辽宁省沈阳二中 2011届高三上学期第四次阶段测试(数学理)
辽宁省沈阳二中 2011届高三上学期第四次阶段测试(数学理)
辽宁省沈阳二中 2011届高三上学期第四次阶段测试数学试题（理科）说明： 1．测试时间：120分钟，总分：150分。
2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．已知全集U=R ，集合1{|0}2x A x x +=≤-，则集合U C A 等于（ ）A ．{|12}x x x <->或B ．{|12}x x x ≤->或C ．{|12}x x x <-≥或D ．{|1}x x ≤-≥或x 22．已知复数512i z i+=，则它的共轭复数z 等于（ ）A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i --3．已知非零向量A B A C 与满足1()0,2||||||||A B A CA B A C B C A B A C A B A C +⋅=⋅=-则，则A B C ∆的形状为（ ）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形4．“2a -”是“直线210x a y +-=与直线220a x y +-=平行”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数()(01)x xf x k a aa a -=->≠且在（-∞，+∞）上的单调递增的奇函数，则()lo g ()a g x x k =+的图像是（ ）6．若函数()sin co s (0)f x a x a x a =+>的最小正 周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ）A ．(,0)8π-B ．(,0)8πC ．（0，0）D ．(,0)4π-7．1,c o s 22x x R xθ∈+=且，则实数θ的值为（ ）A ．2,k k Z π∈B ．(21),k k Z π+∈C ．,k k Z π∈D ．,2k k Z ππ+∈8．已知数列{}n a 满足*331246l o g 1l o g (),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15793l o g ()a a a ++的值是（ ）A ．-5B ．15-C ．5D ．159．由曲线1x y =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为 （ ）A ．329B ．2ln 3-C ．4ln 3+D ．4ln 3-10．从5张100元，3张200元，2张300元的亚运门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为 （ ）A ．14B ．79120C ．34D ．232411．椭圆2214xy+=的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，120M F M F ⋅=，则M 到y 轴的距离为（ ）A 3B 3C ．3D 12．R 上的函数()f x 的反函数为1()fx -，且对于任意的x ，都有()()3f x f x +-=，则11(1)(4)fx fx ---+-的值为 （ ）A ．3B ．32C ．-3D ．0第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁沈阳二中2011届上学期高三第四次阶段测试全解全析(数学文)
辽宁沈阳二中2011届上学期高三第四次阶段测试全解全析数学（文）试题说明： 1．测试时间：120分钟，总分：150分。
2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．已知全集U=R ，集合1{|0}2x A x x +=≤-，则集合U C A 等于（ ）A ．{|12}x x x <->或B ．{|12}x x x ≤->或C ．{|12}x x x <-≥或D ．{|1}x x ≤-≥或x 2【答案】C 。
【分析】求出集合A ，再根据补集的含义求解；或者直接根据补集的含义转化为不等式的解集。
【解析】不等式102x x +≤-等价于(1)(2)0x x +-≤且20x -≠，故这个不等式的解是12x -≤<其补集是{|12}x x x <-≥或；或者集合A 的补集是20x -=或者不等式102x x +>-的解集。
【考点】集合。
【点评】本题考查不等式解与补集的概念。
本题容易出现的错误是忽视了不等式转化的等价性，即忽视了条件20x -≠。
根据不等式的性质对不等式进行的转化要求保证转换前后同解。
2．已知复数512i z i+=，则它的共轭复数z 等于（ ）A ．2i -B ．2i +C ．2i -+D ．2i -- 【答案】B. 【分析】根据复数代数形式的四则运算法则求出复数z ，再根据共轭复数的概念求其共轭复数。
【解析】512122i i z i ii++===-，故其共轭复数是2i +。
【考点】数系的扩充与复数的引入。
【点评】复数的考查重点就是复数的有关概念、代数形式的四则运算以及简单的几何意义。
本题中计算要注意虚数单位i 的性质44142431,,1,()nn n n iii iii n +++===-=-∈Z 。
3．右面框图表示的程序所输出的结果是 （ ） A ．1320 B ．132 C ．11880D ．121【答案】A【分析】逐次按照程序进行计算。
【恒心】【好卷速递】12年高考猜题新课标数学
2012年高考押题精粹之最有可能考的50道题(数学理--课标版) （30道选择题+20道非选择题）一．选择题（30道）1．【浙江省名校名师新编“百校联盟”交流联考数学理】已知集合A={}(,)0x y x y +=，{}(,)xB x y y e==，则A B 的子集个数是（ ）学科网w 。
