2015-2016年九年级数学上册11菱形的性质与判定课件新版北师大版
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北师大版九年级上册菱形的性质与判定课件
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般 平行四边形的所有性质。你能列举一些这样 的性质吗？
对边平行； 边 对边相等；
对角线 对角线互相平分；
角
对角相等； 邻角互补；
菱形是中心对称图形。
菱形还具有哪些特殊的性质
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
B
C
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
边 菱形的两组对边平行且相等
A
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
角 菱形的邻角互补
D
O
C
B
菱形的两条对角线互相垂直平分 对角线
并且每一条对角线平分一组对角.
2、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
当堂训练
1.如图1，菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝__6_0_°_.
除此之外，菱形还有哪 些性质呢？我们一起来 解决知识技能第三题。
菱形的每一条对角线平分一组对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
求证：AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC .
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
A
D
∴△ABD是等腰三角形，
O
又∵BO=DO
∴AC平分∠BAD
课堂小结
1、菱形的定义： 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、菱形的性质 3、菱形具有平行四边形的所有性质。
作业
习题1.1
知识技能 1、2、3 数学理解 4
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形是中心对称图形，其对角线的交点
北师大版九年级数学上册教学课件：1.1菱形的性质与判定 (共36张PPT)
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点二 菱形判定方法的综合应用 例2 (2016· 沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连 接DE.求证:
(1)∠CEB=∠CBE; (2)四边形BCED是菱形. 分析:(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD, ∠CBE=∠ABD即可. (2)先证明四边形BCED是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.
分析:根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2,从而证 得△BAE≌△DAE,这样就得出四边形ABED为平行四边形,然后根据 菱形的判定定理即可得出结论.
知识点一
知识点二
知识点三
证明:如图,∵AE平分∠BAD, ∴∠1=∠2. ∵AB=AD,AE=AE, ∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE. ∵AD∥BC,∴∠2=∠3=∠1. ∴AB=BE. ∴AB=BE=DE=AD. ∴四边形ABED是菱形.
1识点二
知识点三
知识点一 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 名师解读 几何中的定义都有两重性:一是可作为一条性质,二是 可作为一条判定. (1)根据菱形的定义,判断一个四边形是菱形必须同时具备两个 条件: ①四边形是平行四边形; ②四边形有一组邻边相等. (2)由菱形的定义可知,一个四边形是菱形,则具有如下性质: ①菱形是平行四边形; ②菱形有一组邻边相等.
知识点一
知识点二
知识点三
例2 (2016· 淮安)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别为边 CD,AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF. 分析:由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由 SAS证明△ADE≌△CDF即可. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD, ∵点E,F分别为边CD,AD的中点, ∴AD=2DF,CD=2DE,∴DE=DF,
北师大版数学九上《菱形的性质与判定》教学课件
定理的证明 证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（请在练习本上完整地写出定理的证明过程， 完成后同桌统一答案！）
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
O
B
D
C
符号语言
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD
∴ ABCD是菱形
巩固练习
判断下列说法是否正确，为什么？请举手回答！ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形. ╳ (2)对角线互相平分的四边形是菱形. ╳
A
D
B
C
定理：四条边相等的四边形是菱形
A
D
B
C
符号语言 ∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形.
画一画
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个 菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?先自 己试一试，之后组内交流，3分钟后展示!
焦作市光明中学 白琳琳
学习目标
1. 熟记菱形的判定方法。 2. 会用菱形的判定方法解决问题。
新知探究
探究一 取一长一短两根细木条，在它们的中点处固定 一个钉子，做成一个可以转动的十字，四周围 上一根橡皮筋,做成一个四边形。现在转动木条 ，观察这个四边形什么时候变成菱形?
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.√
(4）一组邻边相等的四边形是菱形．
╳
探究二 请取出你准备好的长度相等的四根木条（或者 笔芯），首尾相接摆放在一起。观察所摆放的 四边形是什么样的四边形？由此你能得到什么 结论？请同学们组内交流后派代表展示！
北师大版九年级数学课件-菱形的性质与判定
菱形還具有哪些特殊的性質？請 你與同伴交流。
做一做
請同學們用菱形紙片折 一折，回答下列問題：
（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾 條對稱軸？對稱軸之間有什麼位置關係？
（2）菱形中有哪些相等的線段？
結論
• 菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱 形領條對角線所在的直線。兩條對稱軸互 相垂直。
• 菱形的鄰邊相等，對邊相等，四條邊都相 等。
又∵四邊形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
菱形是特殊的平行四邊形，它除 具有平行四邊形的所有性質外，還有平行 四邊形所沒有的特殊性質：定理菱形的四條邊都相等。
定理
菱形的兩條對角線互相垂直。
例1
如圖1-2，在菱形ABCD中， 對角線AC與BD相交於點O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的邊長AB和對角線AC的長。
第一章 特殊平行四邊形
第1節 菱形的性質與判定（一）
圖片中有你熟悉的圖形嗎？
與左圖相比較，這種平行 四邊形特殊在哪里？你能給 菱形下定義嗎？ 一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四邊形， 它具有一般平行四邊形的所有性質。你 能列舉一些這樣的性質嗎？
菱形的對邊平行且相等，對角相 等，對角線互相平分。
隨堂練習
如圖，在菱形ABCD中，對角 線AC與BD 相交於點O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 長.
