第十六章 结构的极限荷载
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结构力学专题十六(单跨梁极限荷载计算)
A、B、C中的两个
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
▲ 结构的极限荷载小结
3.超静定结构极限荷载计算的特点 （1）先判断出超静定梁的破坏机构，即可直接利用机构的平衡 条件求FPu，不必考虑弹塑性变形过程。 （2）只需考虑平衡条件，不需考虑变形协调条件。因而计算比 弹性计算简单。 （3）超静定结构极限荷载，不受温度改变、支座移动等因素的 影响。（按最终的破坏机构计算，温度改变、支座移动等因素不再
2）第二跨破坏
ql q 1.5ql
ql ql l 17.6 1.2Mu 1.2Mu Mu 2 q2 2 Mu 2 2 2 l 3）第三跨破坏 q ql 1.5ql θ
1.2Mu θ M Δ u
θ
1.2Mu
1.2Mu
3ql 3ql 3l 1.2M u 2.4M u 2M u 2 2 2 4 6.4 M u 7.6Mu 8 Mu q3 2 6.756 2 破坏荷载为： qu 9 l l l2 （第一跨）
l
2.4Mu
ql 2 4
1.2Mu
1.2Mu
Mu
Mu
2Mu
ql 2 4
1.2Mu
ql 2 8
1.2Mu
9ql 2 16
2.4Mu
Mu
Mu
2Mu
第一跨单独破坏时： 第二跨单独破坏时： 第三跨单独破坏时：
q1l 2 M u 0.6M u 4
6.4M u q1 l2
17.6M u q2l 2 M u 1.2M u q2 8 l2 9q3l 2 6.76M u 2M u 1.8M u q3 16 l2
6 Mu FPu l
[例2] 图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu， 第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯 矩的1.2倍，求qu 。
结构力学 结构的极限荷载与弹性稳定图文
A
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解: AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
塑性铰的可能位置：A、B、D。
A l/3
B
Mu B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
1）B、D截面出现塑性
FPu
铰，由弯矩图可知，只 有当 Mu 3Mu 时，此破
A l/3
B
Mu B
分析：(1) 图(a)表示截面处于弹性阶段。
该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，
称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性 s a)
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b)
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
2
C l
2 4
B Mu
由We=Wi，可得 所以有1 4q源自l 24M uqu
16M l2
u
三次超静定 三个塑性铰
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。 解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。
q
qu
A
l
BA
Mu A
Mu C C B
l-x
x
例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用(图a)，试求极限荷载FPu 。
解：由M图知跨中截面 弯矩最大，在极限荷载作用 下，塑性铰将在跨中截面形 成，弯矩达极限值Mu(图b)。
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Mu W
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
第十六章结构的极限荷载
Mu
第二跨破坏：
第三跨破q坏2 ：17l2.6 Mu
Pu
6.4
Mu l2
θΔ
2θ
ql
ql
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θΔ
2θ
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1.5ql
1.5P
θΔ
2θ
3q2lqq2ll
32qqql2ll342l2ll
11..22MMuuu
M21..42u MM2uu 2MqM1u2u26l.24Mquq2 317l72..66lM2Muu
7
P
例19-1求图示简支梁的Pu。
静力法：根据平衡条件
l
l
M
u
Pu l 4
得：
