高斯定理在电磁学中的应用 毕业论文
高斯定理的应用
高斯定理的应用
高斯定理是数学中一个非常重要且广泛应用的定理，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的应用。
本文将介绍高斯定理在不同领域中的具体应用，并探讨其重要性和实际意义。
在物理学中，高斯定理常常被用来计算电场、磁场等物理量。
例如，在静电场中，我们可以利用高斯定理来计算电场强度在一个封闭曲面上的总通量，从而求解出该曲面内的电荷量。
这对于分析电场分布、计算电场能量等问题非常有用。
类似地，高斯定理也可以应用于磁场分析中，帮助我们理解磁场的性质和行为。
在工程学中，高斯定理可以用来解决各种电磁场问题，如天线设计、电磁干扰分析等。
通过建立适当的高斯曲面和选择合适的控制面，我们可以简化复杂的电磁场计算，并得到准确的结果。
这对于工程师设计和优化各种电磁设备和系统非常重要。
在计算机科学中，高斯定理也有着重要的应用。
例如，在图形学中，我们常常需要计算三维空间中的曲面积分或体积积分，而高斯定理可以帮助我们将这些复杂的积分问题转化为简单的曲面积分或线积分。
这样一来，我们就可以更高效地计算各种图形学问题，如渲染、建模等。
总的来说，高斯定理作为数学中的重要定理，不仅具有理论意义，更具有广泛的应用价值。
通过在不同领域中的应用，高斯定理帮助
我们解决各种复杂的物理、工程和计算问题，促进了科学技术的发展。
因此，深入理解和熟练运用高斯定理对于我们探索世界、解决问题具有重要意义。
愿我们在学习和工作中不断探索高斯定理的更多应用，为人类进步和发展贡献自己的力量。
电磁学中的高斯定律的推导
电磁学中的高斯定律的推导电磁学是物理学的一个重要分支，研究电荷与电磁场之间的相互作用。
在电磁学中，高斯定律是一个基本原理，用于描述电场与电荷分布之间的关系。
本文将对电磁学中的高斯定律进行推导，并详细讨论其应用。
1. 高斯定律的基本原理高斯定律是由德国物理学家高斯提出的。
它表明电场通过一个封闭曲面的总通量与这个曲面所包围的电荷量成正比。
数学表达式如下：∯E·dA = 1/ε₀ * ∮ρdV其中，∯E·dA表示电场E通过曲面的通量，dA为曲面上的微小面积元素，ε₀为真空中的电介质常数，ρ为电荷密度，∮ρdV表示曲面所包围的电荷量。
2. 推导高斯定律为了推导高斯定律，首先考虑一个任意形状的闭合曲面S，并在曲面内选择一个微小面元dA。
根据电场的定义，可知电场矢量E在微小面元dA上的投影为E·dA。
由于电场的矢量性质，E·dA有连续的变化。
考虑以微小面元dA为底面，垂直于该面的一小段体积元dV。
在这个体积元内存在电荷密度ρ。
由于ρ对应的电荷是由电场产生的，因此可以得到E·dA在dV体积元内对应的电荷元素dq的大小为E·dA =ρdV。
对于整个闭合曲面S上的所有微小面元dA，根据高斯定律的定义，电场E通过曲面S的通量为∯E·dA。
根据前面推导的式子，将微小面元上的电场投影代入上式，得到：∯E·dA = ∮(E·dA) = ∮(ρdV) = ∮ρdV这就是高斯定律的推导过程。
3. 高斯定律的应用高斯定律在电磁学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 电荷分布的计算通过高斯定律，我们可以计算给定电荷分布所产生的电场。
选择一个适当的闭合曲面，计算通过该曲面的电场通量，并根据高斯定律的表达式，求解所包围电荷的分布。
3.2 电场对称性分析高斯定律对于分析具有一定对称性的电场分布非常有用。
例如，当电场具有球对称性、圆柱对称性或平面对称性时，可以选择相应的闭合曲面，从而简化计算，并得到更直观的结果。
电磁场理论中的高斯定律及其应用
电磁场理论中的高斯定律及其应用电磁场是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论是家庭用电、通信设备还是电子产品，都离不开电磁场的作用。
而电磁场的行为和性质则由一系列的物理定律来描述和解释。
其中，高斯定律是电磁场理论中的重要定律之一，它揭示了电荷分布对电场的影响，并在许多实际应用中发挥着重要作用。
高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末提出的。
该定律表明，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内的总电荷成正比。
通量是指电场通过曲面的电场线数目，是描述电场强度分布的重要参量。
高斯定律的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示电场E通过闭合曲面的通量，Q为该曲面内的总电荷，ε0为真空介电常数。