課堂小結
1、菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形 是菱形。
2、菱形的性質：①菱形是軸對稱圖形，對稱軸 是兩條對角線所在的直線；②菱形的四條邊都 相等；③菱形的對角線互相垂直平分。
做一做
請同學們用菱形紙片折 一折，回答下列問題：
（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾 條對稱軸？對稱軸之間有什麼位置關係？
（2）菱形中有哪些相等的線段？
結論
• 菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是菱 形領條對角線所在的直線。兩條對稱軸互 相垂直。
• 菱形的鄰邊相等，對邊相等，四條邊都相 等。
又∵四邊形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）
在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
菱形是特殊的平行四邊形，它除 具有平行四邊形的所有性質外，還有平行 四邊形所沒有的特殊性質：定理菱形的四條邊都相等。
定理
菱形的兩條對角線互相垂直。
例1
如圖1-2，在菱形ABCD中， 對角線AC與BD相交於點O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的邊長AB和對角線AC的長。
第一章 特殊平行四邊形
第1節 菱形的性質與判定（一）
圖片中有你熟悉的圖形嗎？
與左圖相比較，這種平行 四邊形特殊在哪里？你能給 菱形下定義嗎？ 一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四邊形， 它具有一般平行四邊形的所有性質。你 能列舉一些這樣的性質嗎？
菱形的對邊平行且相等，對角相 等，對角線互相平分。
隨堂練習
如圖，在菱形ABCD中，對角 線AC與BD 相交於點O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 長.
課堂小結
1、菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形 是菱形。
2、菱形的性質：①菱形是軸對稱圖形，對稱軸 是兩條對角線所在的直線；②菱形的四條邊都 相等；③菱形的對角線互相垂直平分。
新北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》优质课课件(共20张PPT)
独立 作业
驶向胜利 的彼岸
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
提高证明能力的源泉
6.已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂 足分别是N,M,OM=ON. 求证:PM=PN.
独立 作业
N
B
P
驶向胜利 的彼岸
O
M
A
老师期望: 你能写出规范的证明过程.
提高证明能力的源泉
独立 作业
7.已知:如图,MN是线段AB的垂直 M 平分线,C,D是MN上的点. C 求证: (1)△ABC,△ABD是等腰三角形; (2)∠CAD=∠CBD. D
O A
D P
C
1 2
E B
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE ∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)
线段的垂直平分线定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等
∵PC垂直平分AB (PC⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上) ∴PA=PB 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上
1 BC AB 2
B
直角三角形的性质
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方.
直角三角形全等的判定定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么 这个三角形是直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (简称“HL”)
角平分线的定理 定理:角平分线上的点到这个角两边 的距离相等 ∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE
A
A F E C
O
O
C
B
B
D
提高证明能力的源泉
北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定课件 (共41张PPT)
建立模型，探索新知
探究2：证明菱形的性质 菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直. 小组讨论：要严格证明这两个结论， 1. 有哪些“〞条件？ 2. “求证〞什么？ 3. “证明〞过程如何？
建立模型，探索新知
：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线 AC与BD相交于点O.
求证：〔1〕AB=BC=CD=AD； 〔2〕AC⊥BD.
活动2 探究菱形的判定方法二 用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮 筋，做成一个四边形.
示意图
建立模型，探索新知
〔1〕转动木条，这个四边形总有什么特征？ 你能证明你发现的结论吗？
建立模型，探索新知
〔2〕继续转动木条，观察什么时候橡皮筋围成的 四边形变成菱形？
2 菱形的判定和面积
回忆复习，导入新课
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的性质： ① 两条对角线互相垂直平分；
② 四条边都相等； ③ 每条对角线平分一组对角； ④ 菱形是一个中心对称图形，也是一
个轴对称图形.
回忆复习，导入新课
平行四边形的判定方法有哪些？ 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
1 BD AC 2
1 10 24 2
菱形的面积等于对角线之积的一半.
120(cm2 ).
