第五章 测量误差的基本知识
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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第五章 测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识单选题1、引起测量误差的因素概括起来有以下三个方面（B）。
A.观测者、观测方法、观测仪器B.观测仪器、观测者、外界因素C.观测方法、外界因素、观测者D.观测仪器、观测方法、外界因素2、测量误差来源于（A）。
A.仪器、观测者、外界条件B.仪器不完善C.系统误差D.偶然误差3、用测回法测水平角，盘左盘右角值相差1°是属于（ D ）。
A.系统误差B.偶然误差C.绝对误差D.粗差4、测量记录时，如有听错、记错，应采取（C）。
A.将错误数字涂盖B. 将错误数字擦去C. 将错误数字划去D.返工重测重记5、真误差是观测值与（A ）之差。
A.真值B.观测值与正数C.中误差D.相对误差6、真误差为观测值与（C）之差。
A.平均B.中误差C.真值D.改正数7、钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于（B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8、下列误差中（A）为偶然误差。
A.照准误差和估读误差B.横轴误差C.水准管轴不平行与视准轴的误差D.指标差9、尺长误差和温度误差属（B）。
A.偶然误差B.系统误差C.中误差D.粗差10、用名义长度为30 m的钢尺量距，而该钢尺实际长度为30.004 m，用此钢尺丈量AB两点距离，由此产生的误差是属于（C）。
A.偶然误差B.相对误差C.系统误差D.绝对误差11、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是（B）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差12、普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于（A）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差13、由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（ B ）。
A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差14、经纬仪对中误差属（A）A.偶然误差B.系统误差C.中误差D.容许误差15、衡量一组观测值精度的指标是（A）。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
误差基本知识
1．用真误差来确定中误差
在等精度观测条件下，对真值为Ｘ的某一量进行n 次观测，其观测值为L1，L2…Ln，相应的真误差为 1，2…n。取各真误差平方的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差，以m表示，即：
Δi = X - L i
m =
2
i =1
n
n
2．用改正数来确定中误差
在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法 求得，所以常用最或是误差即改正数来确定中误差。
系统误差除可用改正数计算公式对观测 结果进行改正加以消除外，也可以用一 定的观测方法来消除其误差影响。
如经纬仪视准轴不垂直于横轴造成的误差，可以 用盘左、盘右观测角度，取其平均值的方法加以 消除；在水准测量中，采用前、后视距离相等来 消除水准仪的视准轴不平行于水准管轴造成的误 差。
由此可见，系统误差对观测结果影响较大，因此 必须采用各种方法加以消除或减少它的影响。比 如用改正数计算公式对丈量结果进行改正。
例四 某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为h1 = 18.316 m ± 5 mm，h2 = 8.171 m ± 4 mm，h3 = 6.625 m ± 3 mm，试求总的高差及其中误差。 解：h = h1 + h2 + h3 = 15.316 + 8.171 6.625 = 16.862 (m)
1． 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值。 ………………….（有界性）
2． 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会多。………………………………….（单峰性）
3．绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相
等。 ………………………………次数的无限
容 = 2m 容 = 3m
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5.测量，测角中误差均为10〃，所以A角的精度高于B角。
（X）8.在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。
（X）10 .测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。
（X）1、什么是偶然误差？它有哪些特性？定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。
如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性：（D有界性（2）渐降性（3）对称性（4）抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为m户±20〃，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10” ?（）A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。
4.对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。
14.测量误差的来源有、、外界条件。
3.设对某距离丈量了6 次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。
24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。
3.观测值与之差为闭合差。
（）A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（）A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些？10测量误差按性质可分为和两大类。
