(江苏专版)2018版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形试题理
2018届江苏高考二轮数学专题教学案 三角函数的化简与求值
2018届江苏高考二轮数学专题教学案 三角函数的化简与求值【热身训练】1．计算sin 16°cos 134°＋sin 74°sin 46°＝________.解析：原式＝－sin 16°cos 46°＋cos 16°sin 46°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12.2．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.3．已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．解析：设75°＋α＝t ，则α＝t －75°，且cos t ＝13，所以cos(30°－2α)＝cos(30°－2t ＋150°)＝cos(180°－2t )＝－cos 2t ＝－(2cos 2t －1)＝79.4．(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan[(α－π4)＋π4]＝tan α－π4 ＋tan π41－tan α－π4 tan π4＝16＋11－16＝75.【热点追踪】在数学高考中，三角函数的化简与求值问题一直是必考内容之一，其中三角函数的恒等变形更是高考考查的重点．三角的化简与求值有时还会与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形、应用题等相融合，体现高考在知识交汇处命题这一理念. （一）给值求值问题例1. 已知sin(α＋π6)＋cos α＝－33，求cos(π6－α)的值．解析：由sin(α＋π6)＋cos α＝－33，展开化简可得sin(α＋π3)＝－13，所以cos (π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin(α＋π3)＝－13.变式1 已知tan(π6－α)＝33，则tan(5π6＋α)＝________.解析：tan(5π6＋α)＝tan[π－(π6－α)]＝－tan(π6－α)＝－33.变式2 已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________.解析：设θ＋15°＝t ，则θ＝t －15°，且sin t ＝45，cos t ＝35，所以cos 2t ＝2cos 2t －1＝－725，sin 2t ＝2sin t cos t ＝2425，所以2θ－15°＝2t －45°，所以cos(2θ－15°)＝cos(2t －45°)＝22(cos2t ＋sin 2t )＝17250.（二）三角恒等变换的有关应用例2. 已知α，β∈(0，π2)，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值．变式1 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即sin αcos β＝12sin βcos α＝13，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－13. 变式2 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，求sin(2α＋π4)＋2cos π4cos 2α的值． 解析：由tan α＋1tan α＝103，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝13.因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝3.sin(2α＋π4)＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋22(1＋cos 2α)＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＋22＝22·2×332＋1＋2·1－321＋32＋22＝0. （三）三角函数中求角问题例3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标．．．是31010，点B 的纵坐标．．．是255.(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值．变式1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB ＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．解析：(1)在△AOB 中，由余弦定理得，cos∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝12＋12－ 25522×1×1＝35，即cos β＝35.(2)因为cos β＝35，β∈(0，π2)，所以sin β＝1－cos 2β＝1－ 35 2＝45.因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513，因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－ 5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B (－3365，5665)．【乘热打铁】1．已知α∈(π，3π2)，且cos α＝－45，则tan(π4－α)＝________.解析：tan α＝34，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan a ＝1－341＋34＝17.2．已知θ为锐角，cos(θ＋30°)＝45，则sin θ＝________.解析：因为θ为锐角，cos(θ＋30°)＝45，所以sin(θ＋30°)＝35，所以sin θ＝sin[(θ＋30°－30°)]＝sin(θ＋30°)cos 30°－cos(θ＋30°)sin 30°＝35×32－45×12＝33－410.3．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈(0，π2)，且m ⊥n .(1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈(0，π2)，求角β. 解析：(1)由m ⊥n 得，2cos α－s in α＝0，tan α＝2，故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. (2)由α∈(0，π2)，β∈(0，π2)得，α－β∈(－π2，π2)．因为sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010.则sin β＝sin[(α－(a －β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因β∈(0，π2)，得β＝π4. 4．(2017·苏州摸底考试)在平面直角坐标系中，设向量m ＝(3cos A ，sin A )，n ＝(cos B ，－3sin B )，其中A ，B 为△ABC 的两个内角． (1)若m ⊥n ，求证：C 为直角；(2)若m ∥n ，求证：B 为锐角．＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3tan B ＋tan B 1＋3tan 2B ＝－2tan B1＋3tan 2B<0，所以tan B >0，即证B 为锐角．。
【配套K12】2018年高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913 D.139 解析：由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－13，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan α·tan （α－β）＝3.答案：B2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：c 2＝(a －b)2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，所以S △ABC ＝12absin C ＝12×6×32＝332.答案：C3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π2，那么β＝( )(导学号 54850106)A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，得sin α＝45，又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，得sin(α－β)＝210， 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋45×210＝22， 由0＜β＜π2，得β＝π4.答案：C4．(2017·韶关调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A ．－19 B.19 C.53 D ．－53解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2(x －π3)＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2－3cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝53.