高三数学-2018学年度第一学期联考数学试题(北京约稿)

2018－2018学年度第一学期高三联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U=R ，(},034|{},2|||{2 A x x x B x x A 则<+-=>=U ðB ）是 （ ） （A ）}2|{-<x x （B ）}32|{≥-<x x x 或（C ）}3|{≥x x（D ）}32|{<≤-x x2．由“p ：8＋7＝16，q ：π>3”构成的复合命题，下列判断正确的是 （ ） （A ）p 或q 为真，p 且q 为假 ，非p 为真 （B ）p 或q 为假，p 且q 为假 ，非p 为真 （C ）p 或q 为真，p 且q 为假 ，非p 为假 （D ）p 或q 为假，p 且q 为真 ，非p 为真 3．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于 （ ） （A ）34 （B ）34- （C ）43 （D ）43- 4．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 （ ）（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－105．不等式||(12)0x x ->的解集是 （ ）（A ）1(,)2-∞ （B ）1(,0)(0,2-∞⋃ （C ）1(,)2+∞ （D ）1(0,26．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝｛1,2｝，则A ∩B 等于 （ ）（A ）Φ （B ）｛1｝ （C ）Φ或｛2｝ （D ）Φ或｛1｝ 7．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于 （ ） （A ）π （B ）2π（C ）3π （D ）4π8．若ABC ∆的内角满足,0sin tan ,0cos sin <->+A A A A 则角A 的取值范围是 （ ）（A ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2ππ （D ） ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,43 9．已知函数f (x )（0≤x ≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若1201x x <<<，则 （ ）（A ）1212()()f x f x x x <（B ）1212()()f x f x x x = （C ）1212()()f x f x x x >（D ）前三个判断都不正确10．给定实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，则下列结论不正确的是 （ ） （A ）[]0≥-x x （B ）[]1<-x x （C ）[]x x -是周期函数 （D ）[]x x -是偶函数 11．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比 数列，则a ＋b ＋c 的值为（ A ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）412．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD x A B =，AE yAC =，0xy ≠，则11x y+的值为 （ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13． a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式0a cb d>>和ad bc <都成立的一组值（a ，b ，c ，d ）是 ．（只要写出适合条件的一组值即可）14．设有两个命题：①关于x 的不等式210mx +>的解集是R ，②函数()log m f x x =是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是 ． 15．)(,)(x g y x f y ==是偶函数已知是奇函数，它们的定义域均为],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如图所示，则不等式的解集是0)()(<x g x f ． 16．定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f (x )=x x cos sin *的值域为．12 0.5 1 a bc三、解答题17．（本题满分12分）已知实数m x =满足不等式0)211(log 3>+-x ，试判断方程03222=-+-m y y 有无实根，并给出证明．18．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin cos f x m x x x n =-⋅+的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,4-． 试求函数()sin 2cos g x m x n x =+（x R ∈）的最小正周期和最值．19．（本题满分12分）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=． （1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．20．（本题满分12分）某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（13)0+-=≥m kx m 满足）（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21．（本题满分12分）数列{n a }的前n 项和n S 满足：*23()n n S a n n N =-∈． （1）求数列{n a }的通项公式n a ；（2）数列{n a }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．22．（本题满分14分）已知函数：)(1)(a x R a xa ax x f ≠∈--+=且．（1）证明：f (x )+2+f (2a －x )=0对定义域内的所有x 都成立； （2）当f (x )的定义域为[a +21,a +1]时，求证：f (x )的值域为[－3，－2]； （3）设函数g(x )=x 2+|(x －a )f (x )| ,求g(x ) 的最小值 ．2018－2018学年度第一学期高三联考数学试题参考答案一、选择题题号1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B AABBDACCDAB1．{|22}A x x x =><-或，{|13}U B x x x =≤≥或ð，∴A ∩U B ð＝｛x<-2或x ≥3｝．选B ． 2．∵P 假q 为真，∴p 或q 为真，p 且q 为假 ，非p 为真．选A ．3．∵a ∥b ，∴sin α＝3k ，cos α＝4k ，∴3tan 4α=，选A ． 4．由题意，设1232422,2,4a a a a a a =-=+=+，∴2222(2)(4)(2)a a a -+=+，解得26a =-，选B ．5．不等式等价于0120x x ≠⎧⎨->⎩，解得102x x <≠且．选B ．6．集合A 中只要含有1或 2 即可满足题意，此时A ∩B 为｛1｝或Φ．选D ． 7．∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y ＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+，∴根据题意作出函数图象即得．选A ．8．由ABC ∆的内角满足tan sin 0A A -<，易得cos A <0，∴A 为钝角，取23A π=代入sin cos 0A A +>，显然满足．选C ．9．∵1212()(),f x f x x x 可视为曲线上两点11(,())x f x 、22(,())x f x 的斜率，作图易得1212()()f x f x x x >．