Pu
4M l
u
机动法：采用刚塑性假设 画机构虚位移图
虚功方程：
Pu - M u 2 0
Pu
2M u
4M u l
M
u
Pu 4
l
θ
Mu P Mu
Δ
2θ
2
l
极 限 平 静力法：
衡法求
根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出
承受极 限弯矩
真实铰 不承受 弯矩
单向铰 双向铰
卸载而消失 不消失
位置随荷载的分 布不同而变化
位置固定
P
Pu
C
C
P
Mu
Mu
C
6
•横向荷载 通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯 导出的结果横弯仍可采用。
弹塑性分析全过程
•在加载初期，各截面弯矩≤弹性极限弯矩Ms→某截面弯矩= Ms 弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载Fps。 •当F>Fps，在梁内形成塑性区。 •随着荷载的增大，塑性区扩展→形成塑性铰，继续加载，→形 成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
15_结构的塑性分析与极限荷载解读
2l l A y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
结构力学第16章 结构的极限荷载
6 M ( l 32
T 1
5 l) 32
与极限弯矩的比值为：
Mu 32M u ( 6l M1
T
32M u ) 5l
最小比值发生在A点，其值为：
Mu 16 M u M 1 min 3l
最小比值用FP1来表示，当荷载增大到
16 M u FP FP1 3l
Mu 得 q 6.756 l 2 Mu 极限荷载 qu 6.4 l 2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件：材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
EA l 0 0
0 0 0 0 0 0
（2）在 1 和 2 端同时出现塑性铰，如图(d)。
k 1e 2
EA l 0 0 EA l 0 0
EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
极限弯矩
塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。
塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角—单向铰。
图(a)为只有 一个对称轴的截面 图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心； 图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化； 图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受拉区面积)= A2(受压区面积)，Mu为
状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 FP 表示。
FP 只满足平衡条件和单向机构条件。 可破坏荷载
T 1
5 l) 32
与极限弯矩的比值为：
Mu 32M u ( 6l M1
T
32M u ) 5l
最小比值发生在A点，其值为：
Mu 16 M u M 1 min 3l
最小比值用FP1来表示，当荷载增大到
16 M u FP FP1 3l
Mu 得 q 6.756 l 2 Mu 极限荷载 qu 6.4 l 2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件：材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
EA l 0 0
0 0 0 0 0 0
（2）在 1 和 2 端同时出现塑性铰，如图(d)。
k 1e 2
EA l 0 0 EA l 0 0
EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA 0 0 0 0 l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
极限弯矩
塑性铰：弯矩达到极限弯矩时的截面。
塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角—单向铰。
图(a)为只有 一个对称轴的截面 图(b)为弹性阶段：应力直线分布，中性轴过截面形心； 图(c)为弹塑性阶段：中性轴随弯矩的大小而变化； 图(d)为塑性流动阶段：受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受拉区面积)= A2(受压区面积)，Mu为
状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限 值，此荷载值称为可接受荷载用 FP 表示。