答案：C5．(2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C ＋cos Asin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：因为2sin Acos C ＋cos Asin C ＝s in A ·cos C ＋sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋sin B.所以等式左边去括号，得sin B ＋2sin Bcos C ＝sin Acos C ＋sin B ， 则2sin Bcos C ＝sin Acos C ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理变形，得a ＝2b. 答案：A 二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcos B ＝acosC ＋ccos A ，则B ＝________．解析：由正弦定理得2sin Bcos B ＝sin A ·cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C)＝sin B ．所以2sin Bcos B ＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3.答案：π37．(2017·池州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________．(导学号 54850107)解析：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α；又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π3.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：2238．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．解析：由已知，cos ∠ABC ＝42＋22－422×4×2＝14.所以cos ∠CBD ＝－14，所以sin ∠CBD ＝1－cos 2∠CBD ＝154， 所以S △ABC ＝12×BD ×BC ×sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.又BC ＝BD ＝2，且∠ABC＝2∠BDC，则cos ∠ABC ＝14＝2cos 2∠BDC －1.解得cos ∠BDC ＝104或－104(舍去)． 答案：152104三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积． 解：(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0得tan A ＝－3， 又0＜A ＜π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c·cos 2π3.则c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4或－6(舍去)． (2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝π2.所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝23π－π2＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·ADsin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.10．(2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a>b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝13，所以b ＝13. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝asin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a<c ，得cos A ＝21313， 所以sin 2A ＝2sin Acos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2Acos π4＋cos 2Asin π4＝7226. 11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m(m∈R)，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最小值为－1.(导学号 54850108)(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，已知f(C)＝1，AC ＝4，延长AB 至D ，使BC ＝BD ，且AD ＝5，求△ACD 的面积．解：(1)因为f(x)＝4cos xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin xcos π6＋cos xsin π6＋m ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝ 3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6min ＝－1. 所以f(x)＝－1＝－1＋m ＋1，解得m ＝－1. (2)由(1)知f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，且f(C)＝1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，因为C∈(0，π)，得2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝5π6，解得C ＝π3.如图，设BD ＝BC ＝x ，则AB ＝5－x ， 在△ACB 中，由余弦定理， 得cos C ＝12＝42＋x 2－（5－x ）22×4×x ，解得x ＝32.所以cos A ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－32＝1314，得sin A ＝1－cos 2A ＝77.所以S △ACD ＝12AC ·ADsin A ＝12×5×4×77＝1077.。
江苏专版18版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量微点突破三角函数解三角形中的实际应用问题课件理
则四边形 BCEF 的面积为 1 2S 梯形 ABCD＝S 梯形 BCEG＋S△EFG，
1 1 1 3 3 1 3 即2×2× 3×(1＋2)＝2× 2 ×1＋2＋2×GF×2，解 3 得 GF＝ 6 ， 所以 EF＝ EG ＋GF ＝ 21 ＝ (km). 3 21 答：灌溉水管 EF 的长度为 3 km.
＝1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将
绿地分成面积相等的两部分.
(1)如图1，若E为CD的中点，F 在边界AB上，求灌溉水管EF 的长度；
(2)如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度.
解 (1)因为 AD＝DC＝2， BC＝1， ∠ABC＝∠BAD＝90°， 所以 AB＝ 3. 3 如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG，则 EG＝2，
微点突破
三角函数、解三角形中的实际 应用问题
【例】 (2013· 江苏卷)如图，游客从某旅游景区的 景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 12 3 1 260 m，经测量，cos A＝13，cos C＝5.
实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题 经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角 形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形， 有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方 程(组)得出所要的解.
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题二 三角函数与平面向量 第1讲 精品
[微题型 2] 三角函数图象与性质的综合应用
【例 2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数 f(x)＝sin2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ为常数，且 ω∈12，1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)的图象经过点π4 ，0，求函数 f(x)在 x∈0，π2 上 的值域.
