6泊松过程b

到达时间的条件分布
[定理] 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A
发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n) t 0, 其它
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 } 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同 分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数： Tn 的特征函数：
FTn (t ) P{Tn t} (1 et )u(t )
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松 过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
mX (t ) DX (t ) ( s) d s
0
t
非齐次泊松过程的分布
[定理] 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 mX (t ) (s) d s
0 t
的非齐次泊松过程，则有
P{ X (t ) X ( s ) k} [m X (t ) m X ( s )]k exp{[ m X (t ) m X ( s )]}, (k 0) k!
或者
[m X (t )]k P{ X (t ) k} exp{m X (t )}, (k 0) k!
(1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ;
(2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ; (4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A”发 生的次数。
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程，
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
(t ) k 1 P P(Wk t0 ) e t dt t0 (k 1)! n k 1 t0 (t 0 ) P[ X (t0 ) k ] e n! n 0

(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到
若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 的区间中，事件A发生的
次数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
( ) k P{ X (t ) X ( s ) k} e , ts, k! k 0, 1,
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,
fTn (t ) et u(t )
ΦTn (t )
j
D[Tn ] 1 2
Tn 的数字特征：
E[Tn ] 1 ,
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1}
是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为
达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1}

2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( ) k P{ X (t ) X ( s) k} e , t s , k 0, 1, k!
( t ) k t P{ X (t ) k} Leabharlann , k! k 0, 1, 2,
t (e j 1)
Φ X () E[e
P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n}
(s ) k e s [ (t s )]n k e ( t s ) k! (n k )! n! s k (t s) nk n t ( t ) e k!(n k )! tn n!
1 3 1 31
P{0 W2 1 X (2) 3} 0 fW2 X ( 2 ) ( s 3) ds 3 s2 1 0 s ds 2 2 2
1 1
3 8
3 非齐次泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有跳跃强度函数 (t)
泊松过程的几个例子

考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电 话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是 一个泊松过程。

考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时 间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊 松过程。 考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk ， 服从 分布:
t (t ) k 1 e , t0 fWk (t ) (k 1)! 0 , t0
[例2] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对
于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{X (s) k X (t ) n}
P{ X ( s) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}
(t ) k t P{ X (t ) k} e k!
(2 )3 2 32 4 P{ X (2) 3} e e 3! 3
P{ X (2) X (1) 2 X (2) 3} P{ X (1) 1 X (2) 3} 1 1 C 1 2 2
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A
发生的次数， T1 0 W1 T2 T3 W2 W3 Tn Wn-1 Wn
Wn Ti
i 1
n
(n 1)
t
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间 Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
jX (t )
]e
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
mX (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) DX (t ) t
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1) , (s t )
K X ( s, t ) R X ( s, t ) m X ( s )m X (t ) min(s, t ) s , ( s t )
泊松过程
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程
引 言
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1，其概率 分布为：
P( X 1) p, P( X 0) 1 p q
E ( X ) p, D( X ) pq
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 次数，则 X ~ B (n, p)
[例4] 某电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数X(t)是
一个泊松过程，平均每分钟2次。 (1) 求 2分钟内接到3次 呼叫概率；(2) 若2分钟内已接到3次，求第2分钟收到2次 呼叫的概率，以及第2次呼叫发生在第1分钟内的概率。
mX (t ) E[ X (t )] t
mX (t ) t 2
n 1 (t ) k t FWn (t ) 1 e k! k 0
u (t )
E[Wn ] n D[Wn ] n 2
fWn (t ) e
t
(t ) n1 u(t ) (n 1)!
n ΦW ( ) ( j ) n
的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
P( X k ) n p k q nk k
E ( X ) np, D( X ) npq