w-w*k&s%5￥uA ．1B ．2C ．4D ．82. 【湖南省岳阳市2011届高三教学质量检测试卷】若集合M={}21m ，,集合N={}4,2，{}4,2,1=N M ，则实数m 的值的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43.【广东省汕头市2011届高三上学期期末质检数学理】设全集U 是实数集R ，M={x|x 2＞4}，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( )CA ．{x|－2≤x ＜1}B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}4. 【2011北京门头沟一模文】已知集合A = {}2|<x x , B = {}034|2<+-x x x ，则A B等于( )A. {}12|<<-x xB. {}21|<<x xC. {}32|<<x xD. {}32|<<-x x5.【江西省师大附中等七校联考】下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” 学科网w 。
w-w*k&s%5￥uC ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 6. 【广东省揭阳市2010-2011学年下学期高中毕业班第二次高考模拟考数学】已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4x =；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是（ ）A ．命题p q ∧是真命题B ．命题p q ∧⌝是真命题C ．命题p q ⌝∧是真命题D ．命题p q ⌝∨⌝是假命题7. 【2011门头沟一模理】,a b 为非零向量，“函数2()()f x a x b =+为偶函数”是“a b ⊥ ”的（ ）（A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件学科网w 。
辽宁省沈阳二中高三数学第四次模拟考试 理【会员独享】
沈阳二中10—11学年高三(11届)第四次模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ） A ．{2} B ．{3} C ．{－3，2} D ．{－2，3}2．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 （ ）A ．12 B ． 23 C ． 34D ．453.随机变量()0,1N ξ,记()()x P x ϕξ=<，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．()102ϕ=B ．()()1x x ϕϕ=--C ．()()21P a a ξϕ<=-D ． ()()1P a a ξϕ>=-4．已知命题p ：21,0,4x R x x ∀∈-+<命题q :,sin cos x R x x ∃∈+=则下列判断正确的是 （ ）A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ⌝是假命题D ．⌝q 是假命题5.若复数1a i =-，则1019228101010222a C a C a -+-+= （ ）A ．32i -B ． 32C ．32iD ．32-6. 代数式20cos 20sin 10cos 2-的值为 （ ）A ．2BC ．1D ． 127．如果数据x 1、x 2、…、x n 的平均值为x ，方差为S 2 ，则3x 1+5、3x 2+5、…、3x n +5 的平均值和方差分别为（ ）A ．x 和S 2 B. 3x +5和9S 2 C.3x +5和S 2 D.3x +5和9S 2+30S+25 8．若方程21x k x -=+有且只有一个解，则k 的取值范围是（ ）A.)1,1[-B.2±=kC. ]1,1[-D. )1,1[2-∈=k k 或9．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．）10．双曲线221(1)x y n n-=>的两个焦点为12,F F ，P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F 的面积为 （ ）A ．12B ．1C ．2D ．411. 设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C += 成立（其中C 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为C ， 现在给出下列4个函数： ①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2xy = ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（ ）A ①②B ③ ④C ① ③ ④D ① ③12．在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2011年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】 N ðI M 即是 N 是 M 的真子集， M N M .
3.已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点， AF BF =3 ，则线段 AB 的中点
到 y 轴的距离为
3
5
A.
B.1
C.
4
4
【测量目标】抛物线的简单几何性质.