选C ． 10．∵[]()f x x x =-，f (0.2)＝0.2，f (-0.2)＝－0.2＋1＝0.8，显然f (0.2)≠f (-0.2)，∴[]()f x x x =-不是偶函数．选D ．11．由题意，易求得153,,21616a b c ===，∴a ＋b ＋c ＝1．选A ． 12．取△ABC 为正三角形易得11x y+＝3．选B ． 二、填空题13．（2，1，－3，2） ；14．m ＝0或m ≥1 ； 15． ),3()0,3(πππ⋃-； 16．[-1，2； 13．注：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如（2，1，－3，2）．14．提示 若①为真，②为假，则0m ≥且1m ≥，∴1m ≥；若②为真，①为假，则m <0且0<m <1，故m 不存在；当m ＝0时，①为真，②为假，符合条件．∴m ＝0或m ≥1． 15．作图即得解集为),3()0,3(πππ⋃-． 16．由题意可得函数在一个周期内的表达式．即：sin (0)4sin sin cos 5()cos ()cos sin cos 445sin (2)4x x x x x f x x x xx x x x πππππ⎧<≤⎪⎪≤⎧⎪==<<⎨⎨>⎩⎪⎪≤<⎪⎩，作出图象易得函数的值域为[-1，2． 三、解答题17．解：（1）0)211(log 3>+-x 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+-12110211x x ， …………………………3’ 解得2-<x ．…………6’方程03222=-+-m y y 的判别式)4(4)3(4422m m -=--=∆．…………8’∵ 2-<m ，∴42>m ．即042<-m ． ∴ 0<∆．由此得方程03222=-+-m y y 无实根．………………………………………12’18．解： )62sin(22cos 2sin 3)(π+-=++--=x m n m x m x m x f m n ++……2’0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤⇒+∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤⇒+∈-⎢⎥⎣⎦…………………………4’当m ＞0时，max ()f x =4)21(2=++--n m m ，5)(min -=+-=n m x f解得2,3-==n m ，………………………………………………………………6’ 从而，()3sin 4cos 5sin()g x x x x ϕ=-=+ ()x R ∈，T=2π，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’ 当m ＜0时， 解得3,1m n =-=，………………………………………………10’从而，()3sin 2cos )g x x x x ϕ=-+=+，T=2π最小值为12’ 19．解（1）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m +--=-=-=若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，),1,2(),1,3(m m --== 故知m m -≠-2)1(3．∴实数21≠m 时，满足的条件．………………………………………………6’（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则⊥，∴3(2)(1)0m m -+-=，解得47=m ．………………………………………12’ 20．解（1）由题意可知当,123,231),(1,0+-=∴=⇒-=∴==m x k k x m 万件时……3’ 每件产品的销售价格为)(1685.1元xx+⨯，∴2018年的利润m m m x m x x x x y -+-+=-+=++-+⨯⋅=)123(8484)168(]1685.1[ )0(29)]1(116[≥++++-=m m m ．…………………………6’（2）8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 ，21,)(31116,21298max ==⇒+=+=+-≤∴y m m m y 时万元当且仅当（万元）……11’ 答：（略）…………………………………………………………………………………12’21．解 （1）当*n N ∈时有：),1(32,3211+-=∴-=++n a S n a S n n n n两式相减得：111223,23n n n n n a a a a a +++=--∴=+，…………………………2’∴132(3)n n a a ++=+，又11123a S a ==-，∴ 113,360a a =+=≠． ∴数列{3+n a }是首项6，公比为2的等比数列．从而1362n n a -+=⋅，∴1323n a =⋅-．………………………………………………6’ （2）假设数列{n a }中存在三项)(,,,t s r a a a t s r <<，它们可以构成等差数列，∴<<,t s r a a a 只能是s t r a a a 2=+，………………………………………………8’ )323(2)323()323(-⋅=-⋅+-⋅∴s t r ，即1222+=+s t r ．∴1122.(*)t r s r -+-+=……………………………………………10’ ,r s t r <<、s 、t 均为正整数，∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立. 因此数列{n a }中不存在可以构成等差数列的三项．……………………………………………………………………………………12’ 22．解（1）证明：xa a ax a x a a x x a f x f +--+-++--+=-++21221)2(2)(01221121=--+--+-+=-+-++--+=xa x a x a a x a x x a x a a x ．∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’ （2）证明：xa x a x a x f -+-=-+--=111)()(当112a x a +≤≤+时，112a x a --≤-≤--， 121a x-≤≤--，112a x -≤-≤-，∴2113-≤-+-≤-xa ． 即]2,3[)(--值域为x f ．………………………………………………………………8’（3）)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=①当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且． 如果211-≥-a 即21≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增， ∴2min )1()1()(-=-=a a g x g ． 如果a g x g a a a -=-=-≠<-<-43)21()(,2121211min 时且即当．当21-=a 时，)(x g 最小值不存在．……………………………………………………10’ ②当45)21(1)(122-+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时 ，如果45)21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即．如果2min 131()(,1)()(1)(1)22a a g x a g x g a a -≤≤-∞-=-=-即时,在上为减函数． 当22353(1)()()0242a a a a >---=->时,．22131(1)()()0242a a a a <---=->当时,．……………………………………………12’综合得：当2121≠<a a 且时， g （x ）最小值是a -43；当2321≤≤a 时， g （x ）最小值是2)1(-a ；当23>a 时， g （x ）最小值为45-a ；当21-=a 时， g （x ）最小值不存在．………………………………………………14’。