FP 只满足平衡条件和单向机构条件。 可破坏荷载
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2.普通铰为双向铰； 塑性铰为单向铰，只能沿着MU增大的方向，若向 相反方向转动，则塑性铰消失。
h
17
四、破坏机构：
当结构在荷载作用下形成足够多的塑性铰时， 结构变为几何可变体系，即为破坏机构。
此时为极限状态，荷载为极限荷载。
若有n个极限荷载，则最小者为整个体系的极限荷载
h
18
五、比例加载：
1.所有荷载保持比例不变。 2.单调加载。
h
55
q
A
2MMUU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
27.8l26MU
,
2MU 3l2
m
in
h
56
q
A
MU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
qU
16MU l2
h
57
3ql
q
A
2MMUU
B
MU
h
3
§16-1 概述
1.弹性设计法：弯矩图上的最大值达到极限，则整 个结构认为达到极限。材料为弹性。
2.塑性设计法：整个结构变为机构后才认为达到极 限。材料为理想弹塑性。
h
4
理想弹塑性材料
σs ε
低碳钢
σs ε
h
5
理想弹塑性材料
1.弹性阶段OA，塑性阶段AB 2.同一应变对应不同应力
同一应力对应不同应变 3. 拉压性能相同 4.加载与卸载性能不同，
求：MU
20
h
13
4R 3
h
14
已知：大圆半径为R1 小圆半径为R2
屈服强度为σS
求：MU
h
15
三、塑性铰：
某截面的M达到MU时，其M不能进一步增 加，该截面两侧沿MU的方向发生相对转动， 相当于铰结点，称为塑性铰。
h
16
塑性铰与普通铰的区别：
1.普通铰不能承担M 塑性铰能承担M，且为常数，大小为MU。
42
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
1
2MU l
,
6MU l
min
h
43
三、变截面梁
P
2MU
MU
A
B
C
D
l
l
l
3
3
3
2M 1l U,7.5lMU,9M lUmin
h
44
P
2MU
AB
MU
C
D
l
l
l
3
3
3
212Ml U
,1
5MU l
min
h
45
FP=1
AH
D
E
2m 2m 2m 2m
加载为弹塑性，卸载为弹性
h
S
A
o
ε
6
§16.2 极限弯矩 塑性铰 极限状态
单杆、纯弯曲、矩形截面、理性弹塑性材料
M
M
h
b
h
7
一、弹性极限弯矩MS
S
MS
S
bh2 6
MM
max Wz
bh2 6
S
h
8
二、塑性极限弯矩MU
S
MU
S
bh2 4
S S
S
S
弹性
S S
弹塑性
S
塑性
h
9
不对称截面的MU
形心轴
等面积轴
弹性
弹塑性 塑性
h
10
S SA1SA2
S
塑性极限
MU SA1h1SA2h2
SS1S2
h
11
塑性极限弯矩MU
1.拉压区面积A1与A2相同（等面积轴）
2. M USS 1S 2
其中：S1为A1对等面积轴的静矩（面积矩） S2为A2对等面积轴的静矩（面积矩）
h
12
20 40
80
已知： S
h
24
MU l
h
25
A
MU
l
B
MU
l
FP
C
h
26
A
M1 .5UM U
l
FP
B
M1 .U5 M U
C
MU
D
l
l
h
27
FP
A 1.5M U
B
1.5M U C
MU
D
l
l
l
h
28
2ql2
A 1.5M U
B
l
q
ql
1.5M U C
MU
D
l
l
h
29
P
P
MU
l
l
l
333
h
30
l
2EEII
m
EI
EA= l2
h
47
B
A
C
h
48
B
A
C
B
C
A
B
C
A
h
49
求Hale Waihona Puke 方法：分别求出每一跨的极限荷载，整个体系 的极限荷载即为所有跨中的 最小值
h
50
q
ql
q
A
MU
B
2M U
C
MU
D
l
l
l
2
2
l
1l6M 2U,1l2M 2U,11 .6l26MU min
h
51
q
ql
q
A
2MMUU
B
M2 MU U
C 2MUM U
2EEII
双自由度
m
l
h
31
1
2EI
A
EA
EI l2
l 2
l
1.力法求梁式杆M图，二力杆FN值 2.并求A点竖向线位移
h
32
3l 4
FN
1 4
VA
l3 8 EI
h
33
高等数学知识回顾：
v ' u
v 'u u 'v u2
h
34
二、单跨超静定梁
1.塑性铰的个数：不止一个，应从结构本身来看
B
FC
2m 2m 1m 1m
求MF、 MB、 FRB 、 FyA 、 FLQH 、 FRQH 、 FQD 、 FLQE 、FRQE 、 FLQB、 FRQB的影响线
h
46
四、连续梁
本书只讨论下列情况的连梁： 1.每一跨内为等截面，不同跨截面可不同 2.所有荷载作用方向均相同，且比例加载
结论：只在某一跨内形成破坏机构， 不会形成联合破坏机构.