4
4
4
2
3
两边平方得：1+2sin cos = 2 ，即 2sin cos = 7 ，
9
9
则 sin2 =2sin cos = 7 ．故选 A. （步骤 2） 9
8.如图，四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD，
则下列结论中不正确的是
()
A.AC⊥SB
B.AB 平面 SCD
∵AB CD，∴AB 与 SC 所成的角是∠SCD，DC 与 SA 所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故 D 不正确；（步骤 4）
9.设函数
f
(x)
21x , x „
1
log
2
1 x, x
，则满足
1
f
(x)
„
2 的 x 的取值范围是
()
A.[1 ，2]
B.[0，2]
C.[1，+ ]
D.[0，+ ]
∵AB CD，AB 平面 SCD，CD 平面 SCD，
∴AB 平面 SCD，故 B 正确；（步骤 2）
∵SD⊥底面 ABCD，
ASO 是 SA 与平面 SBD 所成角， CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角，
而△SAO≌△CSO， ∴∠ASO=∠CSO，即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确；（步骤 3）
辽宁沈阳四校协作体2011届高三上学期阶段测试(数学理)
沈阳四校协作体2010—2011学年度（上）高三阶段测试数学试题（理科）分值：150分 时间：120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知集合M={x|01>+x }，N={x|011>-x}，则M ∩N= （ ）A ．{x|-1≤x ＜1｝B ．{x |x>1}C ．{x|-1＜x ＜1｝D ．{x|x ≥-1}2．若定义在R 上的函数f （x ）满足f （π3＋x ）＝－f （x ），且f （－x ）＝f （x ），则f （x ）可以是（ ）A ．f （x ）＝2sin 13xB ．f （x ）＝2sin3xC ．f （x ）＝2cos 13xD ．f （x ）＝2cos3x3．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 （ ）A ．1+2iB ．1-2iC ．2+iD ．2- i4．设1(1,)2OM = ，(0,1)ON = ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤ ，01OP ON ≤⋅≤ 的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）AB C D5．下列判断错误的是 （ ） A ．命题“若q 则p ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题 B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则p x R ⌝∀∈为，均有210x x ++≥D ．命题“{}{}2142,1，或∉⊂Φ”为真命题6．函数y =2x -2x 的图像大致是（ ）7．已知正数a 、b 、c 成等比数列，则下列三数也成等比数列的是 （ ）A ．lg a lg b lg cB ．10a 10b 10cC ．lg 5alg 5blg 5cD8．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等（ ）A ．43πB ．2πC ．83π D ．103π9．由函数x y 2log =与函数)2(log 2-=x y 的图象及2-=y 与 3=y 所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．15B ．20C ．10D ．以上都不对10．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x 值分别为0和31, 则 （ ）A ． b a 2-＝0B ．b a -2＝0C ．b a +2＝0D ．b a 2+＝011．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22b a b a ++的值是（ ） A ．1或 B ．1或21-C ．1或D ．1或31-12．周期为4的函数()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩ (1,1](1,3]x x ∈-∈其中m>0，若方程3f （x ）=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为 （ ）A ．8)33B ．48(,)33C ．4(3D ．(3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC ∆的面积等于 ．14．设AB=2，则如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为 15．在等式m y x y x m y x 则的最小值为若中,65,0,0,94+>>=+的值为 16．设函数f （x ）=xxaa +1（a ＞0，且a ≠1），〔m 〕表示不超过实数m 的最大整数，则实数〔f （x ）-21〕+〔f （-x ）-21〕的值域 是三、解答题：（本题共70分）17．（本小题12分）已知函数2()sin cos444f x x x x πππ=（1）求()f x 的最大值及此时x 的值（2）求(1)(2)(3)(2010)(2011)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值．18．（本小题12分）已知函数()f x kx b =+的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、 B ，22AB i j=+（i、 j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量）, 函数2()6g x x x =--。
辽宁省沈阳二中2012—2013上学期高三数学(理科)第四次月考考试试卷
沈阳二中13届(高三理)第四阶段测试数学试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本小题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若),(~p n B X ，且6)(=X E ，3)(=X D ，则)1(=X P 的值为( )A ．161B ．1023C ．1821 D ．43 2．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，在取到的都是红球的前提下，且至少有1个球的号码是偶数的概率是( ) A ．51 B ．54 C ．2217 D ．112 3．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4．设向量a =(1，－3)， b =(－2，4)，c =(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( ) A ．(2，6)B ．(－2，6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)5．为了得到函数y =sin (2x －6π)的图像，可以将函数y =cos2x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 6．设p ：x 2－x －20＞0，q ：212--x x ＜0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．B ．C ．D ．8．阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是( ) A ．2500，2500 B ．2550，2500 C ．2500，2550 D ．2550，25509．已知集合A ={5}，B ={1，2}，C ={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36 10．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1]D ．[－4，4]11．已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =(0>a 且1≠a )的图象关于直线x y =对称，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-.若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．]21,0(D ．)1,21[12．幂指函数)()]([x g x f y =在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得是)(ln )(ln x f x g y ⋅=，两边同时求导得)()(')()(ln )(''x f x f x g x f x g y y +=，于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)()(')()(ln )(')]([')(x f x f x g x f x g x f y x g .运用此方法可以探求得知xx y 1=的一个单调递增区间为( )A ．(0，2)B ．(2，3)C ．(e ，4)D ．(3，8)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分13．