归纳总结，提升认识
四条边都相等 对角线互相垂直平分
归纳总结，提升认识
• 整节课你有什么感悟？ • 探索总结了什么规律？ • 对某些知识点你还有什么困惑？ • 你有什么新发现？ • 你学到了什么数学思想方法？
面积 =2 × △ABD的面积 2 1 BD AE 2 1 1012
2
2
新北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》优质课课件(共22张PPT)
0 90 ∴ ∠AOB=
6、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
C.矩形
D. 菱形
5、 如 图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB= 5 ，AO=4，OB=3 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: ∵ AB=5 ,AO=4, BO=3
∴
AB2 OA2 OB2
D
A C ∴AC⊥BD O ∵ 四边形ABCD是平行四边形 B ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边 形是菱形).
E
3
12
F D C
课堂小结：
文字语言
菱形的判定：
图形语言
A B
A O C D
符号语言
∵在□ABCD中 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中 AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
判定 法一
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
判定 对角线互相垂直 的平行四边形是 法二 菱形 判定 法三
四边相等的四边 形是菱形
四条边相等+ =
轻松过关:
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5 5 4 3 3 4
3
3
┍
4
4
5 5
5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
2、判断下列说法是否正确？为什么？
北师大版九年级数学课件-菱形的性质与判定
图 20.3.1
如圖20.3.2，你還可以作一個兩條對角線互相垂直的平 行四邊形．
图 20.3.2
和你的同伴交換一下，看看是否成了一個菱形．
由此可以得到判定菱形的一種方法：
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
如圖20.3.3，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD互 相垂直，我們可以證明： 四邊形ABCD是菱形．
OE
F
B
C
想一想
你能說出這節課的心得和體會， 讓大家與你分享嗎？
∴△AOE≌△COF
想一想
對於一個一般的四邊形，能否也可以找到判定它是不 是菱形的方法呢？由菱形的另一條性質“四條邊都相 等”， 你可能會想到： 如果一個四邊形的四條邊都相等，那 它會不會一定是菱形？試著畫一畫，與周圍的同學討論， 猜一猜結論是否成立．
由此我們得到了判定菱形的又一種方法：
四條邊都相等的四邊形是菱形．
1.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是
（ C ）．
Ａ. AC⊥BD ，AC與BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
A
D
O
B
C
2.已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,
與BC相交於點E,EF//AB,與AD相交於點F.
想一想
菱形的性質“兩條對角線互相垂直平分”中，“對 角線
互相平分”是平行四邊形所具有的一般性質，而“對角 線
垂直由”此是，菱可形以所得特到有一的個性猜質想。：“如果一個平行四邊形
的兩條對角線互相垂直，那麼這個平行四邊形等的細木棒，讓兩個木 棒的中點重合並固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個 端點的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是一個平行 四邊形．若轉動其中一個木棒，重複上面的做法，當兩 個木棒之間的夾角等於90°時，得到的圖形是什麼圖形 呢？
如圖20.3.2，你還可以作一個兩條對角線互相垂直的平 行四邊形．
图 20.3.2
和你的同伴交換一下，看看是否成了一個菱形．
由此可以得到判定菱形的一種方法：
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
如圖20.3.3，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD互 相垂直，我們可以證明： 四邊形ABCD是菱形．
OE
F
B
C
想一想
你能說出這節課的心得和體會， 讓大家與你分享嗎？
∴△AOE≌△COF
想一想
對於一個一般的四邊形，能否也可以找到判定它是不 是菱形的方法呢？由菱形的另一條性質“四條邊都相 等”， 你可能會想到： 如果一個四邊形的四條邊都相等，那 它會不會一定是菱形？試著畫一畫，與周圍的同學討論， 猜一猜結論是否成立．
由此我們得到了判定菱形的又一種方法：
四條邊都相等的四邊形是菱形．
1.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是
（ C ）．
Ａ. AC⊥BD ，AC與BD互相平分
Ｂ. AB=BC=CD=DA
Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
A
D
O
B
C
2.已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,
與BC相交於點E,EF//AB,與AD相交於點F.
想一想
菱形的性質“兩條對角線互相垂直平分”中，“對 角線
互相平分”是平行四邊形所具有的一般性質，而“對角 線
垂直由”此是，菱可形以所得特到有一的個性猜質想。：“如果一個平行四邊形
的兩條對角線互相垂直，那麼這個平行四邊形等的細木棒，讓兩個木 棒的中點重合並固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個 端點的連線。我們知道，這樣得到的四邊形是一個平行 四邊形．若轉動其中一個木棒，重複上面的做法，當兩 個木棒之間的夾角等於90°時，得到的圖形是什麼圖形 呢？