答案 π 38π＋kπ，78π＋kπ(k∈Z)
考点整合 1.常用三种函数的易误性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
在－π2 ＋2kπ， π2 ＋2kπ 单
(k∈Z)上单调递增；在 调 性 π2 ＋2kπ， 3π 2 ＋2kπ
(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2k π，2kπ](k∈Z) 在－π2 ＋kπ， 上单调递增；在 [2kπ，π＋2k π2 ＋kπ(k∈Z) π](k∈Z)上单 上单调递增 调递减
2.(2011·江苏卷)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，
φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，
则 f(0)＝________. 解析 因为由图象可知振幅 A＝ 2，T4＝71π2 －π3 ＝π4 ，
所以周期 T＝π＝2ωπ，解得 ω＝2，将71π2 ，－ 2代入 f(x)
＝ 2sin(2x＋φ)，解得一个符合的 φ＝π3 ，
∴ω＝2Tπ＝21π6 ＝π8 .∴y＝4sinπ8 x＋φ，
把点(6，0)代入得：π8 ×6＋φ＝0，得 φ＝－3π 4 . ∴y＝4sinπ8 x－3π 4 ，又∵|φ|＜π2 .∴y＝－4sinπ8 x＋π4 .
(2)根据图象可知，A＝2，34T＝111π2 －π6 ，所以周期 T＝π，
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三
第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。
(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。
(3)tan(α±β)＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。
（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。
高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案理
第二讲三角恒等变换与解三角形三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页[悟通——方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．[全练——快速解答]1．(2018·合肥模拟)sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos78°＝( )A．－32B．－12C.32D.12解析：sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选D.答案：D2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79 C ．－79D ．－89解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B. 答案：B3．(2018·沈阳模拟)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( )A.195 B.165 C.2310D.1710解析：原式＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝2310，故选C. 答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos(α－π4)＝________.解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝31010.答案：31010三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等． (2)化简基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin α·cos α的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等．解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页[悟通——方法结论] 正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cosC ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6. 答案：B(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 答案：A(3)(2018·福州模拟)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝ADcos ∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.61．解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．[练通——即学即用]1．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A.12B.14C ．1D ．2 解析：由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：A2．(2018·广州模拟)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．解析：设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ， 由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12.又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1.l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12 ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a －1)×12(a －1)＋43＋12，当且仅当a －1＝12(a －1)时，△ABC 的周长最短，此时a ＝1＋22，即BC 的长是1＋22. 答案：1＋22解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第23页[悟通——方法结论] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．(2017·高考全国卷Ⅱ)(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(1)求cos B ❷； (2)若a ＋c ＝6❸，△ABC 的面积为2❹，求b . [学审题][规范解答] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 22，(2分)即sin B ＝4(1－cos B )， (3分) 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， (4分) 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(6分) (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，(7分) 故S△ABC ＝12ac sin B ＝417ac .(8分) 又S △ABC ＝2，则ac ＝172.(9分)由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) (10分)＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. (11分)所以b ＝2.(12分)1．与三角形面积有关的问题的解题模型2．学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养．[练通——即学即用](2018·长郡中学模拟)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A－3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋ 3.(1)求A 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解析：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①，∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②， 又sin 2A ＝2sin A cos A ③， cos 2A ＝2cos 2A －1 ④，将①②③④代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3.(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形， ∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C， ∴c ＝2sin C sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B ＝3tan B＋1，又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈()0，3，∴c ∈(1,4)，∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S △ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23.授课提示：对应学生用书第124页一、选择题1．(2018·合肥调研)已知x ∈()0，π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.答案：A2．(2018·成都模拟)已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410解析：∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝31010，sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝610＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫10102＝1－15＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：A3．(2018·昆明三中、五溪一中联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C ＝4， 所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4， 解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形． 