高斯定律的应用非常广泛，下面我们将从几个方面来讨论它的具体应用。
首先，高斯定律在电场分布的计算中起着重要作用。
通过高斯定律，我们可以根据已知的电荷分布来计算电场的强度。
例如，对于一个球对称的电荷分布，我们可以通过选择一个球面作为高斯面，利用高斯定律计算球心处的电场强度。
这种方法简化了计算过程，使得我们能够更方便地研究电场的分布规律。
其次，高斯定律在电场中的电势分布的研究中也有重要应用。
电势是描述电场能量分布的物理量，通过电势的梯度可以获得电场的强度。
而高斯定律可以帮助我们计算出电势分布。
例如，对于一个球壳上的电荷分布，我们可以选择一个球面作为高斯面，利用高斯定律计算球面上的电势分布。
这样，我们可以得到球壳内外电势的关系，进而研究电场的特性。
此外，高斯定律还在静电场的应用中发挥着重要作用。
静电场是指电荷分布不随时间变化的电场，它是电磁场的一种特殊情况。
通过高斯定律，我们可以计算出电荷在空间中产生的电场分布，从而研究电荷的相互作用和电场的效应。
例如，在电容器的设计中，我们可以利用高斯定律来计算电场的分布，从而确定电容器的性能和参数。
最后，高斯定律还在电场的边界条件研究中发挥着重要作用。
大学物理论文-高斯定理的意义和应用
高斯定理的意义和应用摘要：为了解决库伦电荷定律中平方反比问题，素有数学王子之称的德国数学家高斯创造性的提出了高斯定理，由此拉开了近代“场物理学”寻求库伦电、磁、万有引力三大定律统一的序幕！高斯定理从本质上讲是一个关于照度描述的几何学定理，但他与法拉第力线及其密度空间分布结合起来去解释库伦电荷力定律，从而将场物理学引领到用几何化描述场的统一数学范式时代。
高斯定理在物理学中应用有二种描述形式：（1）电荷高斯定理（球面密度），（2）磁荷高斯定理（平面密度），但这二种应用形式与物理意义既有共性，也有差别。
随着高斯定理在电磁学的成功应用，后人将万有引力定律也纳入到高斯定理应用领域。
关键词：高斯定理；意义；应用1、高斯定理高斯定理是受法拉第电荷力线思想影响，用法拉第电荷力线空间分布思维去解决库伦定理中的平方反比规律问题，因此，他首先接受电荷电场球体分布观念，后用荷的球体曲面密度去描述电荷电场；随后，由于磁体磁场分布不呈球形分布状态，无法套用电场高斯定理，于是，高斯又给出了磁场高斯定理；因此，电磁学中高斯定理有电场高斯定理和磁场高斯定理之分，具体描述如下：1.1 高斯定理（电场）[1]高斯定理是表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系：真空中高斯定律积分形式为；其中，E为电场，为闭合曲面A的微分面积（如图-1所示，称为高斯曲面），由曲面向外定义为其方向，Q为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。
其微分形式为：，其中为电荷密度(单位 C/m ³)。
在线性材料中，等式变为；其中为材料的电容率。
此方程是卡尔·高斯在1835年提出的，但直到1867年才发布。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。
高斯定理的应用
高斯定理的应用高斯定理是电磁学和物理学中非常重要的一条定理，它描述了通过一个任意闭合曲面的电场通量与该闭合曲面内的电荷量之间的关系。
这个定理不仅仅在电学领域有着广泛的应用，还可以用于其他领域，比如流体力学和热传导等。
本文将探讨高斯定理的应用，并从几个方面进行论述。
1. 电场分布的计算高斯定理可以用于计算电场在空间中的分布情况。
根据高斯定理，通过一个闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内的电荷量除以真空介电常数。
因此，如果我们已知一个体内的电荷分布情况，通过运用高斯定理可以计算出任意点的电场强度。
这对于理解和分析电场的性质至关重要，可以帮助我们更好地理解电场的行为规律。
例如，假设我们有一个球形体内的均匀带电球体，半径为R，电荷量为Q。
我们可以选取一个球面作为闭合曲面，将高斯定理应用于该球面上。
由于球内电荷均匀分布，球面内的电荷量将与球内电荷量相等。
根据高斯定理，电场通量为闭合曲面内的电荷量除以真空介电常数，即E·4πR^2 = Q/ε0。
通过简单的计算，我们可以得到球心处的电场强度为E = Q/(4πε0R^2)。
2. 电荷分布的确定高斯定理还可以被用于确定电荷分布的情况。
如果我们已知一个空间中存在的电场分布，而且我们希望分析该空间内的电荷分布，高斯定理可以提供有用的信息。
通过选择合适的闭合曲面和确定体内电场的分布情况，我们可以利用高斯定理解出体内电荷的分布特征。
例如，假设我们已知一个无限长的均匀带电导体柱体，电荷密度为λ。
