SnS-第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析(2)
信号与系统不挂科-3-连续时间信号的频域分析
双边幅度谱为单边幅度谱幅度取一一半以后偶延拓拓（除直流分量量），直流分量量不不变。
双边相位谱为单边相位谱直接奇延拓拓。
例例题3-2 试作出例例3-1信号的双边频谱。
例例题3-3
一一周期信号为f
(t)
=
2
+
3
cos(t
−
π 6
)
+
sin(3t
−
π 6
)
−
2
cos(5t
−
π 3
)；
试分别作出此信号的单、双边幅度图和相频图。
*
F(
j
ω)]，f
3(t
)
↔
1 (2π)2
[F
(
jω)
*
F
(
jω)
*
F
(
jω)]。
例例题3-14
求g6(t)cos 5t的傅里里里叶变换。
时域微分性质
若f (t) ↔ F( jω)，则
df (t) dt
↔ jωF( jω)
dn f (t) dtn
↔ ( jω)nF(
jω)
时域积分性质
若f (t)
↔
t
「信号与系统不挂科」第三讲讲义
3.1.傅里叶级数与信号的频谱
3.1.1.傅里里里叶级数
三⻆角形式的傅里里里叶级数
周期为T的信号fT (t )满足足狄利利克雷雷条件，可展开为傅里里里叶级数：
fT (t )
=
a0 2
+∞
+ ∑ (an cos nΩt
n=1
+ bn sin nΩt)
其中Ω
=
2π T
称为基波⻆角频率，f
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
第3章 连续时间信号与系统的频域分析
图 中 T 5
T
Fn
Fn是实函数，幅度/相位可 在一个图中画出
Fn 0，相位为 0， Fn 0, 相位为 π 2π
0
0 0
(1)包络线形状：取样函数
(2) 其最大值在n 0处，为 T
(3)离散谱（谐波性） 当ω n0 取值 2π （4 )第一个零点坐标： 令 n0 π n0＝ 2 π 2
| Fn |
初相为
jn
19
指数形式与三角形式系数之间的关系为
1 1 Fn Fn e jn (bn jcn ) An e jn 2 2 1 1 j n F n (bn jcn ) An e 2 2 1 Fn An F n 2 cn n arctan bn Fn F n 2 Re Fn bn An cos n j ( Fn F n ) j 2 Im Fn cn An sin n
其中n＝1、2、3、。。。，t0为任意实数
bn是n的偶函数，cn是n的奇函数
7
也可以写成另外一种形式：
¥
fT (t ) = A0 + å An cos(nw 0 t + j n )
n=1 2 n 2 n
(3.1.2)
A0 = a0 , An = b + c , (n = 1, 2, 3 ) - cn j n = arctan( ) bn
3.1.2 指数函数形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数，含义明确，但运算
jnw 0 t F e å n (n = 0, ±1, ±2...) ¥
不方便，因而常采用指数形式的傅里叶级数
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
连续时间傅立叶变换讲义
连续时间傅立叶变换讲义连续时间傅立叶变换（Continuous-Time Fourier Transform）是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、通信系统、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用。
本讲义将介绍连续时间傅立叶变换的基本概念、性质、公式和应用。
1. 时域和频域在信号处理中，我们通常所说的信号是指随时间变化的函数。
这样的信号称为时域信号，它描述了信号在时间上的变化。
与之相对应的是频域信号，它描述了信号在频率上的变化。
连续时间傅立叶变换将信号从时域转换到频域，从而将信号的频谱信息展示出来。
2. 连续时间傅立叶变换的定义连续时间傅立叶变换将一个连续时间函数x(t)映射到复数域的函数X(f)，其中f表示频率。
连续时间傅立叶变换的定义如下：X(f) = ∫(x(t)e^(-j2πft))dt其中，j是虚数单位，e是自然对数的底数。
连续时间傅立叶变换可以看作是将函数x(t)与复指数函数e^(-j2πft)进行内积运算。
3. 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换具有很多重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度变换性质、频移性质、共轭性质等。
这些性质使得连续时间傅立叶变换成为一个非常有用的工具。
4. 连续时间傅立叶变换的公式连续时间傅立叶变换的公式可以通过拉普拉斯变换得到。
当输入信号是实数信号时，变换后的频谱是一个复函数，包含了信号的幅度和相位信息。
通常，我们可以将信号的幅度谱和相位谱分开表示。
5. 连续时间傅立叶变换的应用连续时间傅立叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
它可以用于信号的滤波、频谱分析、信号的采样和重构等方面。
在通信系统中，连续时间傅立叶变换可以用于信道估计、调制和解调、多路径传输等。
总结：连续时间傅立叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它通过将函数与复指数函数进行内积运算，将信号的频谱信息展示出来。
连续时间傅立叶变换具有许多重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度变换性质、频移性质、共轭性质等。
第3章 连续时间信号的傅里叶分析上课汇总
2T1 T
sin(k0T1 ) k0T1
2T1 T
Sa(k0T1 )
取T = 4 T 1
ak
1 2
Sa(
2
k)
1 sinc(k ) 22
1 ak 2 a0
a1
(3.2.9)
a2
8 6 4 2 0 2
46 8 k
傅氏级数 例题
？
信号 系统 响应
取T = 8 T 1
1 4
ak a0
a1
a2
a3
a4
常数
est LTI H (s)est
(3.1.7)
特征函数
特征值
复指数信号通过LTI系统
？
信号 系统 响应
思考：如果信号 f (t) 能表示为
f (t) akeskt k
由系统的线性，“和的响应等于响应的和”，信号 通过LTI系统的响应为
f (t) LTI y(t) ak H (sk )eskt k
k 次谐波
傅氏级数 例题
？
信号 系统 响应
例3.2.1 已知连续时间信号 f (t) 1 cos0t 2sin30t
求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak
解：f
(t
2 0
)
1
cos(0t
2
)
2
sin(30t
6
)
f (t)
cos0t
1 2
(e
j0t
e
j0t )
sin 30t
1 2j
(e j30t
e j30t )
2 sin(k0T1 ) k0T
ak
2 sin(k0T1 ) k0T
2T1 T
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
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➢傅立叶的逆变换
f (t) lim
Fne jn0t
T n
1
T
lim
n
e
jn0t
F
(n0 0
)
0
jt
f (t) 2 F ( j)e d
T
lim
n
e
jn0t
T
F (n0 2
)
(n
1)0
n0
傅立叶 逆变换
1
lim
e jt F ( j)
2 T n
n0
1
F
(
j)e
jt
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