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表.为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到84.430202723)7102013(5022≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ因为2 3.841χ>，所以断定主修统计专业与性别有关14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000］(元)月收入段应抽出____人.15．已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143，其中i 2=－1，则展开式中常数项是_______.16．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB =60°，E为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为________.三、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．(本小题满分10分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,，已知向量)cos ,(cos B A m = ，)2,(b c a n -=，且n m //.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若4=a ，求ABC ∆面积的最大值.18．(本小题满分12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：(Ⅰ)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (Ⅱ)随机变量ξ的分布列和数学期望； (Ⅲ)计分介于20分到40分之间的概率19．(本小题满分12分)右图是一个直三棱柱(以111A B C 为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =.(Ⅰ)设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； (Ⅱ)求二面角1B AC A --的大小；20．(本小题满分12分)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n .(Ⅰ)求q 的取值范围； (Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小.21．(本小题满分12分)双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(Ⅰ)求双曲线C 的方程；(Ⅱ)过点P (0，4)的直线l ，交双曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于Q 点(Q 点与C 的顶点不重合).当PQ =1λ2QA QB λ=，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.22．(本小题满分12分)已知函数bx x x g x x f -==221)(,ln )((b 为常数). (Ⅰ)函数)(x f 的图象在点()1(,1f )处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值； (Ⅱ)设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；(Ⅲ)若1>b ，对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-成立，求b 的取值范围.沈阳二中13届(高三理)第四阶段测试数学参考答案一、选择题：1．B 2．B 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A 10．C 11．C 12．A 二、填空题：13．5％(或0.05) 14．25 15．45 16．8π6 三、解答题： 17．解：(Ⅰ)因为//，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0，由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0，所以sin (A ＋B )＝2sin C cos A .……………………3' 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以21cos =A ，又0＜A ＜π，所以3π=A .……5' (Ⅱ)由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，所以bc bc c b ≥-+=2216，所以16≤bc ，当且仅当4==c b 时，上式取“=”……………………8'所以ABC ∆面积为34sin 21≤=A bc S ，所以ABC ∆面积的最大值为34.………………10'18．解：(Ⅰ)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C P A C ⋅⋅⋅== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为1215283101()3C C C P B C ⋅⋅== 所以12()1()133P A P B =-=-=. ………………3' (Ⅱ)由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5211222223101(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅===211242423102(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211262623103(4);10C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211282823108(5);15C C C C P C ξ⋅+⋅===的分布列为因此ξ的数学期望为123813()2345301510153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=………………9' (Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则2313()(34)(3)(4)151030P C P P P ξξξξ=====+==+=或………12'19．(Ⅰ)证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D则11OD BB CC ∥∥ 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+== 则四边形1ODC C 是平行四边形， 因此有1OC C D ∥ 1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥平面111A B C ……………………6'(Ⅱ)如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，(012)AB =--，，，(101)BC =，，，设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0AB m =，0BC m =得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，显然，(110)n =，，为平面11AAC C 的一个法向量则cos 26m n m n m n===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角 所以二面角1B AC A --的大小是30 ………………12'20．解：(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时1(1)11,0,0,(1,2,)11n n n a q q q S n q q--≠=>>=--当时即上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n ② 解①式得q ＞1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1＜q ＜1． 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-………………6' (Ⅱ)由2132n n n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S ＞0且－1＜q ＜0或q ＞0 当112q -<<-或2q >时，0n n T S ->即n n T S > 当122q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S < 当12q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =………………12'21．