我们可以选择一个圆柱形的闭合曲面，沿着导体的轴线方向，使其穿过导体并将其分为两个平面。
由于导体上的电荷自由分布，电场在导体内是零，因此只有柱体两端面积的电场通量不为零。
根据高斯定理，通过闭合曲面的电场通量等于该曲面内的电荷量除以真空介电常数。
通过简单的计算，我们可以发现，由于导体柱体上的电荷密度均匀，导体两端面积上存在的电荷量与导体表面积成正比。
因此，我们可以确定导体的电荷密度为λ = Q/A。
高斯定理在电场与磁场中的应用
高斯定理在电场与磁场中的应用高斯定理是电磁学中一项重要的定律，它可用于计算电场和磁场的分布情况以及与之相关的物理量。
在本文中，我将探讨高斯定理在电场和磁场中的应用，并介绍一些实际的例子。
首先，让我们来看看高斯定理在电场中的应用。
高斯定理表明，电场通过任意闭合曲面的总通量等于包围在该曲面内的电荷总量除以介质常数。
这意味着我们可以通过计算电场通量来获得电荷的信息。
一个简单的例子是考虑一个带点电荷的情况。
假设我们有一个电荷为Q的点电荷，我们想要计算其产生的电场分布。
我们可以选择一个以点电荷为中心的球面作为闭合曲面。
根据高斯定理，球面上的电场通量等于球面内电荷的总量除以介质常数。
由于球面内只有一个电荷Q，所以电场通量为Q/ε，其中ε是介质常数。
同样的，我们可以考虑更复杂的情况，如多个电荷产生的电场。
在这种情况下，我们可以选择适当的闭合曲面来计算电场通量，并使用高斯定理来解决问题。
这种方法可以简化计算，特别是当电荷分布具有一定的对称性时。
接下来，让我们转向高斯定理在磁场中的应用。
高斯定理同样适用于磁场，只是需要进行一些修正。
根据安培定律，磁场的环流通过任意闭合曲面等于该曲面内的总电流。
然而，在实际应用中，由于磁场的奇异性，存在一些额外的考虑因素。
考虑一个长直导线的例子。
假设我们有一根无限长的直导线，其电流为I。
我们可以选择一个以导线为轴线的柱面作为闭合曲面。
根据高斯定理，柱面上的磁场环流等于柱面内的总电流。
在这种情况下，柱面内的总电流就是I，因此磁场环流也等于I。
这个结果与安培定律是一致的。
类似地，我们可以考虑更复杂的情况，如多个导线产生的磁场。
我们可以选择适当的闭合曲面，并使用修正后的高斯定理来计算磁场环流。
同样地，这种方法可以简化计算，并帮助我们理解磁场的分布情况。
除了以上提到的例子，高斯定理还可应用于其他许多场景，如平板电容器、球形电容器和磁化物体等。
在这些情况下，通过选择适当的闭合曲面，并使用高斯定理，我们可以计算出电场和磁场的分布情况，进而理解物体的特性和行为。
电学高斯定理
电学高斯定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：电学高斯定理是电学领域中的重要定理之一，它描述了电场的性质与电荷之间的关系。
高斯定理的提出者是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯，他在通过对电场分析的基础上，发现了电场的一种非常有用的特性，这就是高斯定理。
电学高斯定理是电场理论的基石之一，它提供了一种简单而优雅的方法来计算静电场中的电荷分布和电场强度。
高斯定理描述了一个有无限小体积的闭合曲面，其内部电荷的总电量等于曲面上的电荷总和乘以一个常数，即真空介电常数乘以电场的通量。
高斯定理的数学形式如下：\[\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A} =\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]\(\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A}\)表示电场强度在闭合曲面S上的通量，\(d\vec{A}\)表示曲面元素的面积微元，它与曲面的法线方向一致，\(Q_{enc}\)表示闭合曲面S内部的电荷总量，\(\varepsilon_0\)表示真空介电常数。
高斯定理的物理意义在于，它告诉我们，一个闭合曲面的电场通量只取决于曲面内部的电荷分布，与曲面的具体形状和大小无关。
这使得高斯定理成为了电场分布的计算利器，在许多问题的求解中起到了至关重要的作用。
举个简单的例子来说明高斯定理的应用。
假设我们有一个均匀带电的无限长线段，电荷密度为\(\lambda\)，现在我们希望确定距离这个线段距离为r处的电场强度。
我们可以选取一个半径为r的闭合球面，这个球面的中心位于线段上，利用高斯定理可以得到线段上的电荷等于球面包围电荷的总和，即：\[Q_{enc} = \lambda \cdot 2\pi r\]根据高斯定理，我们可以得到球面上的电场通量等于：如果我们假设球面上的电场强度与球面法线方向垂直，并且与球面上的法向面积元素大小相等，那么可以将上式简化为：解得电场强度为：这就是距离带电线段距离为r处的电场强度。