1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是（）oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是（）。
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观测量的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数V。 当为等精度观测时，算术平均值x与观测值l之差，即为观测 值改正数V。
Vi x li
(i=1,2,….n)
三、由观测值改正数计算观测值中误差
在现实生产中，真误差往往不知道，需要计算观
测值的改正数（观测值与算术平均值之差）来计算
中误差，用改正数求等精度观测值中误差的公式
误差计算值为mz，则
mz m12 m22 mn2
当m1=m2=……=mn=m 时
mz m n
三、线性函数
设有未知量Z为独立观测值X1，X2 ……，Xn的线性函数，
即
z k1X1 k2 X 2 knXn
式中k1 ，k2 ……，kn为常数。设各个观测量的观测值为x1， x2…… ，xn ，其中误差为m1，m2 ……， mn。n个独立观测 值的代数和的函数中误差计算值为mz，由观测值计算得函 数的计算值为
X=36 50 26
v
+4 0 +2 -2 -1 -3 [v]=0
vv
16 0 4 4 1 9 [vv]=34
计算
m [vv] 34 2.6 n 1 61
M m 2.6 1.16 n5
第四节 误差传播定律
例如，水准测量中，每站的高差h就是观测的后视 读数a与前视读数b之差求得的，即
或不按一定规律性变化，这种误差称为偶然误差。 三、偶然误差的统计特性： a.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度（有
界性）。 b. 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多（大小性）。 c. 绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等（对称性）。 d.随着观测次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零（三次，
尺
当视线水平或向上倾
子
斜或向下倾斜时，会
量得三个不同的身高
值，这三个值之间存
在误差。
结论:这时候产生误差的原因主要是由人为因素造成的
3、测三角形内角和 用经纬仪测量一三角形内角，除了上面所说的人和仪器的
因素导致误差外，还有环境因素，如：光的折射、视线跳动等 等,都有可能使照准失真，这些现象是由于空气的密度不同、空 气的对流、风力等情况所造成的, 也就是由环境造成的。
A
B
C’ C
结论:环境因素也是造成误差产生的又一个主要原因
误差产生原因：
1.仪器设备
2.人为因素
3.外界条件
• 测量仪器、观测者、外界条件是引起观测误差的主要因素， 这三个因素综合起来称为观测条件。
• 观测条件相同的一系列观测称为等精度观测；
• 观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。
• 误差（Error)Δ（真误差）：观测值L与真值X的差值。
i li X (i=1,2,….n)
• 真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。
二、测量误差分类 按性质分为 系统误差(system error)、偶然误差(accident error) 1.系统误差：在相同的观测条件下，误差的大小、符号 表现出系统性，
或按一定规律性变化，这种误差称为系统误差。 2.偶然误差：在相同的观测条件下，误差的大小、符号 表现出偶然性，
（白塞尔公式）：
m [vv] n 1
四、算术平均值中误差M
M m n
因此，增加观测次数，可以提高算术平均值的精度
[例] 设用经纬仪测量某角度6个测回，观测值见下表，求 观测值的中误差及算术平均值中误差。
观测次序
1 2 3 4 5 6
观测值（°′″）
36 50 30 26 28 24 25 23
二、和差函数
设有未知量Z为其他两个独立观测值X，Y的和函数或差函数，
合写为
Z X Y
设X，Y的观测值为x，y，由此得函数的计算值z为 z x y
设观测值x，y的中误差分别为mx，my
mz m2x m2 y
两个独立观测值代数和的中误差，等于这两个独立观测值中 误差的平方和。
设独立观测值为x1，x2…… ，xn ，其中误差为m1， m2 ……， mn，n个独立观测值的代数和的函数中
h a b
高差h是观测值a和b的函数。 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的
定律，称为误差传播定律。
一、倍数函数
设某个未知量Z观测值X之间，存在倍数的函数关系为 Z kX
式中k为常数。设X的观测值为x，由此得Z的观测值z为
z kx
设观测值x的中误差为mx
mz kmx
K倍观测值函数的中误差，等于观测值中误差的K倍。
第五章 测量误差的基本知识 第一节 测量误差及其分类
一、测量误差（error）及其来源
先看三个例子： 1、如果用两把刻划不一样的尺，丈量同一段距离，用第一根尺量得距离
为20m,用第二根尺量得距离为19.98m，两者相差2cm。
• 结论:这时误差产生的如果用两把刻划不一样的尺，丈量同一段距离， 用第一根尺量得距离为20m,用第二根尺量得距离为19.98m，两者相差 2cm。
3、相对误差(relative error) 中误差与相应观测值之比，通常将分子化为1， 用1/N的形式表示,
当误差的大小与被观测量无关时，用中误差来衡量精度；反之，用相对 误差衡量。 4、平均误差
第三节 算术平均值及其中误差
一、算术平均值 当观测次数无限增加时，算术平均值趋近于真值。
将最接近真值的近似值，称为“最或然值”（或称为“最可靠 值”）。 二、观测值改正数
性）。
第二节 评定精度的指标
一、精度的含义 对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集和离散程度。
二、衡量精度的指标 1、中误差(mean square error)
真误差的平方和的平均数之平方根。
m [] n
式中［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数。 中误差不同于每个观测值的真误差，它是衡量一组观测精度的指 标，它的大小反映一组观测值的离散程度。中误差小，则误差的分 布密集，各观测值之间的差异也较小，这组观测值的精度就高；反 之，精度越低。
2、容许误差 （亦称极限误差limit error） 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限，称