解：(Ⅰ)设双曲线方程为22221x y a b-=由椭圆22184x y +=求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴ba= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2213y x -=………………4' (Ⅱ)由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则4(,0)Q k-1PQ QA λ=11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩………………8' 11)(,A x y 在双曲线C 上，∴21221116116()103k λλλ+--= ∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-= 同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-= 若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意 2160,k ∴-≠ 12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根 122328163k λλ∴+==-- 24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±∴所求Q 的坐标为(2,0)± ………………12'22．解：(Ⅰ)因为x x f ln )(=，所以xx f 1)('=，因此1)1('=f ， 所以函数)(x f 的图象在点()1(,1f )处的切线方程为1-=x y ，…………1' 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,21,12bx x y x y 得02)1(22=++-x b x ， 由08)1(42=-+=∆b ，得21±-=b ……………………3'(Ⅱ)因为)0(21ln )()()(2>-+=+=x bx x x x g x f x h ， 所以xbx x b x x x h 11)('2+-=-+=，由题意知0)('<x h 在),0(+∞上有解，因为0>x ，设1)(2+-=bx x x u ，因为01)0(>=u ， 则只要⎪⎩⎪⎨⎧>-->04)(,022b b ，解得2>b ，所以b 的取值范围是),2(+∞………6'(Ⅲ)不妨设21x x >，因为函数x x f ln )(=在区间[1，2]上是增函数，所以)()(21x f x f >， 函数)(x g 图象的对称轴为b x =，且1>b .(ⅰ)当2≥b 时，函数)(x g 在区间[1，2]上是减函数，所以)()(21x g x g <，所以|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于)()()()(1221x g x g x f x f ->-，即)()()()(2211x g x f x g x f +>+， 等价于bx x x x g x f x h -+=+=221ln )()()(在区间[1，2]上是增函数， 等价于01)('≥-+=b x x x h 在区间[1，2]上恒成立， 等价于xx b 1+≤在区间[1，2]上恒成立， 所以2≤b ，又2≥b ，所以2=b .……………………8'(ⅱ)当21<<b 时，函数)(x g 在区间[1，b ]上是减函数，在]2,[b 上为增函数.①当b x x ≤<≤121时，|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于)()()()(2211x g x f x g x f +>+， 等价于bx x x x g x f x h -+=+=221ln )()()(在区间[1，b ]上是增函数， 等价于01)('≥-+=b x x x h 在区间[1，b ]上恒成立， 等价于xx b 1+≤在区间[1，b ]上恒成立， 所以2≤b ，又21<<b ，所以21<<b②当212b x x ≤<≤时，|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-等价于1122()()()()f x g x f x g x ->-， 等价于21()()()ln 2H x f x g x x x bx =-=-+在区间[b ，2]上是增函数，等价于1'()0H x x b x=-+≥在区间[b ，2]上恒成立， 等价于1b x x≥-在区间[b ，2]上恒成立， 所以32b ≥，故322b ≤<， ③当2112x b x ≤<<≤时，由()g x 图像的对称性知，只要|)()(||)()(|2121x g x g x f x f ->-对于①②同时成立， 那么对于③，则存在[]11,t b ∈，使()()121212|()()||()()|f x f x f t f x g t g x ->->-=()()12g x g x -恒成立；或存在[]2,2t b ∈，使()()121212|()()||()()|f x f x f x f t g x g t ->->-=()()12g x g x -恒成立， 因此322b ≤<， 综上，b 的取值范围是322b ≤≤…………………………12'。
2011年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B【点评】本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题的关键．2．（5分）（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅，则M∪N=（）A．M B．N C．I D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】图表型．【分析】利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（∁I M）=∅，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项．【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅的集合．由图可得：M∪N=M．故选A．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．3．（5分）（2011•辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．4．（5分）（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．【解答】解：∵asin AsinB+bcos2A= a∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA∴==选D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．5．（5分）（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题．【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴p（A）=，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）=．故选B．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．6．（5分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．2【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当k=4，不满足条件k ＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．7．（5分）（2011•辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．【解答】解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．8．（5分）（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；探究型．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO 是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．9．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】分类讨论．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．10．（5分）（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】计算题；整体思想．【分析】根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．【解答】解：∵，即﹣+≤0，又∵为单位向量，且=0，∴，而==3﹣2≤3﹣2=1．∴的最大值为1．故选B．【点评】此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．11．（5分）（2011•辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】压轴题；函数思想．【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．12．（5分）（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2C．D．