电学高斯定理
电学高斯定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：电学高斯定理，也被称为高斯定律或高斯电场定律，是电磁学中的一个基本定理。
它描述了电场的性质，以及电荷分布和电场之间的关系。
高斯定理的提出者是德国物理学家高斯（Carl Friedrich Gauss），他通过实验和理论推导，引入了这一重要定理。
高斯定理的数学表达式是一个积分形式：∮E⋅dA = Q/ε0E是电场强度矢量，dA是通过闭合曲面的微元面积矢量，Q是闭合曲面所包围的总电荷量，ε0是自由空间中的介电常数，其值约为8.85×10^-12 F/m。
在这个定理中，左边的积分式表示了电场通过某一闭合曲面的总通量，而右边则表示了该闭合曲面所包围的总电荷量与自由空间介电常数的比值。
换句话说，高斯定理说明了电场的总通量与闭合曲面内的总电荷量之间存在一种简洁的关系。
高斯定理的一个重要推论是，如果闭合曲面内不包含电荷或电荷处于静止状态时，电场强度矢量在闭合曲面上的法向分量是恒定的。
这意味着，即使电场是由电荷分布产生的，但在不包含电荷的区域内，电场的分布与电荷的位置无关，只与电荷量有关。
这为研究电场的分布提供了一种简便的方法。
高斯定理对于计算复杂电场问题具有重要意义。
通过选取适当的闭合曲面，可以简化电场计算过程，减少计算量，提高效率。
举一个简单的例子，如果有一个均匀带电球体，可以通过选择球面为闭合曲面，利用高斯定理计算球面上的电场，从而得到球内外各点的电场分布。
这种方法比传统的直接积分计算更为简单和直观。
在实际应用中，高斯定理被广泛用于计算各种不规则形状的电场分布，如线电荷、面电荷、体电荷等。
通过选择合适的闭合曲面和取向，可以有效地解决复杂电场问题，为电磁理论的研究和应用提供了一种有力的工具。
电学高斯定理是电磁学中的一项重要定理，它揭示了电场的性质和电荷之间的关系，为我们理解和研究电场提供了一种简单而有效的方法。
通过高斯定理的运用，我们可以更深入地了解电场的本质，解决复杂电场计算问题，推动电磁学理论的发展和应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 ，共 20 页目 录1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明2.4对称性原理及其在电磁学中的应用3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结(a) 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度 (b) 注意ξint∑⎰=•qdS E s中 E 和 dS 的矢量性(c) 正确理解定理中的∑intq(d) 不能只从数学的角度理解ξint∑⎰=•qdS E s(e) 对高斯面的理解 4 高斯定理的应用⋅4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6结束语 参考文献高斯定理在电磁学中的应用摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。
本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。
最后把高斯定理推广到万有引力场中去。
关键词：高斯定理，应用，万有引力场 引言高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。
虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。
1 高斯定理的表述1.1数学上的高斯公式设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 所围成，若函数,,P Q R 在V 上连续，且有一阶连续函数偏导数，则SV P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 1－1其中S 的方向为外发向。
1－1式称为高斯公式[1]。
1.2静电场的高斯定理一半径为r 的球面S 包围一位于球心的点电荷q ，在这个球面上，场强→E 的方向处处垂直于球面，且→E 的大小相等,都是204q E r πε=。
通过这个球面S 的电通量为oo o oεππεπεπεφqr r qdS r q dS r qS d E ssse=⋅==⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→22224444其中SdS ⎰⎰是球面积分，等于24r π。