答案：A5.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，A D ＝D B ，D E ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DEsin A＝22sin A，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 答案：C6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255 D ．1解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， ∴|a －b |＝55. 故选B.答案：B7.(2018·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置(图略)，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则 tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan A tan A －2， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t＋4≥8， 当且仅当t ＝4t， 即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号． 答案：C二、填空题9．(2018·广西三市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin B ＝2sin C ，cos C ＝13，△ABC 的面积为4，则c ＝________. 解析：由a sin B ＝2sin C ，得ab ＝2c ，由cos C ＝13，得sin C ＝223， 则S △ABC ＝12ab sin C ＝23c ＝4，解得c ＝6. 答案：610．(2018·皖南八校联考)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14， 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得 1－sin 2α＝116， 所以sin 2α＝1516. 答案：151611．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．解析：AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ，且AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos∠ADB ，即AC 2＝AD 2＋22－4AD ·cos∠ADC ，且(6－2AC )2＝AD 2＋22－4AD ·cos∠ADB ，∵∠ADB ＝π－∠ADC ，∴AC 2＋(6－2AC )2＝2AD 2＋8，∴AD 2＝3AC 2－122AC ＋282＝3(AC －22)2＋42， 当AC ＝22时，AD 取最小值2， 此时cos ∠ACB ＝8＋4－282＝528， ∴sin ∠ACB ＝148， ∴△ABC 的面积S ＝12AC ·BC ·sin∠ACB ＝7. 答案：712．(2018·成都模拟)已知△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使∠BDC ＝π4，则CD ＝________.解析：因为S △ABC ＝12AC ·BC ·sin∠BCA ， 即32＝12×2×6×sin∠BCA ， 所以sin ∠BCA ＝12. 因为∠BAC >∠BDC ＝π4， 所以∠BCA ＝π6，所以cos ∠BCA ＝32. 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠BCA＝2＋6－2×2×6×32＝2， 所以AB ＝2，所以∠ABC ＝π6， 在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠DBC ，即622＝CD 12，解得CD ＝ 3. 答案： 3三、解答题13．(2018·武汉调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足cos2A －cos 2B ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－B ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解析：(1)由cos 2A －cos 2B ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝0， 得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0， 化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. (2)∵b ＝3≤a ，∴c ≥a ，∴π3≤C <π2，π6<B ≤π3， ∴12<sin B ≤32. 由正弦定理a sin A ＝bsin B， 得a 32＝3sin B，∴a ＝32sin B ， 由sin B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32得a ∈[3，3)． 14．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AD 是BC 边上的中线，记∠CAD ＝α，∠BAD ＝β.(1)求sin α∶sin β；(2)若tan α＝sin ∠BAC ，求BC .解析：(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴S △AC D ＝S △AB D ，∴12AC ·AD sin α＝12AB ·AD sin β， ∴sin α∶sin β＝AB ∶AC ＝2∶1.(2)∵tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)，∴sin α＝sin(α＋β)cos α，∴2sin β＝sin(α＋β)cos α，∴2sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α，又tan α＝sin ∠BAC ＝sin(α＋β)≠0，∴cos(α＋β)＝cos ∠BAC ＝12， 在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝3，∴BC ＝ 3.15．(2018·广州模拟)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．解析：(1)由3cos B cos C ＋2＝3sin B sin C ＋2cos 2A ，得3cos(B ＋C )＋2＝2cos 2A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝34bc ＝53，得bc ＝20， 因为b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝25＋16－2×20×12＝21， 故a ＝21.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得sin B sin C ＝b a sin A ×c a sin A ＝57. 16．(2018·山西八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．解析：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＝sin(A ＋C )， 由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin 2A ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ，整理得cos A sin C ＝2sin A cos A .若cos A ＝0，则A ＝π2， 由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233， 此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233. 若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ，由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4，解得a ＝233，∴c ＝433， 此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233. 综上所述，△ABC 的面积为233. 17．(2018·常德市模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值． 解析：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)，∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π， ∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45， ∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin π4＝7210， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825.。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形课件(
考点一
考点一 考点二 考点三
试题 通解 优解
[自主突破·提速练]
1．若 tan α＝－ 22，且 α 是第四象限角，则 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋ 22cos2(α＋π)＝( D )
A．－
2 3
C．－13
B.
2 3
1 D.3
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
考点一
试题 通解 优解
考点一 考点二 考点三
因为 α 是第四象限角，tan α＝－ 22，故 cos2(α－π2)＋sin(3π－
α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝
sin2
α＋sin αcos α＋ 22cos2 sin2 α＋cos2 α
第二讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
试题 解析
考点一 考点二 考点三
1．(2016·高考全国Ⅲ卷)若 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝( A )
A.6245
B.4285
C．1
D.1265
考点一
试题 解析
考点一 考点二 考点三
利用同角三角函数的基本关系式求解． 因为 tan α＝34，则 cos2 α＋2sin 2α＝coss2inα2＋α4＋sicnoαs2coαs α＝ 1ta＋n24tαa＋n 1α＝1＋3424＋×134＝6245.故选 A.