1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD，因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD==故选C【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•辽宁）已知点（2，3）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据：﹣=1判断该双曲线的焦点在x轴上，且C的焦距为4，可以求出焦点坐标，根据双曲线的定义可求a，利用离心率的公式即可求出它的离心率．【解答】解：∵﹣=1，C的焦距为4，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a==2，∴a=1，∴e==2．故答案为2．【点评】此题是个基础题．考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同时也考查了学生的运算能力．14．（5分）（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．【解答】解：∵对x的回归直线方程．∴=0.254（x+1）+0.321，∴﹣=0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321=0.254．故答案为：0.254．【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．15．（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是2．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意求出正三棱柱的侧棱长，然后求出左视图矩形的边长，即可求出左视图的面积．【解答】解：设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知，，所以a=2，底面三角形的高为：，所以左视图矩形的面积为：2×=2．故答案为：2．【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的三视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）（2011•辽宁）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据（，0）求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（）即可．【解答】解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f（x）=Atan（ωx+φ），因为函数过（，0）所以0=Atan（+φ）所以φ=，图象经过（0，1），所以，1=Atan，所以A=1，所以f（x）=tan（2x+）则f（）=tan（）=故答案为：【点评】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函数值，考查计算能力．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（I）根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列{a n}的通项公式为a n=2﹣n；（II）设数列{}的前n项和为S n，即S n=a1++…+①，故S1=1，=++…+②，当n＞1时，①﹣②得：=a1++…+﹣=1﹣（++…+）﹣=1﹣（1﹣）﹣=，所以S n=，综上，数列{}的前n项和S n=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．18．（12分）（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．19．（12分）（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2附：样本数据x1，x2，…，x a的样本方差s2=[（x1﹣）2+（x1﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为样本平均数．【考点】离散型随机变量的期望与方差；用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；应用题．【分析】（I）根据题意得到变量X的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，列出分布列，算出变量的期望值．（II）根据条件中所给的甲和乙两组数据，分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差和乙的平均值和方差，把两个品种的平均值和方差进行比较，得到品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，应选择种植品种乙．【解答】解：（I）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，P（X=0）==P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=，P（X=4）=∴X的期望是（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数=400，方差是=57.25品种乙每公顷的产量的样本平均数=412，方差是=56有以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查两组数据的平均值和方差，并且针对于所得的结果进行比较，本题考查利用概率统计知识解决实际问题．20．（12分）（2011•辽宁）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上．椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．（Ⅰ）e=，求|BC|与|AD|的比值；（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；（Ⅱ）BO∥AN，即是BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，利用斜率相等得到关于t和a以及e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN．【解答】解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设，设直线l：x=t（|t|＜a），分别与C1，C2的方程联立，求得，（4分）当，，分别用y A，y B表示的A，B的纵坐标，可知（6分）（Ⅱ）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率k BO与AN的斜率k AN相等，即，解t=﹣=﹣•a；因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以﹣1＜﹣，解得所以当0＜e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；当时，存在直线l，使得BO∥AN．【点评】本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．21．（12分）（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可，（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，即可证明结论．【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==﹣，①若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；（II）设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g′（x）==，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，所以g（x）＞0，故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，由（II）得，f（﹣x1）=f（）＞f（x1）=f（x2）=0，又f（x）在（，+∞）单调递减，∴﹣x1＜x2，于是x0=，由（I）知，f′（x0）＜0．【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．22．（10分）（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【专题】证明题．【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．【解答】解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，所以∠AFG+∠GBA=180°故A，B．G，F四点共圆【点评】本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．23．（2011•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．【考点】参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合．【专题】压轴题．【分析】（I）有曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C1是圆，C2是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合，求出a及b．（II）利用C1，C2的普通方程，当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，利用面积公式求出面积．【解答】解：（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），因为这两点重合所以b=1．（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为．当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为．【点评】此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．24．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f（x）=，然后即可证明﹣3≤f（x）≤3 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3，所以，﹣3≤f（x）≤3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}综上：不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集：{x|5﹣≤x≤6}【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。