从此例中可以看出，通过球面S 的电通量只与其中的电量q有关，与高斯面的半径r 无关。
若将球面S 变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为0q ε。
若闭合曲面S 内是负电荷q -，则→E 的方向处处与面元→S d 取相反，可计算穿过S 面的电通量为0/q ε-。
若电荷q -在闭合曲面S 之外，它的电场线就会穿入又穿出S 面，通过S 面的电通量为零[2]。
如果闭合面S 内有若干个电荷123,,n q q q ……q ，由场强叠加原理可知，通过S 面的电通量为∑∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰-→-→→-→→→=⋅=⋅=⋅=ni ini si s ni i se qS d E S d E S d E 1111oεφ此式表明，在真空中的静电场内，通过任意一闭合曲面的电通量，等于包围在该面内的所有电荷的代数和的0ε分之一，这就是真空中的高斯定理。
通常把闭合曲面S 称为高斯面，对于连续分的电荷，电荷体密度为ρ，则上式可以表述为⎰⎰⎰=⋅=→→Vs e dV S d E ρεφo11.3磁场的高斯定理由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为零。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
用式子表示：0=⋅→→⎰⎰S d B s与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正或者负电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N 极和S 极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零，即磁场是无源场[2]。
2 高斯定理的证明 2.1高斯定理的数学证明2.1.1静电场的高斯定理静电场中高斯定理的证明主要分以下四种情况：(a)点电荷在球面中心，点电荷q 的电场强度为→→⋅=r r q E 341o πε球面的电通量为oo o o εππεπεπεqr r dS r S d r r q S d E sss =⋅⋅==⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→222344141412－1(b)点电荷在任意闭曲面外，闭曲面S 的通量为zdxdy r ydxdz r xdydz r qzdxdy ydxdz xdydz r qS d r r q S d E ssss 333331114)(1441++=++=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→o o o πεπεπε 2－2根据高斯公式()SV P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 2－3并考虑到333,,x y z P Q R r r r===在S 内有连续一阶偏导数，故2－2式可2－2式代入2－3式得041114)(144133333333=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=++=++=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→→→dxdydz zr z yr y x r x q zdxdy r ydxdz r xdydz r q zdxdy ydxdz xdydz r q S d r r q S d E Vssss oo o o πεπεπεπε(c)点电荷在任意闭曲面内在任意闭曲面S 内以点电荷q 为球心作一辅助球面1S ，其法向朝内，根据2－1式可知点电荷q 在闭曲面1S S +的电通量为零，即：1=⋅+⋅→→→→⎰⎰⎰⎰S d E S d E s soεqS d E S d E S d E s s s=⋅-=⋅-=⋅→→→→→→⎰⎰⎰⎰⎰⎰212－4其中式2－4中1S 和2S 大小相等，法向相反。
(d)点电荷系在闭曲面内外设闭曲面内的点电荷为23,,n q q q q ……；闭曲面外的点电荷为1n q +……；根据上述讨论可得∑∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰--→→→-→→→=⋅=⋅=⋅ni ini si s ni isqS d E S d ES d E 1111oε这就是静电场中的高斯定理[3]。