试题 解析
(1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题课件文
＝ 3(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－ 3cos 2x＋ 3－1
π ＝2sin2x－3 ＋
3－1.
π 5π π π π 得 kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z). 由 2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2(k∈Z)，
5 2.在△ABC中，AC· cos A＝3BC· cos B，且cos C＝ ，则A＝_____. 45° 5
答案 解析
由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
5 ∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°<B＜90°，又cos C＝ ， 5 2 5 故sin C＝ ，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°， 5 tan A＋tan B ∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即 ＝－2， 1－tan Atan B 4tan A 将tan B＝3tan A代入，得 ＝－2， 2 1－3tan A 1 ∴tan A＝1或tan A＝ －3 ，而0°＜A＜90°，则A＝45°.
4k＋3 π π 令 ωπx－4＝kπ＋2，则得 x＝ 4ω (k∈Z)，
1 ∴当k＝－1时，得y轴左侧第1条对称轴为－4ω ；
5 当k＝－2时，得y轴左侧第2条对称轴为－ ， 4ω 1 5 1 5 5 因此－1<－4ω<0 且－1≥－4ω，解得4<ω≤4，故 ωmax＝4.
题型分类
深度剖析
题型一 三角函数的图象和性质 π π ωx 2 例1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋ )＋sin(ωx－ )－2cos ，x∈R(其中ω>0). 2 6 6 (1)求函数f(x)的值域； 解答
高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形课件文
＋cos2 α＝1 可得 cos2 α＝23，cos α＝ 36，sin α＝－ 33.cos2α－π2
二 考点三
＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋
22cos2(α＋π)＝sin2
α＋sin
αcos
α＋
2 2
cos2
α＝13＋－
3× 3
36＋
32＝13，故选
D.
第十六页，共46页。
考点(kǎo diǎn)一
考点三
α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
第十四页，共46页。
考点(kǎo diǎn)一
考点一 考点二 考点三
试题(shìt通í)解(tōngji优ě)解
[自主突破·提速练]
1．若 tan α＝－ 22，且 α 是第四象限角，则 cos2(α－π2)＋sin(3π－
＝－3 52.
第十九页，共46页。
考点(kǎo diǎn)一
试题 通解 优解
考点(kǎo diǎn) 因为54π<x<74π，所以 π<x－π4<32π，
一 考点(kǎo diǎn)
又 cosπ4－x＝－45，所以 cosx－π4＝－45，
二
考点三
sinx－π4＝－35，所以 sin x－cos x
考点(kǎo diǎn)一
考点一 考点二 考点三
试题(shìt解í)析(jiě
先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，转化为关于 tan θ
的关系式进行求解．
∵cos
2θ＝ccooss22
θ－sin2 θ＋sin2
θθ＝11－ ＋ttaann22
高考数学二轮复习 高校信息化课堂 专题四 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形 文
第2讲三角恒等变换与解三角形【选题明细表】知识点、方法题号正、余弦定理的应用1、5、8、9、10、11正、余弦定理的实际应用3、13三角恒等变换2、4、15综合问题6、7、12、14、16、17基础把关1.在锐角△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,若2asin B=b,则角A等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:由2asin B=b得2sin Asin B=sin B,由于sin B≠0,故sin A=,而A是锐角,所以A=,故选D.2.(2014温州一模)已知sin 2α=,则cos2(α-0=( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:cos2(α-)====.故选C.3.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,则A,B两点间距离为( A )(A)50 m (B)50 m(C)25 m (D) m解析:由题意知,∠BAC=30°,又BC=50 m,∠BCA=45°,由正弦定理得AB==50(m).故选A.4.(2014宁波二模)已知α∈R,cos α+3sin α=,则tan 2α等于( A )(A)(B)(C)-(D)-解析:(cos α+3sin α)2=5,∴4sin2α+3sin αcos α=2,∴=2,∴=2,解得tan α=-2或tan α=,∴tan 2α=.故选A.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且=,则角C的值为( C )(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°解析:∵b2+c2-bc=a2,∴b2+c2-a2=bc,∴cos A==,∴A=60°.又=,∴=,∴sin B=sin A=.∵b<a,∴B<A,B=30°,∴C=180°-A-B=90°.故选C.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知点D是BC边的中点,且·=(a2-ac),则角B的值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由已知得=(+),=-,所以·=(-)==(a2-ac),所以b2=c2+a2-ac,又b2=c2+a2-2accos B,所以cos B=,又因为0<B<π,所以B=,故选B.7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A的值是.解析:在△ABC中,由正弦定理得,3sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,∵sin B≠0,∴3cos A=1,∴cos A=>0,∴A为锐角,且sin A==,∴tan A==2.