为极限误差。 真误差大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为31.7％ 真误差大于两倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5％ 真误差大于三倍中误差的偶然误差出现的概率为0.3％
一般以2-3倍中误差作为容许误差△容≈2m或△容≈ 3m
Vi x li
(i=1,2,….n)
三、由观测值改正数计算观测值中误差
在现实生产中，真误差往往不知道，需要计算观
测值的改正数（观测值与算术平均值之差）来计算
中误差，用改正数求等精度观测值中误差的公式
误差计算值为mz，则
mz m12 m22 mn2
当m1=m2=……=mn=m 时
mz m n
三、线性函数
设有未知量Z为独立观测值X1，X2 ……，Xn的线性函数，
即
z k1X1 k2 X 2 knXn
式中k1 ，k2 ……，kn为常数。设各个观测量的观测值为x1， x2…… ，xn ，其中误差为m1，m2 ……， mn。n个独立观测 值的代数和的函数中误差计算值为mz，由观测值计算得函 数的计算值为
X=36 50 26
v
+4 0 +2 -2 -1 -3 [v]=0
vv
16 0 4 4 1 9 [vv]=34
计算
m [vv] 34 2.6 n 1 61
M m 2.6 1.16 n5
第四节 误差传播定律
例如，水准测量中，每站的高差h就是观测的后视 读数a与前视读数b之差求得的，即
或不按一定规律性变化，这种误差称为偶然误差。 三、偶然误差的统计特性： a.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度（有
界性）。 b. 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多（大小性）。 c. 绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等（对称性）。 d.随着观测次数的无限增加，偶然误差的算术平均值趋近于零（三次，
尺
当视线水平或向上倾
子
斜或向下倾斜时，会
量得三个不同的身高
值，这三个值之间存
在误差。
结论:这时候产生误差的原因主要是由人为因素造成的
3、测三角形内角和 用经纬仪测量一三角形内角，除了上面所说的人和仪器的
因素导致误差外，还有环境因素，如：光的折射、视线跳动等 等,都有可能使照准失真，这些现象是由于空气的密度不同、空 气的对流、风力等情况所造成的, 也就是由环境造成的。
A
B
C’ C
结论:环境因素也是造成误差产生的又一个主要原因
误差产生原因：
1.仪器设备
2.人为因素
3.外界条件
• 测量仪器、观测者、外界条件是引起观测误差的主要因素， 这三个因素综合起来称为观测条件。
• 观测条件相同的一系列观测称为等精度观测；
• 观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。
• 误差（Error)Δ（真误差）：观测值L与真值X的差值。
i li X (i=1,2,….n)
• 真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。
二、测量误差分类 按性质分为 系统误差(system error)、偶然误差(accident error) 1.系统误差：在相同的观测条件下，误差的大小、符号 表现出系统性，
或按一定规律性变化，这种误差称为系统误差。 2.偶然误差：在相同的观测条件下，误差的大小、符号 表现出偶然性，
（白塞尔公式）：
m [vv] n 1
四、算术平均值中误差M
M m n
因此，增加观测次数，可以提高算术平均值的精度
[例] 设用经纬仪测量某角度6个测回，观测值见下表，求 观测值的中误差及算术平均值中误差。
观测次序
1 2 3 4 5 6
观测值（°′″）
36 50 30 26 28 24 25 23
二、和差函数
设有未知量Z为其他两个独立观测值X，Y的和函数或差函数，
合写为
Z X Y
设X，Y的观测值为x，y，由此得函数的计算值z为 z x y
设观测值x，y的中误差分别为mx，my
mz m2x m2 y
两个独立观测值代数和的中误差，等于这两个独立观测值中 误差的平方和。
设独立观测值为x1，x2…… ，xn ，其中误差为m1， m2 ……， mn，n个独立观测值的代数和的函数中
h a b
高差h是观测值a和b的函数。 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的
定律，称为误差传播定律。
一、倍数函数
设某个未知量Z观测值X之间，存在倍数的函数关系为 Z kX
式中k为常数。设X的观测值为x，由此得Z的观测值z为
z kx
设观测值x的中误差为mx
mz kmx
K倍观测值函数的中误差，等于观测值中误差的K倍。
第五章 测量误差的基本知识 第一节 测量误差及其分类
一、测量误差（error）及其来源
先看三个例子： 1、如果用两把刻划不一样的尺，丈量同一段距离，用第一根尺量得距离
为20m,用第二根尺量得距离为19.98m，两者相差2cm。
• 结论:这时误差产生的如果用两把刻划不一样的尺，丈量同一段距离， 用第一根尺量得距离为20m,用第二根尺量得距离为19.98m，两者相差 2cm。
3、相对误差(relative error) 中误差与相应观测值之比，通常将分子化为1， 用1/N的形式表示,
当误差的大小与被观测量无关时，用中误差来衡量精度；反之，用相对 误差衡量。 4、平均误差
第三节 算术平均值及其中误差
一、算术平均值 当观测次数无限增加时，算术平均值趋近于真值。
将最接近真值的近似值，称为“最或然值”（或称为“最可靠 值”）。 二、观测值改正数
性）。
第二节 评定精度的指标
一、精度的含义 对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集和离散程度。
二、衡量精度的指标 1、中误差(mean square error)
真误差的平方和的平均数之平方根。
m [] n
式中［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数。 中误差不同于每个观测值的真误差，它是衡量一组观测精度的指 标，它的大小反映一组观测值的离散程度。中误差小，则误差的分 布密集，各观测值之间的差异也较小，这组观测值的精度就高；反 之，精度越低。
2、容许误差 （亦称极限误差limit error） 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限，称
为极限误差。 真误差大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为31.7％ 真误差大于两倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5％ 真误差大于三倍中误差的偶然误差出现的概率为0.3％
一般以2-3倍中误差作为容许误差△容≈2m或△容≈ 3m