2.1.2磁场的高斯定理磁场中高斯定理的证明主要分以下四种情况： (a)电流元→l Id 在球面中心由磁通量的定义和毕奥—萨法尔定律24r r l Id B d →→→⨯⋅=o o πμ为了方便，把→B d 简写为→B ，则可得电流元的磁感应强度对球面的磁通量为→→→→→→→→⋅⨯=⋅⨯⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰l d r S d r IS d r r l Id S d B sss 2244o o o o πμπμ因为→→S d r //o，所以0=⋅→→⎰⎰S d B s(b)电流元→l Id 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为⎰⎰⎰⎰→→→→→⋅⨯⋅=⋅ss S d r r l Id S d B 24o o πμ因为→→→→++=k z j y i x r ，并设→=k dl dl ，则→→→+-=⨯j dl x i ydl r dl代入原式得 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⋅⨯⋅=⋅→→→→→ss s dxdz r x dydz r y l Id S d r r l Id S d B )(44222πμπμo o 根据高斯公式()SV P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰同理可得 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-=⋅⨯⋅=⋅→→→→→ss s dxdz r x dydz r y l Id S d r r l Id S d B 0)(44222πμπμo o (c)电流元→l Id 在任意闭曲面内以此类推，在闭曲面S 内，以电流元为球心作一辅助球面1S ，因为1=⋅+⋅→→→→⎰⎰⎰⎰S d B S d B s s所以01=⋅-=⋅→→→→⎰⎰⎰⎰S d B S d B s s(d)电流元Idl 在闭曲面上由上述易知，所有的电流元在闭曲面上的磁通量也为零，即0=⋅→→⎰⎰S d B s这正是磁场的高斯定理[4]。
2.2高斯定理的直接证明图1如图1所示，电荷量为Q 的带电体中任一点处的电荷密度为⎪⎭⎫⎝⎛→1r ρ,则由电场强度定义知该带电体在空间→r 点产生的电场强度为13114dV R R r E V →→→⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰o περ 2－5式中为→1r 原点位矢，→→→-=1r r R 为原点到场点的位矢。
将→E 对任意闭合曲面S 求面积分，即得1dVE S d E sV→→→⎰⎰⎰⋅∇=⋅ 2－6由2－5式可得1341dV R Rr E →→→→⎪⎭⎫⎝⎛⋅∇=⋅∇ρπεo 由于算符∇是对→r 的微分算符，与→1r 无关，故 o o o o o ερδρεπδρπερπερπε⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅∇⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅∇→→→→→→→→→→→→⎰⎰⎰⎰1111111211311111144114141r dV r r r dV R r dV R r dV R R r E V V V V 2－7 式中最后一步用到了δ函数的筛选性，将式2－7代入式2－5中得：⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⋅→→→VsdV r S d E oερ1(1)当电荷Q 包含在闭合曲面S 内时，则 ⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅→→→VsQ dV r S d E oo εερ1(2)当电荷Q 的不包含在闭合曲面S 内时，则⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅→→→VsQ dV r S d E oo εερ01由此高斯定理得证。
2.3高斯定理的另一种证明图2如图2所示，设有一电量为q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意r 为半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为→→⋅=r rq E 34o πε方向沿径向离开球心，和球面上该点的法线正方向相同。