5
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢傅里叶变换的性质 ➢连续周期信号的傅里叶变换 ➢练习三
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
6
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢卷积定理 ➢连续LTI系统的频率响应与理想滤波
器 ➢练习四
f
(t)
1
2
F(
j)
cos(t
()d
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
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3.2.2 傅里叶变换的物理意义
➢傅里叶变换的存在条件-狄里赫利条 件
❖信号在无限区间内绝对可积
❖信号在任何有限区间内有有限个极值 点
❖信号在任何有限区间内有有限个不连
续点，而且每个不连续点的值必须有
限
d
2
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
13
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
➢一对特殊的等式
F ( j0) f (t)dt
f (0) 1
F
(
j
)d
2
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信号与系统 第3章第2次课
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3.2.2 傅里叶变换的物理意义
➢F(j)是密度函数 ➢F(j)是定义域为(-j∞, +j∞)的连续谱，
O
1 F ( j)
a 1 2a
Oa
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t
( )
π 2
O
π
2
信号与系统 第3章第2次课
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3.2.3.2 双边指数信号
❖信号表达式
f (t) ea t ( t )
❖幅频
F(
j)
2a
a2 2
❖相频
() 0
f(t)
O
t
F ( j) F ( j)
2
a 1
a
O
a
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信号与系统 第3章第2次课
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3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
➢当周期信号的周期T无限大时，就演 变成了非周期信号的单脉冲信号
T
频率也变成连续变量
0
2
T
0 d
n0
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信号与系统 第3章第2次课
10
3.2.1jn0tdt
T 2
F
(n0
)
2 0
T 2
T 2
f (t)e jn0tdt
傅立叶 变换
lim T F (n0 )
T
f1(t)e
jt
dt
F( j)
f
(t
)e
jt
dt
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
12
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
域分析
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
3
概述
➢时域与变换域转换的对应关系
时域 连续 离散 变换域 变换域 非周期 周期 时域
时域 实部 虚部 变换域 变换域 偶对称 奇对称 时域
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
4
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续非周期信号的傅里叶变换 ➢练习二
包含了从零到无限高频的所有频率分 量，分量的频率不成谐波关系
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
15
3.2.2 傅里叶变换的物理意义
➢F(j)一般为复函数
F ( j) F ( j) e j ()
f
(t)
1
2
F
(
j)e
jt d
1
2
F ( j) e j(t ())d
❖若f(t)为实数，则幅频为偶，相频为奇
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
7
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续时间LTI系统的频域求解 ➢练习五
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
8
3.2 连续非周期信号的傅里叶变换
➢傅里叶变换及傅里叶逆变换 ➢傅里叶变换的物理意义 ➢典型非周期信号的傅里叶变换
➢信号表达式
f
(t
)
eat
(t 0)
0 (t 0)
F ( j) f (t)e jtdt 1 ( 0)
a j
❖幅频
F ( j) 1 2 2
❖相频
() arctg
a
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
19
3.2.3.1 单边指数信号
➢信号的波形及频谱
f(t)
信号与系统
——多媒体教学课件 (第三章 Part 2)
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢引言 ➢连续周期信号的傅里叶级数表示 ➢练习一
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
2
主要内容
➢傅里叶级数和傅里叶级数的性质 ➢傅里叶变换和傅里叶变换的性质 ➢周期信号和非周期信号的频谱分析 ➢卷积定理和连续时间LTI系统的频
➢频谱演变的定性观察
-T/2
T/2
-T/2
T/2
Fn F (n0 )
0
2
T
F (n0 ) 0
F (n0 )
0
2020年11月12日星期四
2
信号与系统 第3章第2次课
2
11
3.2.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换
➢从周期信号FS推导非周期的FT
f (t) F (n0 )e jn0t
n
F (n0 )
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
Back 21
3.2.3.3 对称矩形脉冲信号
➢信号表达式
f
(t)
E
0
(t
2
)
(t
2
)
❖幅频 F( j) E Sa
2
F ( j) / 2 Ee j tdt / 2 2E sin 2 Eτ Sa 2
❖相频
0
()
2020年11月12日星期四
2020年11月12日星期四
f (t)dt
信号与系统 第3章第2次课
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3.2.3 典型非周期信号的傅里叶变换
➢单边指数信号 ➢双边指数信号 ➢对称矩形脉冲信号 ➢符号函数 ➢冲激函数 ➢阶跃信号
2020年11月12日星期四
信号与系统 第3章第2次课
Back 18
3.2.3.1 单边指数信号
4n
2(2n 1)
2(2n 1)
4(n 1)
(n 0)
4n 2(2n 1) (n 0)
信号与系统 第3章第2次课
22
3.2.3.3 对称矩形脉冲信号
f (t) E
O
2
2
t
2020年11月12日星期四
|F(j)|
Et
...
4π
...
2π O