h
19
§16.3超静定梁的极限荷载
一、静定梁的极限荷载
1.塑性铰的个数： 只要有一个，结构即坏 2.塑性铰的位置：M的最大值处
h
20
FP
MU
l
l
2
2
h
21
求极限荷载的方法： 1.静力法 2.机动法（虚功法）
静定结构：静力法更好。
h
22
1.静力法步骤： 1）画M图 2）令Mmax=MU
h
23
2.机动法（虚功法） 1）确定塑性铰位置 2）画虚位移图 3）列虚功方程
D
l
l
l
2
2
l
2.78l2M 6U,8M l2U,1.98 l2MU min
h
52
2MU
qu
27.86MU l2
MU 2MU
0.464l
h
53
MU
qu
19.8MU l2
2MU 0.45l
h
54
2FP
A
MU
l
l
l2
l2
FP
B
2MU
l
l
l2
l2
FP
C MU
l
2M l U
,6MU l
,
MlUmin
h
37
q
A
MU
B
l
qU
11.66MU l2
要求作为结论直接应用
h
38
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
8MU l
h
39
q
A MU
l
qU
16MU l2
h
B
40
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
4MU l
h
41
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
5M l U
,4MU l
,9M l Umin
h
第十六章 结构的极限荷载
本章思路：
刚结点达到极限时不是断裂而是发生定向转动 （沿着M增大的方向）——塑性铰
刚结点
承担着极限弯矩MU的单向铰
h
1
本章工作： 求极限荷载与MU的关系
一个截面的极限弯矩MU是一个常数 仅与材料和截面形状有关， 是一个已知量
h
2
极限荷载： 原来的结构刚变为机构时的荷载值
（该值与塑性铰的位置和个数有关）
2.塑性铰的位置：固定端，集中荷载作用处，均布 荷载的最大值处，变截面处
h
35
FP
A MU B
C
l
h
17
四、破坏机构：
当结构在荷载作用下形成足够多的塑性铰时， 结构变为几何可变体系，即为破坏机构。
此时为极限状态，荷载为极限荷载。
若有n个极限荷载，则最小者为整个体系的极限荷载
h
18
五、比例加载：
1.所有荷载保持比例不变。 2.单调加载。
h
55
q
A
2MMUU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
27.8l26MU
,
2MU 3l2
m
in
h
56
q
A
MU
l
3ql
B
MU
C
3l l
3 ll
22
22
qU
16MU l2
h
57
3ql
q
A
2MMUU
B
MU
h
3
§16-1 概述
1.弹性设计法：弯矩图上的最大值达到极限，则整 个结构认为达到极限。材料为弹性。
2.塑性设计法：整个结构变为机构后才认为达到极 限。材料为理想弹塑性。
h
4
理想弹塑性材料
σs ε
低碳钢
σs ε
h
5
理想弹塑性材料
1.弹性阶段OA，塑性阶段AB 2.同一应变对应不同应力
同一应力对应不同应变 3. 拉压性能相同 4.加载与卸载性能不同，
求：MU
20
h
13
4R 3
h
14
已知：大圆半径为R1 小圆半径为R2
屈服强度为σS
求：MU
h
15
三、塑性铰：
某截面的M达到MU时，其M不能进一步增 加，该截面两侧沿MU的方向发生相对转动， 相当于铰结点，称为塑性铰。
h
16
塑性铰与普通铰的区别：
1.普通铰不能承担M 塑性铰能承担M，且为常数，大小为MU。
42
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
1
2MU l
,
6MU l
min
h
43
三、变截面梁
P
2MU
MU
A
B
C
D
l
l
l
3
3
3
2M 1l U,7.5lMU,9M lUmin
h
44
P
2MU
AB
MU
C
D
l
l
l
3
3
3
212Ml U
,1
5MU l
min
h
45
FP=1
AH
D
E
2m 2m 2m 2m
加载为弹塑性，卸载为弹性
h
S
A
o
ε
6
§16.2 极限弯矩 塑性铰 极限状态
单杆、纯弯曲、矩形截面、理性弹塑性材料
M
M
h
b
h
7
一、弹性极限弯矩MS
S
MS
