收的影响
——吸收边蓝移(Burstein-Moss效应）
() AF ( EP )( Eg EP n )2
导带
禁带 价带
通过杂质散射的间接跃迁
——吸收边红移，带隙收缩
' ( ) AN ( Eg n )2
+ 能带底
未充满带， 外场改变电 子的对称分 布
抵消部分 未抵消部分
态密度函数
定义： N ( E ) lim
E 0
Z E
Z
2V (2 )3
dsdk
2V ( (2 )3
N (E)

ds ) E K E( K )
。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。
满带：各能级都被电子填满的能带。 满带中电子不参与导电过程。 价带：由价电子能级分裂而形成的能带。 价带能量最高，可能被填满，也可不满。 空带：与各原子的激发态能级相应的能带。 正常情况下没有电子填入。
3、导体和绝缘体 当温度接近热力学温度零度时，半导体和绝缘 体都具有满带和隔离满带与空带的禁带。
∆E越大；
两个能带有可能重叠。
禁带：两个相邻能带间可 能有一个不被允许的能量 间隔。
锗和硅的能带结构E—K 图（间接带半导体）
电子在能带中的分布：
每个能带可以容纳的电子数等于与该能带相应
的原子能级所能容纳的电子数的N倍（N是组成晶 体的原胞个数）。
正常情况下，总是优先填能量较低的能级。
e N A(ri , t ). Pi m i 1
H
1 ( p eA)2 U ( r ) 2m2 p e e2 2 U (r ) A P A 2m m 2m (1) (2) H0 H I H I
其中利用横波条件 A 0 和 P A A P i A
2 e 2 2 ( ) { a MV ,C [ EC ( K ) EV ( K ) ]} 0 m V ,C BZ (2 )3
i ( )
其它光学响应函数的量子力学表示
r ( ) 1
2e 2dk 0 m 2 V ,C BZ (2 )3 [ EC ( K ) EV ( K )] 1 [ EC ( K ) EV ( K )]2 / 2 2
2V ds (2 )3 等能面 K E ( K )
2 k 2 E (k ) 2m
取决与E(K )关系，对于自由电子
V 2m 3 / 2 1/ 2 N (E) ( 2 ) E 2 2
3.1 带间光吸收的实验规律
吸收边 幂指数区(1/2, 3/2, 2)
104 ~ 106 cm 1
n(,T)+1 n(,T)
Ef
Fe
间接跃迁吸收光谱的计算
温度T 下的平均声子数（声子布居数）
电子态跃迁
+ 单声子
Fa
发射一个声子
Fe ( EP ) n( , T ) 1
1 1 exp( EP / kBT )
Ei
吸收一个声子 F ( E ) n( , T ) a P
对S求和 对V和C求和
2 2 e 2dK Z ( A0 )2 { a MV ,C [ EC ( K ) EV ( K ) ]} 3 m V ,C BZ (2 )
介电函数虚部的量子力学表示
2 Z E 2 0 i ( ) E 2 0 3 i ( ) A2 2 0 3 i ( ) A0
偶极跃迁矩阵元满足平移对称性，即要求下式保持不变 所以 或
a Mi , f exp[i( K f k Ki ) T ] K f k Ki 0 K f Ki K (光子：k 0)
对应直接跃迁（竖直跃迁）。
直接跃迁吸收谱的量子力学计算
对K求和
单位时间、单位体积中的跃迁数
Wif ( K 0) 0 Wif ( K 0) 0

而 2 Wif ( K 0) MV ,C ( K ) K 2 ( E g ) 可得 其中
( ) A( Eg )3/ 2
mm e * * m h me 4 A * * 3 nch2 mh me
1 exp( E p /kBT ) 1
带边跃迁，跃迁几率为常数的假设 吸收光谱的表达
( ) A Wifab ni ( Ei )n f ( E f ) F ( E p ) AWif F ( E P ) ni ( E i )n f ( E f )
i, f if
AWif F ( E P ) N i ( Ei ) N f ( E f )
( E f Ei )
2 2 e ( A0 )2 a M i , f [ E f ( K f ) Ei ( K i ) ] m
a M i , f * , K f (e ik r a P ) i , K i d f
波函数，单电子近似
2 * h * e 5/ 2
3.4 声子伴随的间接跃迁
Ef-Ei+EP
导带
间接带结构半导体(Si)
跃迁的最低能量原则 动量守恒
Ki q k K f K i 0, k 0, q K f
Ef Ef-Ei-EP
0
E K
Ei 价带
能量守恒 发射一个声子
2 2 KC KV Ee e E f Ei EP E g E p * 2me 2mh 吸收一个声子 2 2 KC KV Ea a E f Ei EP E g E p * 2me 2mh
0
直接跃迁吸收 光谱的计算
( ) AWifab ni ( Ei )n f ( E f )
i, f
[ ( )]2
AWifab N i ( Ei ) N f ( E f )
i, f

联合态密度
JVC
Eg 1 2 1 1 2 * 3 2 N i ( Ei ) N f ( E f ) 3 ds 2 2 ( 2 ) ( E Eg ) 2 (2 ) k E (k ) i, f
“+”代表光吸收 （空间指数因子） “-”代表光发射
讨论：布洛赫函数的周期性与动量守恒定律
晶体中的电子波函数：布洛赫函数
* ,K e u( K f , r ) f i , K e iK r u( K i , r )
f i i
iK f r
其中周期性函数
u( K , r T ) u( K , r )
跃迁几率
含时微扰项为
HI (r , t ) H I (r )e
it
“-”代表光吸收
“+”代表光发射
（时间指数因子）
Ef
Ei 发射
吸收 Ei