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辽宁省沈阳二中 2011届高三上学期第四次阶段测试
数学试题（理科）
说明： 1．测试时间：120分钟，总分：150分。
2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上。
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一
个符合题目要求的选项。
1．已知全集U=R ，集合1
{|0}2
x A x x +=≤-，则集合U C A 等于 （ ）
A ．{|12}x x x <->或
B ．{|12}x x x ≤->或
C ．{|12}x x x <-≥或
D ．{|1}x x ≤-≥或x 2
2．已知复数5
12i
z i +=，则它的共轭复数z 等于 （ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．2i --
3．已知非零向量AB AC 与满足1
()0,2||||||||
AB AC AB AC BC AB AC AB AC +⋅=⋅=-
则，则ABC
∆的形状为
（ ）
A ．等腰非等边三角形
B ．等边三角形
C ．三边均不相等的三角形
D ．直角三角形
4．“2a -”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的 （ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若函数()(01)
x
x
f x ka a
a a -=->≠且在（-∞，+∞）上的单调递增的奇函数，则()log (
)a g x x k =+的图像是
（ ）
6．若函数()sin cos (0)f x ax ax a =+>的最小正 周期为1，则它的图像的一个对称中心为
（ ）
A ．(,0)8
π
-
B ．(
,0)8
π
C ．（0，0）
D ．(,0)4
π
-
7．1
,cos 22x x R x
θ∈+=且，则实数θ的值为
（ ）
A ．2,k k Z π∈
B ．(21),k k Z π+∈
C ．,k k Z π∈
D ．,2
k k Z π
π+
∈
8．已知数列{}n a 满足*
331246l o g 1
l o g (),
9
n n a a n N a a a +
+=∈++=且，
则
157
93
l o g ()a a a ++的值是
（ ）
A ．-5
B ．1
5-
C ．5
D ．
15
9．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为 （ ）
A ．
329
B ．2ln 3-
C ．4ln 3+
D ．4ln 3-
10．从5张100元，3张200元，2张300元的亚运门票中任选3张，则选取的3张中至少有
2张价格相同的概率为 （ ） A ．
1
4
B ．
79120
C ．
34
D ．
2324
11．椭圆22
14
x y +=的焦点为F 1、F 2，点M 在椭圆上，120MF MF ⋅= ，则M 到y 轴的距离为
（ ）
A
B
C
D 12．R 上的函数()f x 的反函数为1
()f x -，且对于任意的x ，都有()()3f x f x +-=，则
11(1)(4)f x f x ---+-的值为
（ ）
A ．3
B ．
32
C ．-3
D ．0
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，点M （5，1，-2），则点M 关于xoz 面的对称点坐标为 。
14．若1
()n
x x
-的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 。
15．x R ∈，函数2()|2|f x x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t = 。
16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过
*()k k N ∈个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数，下列函数：
①()sin f x x =；②2
()3(1)2f x x π=-+；③1()4x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；④0.5()log f x x =，其中
是一阶格点函数的有 。
三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分。
请将证明过程或演算步骤答在指定
的答题框内，超过答题框内的答案无效 。
17．（本题满分12分）
,,,ABC a b c
∆中分别是角A 、B 、C 的对边 ，向量
2(2s i n
,2c o s 2),2s i n
,1,
42m B B n m n π⎛⎫⎛⎫=-=+-⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B
且 （1）求角B 的大小；
（2
）若1,a b c ==求的值。
18．（本题满分12分）
已知圆22:(2)5C x y +-=，直线:10l mx y -+=。
（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；
（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。
19．（本题满分12分）
已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
3,n n n n b T a a +=
是数列{}n b 的前n 项和， 求使得20n m T <对所有*
n N ∈都成立的最小正整数.m
20．（本题满分12分）
已知函数2
()(),(x
f x x ax a e a -=++为常数）。
（1）若函数()0f x x =在时取得极小值，试确定a 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设由()f x 的极大值构成的函数为()g x ，试判断曲线()g x 只可
能与直线230,320(,x y m x y n m n -+=-+=为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由。
21．（本题满分12分）
如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A ，且离心
(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同两点，点N 在线段PQ 上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设||||
||||
PM MQ PN NQ λ==
，试求λ的取值范围。
四、考生注意：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分，做题时，在答题纸上把选题目对应的题号写在括号中。
22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲 如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B ，C 两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点。
（1）求证：A 、P 、O 、M 四点共圆； （2）求OAM APM ∠+∠的大小。
23．（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1，-5），
点M 的极坐标为(4,
)2
π
，若直线l 过点P ，且倾斜角为
3
π
，圆C 以M 为 圆心、4为半径。
（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++
（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；
（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。
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