S
bh2 6
MM
max Wz
bh2 6
S
h
8
二、塑性极限弯矩MU
S
MU
S
bh2 4
S S
S
S
弹性
S S
弹塑性
S
塑性
h
9
不对称截面的MU
形心轴
等面积轴
弹性
弹塑性 塑性
h
10
S SA1SA2
S
塑性极限
MU SA1h1SA2h2
SS1S2
h
11
塑性极限弯矩MU
1.拉压区面积A1与A2相同（等面积轴）
2. M USS 1S 2
其中：S1为A1对等面积轴的静矩（面积矩） S2为A2对等面积轴的静矩（面积矩）
h
12
20 40
80
已知： S
h
24
MU l
h
25
A
MU
l
B
MU
l
FP
C
h
26
A
M1 .5UM U
l
FP
B
M1 .U5 M U
C
MU
D
l
l
h
27
FP
A 1.5M U
B
1.5M U C
MU
D
l
l
l
h
28
2ql2
A 1.5M U
B
l
q
ql
1.5M U C
MU
D
l
l
h
29
P
P
MU
l
l
l
333
h
30
l
2EEII
m
EI
EA= l2
h
47
B
A
C
h
48
B
A
C
B
C
A
B
C
A
h
49
求Hale Waihona Puke 方法：分别求出每一跨的极限荷载，整个体系 的极限荷载即为所有跨中的 最小值
h
50
q
ql
q
A
MU
B
2M U
C
MU
D
l
l
l
2
2
l
1l6M 2U,1l2M 2U,11 .6l26MU min
h
51
q
ql
q
A
2MMUU
B
M2 MU U
C 2MUM U
2EEII
双自由度
m
l
h
31
1
2EI
A
EA
EI l2
l 2
l
1.力法求梁式杆M图，二力杆FN值 2.并求A点竖向线位移
h
32
3l 4
FN
1 4
VA
l3 8 EI
h
33
高等数学知识回顾：
v ' u
v 'u u 'v u2
h
34
二、单跨超静定梁
1.塑性铰的个数：不止一个，应从结构本身来看
B
FC
2m 2m 1m 1m
求MF、 MB、 FRB 、 FyA 、 FLQH 、 FRQH 、 FQD 、 FLQE 、FRQE 、 FLQB、 FRQB的影响线
h
46
四、连续梁
本书只讨论下列情况的连梁： 1.每一跨内为等截面，不同跨截面可不同 2.所有荷载作用方向均相同，且比例加载
结论：只在某一跨内形成破坏机构， 不会形成联合破坏机构.
h
19
§16.3超静定梁的极限荷载
一、静定梁的极限荷载
1.塑性铰的个数： 只要有一个，结构即坏 2.塑性铰的位置：M的最大值处
h
20
FP
MU
l
l
2
2
h
21
求极限荷载的方法： 1.静力法 2.机动法（虚功法）
静定结构：静力法更好。
h
22
1.静力法步骤： 1）画M图 2）令Mmax=MU
h
23
2.机动法（虚功法） 1）确定塑性铰位置 2）画虚位移图 3）列虚功方程
D
l
l
l
2
2
l
2.78l2M 6U,8M l2U,1.98 l2MU min
h
52
2MU
qu
27.86MU l2
MU 2MU
0.464l
h
53
MU
qu
19.8MU l2
2MU 0.45l
h
54
2FP
A
MU
l
l
l2
l2
FP
B
2MU
l
l
l2
l2
FP
C MU
l
2M l U
,6MU l
,
MlUmin
h
37
q
A
MU
B
l
qU
11.66MU l2
要求作为结论直接应用
h
38
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
8MU l
h
39
q
A MU
l
qU
16MU l2
h
B
40
FP
A MU B
C
l
l
2
2
FP U
4MU l
h
41
FP
FP
A
B MU C
D
l
l
l
3
3
3
5M l U
,4MU l
,9M l Umin
h
第十六章 结构的极限荷载
本章思路：
刚结点达到极限时不是断裂而是发生定向转动 （沿着M增大的方向）——塑性铰
刚结点
承担着极限弯矩MU的单向铰
h
1
本章工作： 求极限荷载与MU的关系
一个截面的极限弯矩MU是一个常数 仅与材料和截面形状有关， 是一个已知量
h
2
极限荷载： 原来的结构刚变为机构时的荷载值
（该值与塑性铰的位置和个数有关）
2.塑性铰的位置：固定端，集中荷载作用处，均布 荷载的最大值处，变截面处
h
35
FP
A MU B
C
l