答案:28.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b-c=acos C,则A= .解析:由b-c=acos c及正弦定理得sin B-sin C=sin Acos C,又B=π-(A+C),所以sin(A+C)-sin C=sin Acos C,即cos Asin C-sin C=0,又sin C≠0,所以cos A=,又因为0<A<π,所以A=.答案:9.(2014嘉兴高三期末)已知△ABC的面积为3,A=60°,AB-AC=2,则BC边的长为.解析:由条件可得·AB·AC·sin 60°=3,即AB·AC=12,又由AB-AC=2得AB2+AC2-2×12=4,即AB2+AC2=28.所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 60°=28-2×12×=16,BC=4.答案:410.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2=bc,则角B= .解析:由acos B+bcos A=csin C可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,即sin(A+B)=sin2C,因此sin C=1,C=.又因为b2+c2-a2=bc,所以cos A===,故A=,从而B=π--=.答案:11.在△ABC中,AB=1,AC=,S△ABC=,则BC= .解析:由题意得S△ABC==AB·AC·sin A=×1××sin A,故sin A=,∴cos A=±.当cos A=时,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=1+2-2=1,∴BC=1.当cos A=-时,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=1+2-2×1××(-)=5,∴BC=. 答案:1或12.已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x-,△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=1.(1)求角B的大小;(2)若a=,b=1,求c的值.解:(1)∵f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),∴f(B)=sin(2B+)=1,∴2B+=+2kπ,k∈Z,∴B=+kπ,k∈Z.∵B∈(0,π),∴B=.(2)法一由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得,c2-3c+2=0,∴c=1或c=2.法二由正弦定理=得sin A=,所以A=或A=,当A=时,C=,所以c=2.当A=时,C=,所以c=1.能力提升13.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西45°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( D )(A)5海里(B)5(-1)海里(C)10海里(D)10(-1)海里解析:如图所示,依题意有∠BAC=45°,∠BAD=75°,所以∠CAD=30°,∠CDA=15°,在△ACD中,由正弦定理得==20,则AC=20sin 15°=5(-),在直角三角形ABC中,得AB=ACsin 45°=5(-1),于是这艘船的速度是=10(-1)(海里/小时).故选D.14.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c且cos 2C=1-,则+= . 解析:由cos 2C=1-2sin2C=1-,得sin2C=,因为sin C>0,所以sin C=,即sin C=,因此sin Csin A=2sin(A+C),所以sin Asin C=2sin Acos C+2cos Asin C,由于sin Asin C≠0,故1=+,故+=.答案:15.(2013湖州模拟)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.解析:因为α是锐角,cos(α+)=,所以sin(α+)=.所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.cos(2α+)=cos2(α+)-sin2(α+)=,所以sin(2α+)=sin[2(α+)-]=[sin(2α+)-cos(2α+)]=.答案:16.(2014杭州二中)已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+sin2ωx-(ω>0),其相邻两个零点间的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)锐角△ABC中,f(+)=,AB=4,△ABC的面积为6,求BC的值.解:(1)f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=sin(2ωx-),由题意知,=,∴T=π,∴2ω=⇒ω=1,∴f(x)=sin（2x-）.(2)∵f(+)=,∴sin A=,∴sin A=,∵S△ABC=·AB·AC·sin A=×4·AC·=AC=6,∴AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos A=16+18-2×4×3×=10,∴BC=.17.(2014杭州外国语学校)如图所示,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,且满足=.(1)证明:b+c=2a;(2)若b=c,∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形OACB面积的最大值.解:(1)∵=,∴sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A,∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,∴sin C+sin B=2sin A,∴b+c=2a.(2)因为b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形,S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=OA·OBsin θ+AB2=sin θ+(OA2+OB2-2OA·OBcos θ)=sin θ-cos θ+=2sin(θ-)+,∵θ∈(0,π),∴θ-∈(-,),当且仅当θ-=,即θ=时取最大值,S四边形OACB的最大值为2+.。
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1 第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)若tanα－π4＝16，则tan α＝________.
解析 法一 ∵tanα－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75. 法二 tan α＝tanα－π4＋π4
＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16×1＝75. 答案 75 2.(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝45，C＝π4. (1)求AB的长； (2)cosA－π6的值. 解 (1)由cos B＝45，得sin B＝1－cos2B＝35. 又∵C＝π4，AC＝6，由正弦定理， 得ACsin B＝ABsin π4，即635＝AB22
⇒AB＝52. 2
(2)由(1)得：sin B＝35，cos B＝45，sin C＝cos C＝22， 则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7210， cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－210， 则cosA－π6＝cos Acosπ6＋sin Asinπ6＝72－620. 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“kπ2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径). 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C； 推论：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. (3)S△ABC＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
热点一 三角恒等变换及应用 3
【例1】 (1)(2015·重庆卷改编)若tan α＝2tan π5，则cosα－3π10sinα－π5＝________. (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. (3)(2016·苏北四市模拟)已知cosπ6＋α·cosπ3－α＝－14，α∈π3，π2， 则sin 2α＝________.
解析 (1)cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5
＝sin αcosπ5＋cos αsinπ5sin α·cosπ5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. (2)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ. ∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ) ＝－cos 2α＝－(1－2sin2α) ＝－1－2×19＝－79. (3)cosπ6＋α·cosπ3－α ＝cosπ6＋α·sinπ6＋α ＝12sin2α＋π3＝－14， 即sin2α＋π3＝－12. ∵α∈π3，π2，∴2α＋π3∈π，4π3， ∴cos2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin2α＋π3－π3 4
＝sin2α＋π3cos π3－cos2α＋π3sin π3＝12. 答案 (1)3 (2)－79 (3)12 探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. 【训练1】 (1)(2017·南京、盐城调研)若sinα－π6＝35，α∈0，π2，则cos α的值为________. (2)(2017·苏北四市模拟)sin(π－α)＝－53且α∈π，3π2，则sinπ2＋α2＝________. (3)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________. 解析 (1)因为α∈0，π2，所以α－π6∈－π6，π3，则cosα－π6＝1－sin2α－π6＝45， 所以cos α＝cosα－π6＋π6 ＝cosα－π6cos π6－sinα－π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310. (2)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈π，3π2，
∴cos α＝－1－sin2α＝－1－－532＝－23. 由cos α＝2cos2α2－1，α2∈π2，3π4， 得cos α2＝－cos α＋12＝－66. 所以sinπ2＋α2＝cos α2＝－66. (3)∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3. 5
答案 (1)43－310 (2)－66 (3)3 热点二 正、余弦定理的应用 [命题角度1] 三角形基本量的求解 【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A
＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________. 解析 在△ABC中由cos A＝45，cos C＝513， 可得sin A＝35，sin C＝1213，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos A·sin C＝6365，由正弦定理得b＝asin Bsin A＝2113. 答案 2113 (2)(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝35. ①求b和sin A的值； ②求sin2A＋π4的值. 解 ①在△ABC中，因为a>b， 故由sin B＝35，可得cos B＝45. 由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以b＝13. 由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝31313. 所以，b的值为13，sin A的值为31313. ②由①及a所以sin 2A＝2sin Acos A＝1213， cos 2A＝1－2sin2A＝－513. 故sin2A＋π4＝sin 2Acosπ4＋cos 2Asinπ4＝7226. 探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑6
两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. [命题角度2] 求解三角形中的最值、面积问题 【例2－2】 (2017·苏北四市调研)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋3asin C－b－c＝0.
(1)求A； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解 (1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C，sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C， 所以3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. 易知sin C≠0，所以3sin A－cos A＝1， 所以sinA－π6＝12. 又0＜A＜π，所以A＝π3. (2)法一 由(1)得B＋C＝2π3⇒C＝2π3－B0＜B＜2π3， 由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C＝2sin π3＝43，
所以b＝43sin B，c＝43sin C. 所以S△ABC＝12bcsin A＝12×43sin B×43sin C·sin π3＝433sin B·sin C ＝433·sin B·sin2π3－B＝43332sin Bcos B＋12sin2B＝sin 2B－33cos 2B＋33＝233sin2B－π6＋33.